概率統(tǒng)計(jì)一一講義

專題48簡單隨機(jī)抽樣

一、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

1、全面調(diào)查

(1)定義：對每一個(gè)調(diào)查對象都進(jìn)行調(diào)查的方法，成為全面調(diào)查，又稱普查.在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)

查對象的全體稱為成為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對象稱為個(gè)體。

(2)優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是所有資料較為全面可靠；缺點(diǎn)是調(diào)查花費(fèi)的人力、物力、財(cái)力較多，且調(diào)查

時(shí)間較長，全面調(diào)查只在樣本少的情況下適合采用。

2、抽樣調(diào)查

(1)定義：根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計(jì)

和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查。

(2)相關(guān)的概念：

①總體：所要考察對象的全體叫做總體

②樣本：從總體中抽取出的若干個(gè)個(gè)體組成的集合叫作總體的一個(gè)樣本

③個(gè)體：總體中的每一個(gè)考察對象叫作個(gè)體

④樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫作樣本容量

⑤樣本數(shù)據(jù)：調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù)。

(3)優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是迅速及時(shí)；節(jié)約人力、物力和財(cái)力

缺點(diǎn)是調(diào)查結(jié)果不如全面調(diào)查全面、系統(tǒng)。

二、簡單隨機(jī)抽樣

1、放回簡單隨機(jī)抽樣

一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體,從中逐個(gè)抽取n(l<n<w)個(gè)個(gè)體作為樣本,如

果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放

回簡單隨機(jī)抽樣.

2、不放回簡單隨機(jī)抽樣

如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的

抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣.

3、簡單隨機(jī)抽樣與簡單隨機(jī)樣本

放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣，

通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本成為簡單隨機(jī)樣本。

4、簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：

(1)總體個(gè)數(shù)有限：簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)有限，這樣便于通過樣本對總體進(jìn)行分

析；

(2)逐個(gè)抽?。汉唵坞S機(jī)抽驗(yàn)是從總體中種逐個(gè)進(jìn)行抽取，這樣便于實(shí)際操作；

(3)不放回抽樣：簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，這樣便于樣本的獲取和一些相關(guān)的計(jì)算。

(4)等可能抽樣：不僅每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，而且在整個(gè)抽樣

過程中，各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性也相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性。

5、常用的簡單隨機(jī)抽樣有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法

三、抽簽法與隨機(jī)教法

1、抽簽法

(1)定義：把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每

次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)樣本容量為n的樣本。

(2)抽簽法的操作步驟：

第一步，編號(hào)：將N個(gè)個(gè)體編號(hào)(號(hào)碼可以從1至UN,也可以使用已有的號(hào)碼)

第二步，寫簽：將N個(gè)號(hào)碼寫到大小、形狀相同的號(hào)簽上.

第三步，抽簽：將號(hào)簽攪拌均勻，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)不放回地抽取n次，并記錄其編號(hào).

第四部，定樣：從總體中找出與號(hào)簽上的號(hào)碼對應(yīng)的個(gè)體，組成樣本.

(3)抽簽法的注意事項(xiàng)：

①對個(gè)體編號(hào)時(shí)，也可以利用已有的編號(hào).

②制作號(hào)簽時(shí)，所使用的工具(如紙條、小球等)的形狀、大小要一樣，以確保每個(gè)號(hào)簽被抽到的可

能性相等.

③抽取樣本前總體要“均勻攪拌"目的是讓每個(gè)號(hào)簽被抽到的機(jī)會(huì)相等.

(4)優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：簡單易形，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，使總體處于“攪拌”均勻的狀態(tài)比較容易，

此時(shí)，每個(gè)個(gè)體都有均等的機(jī)會(huì)被抽中，從而能夠保證樣本的代表性；

缺點(diǎn)：僅適用于個(gè)體數(shù)較少的總體，當(dāng)總體的容量較大時(shí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力又不方便，

況且，如果號(hào)簽攪拌的不均勻，可能導(dǎo)致抽樣不公平。

2、隨機(jī)數(shù)法

(1)定義：簡單隨機(jī)抽樣中，另一個(gè)經(jīng)常被采用的方法是隨機(jī)數(shù)表法，即利用隨機(jī)試驗(yàn)或信息技術(shù)(即

計(jì)算器、電子表格軟件和R統(tǒng)計(jì)軟件)生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣.

(2)隨機(jī)數(shù)表法步驟：

①把總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào)。

②用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號(hào)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù).

③把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本。重復(fù)上述過程，知道抽足樣本所需

要的數(shù)量.

【注意】如果產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即同一編號(hào)被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號(hào)并重新產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),

知道產(chǎn)生的不同標(biāo)號(hào)個(gè)數(shù)等于樣本所需要的數(shù)量.

(3)優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：操作簡單易行，它很好地解決了用抽簽法當(dāng)總總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)制簽難的問題，

在總體容量不大的情況下是行之有效的。

缺點(diǎn)：總體中的個(gè)數(shù)很多，對個(gè)體編號(hào)的工作量太大，即使用隨機(jī)數(shù)表法操作也不方便快捷。

3、抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的比較

相同點(diǎn)：(1)抽簽法與隨機(jī)數(shù)法都是簡單隨機(jī)抽樣，并且要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限；

(2)抽簽法與隨機(jī)數(shù)法都是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，都是不放回抽樣；

不同點(diǎn)：抽簽法適用于總體個(gè)數(shù)較少的情況；隨機(jī)數(shù)法適用于總體個(gè)數(shù)較多的情形。

四、簡單隨機(jī)抽樣中的兩類特征數(shù)

1、總體平均數(shù)

一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體,它們的變量值分別為匕*，…，次，則稱P=也號(hào)墳=0匕匕為總

體均值，又稱總體平均數(shù)

如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kWN)個(gè),不妨記為匕,Y2,...,Yk,其中X出現(xiàn)的頻數(shù)

依=1,2，…,k),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式P=恐3力4

2、樣本平均數(shù)

如果從總體中抽取一個(gè)容量為"的樣本,它們的變量值分別為%,%，…，%,則稱歹=左包—=

：2上1%為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)。在簡單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)。

專題49分層抽樣和獲取數(shù)據(jù)的途經(jīng)

一、分層隨機(jī)抽樣的概念

1、分層隨機(jī)抽樣的定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅

屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本貪在二起作

為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.

2、比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方

式為比例分配.

3、分層隨機(jī)抽樣使用的原則

(1)將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏

的原則；

(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與

每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.

4、分層隨機(jī)抽樣的步驟

(1)分層：按某種特征將總體分成若干部分(層)；

(2)計(jì)算抽樣比：抽樣比k=震1；

總體容量

(3)定數(shù)：按抽樣比確定每層抽取的個(gè)體數(shù)；

(4)抽樣：每層分貝按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本

(5)成樣：綜合各層抽樣，組成樣本。

5、分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算關(guān)系：

樣本容量“該層抽取的個(gè)體數(shù)

fl)-----------------=-------------------------*

總體的個(gè)數(shù)N該層的個(gè)體數(shù)’

(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比.

—mnMN

(3)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為co=------+-------=--------+--------.

m+nm+nM+NM+N

二、獲取數(shù)據(jù)的基本途徑

選擇獲取數(shù)據(jù)的途徑主要是根據(jù)所要研究問題的類型，以及獲取數(shù)據(jù)的難易程度.有的數(shù)據(jù)可以有

多種獲取途徑，有的數(shù)據(jù)只能通過一種途徑獲取，選擇合適的方法和途徑能夠更好地提高數(shù)據(jù)的可靠性.

1、通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)：

(1)使用類型：對于有限總體問題，我們一般通過抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)；

(2)注意問題：要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效地避免抽樣過程中的

人為錯(cuò)誤

2、通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)

(1)適用類型：沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢

(2)注意問題：嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)環(huán)境，通過精心的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量

3、通過觀察獲取數(shù)據(jù)

(1)適用類型：自然現(xiàn)象

(2)注意問題：要通過長久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)

4、通過查詢獲得數(shù)據(jù)

(1)適用類型：眾多專家研究過，其收集的數(shù)據(jù)有所存儲(chǔ)

(2)注意問題：必須根據(jù)問題背景知識(shí)“清洗數(shù)據(jù)”，去偽存真

專題50樣本估計(jì)總體

一、頻率分布直方圖

1、頻率分布直方圖

(1)列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：

①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差；

②決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí),按照數(shù)據(jù)的多少分成5~12組,且組距=篇；

③將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間區(qū)左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；也可以將樣本

數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組.

④列頻率分布表：對落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組

的頻率.

⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以髭的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖。

(2)頻率分布直方圖的特點(diǎn)：

頻率

①小長方形的面積=組距X=頻率,

②個(gè)小長方形的面積等于1,

③小長方形的高=糯1

,所有小長方形的高的和=

旃,

(3)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折

線圖,

一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際意義.

(4)總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，

頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線y=/(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.

總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.

2、根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積

的乘積之和近似代替.

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.

(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù).

二、百分位數(shù)的計(jì)算

1,第〃百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有四的數(shù)據(jù)小于或等于

這個(gè)值，

且至少有(100-2)％的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

2.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按叢小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i=妙%

第3步，若i不是整數(shù),而大于，的比鄰整數(shù)為九則第p百分位數(shù)為第2項(xiàng)數(shù)據(jù)；

若i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(，+D項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

三、樣本估計(jì)總體

1、用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)

(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；

(2)中位數(shù)：將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則最中間的數(shù)據(jù)為中位數(shù),

若樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)。

(3)平均數(shù)：設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為…，，/廁樣本的彌平均數(shù)為六一

(4)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變數(shù)

平均數(shù)

多的信息，對樣本中的極端值更加敏感據(jù)越"離群"對平均數(shù)的影響越大

不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后

中位數(shù)對極端值不敏感

的數(shù)據(jù))的影響

眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極

眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)

端值不敏感

(5)平均數(shù)相關(guān)結(jié)論：

①如果兩組數(shù)”和%，%，,，%的平均數(shù)分別是工和了,則一組數(shù)%+WW+%，?，%+%的

平均數(shù)是k+y；

②如果一組數(shù)為，％的平均數(shù)為亍，則一組數(shù)何，柱，，3的平均數(shù)為底。

③如果一組數(shù)如打％的平均數(shù)為下，則一組數(shù)不+a,x2+a,,xn+a的平均數(shù)為x+a

2、根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫線與小矩形的面積

的乘積之和近似代替.

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.

(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù).

四、總體離散程度的估計(jì)(方差、標(biāo)準(zhǔn)差)

用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差

(1)數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述；

(2)極差(又叫全距)是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動(dòng)幅度；

(3)樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小；

一般地,設(shè)樣本的數(shù)據(jù)為玉，%，，相，樣本的平均數(shù)為三,

定義樣本方差為=(再―一+-TP++?-丁f.

n

簡化公式：$2=匕(才+名++*)-同］

n

='尤；+尤++E)-元2(方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)平均數(shù)的平方)

n

(4)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.

樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=卜-/+(%-?++(%-4,SN0.

標(biāo)準(zhǔn)差越大數(shù)據(jù)離散程度越大，數(shù)據(jù)家分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)周圍.

(5)方差相關(guān)結(jié)論：

①如果一組數(shù)占，々，，，,王的方差為S2,則一組數(shù)，%+。的方差為;

②如果一組數(shù)不，龍2，…，斗的方差為?,則一組數(shù)句,也，，如的方差為k2s2。

專題51隨機(jī)事件與概率

一、有限樣本空間

1、隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn).

特點(diǎn)：(D試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個(gè)；

(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

2、樣本點(diǎn)和樣本空間

(1)樣本點(diǎn)：我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用①表示樣本點(diǎn)；

(2)樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，用。表示樣本空間；

(3)有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有〃個(gè)可能結(jié)果3，。2,…⑷"，則稱樣本空間。={3⑷2,…，

①"}為有限樣本空間，。={加，①2,①〃}

3、樣本空間中樣本點(diǎn)的求法：

(1)列舉法：也稱枚舉法，對于一些情境比較簡單，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是很多的概率問題，計(jì)算時(shí)只需要

——列舉，即可得出隨機(jī)事件所包含的言本店，注意列舉時(shí)必須按一定的順序，做到不重不漏。

(2)列表法：碎玉樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是太多的情況，可以采用列表法。通常把對問題的思考分析歸結(jié)為"有

序?qū)崝?shù)對"，以便更直接地得到樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，列表法的有點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏，期中最常用的方

法是坐標(biāo)系法。

（3）樹狀圖法：樹狀圖適用于按一順序排雷的較復(fù)雜問題中言本店個(gè)數(shù)的求解，是一種常用的方法。

二、三種事件的定義

1、隨機(jī)事件：我們將樣本空間。的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為

基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A,3,C,…表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)

時(shí)，稱為事件A發(fā)生；

2、必然事件：。作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以。

總會(huì)發(fā)生，我們稱。為必然事件；

3、不可能事件：空集。不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱。為不可能事件。

注意：判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn)

一看條件：因?yàn)槿N事件都是相對于一定條件而言的；

二看結(jié)果是否發(fā)生：一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，

一定不發(fā)生的是不可能事件.

三、事件的關(guān)系判斷

1.互斥（互不相容）：一般地,如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,

也就是說AHB是一個(gè)不可能事件，即AA3=。，

則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）L—=------巴

2、互為對立：一般地，如果事件A與事件3在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,

即AU3=。,且AnB=0,那么稱事件A與事件3互為對立.

事件A的對立事件記為H

四、事件的運(yùn)算

1、包含關(guān)系：一般地，若事件A發(fā)生，則事件3一定發(fā)生，

我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,

即524（或人口）,

特殊情形：如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B^A且A^B,

則稱事件A與事件B相等,記作A=B

2、并事件（和事件）：一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,

這樣的事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件3中，

則稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）AU3（或A+3）

3、交事件（積事件）：一般地,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,

這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在事件3中，

則稱這樣的事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)ACW或AB)

五、古典概型的判斷

1、古典概型的定義

我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，

其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

2、古典概型的概率計(jì)算公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中k個(gè)樣本點(diǎn)，

則定義事件A的概率P(A)="喘,

其中〃(A)和〃(0分別表示事件A和樣本空間。包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

六、概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件A,都有P(A)K).

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(0=1,P(0)=0.

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥,那么P(AUB)=P(A)+P(B).

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).

性質(zhì)5：如果AQB,那么P(A)<P(B).

性質(zhì)6：設(shè)A,3是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-RACB).

專題52事件的相互獨(dú)立性

一、相互獨(dú)立事件

1、定義：對任意兩個(gè)事件A與3,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡稱

為獨(dú)立.

2、判斷事件是否相互獨(dú)立的方法

(1)定義法：若事件A的發(fā)生對事件3的發(fā)生概率沒有影響，反之亦然，則這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的

(2)公式法：若對兩事件A,B有P(AB)=P(A)P(B),則事件A,3相互獨(dú)立.

3、用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟：

(1)用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件；

(2)根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；

(3)將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和(相互乘積的事件之間必須

滿足相互獨(dú)立)；

(4)利用乘法公式計(jì)算概率.

二、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式

已知兩個(gè)事件A,3相互獨(dú)立,它們的概率分別為P(A),P(B),則有

事件表ZF概率

A,B同時(shí)發(fā)生AB

A,3都不發(fā)生

AB

A,3恰有一個(gè)發(fā)生(A)U(TB)P(A)P(~B)+P(A)P(B)

A,B中至少有一個(gè)發(fā)生(A-B)U(TB)U(AB)P(A)P(~B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

P(A)P(-B)+P(A)P(3)+P(A)P(-B)

A,B中至多有一個(gè)發(fā)生(A-8)U(TB)U(AB)

專題53頻率與概率

一、頻率與概率

1、頻率的穩(wěn)定性

大量的試驗(yàn)證明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中,一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有一蛔生

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率以A)會(huì)逐漸穩(wěn)

定于事件A發(fā)生的概率P(A),

我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性

因此我們可以用頻率加A)估計(jì)概率P(A).

2、頻率的求法

頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率，

頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率.

3、頻率和概率區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別：

(1)在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)儂為

事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例加A)=等為事件A出現(xiàn)的頻率.

(2)概率是度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量

(3)頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率是一個(gè)定值，是某事件的固有屬性.

聯(lián)系：

對于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率力(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),

因此可以用頻率%(A)來估計(jì)概率P(A).

二、游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法

(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同.若相同，則規(guī)則公

平，否則就是不公平的.

(2)具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較.

三、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生及模擬應(yīng)用

1、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

(1)標(biāo)號(hào)：把〃個(gè)大小、形狀相同的小球分別標(biāo)上1,2,3，…，n.

(2)攪拌：放入一個(gè)袋中，把它們充分?jǐn)嚢?

(3)摸取：從中摸出一個(gè).

這個(gè)球上的數(shù)就稱為從1~〃之間的隨機(jī)整數(shù)，簡稱隨機(jī)數(shù).

2、偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

(1)規(guī)則：依照確定的算法.

(2)特點(diǎn)：具有周期性(周期很長).

(3)性質(zhì)：它們具有類似_地機(jī)數(shù)—的性質(zhì).

計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)并不是真正的隨機(jī)數(shù),我們稱為—偽隨機(jī)數(shù)

3、產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的常用方法

①用計(jì)算器產(chǎn)生；②用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生；③抽簽法.

4、隨機(jī)模擬方法(蒙特卡洛方法)

利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來做模擬試驗(yàn)，通過模擬試驗(yàn)得到的頻率來估計(jì)概率，

這種用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡洛方法.

5、隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法比較

方法抽簽法用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生

優(yōu)點(diǎn)