浙江省三鋒教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)

考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.函數(shù)y=V+x在點(diǎn)4（1,2）處的切線方程（）

A.y=4x+2B,y=4x-2

C.y=-4x+2D.y=-4x-2

2.已知tana=3,oe10,則cos[a+]]的值為（）

3MR3M5/io

A.D.-------Vx.-------D.

一_io-1010記

3.已知今天是星期三，則經(jīng)過6"-3天后是（）

A.星期四B.星期五c.星期六D.星期日

71

4.在.ABC中，ZA=一,AB=4,BC=a,且滿足該條件的ABC有兩個(gè),則a的取值范

3

圍是（）

A.（0,2）B.（2,2@C.（2,4）D.（2后4）

5.某校高二數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N（95,〃），且

P（8O<X<110）=0.68,已知該校高二數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)超過80分的人數(shù)有420人，則

（）

A.估計(jì)該校高二學(xué)生人數(shù)為520.

B.估計(jì)該校高二學(xué)生中成績(jī)不超過95分的人數(shù)為280.

C.估計(jì)該校高二學(xué)生中成績(jī)介于80到95分之間的人數(shù)為170.

D.在該校高二學(xué)生中任取1人，其成績(jī)低于70分的概率大于超過120分的概率.

6.由未來科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國(guó)科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”一科學(xué)點(diǎn)燃青春：

未來科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)邔?duì)話青少年活動(dòng)于2023年9月8日在全國(guó)各地以線上線下結(jié)合的

方式舉行.現(xiàn)有某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會(huì)場(chǎng)與學(xué)生進(jìn)行對(duì)話活動(dòng)，要求

每個(gè)會(huì)場(chǎng)至多派兩名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場(chǎng)，則不同的派出方法有（）

A.60種B.90種C.150種D.180種

7.若函數(shù)?。?2而"/"0）在區(qū)間（0,兀）恰存在三個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)最值點(diǎn)，則。

的取值范圍是（）

717117117、z引

A.B.D.)

6?121256n'n)6’3

8.已知函數(shù)、=6，-2公皿》在xe（0,兀）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值為（）

A-缶IB.缶/C.卡e"D.3e

二、多選題

9.已知函數(shù)〃同=忠叫8+。）N＞0,。＞0,閘＜外的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)

D.若|/（%）-/（%2）|=4,則上一百的最小值為

10.某中藥材盒中共有包裝相同的7袋藥材，其中黨參有3袋，黃黃有4袋，從中取出

兩袋，下列說法正確的是（）

A.若有放回抽取，則取出一袋黨參一袋黃英的概率為W

49

7

B.若有放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，第2次取出黨參的概率為n

c：c；+c；

C.若不放回抽取,則第2次取到黨參的概率算法可以是

C

D.若不放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參一袋黃黃的概

率為？

11.已知=（2尤-3）”僅eN*）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,

/（X）=旬+4（X—1）+%（X—1）~++4"（x—1）”,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.%+%++%=1B.%+2%+3/++nan=18

試卷第2頁，共4頁

同+同++同。

C.a2=144D.=3

12.對(duì)于函數(shù)〃尤）=2,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）和（Le）

B.當(dāng)0v芭v九2Vl時(shí)，x11nx2<叫

C.若方程I/（|X|）I=上有6個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則%>e

D.設(shè)8（%）=f+口，若對(duì)％eRJ%e（L+°o）,使得g（西）=/（w）成立，則aNe

三、填空題

13.已知隨機(jī)變量X,y滿足2X+y=4,若X8（9,；）,貝|D（y）=______.

14.已知函數(shù)〃尤）導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,且〃同=$加+廣］卜，貝14切=______.

15.小明的生日是07年10月27日，他打算從0,7,1,0,2,7這六個(gè)數(shù)字的所有不同排列

中任選一種設(shè)置為自己的6位數(shù)手機(jī)密碼，其中數(shù)字1,2不相鄰，則他可設(shè)置的密碼

有種.

16.人間四月天，正是春游好時(shí)節(jié).某學(xué)校組織高二學(xué)生去遠(yuǎn)足，該遠(yuǎn)足路線會(huì)經(jīng)過一

處瀑布.有一個(gè)學(xué)生為了測(cè)量該瀑布的實(shí)際高度，記錄了如下測(cè)量數(shù)據(jù)：先沿一段水平

山道步行至與瀑布底端在同一水平面時(shí)，在此位置測(cè)得瀑布頂端的仰角正切值為g,沿

著山道繼續(xù)走20m,測(cè)得瀑布頂端仰角正切值為氈，已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)方向與

6

他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為:.根據(jù)該同學(xué)的測(cè)量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高

度為.

四、解答題

17.已知［-擊］的展開式中，第二項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)系數(shù)之比為-。,

（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）求展開式中所有的有理項(xiàng).

18.已知函數(shù)〃x）=alnx+gx2.

⑴當(dāng)。=-1時(shí)，求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若“<0,且函數(shù)在xe［l,e］上的最大值為e,求a的值.

19.袋中有大小相同的小球10個(gè)，其中黑球3個(gè)，紅球幾個(gè)，白球(7-〃)個(gè)，HeN*.

7

從中任取2個(gè)球，至少有1個(gè)紅球的概率為

⑴任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；

⑵任取2球，取到1個(gè)紅球得2分，取到1個(gè)白球得0分，取到1個(gè)黑球得-1分，求

總得分X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

20.已知銳角；ABC的內(nèi)角A,所對(duì)的邊分別為。力,c,且

acos(8-C)-acos(B+C)=2V3csinBcosA.

⑴求角A;

(2)若“=2石，求ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

21.某校團(tuán)委組織學(xué)生開展了“全民迎亞運(yùn)，學(xué)習(xí)當(dāng)達(dá)人”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活

動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，競(jìng)賽成績(jī)(單位：分)分布如下：

成績(jī)(分)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)62830324

(1)求抽取的100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均分無(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);

(2)在參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選取5名學(xué)生,求選取的5名學(xué)生中恰有3名學(xué)生競(jìng)賽成

績(jī)?cè)趨^(qū)間[60,70)可80,90)內(nèi)的概率；

(3)以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)參賽學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布其中〃近

似為樣本平均分元〃近似為樣本方差S?,按比例前16%的參賽學(xué)生可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”

稱號(hào)，已知甲同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)86分，試問他能否獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào).

參考數(shù)據(jù)：若XN(〃02),則P(〃一b<X<〃+b)20.6827,

尸(〃-2crWXV〃+2b)=0.9545,P(//-3cr<X<//+3<r)~0.9973.

22.已知函數(shù)=

⑴討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

2

⑵若函數(shù)g(x)=#(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)W,證明：X]-x2>e.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】因?yàn)閥=V+x,所以y'=3尤2+1,所以y'g=3x12+1=4,

所以在點(diǎn)4（1,2）處的切線方程為y—2=4（x-l）,即y=4x-2,

故選：B.

2.A

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出sina,然后結(jié)合誘導(dǎo)公式得到答案.

tansina3?q）

【詳解】因?yàn)镮cosa,所以sin%=G，cos%=G,

.2211010

sina+cosa=l

又因?yàn)樗詓ina=^^,cosa=,

I2j1010

,3M

所以cosa+—=-sina=---------

I210

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)6"-3=（7-1）“一3,利用二項(xiàng)式定理即可求解.

【詳解】由6"—3=（7—1）"一3=7"—。：產(chǎn)71°+。：*79—（：；］*78++C；°x7-l-3,

由于7"-C\x7i°+C/79-C：|X78++C；：x7能被7整除，

所以6"-3除以7余T,故經(jīng)過6"-3天后是是星期六;

故選：C

4.D

【分析】由正弦定理求出sin。，由sinCvl,且3C<AB,可得。的取值范圍.

【詳解】由正弦定理可得：，：=—J，所以sinC=23<1,所以。>2后，

sinAsinCa

因?yàn)锳BC有兩個(gè)，所以8C<AB,即。<4,所以。的取值范圍是僅6,4）

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)X近似服從正態(tài)分布N（95,〃），且尸（80<X<110）=0.68,得到

答案第1頁，共14頁

P（X>80）=0.84,進(jìn)而得到高二學(xué)生人數(shù)，然后逐項(xiàng)判斷.

【詳解】因?yàn)閄近似服從正態(tài)分布N（95,〃），所以P（X>95）=0.5,

又因?yàn)槭?0<X<110）=0.68,則尸（X>80）=0.5+0.34=0.84,

A.估計(jì)該校高二學(xué)生人數(shù)為420+0.84=500,故錯(cuò)誤；

B.估計(jì)該校高二學(xué)生中成績(jī)不超過95分的人數(shù)為500x0.5=250,故錯(cuò)誤；

C.由尸（80<X<95）=0.34,則成績(jī)介于80到95分之間的人數(shù)為0.34x500=170,故正確；

D.因?yàn)?0?20=95,所以P（X<70）=尸（X>120）,故錯(cuò)誤；

故選：C

6.B

【分析】由排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題求解即可.

【詳解】要求每個(gè)會(huì)場(chǎng)至多派兩名獲獎(jiǎng)?wù)撸棵@獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場(chǎng)，則不同的派出方法有

C2C2

卡A；=90種.

故選：B.

7.A

7T

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到2。兀-：的取值范圍，再解出。的范圍即可.

【詳解】當(dāng)xe（0,兀），則28-][-三,20%-：1（0>0）,

兀

依題意可得27t<2。兀一jr=45?，解得7:17

32612

（7171

即0的取值范圍是.

1612」

故選：A.

8.C

【分析】將函數(shù)y=e"-2asinx在1?0㈤上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為直線）=2〃與函數(shù)

2;在（0,兀）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究/（X）在（0,兀）上的單調(diào)性，求出了⑺的

sinx

最小值，從而得到實(shí)數(shù)a的取值.

【詳解】函數(shù)y=e工-2asinx在x?0,兀）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

則方程2a=2二在xe（0,兀）上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

Sill￥

答案第2頁，共14頁

px

令函數(shù)/(x)=-----,XG(0,7l)

sinx

即直線y=2a與函數(shù)y=/(x)在無￡(0,兀)上有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

回學(xué)叵>0,得兀

'Jsin2x4

?I"”在上單調(diào)遞減，[，j上單調(diào)遞增，

則2。=小心=/舊=后，，即a=

故選：C

9.CD

【分析】根據(jù)題意，求得〃x)=2sin(2x-51,結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的

圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃x)=Asin3x+°)的圖象，

3SJT(TT、37r

KTM^=2,-T=--I-jj=—,所以7=兀，所以〃x)=2sin(2x+9),

又由/(f^)=2sin[￥+0]=2,即sin[§+0]=l,可得號(hào)+°=g+2析，此Z,

12<6)<6J62

所以夕=一三+2E,此Z,因?yàn)殚l<曰，所以夕=[,所以〃x)=2sin12x-T，

對(duì)于A中，由7[一^]=25由(2'一一弓|=6，所以A錯(cuò)誤；

Jr7T3冗57r1ITT

對(duì)于B中，令一+2kn<2x——<——+2far,keZ,解得---\-kn<x<-----卜kit’keZ,

2321212

所以小)在(0年]單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，將y=/(x)圖象上的所有點(diǎn)沿x軸向右平移已個(gè)單位長(zhǎng)度后，

得至打=/[一=2sin,x-=一2cos2x的圖象，次數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)>的圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，所以C正確；

對(duì)于D中，由函數(shù)/(x)=2sin，x-。，可得/(x)1g=2,/(x)1mli=-2,

使得|〃%)-〃龍2)|=4成立,則|〃力皿-〃工4卜城

因?yàn)楹瘮?shù)/⑴的最小正周期為兀，所以卜-刈的最小值為T，所以D正確.

故選：CD.

答案第3頁，共14頁

10.ABD

【分析】選項(xiàng)A,利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，即可解決；選項(xiàng)B,根據(jù)條件,

利用條件概率公式，即可解決；選項(xiàng)C,根據(jù)條件，利用古典概率公式，即可解決；選項(xiàng)D,

利用條件概率公式，即可解決，從而求出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)槭怯蟹呕爻槿。榈揭淮h參的概率為：，抽到一袋黃苗的概率

唁

所以取出一袋黨參一袋黃英的概率為93義三4義2=￡,故選項(xiàng)A的正確，

7749

對(duì)選項(xiàng)B,第二次抽到黨參的概率為4義：+：*3=1,至少抽到一袋黨參的概率為

7x77

34c3324933

—X—X2d——X—=1=——,

7777494949

3

77

所以所求概率為今=77,故選項(xiàng)B正確，

11

49

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)椴环呕爻槿?，抽兩次有A；種取法，第二次抽到黨參的取法為C；C；+A；,

所以C選項(xiàng)的算法是錯(cuò)誤的，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D,至少取出一袋黨參的的概率為=:,取到一袋黨參一袋黃黃的概率

11

為2二CC券=43,所以在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參一袋黃黃的概率為概率為

4

74

士=飛,故選項(xiàng)D正確，

7

故選：ABD.

11.BD

【分析】根據(jù)已知求出"，則(2x-3)”=[-l+2(x-l)『，令x=l和x=2即可判斷A；先求導(dǎo)，再

令尤=2即可判斷B；根據(jù)[T+2(x-l)]9的通項(xiàng)公式求出的即可判斷C；由通項(xiàng)公式判斷。，的

正負(fù)，結(jié)合]m=/一—+/9=」計(jì)算即可判斷D.

【詳解】由/(%)=(2x-3)"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512,

答案第4頁，共14頁

可得2〃=512,解得篦=9,所以/(x)=(2x—3)K

A：在(2x—3)9=a。+%(x—1)+〃2(%—I)?+L+〃9(x—I)',中，

令X=l,得。0=-1,令尤=2,得/+%+。2+L+〃9=1，

所以％+〃2+。3+1+。9=2,故A錯(cuò)誤；

B：(2x—3)9=a。+〃](%—1)+〃2(1—1)2+L+為(％—1)9,

88

等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得18(2%-3)=q+2〃2(x-1)+L+9^z9(x—I),

令x=2,得4+2%+L+9%=18,故B正確；

C：C(2、-3)9=[―1+2(%—='+%(十一1)+〃式九-I)」+L+旬(九一1)"

???〃2=C；(-1)72=-144,故C錯(cuò)誤；

f(0)—CLQ—q+%-/++〃8-%=-3。

D:5,

f(2)=a。+%+%+%+-+/+〃9=1

本目力口%+%+/+。6+4=~~~~4+/+。5+%+%=~?

又(2x—3)9=[—1+2(%—1)]9展開式的通項(xiàng)公式為C(-ly.29f(九一l)9T=(—l)，.29fG(%-l)9T

(0<r<9,reZ),

則當(dāng)奇數(shù)時(shí)，"4‘“6‘“8/負(fù)，當(dāng)r偶數(shù)時(shí)，4,用'"5'%'“9正，

所以同+|%|+同++同

]+§9]—

—(%+%+%+“7+“9)-(%+%+〃4+〃6+〃8)=------~—=3。，D正確.

故選：BD

12.ACD

【分析】選項(xiàng)A,對(duì)/'(X)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，直接求出單調(diào)區(qū)間，即

InXInY

可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B,構(gòu)造函數(shù)加%)=—,求出%無)=——的單調(diào)區(qū)間，再根

xx

據(jù)條件，即可判斷出選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C,利用制助=品為偶函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，

八|尤|)=,。)=:匚，利用選項(xiàng)A中的結(jié)果，求出f(]x\)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得出〃(國(guó))|

Inx11

答案第5頁，共14頁

的圖象，即可解決問題；選項(xiàng)D,求出g(元),/(x)的值域，再根據(jù)條件，即可解決問題，從

而求出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,易知定義域?yàn)?O,l)u(l，+“)，又/(苫)=*?，

由((x)<0,得到In尤<l=lne,所以0<x<e且xwl,故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),

(l,e),所以選項(xiàng)A正確，

選項(xiàng)B,令h(x)=皿，則〃'(無)=匕職，當(dāng)xe(0,1)時(shí)，〃(x)>0,即當(dāng)以%)=處在區(qū)間(0,1)

XXX

上單調(diào)遞增，

InxIn一

所以當(dāng)Ovx1V/〈I時(shí)，---<----，即尤21nxi<xjn%2，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

玉x2

Id

選項(xiàng)C,易知用無|)=■為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(|x|)=/(元)=4，

In國(guó)Inx

由選項(xiàng)A知函數(shù)/*)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(l,e),增區(qū)間為(e,+s),

又當(dāng)x>l時(shí),又無|)=〃x)>0,當(dāng)X=e時(shí)，/(|x|)=e,當(dāng)尤-1時(shí)，/(|x|)->+8,xf+8

時(shí)，f(|x|)f+8

當(dāng)0cx<1時(shí)，/(|x|)<0,當(dāng)X-0時(shí)，f(|x|)-O,Xfl時(shí)，/(I.￥|)->-00,

所以函數(shù)y=l/(|x|)l的圖象如圖所示，

直線、=左與函數(shù)y=|/(|x|)|有6個(gè)不同交點(diǎn)，則上>e,所以選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,易知g(x)的值域?yàn)閇七+功，而由選項(xiàng)C知函數(shù)“X)的域(-8,0)7卜,+8),

由題意函數(shù)g(x)值域,,+?)是函數(shù)“X)值域(-8,o)u[e,+e)的子集，則aNe,所以選項(xiàng)

D正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴:本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C,利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，作出y=I"國(guó))|

答案第6頁，共14頁

的圖象，再數(shù)形結(jié)合解決問題.

13.8

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的方差公式及方差性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】由X8(9$),得。(X)=9x；x(l-；)=2,由2X+F=4,得F=4—2X,

所以￡>(￥)=D(4-2X)=4￡>(X)=8.

故答案為：8

14.1

［分析】對(duì)/(X)求導(dǎo)得到/V)=COSX+2d今jx,令X、，得到廣停］=o,從而=Siiu,

即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤▁)=sinx+rg卜，所以f(x)=cosx+2「gjx,

得到中卜嗚+2叱片=礦國(guó)，所以陪卜。,

故/(x)=siiu,所以,

故答案為：1.

15.120

【分析】根據(jù)數(shù)字1,2不相鄰，利用插空法得到答案.

【詳解】因?yàn)閿?shù)字1,2不相鄰，所以先排列0,0,7,7,再將1,2進(jìn)行插空，所以共有C；A；=120

種情況.

故答案為：120.

16.50m

【分析】根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合題中條件求得AC=d/?,BC=2\8/i,在「ABC中，由余

55

弦定理建立方程，解出即可.

【詳解】

H

答案第7頁，共14頁

如圖，設(shè)瀑布頂端為Z),底端為C,IWJ為"，

該同學(xué)第一次測(cè)量的位置為A,第二次測(cè)量的位置為3,

則tanZDAC=-,AB=20m,tan^DBC=—，

46

由題得AC=W/z,BC=^〃，

55

在，ABC中，由余弦定理可知：

BC2=AC2+AB2-2AC-ABcos^CAB,

解得力=50m.

故答案為：50m.

35-

17.(1)7；=—x3

8

7

(2)7J=xs,T=—7X4,7^=—

416

【分析】(1)求出展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于“的方

程，解出正整數(shù)”的值，然后利用二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性可求得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);

(2)寫出展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可求得展開式中所有的有理項(xiàng).

解得n=8.

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

(2)由(1)知，/+]=]_3)丁，

4

又0VrW8/eZ,由8-耳廠eZ可得/*=0,3,6,

故展開式中的有理項(xiàng)為：

答案第8頁，共14頁

18.(1)單調(diào)減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(Ly)

(2)a=e-^-e2

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)先求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再分零點(diǎn)是否在區(qū)間［l,e］進(jìn)行討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)

而可求出函數(shù)的最值，即可得解.

11r2—1

【詳解】(1)當(dāng)〃=一1時(shí)，/(x)=-lnx+—x2,x>0,ff(x］=——+x=-----，

2xx

當(dāng)0v九vl時(shí)，r(x)<0,當(dāng)%>1時(shí)，f\x)>0

所以函數(shù)八%)的單調(diào)減區(qū)間為(。,1),增區(qū)間為

(2)(")=士￡,

2

若。<0,令/⑺=X+a=0得尤=±U^(舍負(fù))，

當(dāng)時(shí)，/々x)>。，<x<\f-a,/'(x)<0，

所以函數(shù)/(x)在(0，")上單調(diào)遞減，在(G,y)上單調(diào)遞增，

當(dāng)dwl,即一!Ka<0時(shí)，

所以函數(shù)/(》)在［l,e］上單調(diào)遞增，

則/(龍?zhí)?=/(e)=a+|e2=e,^1a=e-|e2；

當(dāng)l<^/^<e,即-e2<a<-l時(shí)，函數(shù)在口,/^］上遞減，上遞增，

則/Max=max{/⑴"(e)}=max［g,a+；e?1,

如若可以，只能a+!e=e,則4=6-162>-1(舍)；

當(dāng)日Ne,即.W-e?時(shí)，函數(shù)在［l,e］上遞減，

則“X)max=/⑴=(<e(舍).

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綜上可知，a=e——e2

79

19.(1)——

120

7

（2）分布列見解析，y

【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式可得〃=5,即可利用超幾何分布的概率公式求解,

（2）利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，進(jìn)而由期望公式求解期望即可.

C27

【詳解】（1）1-晉=6,得"=5,

故黑球3個(gè)，紅球5個(gè)，白球2個(gè)，

事件A：取出的3球中恰有2球同色，則

02rl

十十79

333

JcoyC。JCo120

(2)X=-2,-1,0,1,2,4.

2i廠廠

尸（XT哈C$3一）二詈2

15

C2ic；c；1

芯,

P(x=o)=W=P(X=1)2

103

P(X=2)=獸=；,P(X=4)=32

jo"jo9

答案第10頁，共14頁

【分析】（1）利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)，由正弦定理得到tanA的值，結(jié)合角A的范

圍即可求得角A.

（2）由正弦定理和三角恒等變換可求出周長(zhǎng)的表達(dá)式，再根據(jù)角度的范圍，利用正弦函數(shù)

的性質(zhì)即可求得周長(zhǎng)的取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)閍cos（5-C）-acos（5+C）=2V^csinBcosA

所以acosBcosC+“sinBsinC-a（cos5cosc-sinBsinC）=2百csinBcosA,.

即6/sinBsinC=V3csinBcosA，由正弦定理得sinAsinBsinC=\^sinCsinBcosA，

顯然sinC>0,sinB>0,所以sinA=6cosA,所以tanA=不，

因?yàn)锳e(0,￡|,所以4=?

a

nhc---=4

(2)由正弦定理得上-=q=」一=4,即sinA

sinAsinBsinC

貝Ub=4sinB,c=4sin+gj,.

a+b+c=2^3+4sinB+4sin/十三］

=2y/3+4sinB+4卜inBcos］+cosBsiny

=2V3+4V3sin|B+-I，.

0<B<-

271271

因?yàn)?，解得得3+

7i626

0<--B<—

32

所以sin12+?e

得a+b+ce(6+2^/3,6石］.

21.(1)75

(2)0.3456

⑶能

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替進(jìn)行求解

即可;

答案第11頁，共14頁

(2)根據(jù)并事件的性質(zhì)，結(jié)合古典概率公式、獨(dú)立事件的乘法公式進(jìn)行求解即可;

(3)根據(jù)方差的公式，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)x=55x0.06+65x0.28+75x0.3+85x0.32+95x0.04=75；

(2)100個(gè)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趨^(qū)間［60,70)380,90)內(nèi)的共有60個(gè)，

因此從100個(gè)學(xué)生中抽取一個(gè)學(xué)生，成績(jī)?cè)冢?0,70)380,90)內(nèi)的概率為需=0.6,

事件4競(jìng)賽成績(jī)?cè)趨^(qū)間［60,70)口［80,90)內(nèi)且恰有3名學(xué)生，

P(A)=C10.630.42=0.3456；

(3)ct2=(55-75)2x0.06+(65-75)2x0.28+(75-75)2x0.3+(85-75)2x0.32

+(95-75)2x0.04=100.

因?yàn)閄275+10)=；(1-P(75-104X475+10)卜0.15865

所以甲同學(xué)能獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào).

22.(1)答案見解析

(2)證明見解析

11_1

【分析】(1)將原問題轉(zhuǎn)化為直線y=；機(jī)與函數(shù)M尤)=氣nr2,》＞0交點(diǎn)個(gè)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)討論

222

函數(shù)/4X)的性質(zhì)可得1mx,分類討論求出當(dāng)機(jī)=￡■或〃zV0、。＜機(jī)＜￡■、機(jī)〉/時(shí)對(duì)應(yīng)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；

(2)由極值點(diǎn)的概念可得皿