專題19三角函數(shù)圖象與性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)對(duì)稱中心對(duì)稱軸方程無(wú)知識(shí)點(diǎn)二：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)注：正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離；知識(shí)點(diǎn)三：與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：.（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A,A].（3）最值假設(shè).①對(duì)于，②對(duì)于，（4）對(duì)稱軸與對(duì)稱中心.假設(shè).①對(duì)于，②對(duì)于，正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢?正、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置.（5）單調(diào)性.假設(shè).①對(duì)于，②對(duì)于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：.先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形.方法二：.先周期變換，后相位變換，再振幅變換.注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為.（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為【題型歸納目錄】題型一：五點(diǎn)作圖法題型二：函數(shù)的奇偶性題型三：函數(shù)的周期性題型四：函數(shù)的單調(diào)性題型五：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合題型八：根據(jù)條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式.方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）題型九：三角函數(shù)圖像變換【典例例題】題型一：五點(diǎn)作圖法例1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，.若，，且的最小值為，，求解下列問(wèn)題.(1)化簡(jiǎn)的表達(dá)式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)請(qǐng)完善表格并利用五點(diǎn)作圖法繪制該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，并求在區(qū)間上的最值.例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，記函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）畫出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象.例3．（2023·廣東·佛山市順德區(qū)樂(lè)從中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)（）的最小正周期為，且(1)求和的值；(2)填下表并在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；x【方法技巧與總結(jié)】(1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．題型二：函數(shù)的奇偶性例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù),在區(qū)間上的最大值為最小值為則_____.例5．（2023·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）若為偶函數(shù)，則___________.（填寫符合要求的一個(gè)值）例6．（2023·四川德陽(yáng)·三模（理））將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，則m的最小值是___________.例7．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三期末（文））將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則正數(shù)的最小值為_(kāi)_________．例8．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（、為常數(shù)，R）在處取得最小值，則函數(shù)是（

）A．偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例9．（2023·安徽淮南·二模（理））對(duì)任意的，函數(shù)滿足．若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．8例10．（2023·山西太原·二模（理））已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù).題型三：函數(shù)的周期性例11．（2023·北京八十中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與直線的交點(diǎn)中，距離最近的兩點(diǎn)間距離為，那么此函數(shù)的周期是___________.例12．設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為．例13．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））若，則__________.例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中①；②；③；④，其中是偶函數(shù)，且最小正周期為的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例15．（2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，的最小值為，則（

）A．函數(shù)的周期為B．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)C．當(dāng)，的值域?yàn)镈．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有6個(gè)例16．（2023·安徽·高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（

）A．， B．，C．， D．，例17．（2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（

）A．，1 B．， C．，1 D．，1例18．（2023·山西臨汾·一模（文））將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，若則的最小值為（）A． B． C．π D．例19．（2023·山東德州·高三期末）若函數(shù)，，，又，，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C．4 D．例20.（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像.若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，，若在區(qū)間，是單調(diào)函數(shù)，且，則的值為（

）A． B．1 C．2或 D．或2例22．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的可能取值（

）A．只有1個(gè) B．只有2個(gè)C．只有3個(gè) D．有無(wú)數(shù)個(gè)【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，.（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均.題型四：函數(shù)的單調(diào)性例23．（2023?湖南模擬）函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為A．，， B．，， C．，， D．，，例24．（2023秋?梁園區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，，，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．例25．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．例26．（2023·新疆·二模（理））設(shè)函數(shù)，其中，，若，，則在上的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．例27．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三期末（文））下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B．C． D．例28．（2023·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室三模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．， B．，C．， D．，例29．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）下列直線中，函數(shù)的對(duì)稱軸是（

）A． B． C． D．例30．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求使成立的實(shí)數(shù)x的取值集合.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式.如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)椋瑒t的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間.對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可.題型五：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）例31．（2023春?河南期末）已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，則A．1 B． C． D．例32．（2023·寧夏·固原一中一模（文））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖像，則下列判斷錯(cuò)誤的是A．函數(shù)的最小正周期是 B．圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例33．（2023·湖南岳陽(yáng)·一模）已知函數(shù)，其中，，函數(shù)的周期為，且時(shí)，取得極值，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．函數(shù)在單調(diào)遞增 D．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例34．（2023·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的最小正周期為，將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的最小值為（

）A． B． C． D．例35．（2023·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直線和是曲線的兩條對(duì)稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值是（

）A． B．0 C． D．例36．（2023·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））已知，的最大值為，x＝m是的一條對(duì)稱軸，則的最小值為（

）A． B． C． D．例37．（2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．例38．（2023·廣東·佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)高三階段練習(xí)）將函數(shù)（其中）的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．例39．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．例40．（2023·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B．0 C． D．例41．（2023·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．2例42．（2023·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（文））若函數(shù)對(duì)任意的x都有，則等于（

）A．3或0 B．或0 C．0 D．或3【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為.（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）例43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．例44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)()的定義域是（

）A． B． C． D．例45．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知不等式對(duì)恒成立，則m的最小值為（

）A． B． C． D．例46．（2023·河北邯鄲·二模）函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．例47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（

）A． B．3C． D．4例48．（2023·北京二中高一階段練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是______.例49．（2023·天津·南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是__________．例50．（2023·廣東·二模）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)____．例51．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則__________.例52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則__________.例53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)______．例54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____．例55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是__________．例56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)__________.例57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域.例58．（2023秋?吉安期末）函數(shù)的值域是A．， B． C． D．，例59．（2023秋?鏡湖區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，則的最大值為A． B． C．0 D．1例60．（2023春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)有最大值2，最小值，則等于（）A．5 B．6 C．8 D．9例61．（2023春?廣安期末）設(shè)函數(shù)．①的最小正周期為；②的最大值為；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；④，都有成立；⑤的一個(gè)對(duì)稱中心為．其中真命題有（請(qǐng)?zhí)顚懻婷}的編號(hào)）．例62．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，則的最小值是．例63．求函數(shù)的最大值及最小值．【方法技巧與總結(jié)】求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過(guò)三角變換化歸為下列基本類型處理.（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解.（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型.（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解.（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍.（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合例64．（2023·天津·靜海一中高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)可以表示為；④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例65．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減 B．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，的圖象的對(duì)稱軸方程為例66．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①為偶函數(shù)；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③，．則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)；③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；④若，則函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③例68．（2023·山西朔州·高三期末（理））已知，是函數(shù)（，）相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在上的最大值為1，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例69．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．的最小正周期是C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱例70．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的波，每一個(gè)音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們平常聽(tīng)到的樂(lè)音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（

）A．的最大值為 B．2π為的一個(gè)周期C．為曲線的對(duì)稱軸 D．為曲線的對(duì)稱中心（多選題）例71．（2023·湖北·荊州中學(xué)三模）已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．的一個(gè)周期是B．是偶函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的最大值大于（多選題）例72．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．是周期函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是上的增函數(shù) D．的最小值為（多選題）例73．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．，（多選題）例74．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為1（多選題）例75．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性）中，尤為重要的是對(duì)稱性.因?yàn)閷?duì)稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為）；對(duì)稱性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱性之間的緊密聯(lián)系）題型八：根據(jù)條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式.例76．（2023·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖2，將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），以筒車轉(zhuǎn)輪的中心為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的水平直線為軸建立如圖直角坐標(biāo)系.已知一個(gè)半徑為1.6m的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎?0s勻速旋轉(zhuǎn)一周，到水面的距離為0.8m.規(guī)定：盛水筒對(duì)應(yīng)的點(diǎn)從水中浮現(xiàn)（時(shí)的位置）時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，且設(shè)盛水筒從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（單位：s），且此時(shí)點(diǎn)距離水面的高度為（單位：m）（在水面下則為負(fù)數(shù)），則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)__________，在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，點(diǎn)距水面的高度不低于1.6m的時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)__________s.例77．（2023·北京東城·三模）如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，則在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式是（

）A．B．C．D．例78．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則的表達(dá)式可以為（

）A． B．C． D．例79．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖為函數(shù)的部分圖像，將的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．例80．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)的部分圖像如圖，則的解析式為（

）A． B．C． D．例81．（2023·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減例82．（2023·廣東惠州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則將的圖像向左平移個(gè)單位后，所得圖像的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．例83．（2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．例84．（2023·安徽·安慶一中高三期末（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為_(kāi)__________.例85．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖是函數(shù)（，，）的圖象的一部分，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_________________．【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)圖像求函數(shù)的解析式時(shí)，常用的解析方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定，由適合解析式點(diǎn)的坐標(biāo)確定，但有圖像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范圍，才能得出唯一解，將若干個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)特定系數(shù)，這里需要注意的是，要認(rèn)清選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)”中的哪一個(gè)位置點(diǎn)，并能正式代入式中，依據(jù)五點(diǎn)列表法原理，點(diǎn)的序號(hào)與式子的關(guān)系是：“第一點(diǎn)”（及圖像上升時(shí)與軸的交點(diǎn)）為；“第二點(diǎn)”（即圖像曲線的最高點(diǎn)）為；“第三點(diǎn)”（及圖像下降時(shí)與軸的交點(diǎn)），為；“第四點(diǎn)”（及圖像曲線的最低點(diǎn)）為；“第五點(diǎn)”（及圖像上升時(shí)與軸的交點(diǎn)）為.方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）例86．（2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，，且，寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)的解析式：___________.例87．（2023·遼寧撫順·一模）已知函數(shù)，①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是，則同時(shí)滿足條件①②的函數(shù)的一個(gè)解析式為_(kāi)_______.例88．（2023·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.條件①：的最小正周期為；條件②：；條件③：圖象的一條對(duì)稱軸為.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.例89．（2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足：①的最大值為2；②；的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間與最小值．【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)函數(shù)必關(guān)于軸對(duì)稱，在三角函數(shù)中聯(lián)想到的模型，從圖象、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最值點(diǎn)或單調(diào)性來(lái)求解.題型九：三角函數(shù)圖像變換例90．（青海省玉樹(shù)州州直高中2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第四次大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度例91．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移 B．向右平移C．向左平移 D．向右平移例92．（2023·新疆克拉瑪依·三模（理））為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【方法技巧與總結(jié)】由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像.方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換.的圖像的圖像的圖像的圖像【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知直線是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸，為了得到函數(shù)的圖像，可把函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度2．（2023·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．3．（2023·青?！ず|市教育研究室一模（理））已知定義在上的函數(shù)，若的最大值為，則的取值最多有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，若，則（

）A． B．2 C．5 D．75．（2023·天津·南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱6．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過(guò)耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪音，然后通過(guò)聽(tīng)感主動(dòng)降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如圖）．已知某機(jī)器工作時(shí)噪音的聲波曲線（其中）的振幅為2，周期為，初相為，則通過(guò)聽(tīng)感主動(dòng)降噪芯片生成相等的反向波曲線為（

）A． B．C． D．7．（2023·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））如圖是函數(shù)的圖像的一部分，則要得到該函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8．（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)（理））阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，耗減運(yùn)動(dòng)能量，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置.如圖，是被稱為“鎮(zhèn)樓神器”的我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器.由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移S（cm）與時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為，若該阻尼器模型在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次位移為的時(shí)間分別為，，，且，，則下列為的單調(diào)區(qū)間的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（

）A．點(diǎn)P再次進(jìn)入水中時(shí)用時(shí)30秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P處于最低點(diǎn)C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)150秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米D．點(diǎn)P第二次到達(dá)距水面米時(shí)用時(shí)25秒10．（2023·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線為函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸B．函數(shù)f(x)圖像橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，再向左平移后得到C．函數(shù)f(x)在[－，]上單調(diào)遞增D．函數(shù)的值域?yàn)閇－2，]11．（2023·廣東·潮州市瓷都中學(xué)三模）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．在上的最小值為012．（2023·福建省廈門集美中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．若，則D．對(duì)，，，有成立三、填空題13．（2023·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)___________；已知函數(shù)滿足：①；②；③函數(shù)在上單調(diào)遞減；14．（2023·山東日照·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則________．15．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒(méi)有最小值，則的最大值為_(kāi)_____．16．（2023·北京·人大附中三模）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有4個(gè)零點(diǎn)；③的最小值為；④的解集為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)__________.四、解答題17．（2023·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的增區(qū)間和值域．18．（2023·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，函數(shù)．(1)若，求的面積；(2)當(dāng)時(shí)，取最大值，求在上的值域.19．（2023·全國(guó)·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，從下面兩個(gè)條件：條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知．(1)求時(shí)函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)圖像向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖像重合，求正數(shù)m的最小值．20．（2023·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍和的值．21．（2023·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè).(1)若，求使函數(shù)為偶函數(shù)；(2)在（1）成立的條件下，當(dāng)，求的取值范圍.22．（2023·浙江·溫州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，求在上的值域．23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時(shí)，求證：為單調(diào)遞減函數(shù)；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．專題19三角函數(shù)圖象與性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)對(duì)稱中心對(duì)稱軸方程無(wú)知識(shí)點(diǎn)二：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)注：正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離；知識(shí)點(diǎn)三：與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：.（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A,A].（3）最值假設(shè).①對(duì)于，②對(duì)于，（4）對(duì)稱軸與對(duì)稱中心.假設(shè).①對(duì)于，②對(duì)于，正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（小）值的位置.正、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置.（5）單調(diào)性.假設(shè).①對(duì)于，②對(duì)于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：.先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形.方法二：.先周期變換，后相位變換，再振幅變換.注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為.（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為【題型歸納目錄】題型一：五點(diǎn)作圖法題型二：函數(shù)的奇偶性題型三：函數(shù)的周期性題型四：函數(shù)的單調(diào)性題型五：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合題型八：根據(jù)條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式.方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）題型九：三角函數(shù)圖像變換【典例例題】題型一：五點(diǎn)作圖法例1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，.若，，且的最小值為，，求解下列問(wèn)題.(1)化簡(jiǎn)的表達(dá)式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)請(qǐng)完善表格并利用五點(diǎn)作圖法繪制該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，并求在區(qū)間上的最值.答案：(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)完善表格見(jiàn)解析；圖象見(jiàn)解析；最大值為，最小值為.【解析】分析：（1）利用最大值點(diǎn)和零點(diǎn)可確定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令，利用五點(diǎn)作圖法即可完善表格并得到圖象，結(jié)合圖象可求得最值.(1)若，，即是的最大值點(diǎn)，是的零點(diǎn)，且的最小值為，設(shè)的最小正周期為，則，即，解得：.由可得：，即有，或，又，，綜上所述：；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)根據(jù)“五點(diǎn)作圖法”的要求先完成表格：令.0由圖可知：當(dāng)時(shí)，取到最大值；當(dāng)時(shí)，取到最小值.例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，記函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）畫出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象.答案：（1），單調(diào)增區(qū)間是.（2）圖見(jiàn)解析【解析】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換法則以及正弦函數(shù)的對(duì)稱性確定的解析式，從而可得的解析式，利用降冪公式與輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的周期公式結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果；（2）利用“五點(diǎn)法”：列表、描點(diǎn)、連線，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，即，又，所以，則，則，則函數(shù)的最小正周期，令，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.（2）列表如下：00121132故在區(qū)間上的大致圖象是：【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問(wèn)題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與落實(shí)．三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解例3．（2023·廣東·佛山市順德區(qū)樂(lè)從中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)（）的最小正周期為，且(1)求和的值；(2)填下表并在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；x答案：(1)，；(2)見(jiàn)解析【解析】分析：（1）先由最小正周期求出，再由解出即可；（2）直接填出表格畫出圖像即可.(1)由題意知：，解得，又，又，解得.(2)由（1）知：，列表如下x100圖像如圖：.【方法技巧與總結(jié)】(1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．題型二：函數(shù)的奇偶性例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù),在區(qū)間上的最大值為最小值為則_____.答案：【解析】分析：化簡(jiǎn),可得,令,可得奇函數(shù),結(jié)合已知條件,即可求得答案.【詳解】.令,且為奇函數(shù),設(shè)其最大值為,則其最小值為,∴函數(shù)的最大值為,最小值為則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)在指定區(qū)間上最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌誘導(dǎo)公式和奇偶性的判斷方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中等題.例5．（2023·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）若為偶函數(shù)，則___________.（填寫符合要求的一個(gè)值）答案：，填寫符合Z的一個(gè)即可【解析】分析：把展開(kāi)化簡(jiǎn)，只要能化成的形式即為偶函數(shù).【詳解】，只要，就為偶函數(shù)，，Z，填寫一個(gè)即可，如.故答案為：，填寫符合Z的一個(gè)即可.例6．（2023·四川德陽(yáng)·三模（理））將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，則m的最小值是___________.答案：【解析】分析：由題可得函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而可得，即得.【詳解】由，向左平移個(gè)單位，得到的圖象，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴所以，即，所以的最小值是．故答案為：.例7．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三期末（文））將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則正數(shù)的最小值為_(kāi)_________．答案：##【解析】分析：求出f(x)平移后的解析式，根據(jù)它是偶函數(shù)可求的值.【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位變?yōu)?，要使其為偶函?shù)，則Z，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，為其最小值.故答案為：.例8．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（、為常數(shù)，R）在處取得最小值，則函數(shù)是（

）A．偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱答案：D【解析】分析：由題意先求出的最簡(jiǎn)形式，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】，若在處取得最小值，則，，，，可得函數(shù)是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．故選：D例9．（2023·安徽淮南·二模（理））對(duì)任意的，函數(shù)滿足．若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．8答案：C【解析】分析：結(jié)合函數(shù)的奇偶性求得正確答案.【詳解】依題意對(duì)任意的，函數(shù)滿足，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，令（），，所以為奇函數(shù)，所以區(qū)間上的最大值與最小值之和為，所以，所以函數(shù)的最大值與最小值之和.故選：C例10．（2023·山西太原·二模（理））已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)答案：B【解析】分析：根據(jù)余弦的二倍角公式以及輔角公式，可得，在分別求出和的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；又，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，故C、D錯(cuò)誤.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù).題型三：函數(shù)的周期性例11．（2023·北京八十中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與直線的交點(diǎn)中，距離最近的兩點(diǎn)間距離為，那么此函數(shù)的周期是___________.答案：且【解析】分析：利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)確定兩個(gè)距離最近且的兩個(gè)角，求出，進(jìn)而求周期.【詳解】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，當(dāng)，則：若，最近的另一個(gè)值為，所以，而，可得.故此函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)的周期為且.故答案為：且例12．設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為．【解答】解：函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，由于得到的函數(shù)的圖象與原圖象重合，故，，所以，，當(dāng)時(shí)，的最小值為3．故答案為：3．例13．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））若，則__________.答案：0【解析】分析：根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷的周期，利用周期性求值即可.【詳解】，時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，所以，且周期為6，則.故答案為：0例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中①；②；③；④，其中是偶函數(shù)，且最小正周期為的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：由題意利用三角函數(shù)圖象，結(jié)合奇偶性和周期性，即可得出結(jié)果.【詳解】解：①的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)，排除①；②的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，最小正周期是，②正確；③的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，最小正周期為，③正確；④的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，最小正周期為，排除④.故選：B.例15．（2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，的最小值為，則（

）A．函數(shù)的周期為B．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)C．當(dāng)，的值域?yàn)镈．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有6個(gè)答案：D【解析】分析：由條件求出的最小正周期，由此判斷A，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】由題意，得，所以，則，所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)是為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則，所以的值域?yàn)?，選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有6個(gè)，D正確，故選：D.例16．（2023·安徽·高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（

）A．， B．，C．， D．，答案：D【解析】分析：由題意求得，再由周期公式求得，再由可得，結(jié)合，求得值，即可得解．【詳解】由的最小正周期大于，得，又，，得，，則，即,，由，得,，,取，得,，,故選：．例17．（2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（

）A．，1 B．， C．，1 D．，1答案：C【解析】分析：根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式寫出的分段形式，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，即可知答案.【詳解】由題設(shè)，，，所以的部分圖象如下：所以最小正周期和最小值分別為，1.故選：C例18．（2023·山西臨汾·一模（文））將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，若則的最小值為（）A． B． C．π D．答案：A【解析】分析：根據(jù)題意求出函數(shù)，由得到分別是函數(shù)的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)，進(jìn)而求出答案.【詳解】由已知，，而則分別是函數(shù)的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)，而函數(shù)的周期，則的最小值為.故選：A.例19．（2023·山東德州·高三期末）若函數(shù)，，，又，，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C．4 D．答案：A【解析】分析：利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，由的最小值為函數(shù)的最小正周期的，可求得函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而可求得正數(shù)的值.【詳解】，所以，因?yàn)榈淖钚≈禐楹瘮?shù)的最小正周期的，所以，函數(shù)的最小正周期為，因此，.故選：A例20.（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像.若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)，再由圖像平移寫出的解析式，結(jié)合已知及正弦型函數(shù)的周期性確定的最小值.【詳解】由題設(shè)，，故，要使且，則或，∴的最小值為1個(gè)周期長(zhǎng)度，則.故選：B.例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，，若在區(qū)間，是單調(diào)函數(shù)，且，則的值為（

）A． B．1 C．2或 D．或2答案：D【解析】分析：根據(jù)在區(qū)間，是單調(diào)函數(shù)，得到，再根據(jù)，得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱和對(duì)稱中心為，，然后分與，在同一周期和不同一周期里面相鄰求解.【詳解】解：在區(qū)間，是有單調(diào)性，且，，；，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，離最近對(duì)稱軸的距離為；又，有對(duì)稱中心為，；若與，為不是同一周期里面相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．則，可得，．若與，為同一周期里面相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．則，可得，．故選：D．例22．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的可能取值（

）A．只有1個(gè) B．只有2個(gè)C．只有3個(gè) D．有無(wú)數(shù)個(gè)答案：C【解析】分析：設(shè)的最小正周期為T，由函數(shù)在上單調(diào)，判斷出．進(jìn)而計(jì)算出為的一個(gè)對(duì)稱中心，為的一條對(duì)稱軸.結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，分類討論，①，②，③，分別求出的值.【詳解】設(shè)的最小正周期為T，則由函數(shù)在上單調(diào)，可得，即．因?yàn)?，所?由在上單調(diào)，且，得的一個(gè)零點(diǎn)為，即為的一個(gè)對(duì)稱中心.因?yàn)椋詾榈囊粭l對(duì)稱軸.因?yàn)?，所以有以下三種情況：①，則；②當(dāng)時(shí)，則，符合題意；③，則，符合題意．因?yàn)?，不可能滿足其他情況.故的可能取值只有3個(gè)．故選：C【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，.（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均.題型四：函數(shù)的單調(diào)性例23．（2023?湖南模擬）函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：由圖象知，，，，，過(guò)點(diǎn)，，，且，，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：．例24．（2023秋?梁園區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，，，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)，，，的最小值為，．，，，故．令，求得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，故選：．例25．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：先用三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，再用整體法求解單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】，令解得：Z，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：C例26．（2023·新疆·二模（理））設(shè)函數(shù)，其中，，若，，則在上的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)的對(duì)稱中心、零點(diǎn)求得，進(jìn)而求得，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.【詳解】據(jù)題意可以得出直線和點(diǎn)分別是的圖象的一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，所以，即（），所以；又由得，即（），，所以，所以；由得的單調(diào)減區(qū)間為（），所以在上的單調(diào)減區(qū)間是.故選：C例27．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三期末（文））下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間，判斷選項(xiàng)【詳解】，令解得故選：D例28．（2023·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．， B．，C．， D．，答案：D【解析】分析：先結(jié)合圖像求出，再由余弦函數(shù)的單增區(qū)間求解即可.【詳解】由圖象知，，∴，∴，，∴過(guò)點(diǎn)，∴，，且，∴，∴.令，，即，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：D.例29．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）下列直線中，函數(shù)的對(duì)稱軸是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得對(duì)稱軸方程為且，進(jìn)而判斷各項(xiàng)是否為對(duì)稱軸即可.【詳解】令且，則對(duì)稱軸方程為且，顯然時(shí)對(duì)稱軸為，不存在有對(duì)稱軸為、、.故選：B.例30．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求使成立的實(shí)數(shù)x的取值集合.答案：(1)，(2)【解析】分析：（1）由兩角差的正弦和余弦公式及降冪公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，解不等式，即可得答案；（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解不等式即可得答案.(1)解：因?yàn)?，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2)解：由（1）知，由，得，所以，，所以，，所以x的取值集合為.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式.如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)椋瑒t的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間.對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可.題型五：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）例31．（2023春?河南期末）已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，則A．1 B． C． D．【解答】解：函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，故，整理得：，所以，即，故選：．例32．（2023·寧夏·固原一中一模（文））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖像，則下列判斷錯(cuò)誤的是A．函數(shù)的最小正周期是 B．圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱答案：C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，對(duì)于,函數(shù)的最小正周期為，所以該選項(xiàng)是正確的；對(duì)于，令，則為最大值，函數(shù)圖象關(guān)于直線，對(duì)稱是正確的；對(duì)于中，，則，，則函數(shù)在區(qū)間上先減后增，不正確；對(duì)于中，令，則，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是正確的，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．例33．（2023·湖南岳陽(yáng)·一模）已知函數(shù)，其中，，函數(shù)的周期為，且時(shí)，取得極值，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．函數(shù)在單調(diào)遞增 D．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱答案：D【解析】分析：利用周期公式可判斷A；利用極值的定義可判斷B；根據(jù)極值的不確定性可對(duì)單調(diào)性進(jìn)行判斷；根據(jù)對(duì)稱性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，其中，，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，故A不正確；對(duì)于B，時(shí)，取得極值，所以為函數(shù)的對(duì)稱軸方程，但是不能確定是取得極大值還是極小值，所以，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)椴荒艽_定是函數(shù)的極大值還是極小值，所以無(wú)法確定函數(shù)的單調(diào)性，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)闉楹瘮?shù)的對(duì)稱軸方程，則，解得，所以，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.故選：D例34．（2023·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的最小正周期為，將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由已知，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)最小正周期為，求解出，然后根據(jù)題意進(jìn)行平移變換，得到平移后的解析式，再利用圖象關(guān)于直線對(duì)稱，建立等量關(guān)系即可求解出實(shí)數(shù)m最小值.【詳解】解：，即，由其最小正周期為，即，解得，所以，將其圖象沿軸向左平移（）個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為，其圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，由，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A.例35．（2023·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直線和是曲線的兩條對(duì)稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值是（

）A． B．0 C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)兩條對(duì)稱軸直線方程和單調(diào)遞減區(qū)間可知為最小值，然后解的值【詳解】由在上單調(diào)遞減可知是最小值由兩條對(duì)稱軸直線和可知也是對(duì)稱軸且，為最小值故又，解得故選：A例36．（2023·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））已知，的最大值為，x＝m是的一條對(duì)稱軸，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】∵的最大值為，∴，又，∴，∴，又x＝m是的一條對(duì)稱軸，∴，即，∴的最小值為.故選：B.例37．（2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量，，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：先根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)，賦值，即可求出的值．【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，令，即，解得：．故選：C．例38．（2023·廣東·佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)高三階段練習(xí)）將函數(shù)（其中）的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．答案：D【解析】分析：由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得，，即可求出，由此求得的最小值．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，的最小值為，故選：D．例39．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，結(jié)合，列出三角方程，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，可得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，，即，可得，解得，又因?yàn)?，所以的最小值?故選：A.例40．（2023·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B．0 C． D．答案：B【解析】分析：由題可知為的最大值或最小值，可建立方程求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，兩邊平方整理得，解得，則.故選：B.例41．（2023·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．2答案：C【解析】分析：利用輔助角公式得到，再根據(jù)為的對(duì)稱軸，即可得到，從而求出的值，即可求出函數(shù)的最大值；【詳解】解：因?yàn)椋?，其中，；因?yàn)闉榈膶?duì)稱軸，，所以，即，解得，所以，則；故選：C例42．（2023·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（文））若函數(shù)對(duì)任意的x都有，則等于（

）A．3或0 B．或0 C．0 D．或3答案：D【解析】分析：是的一條對(duì)稱軸，故而為的最大值或最小值．【詳解】任意實(shí)數(shù)都有恒成立，是的一條對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，取得最大值3或最小值．故選：．【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為.（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）例43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．答案：B【解析】分析：由被開(kāi)方式非負(fù)，解三角不等式可得答案【詳解】由題意，得，則．故選：B．例44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)()的定義域是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由函數(shù)解析式及x的取值范圍，根據(jù)根式、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，列不等式求定義域即可.【詳解】由題意，得，則，即，∴.故選：A.例45．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知不等式對(duì)恒成立，則m的最小值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，令求解.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，所以不等式對(duì)恒成立，令，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，解得，所以m的最小值為，故選：D例46．（2023·河北邯鄲·二模）函數(shù)在上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像和單調(diào)性即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值1，當(dāng)，即時(shí)，取最小值大于，故值域?yàn)楣蔬x：C例47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（

）A． B．3C． D．4答案：C【解析】分析：令，則，將原函數(shù)變形為，再根據(jù)的取值范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則原函數(shù)可化為，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.故選：C.例48．（2023·北京二中高一階段練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是______.答案：【解析】分析：根據(jù)給定條件，利用輔助角公式變形，再在指定區(qū)間上求最小值作答.【詳解】函數(shù)，其中銳角由確定，而，即有，顯然在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：例49．（2023·天津·南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是__________．答案：【解析】分析：根據(jù)余弦、正弦的二倍角公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，即，故答案為：例50．（2023·廣東·二模）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)____．答案：（答案不唯一，取，均可）【解析】分析：依題意，知與同時(shí)取到最大值1，進(jìn)而可得，令可得符合題意的的值．【詳解】函數(shù)的最大值為1，可取與同時(shí)取到最大值1，又時(shí)，，時(shí)，也取到1，，不妨取，此時(shí)的最大值為1，符合題意，故常數(shù)的一個(gè)取值為，故答案為：（不唯一）．例51．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則__________.答案：【解析】分析：利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求出θ，于是可求cosθ.【詳解】，則，則故答案為：.例52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則__________.答案：【解析】分析：利用輔助角公式得出，分析可得出，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式可求解.【詳解】利用輔助角公式，其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則，所以，所以又，所以故答案為：.例53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)______．答案：或##或【解析】分析：利用兩角差的正弦公式及輔助角公式將函數(shù)解析式化為的形式，由最大值為1，可建立關(guān)于參數(shù)的方程，進(jìn)而得解.【詳解】解：（其中）所以函數(shù)的最大值為，即解得又因?yàn)樗曰?故答案為：或.例54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____．答案：【解析】分析：通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值問(wèn)題.【詳解】令，則，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值.故答案為：.例55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是__________．答案：##-0.25【解析】【詳解】=，所以當(dāng)時(shí)，有最大值．故答案為.例56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)__________.答案：【解析】分析：由題意可得,令,可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求f(x)的最大值．【詳解】解:,令,可得,當(dāng)時(shí),y取得最大值為,故答案為:．例57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域.答案：【解析】分析：運(yùn)用二倍角公式及平方關(guān)系統(tǒng)一函數(shù)名稱與角度，再配方可求解.【詳解】因?yàn)?=，當(dāng)時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)取得最小值，又因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?例58．（2023秋?吉安期末）函數(shù)的值域是A．， B． C． D．，【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即，所以是偶函?shù)；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；又為定義域上的偶函數(shù)，所以的值域是，．故選：．例59．（2023秋?鏡湖區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，則的最大值為A． B． C．0 D．1【解答】解：，令，，，則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為1．故選：．例60．（2023春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)有最大值2，最小值，則等于A．5 B．6 C．8 D．9【解答】解：函數(shù)的最大值為2，最小值為，，，．故選：．例61．（2023春?廣安期末）設(shè)函數(shù)．①的最小正周期為；②的最大值為；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；④，都有成立；⑤的一個(gè)對(duì)稱中心為．其中真命題有（請(qǐng)?zhí)顚懻婷}的編號(hào)）．【解答】解：，，的最小正周期不是，即①錯(cuò)；，當(dāng)，即，時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即，時(shí)，單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③對(duì)，，故②錯(cuò)；由單調(diào)性知，不可能是函數(shù)的對(duì)稱中心，故⑤錯(cuò)；令，則，故在上為增函數(shù)，故，即，故④對(duì)；故答案為：③④．例62．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，則的最小值是．【解答】解：由題意可得是的一個(gè)周期，故只需考慮在，上的值域，先來(lái)求該函數(shù)在，上的極值點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)可得，令可解得或，可得此時(shí)，或；的最小值只能在點(diǎn)，或和邊界點(diǎn)中取到，計(jì)算可得，，，，函數(shù)的最小值為，故答案為：．例63．求函數(shù)的最大值及最小值．【解答】解：解析式表示過(guò)，的直線的斜率，由幾何意義，即過(guò)定點(diǎn)與單位圓相切時(shí)的切線斜率為最值，所以設(shè)切線得斜率為，則直線方程為，即，，解得或，所以函數(shù)的最大值為，最小值為0．【方法技巧與總結(jié)】求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過(guò)三角變換化歸為下列基本類型處理.（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解.（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型.（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解.（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍.（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合例64．（2023·天津·靜海一中高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)可以表示為；④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)答案：B【解析】分析：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)①，，函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，由，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；對(duì)③，，故③正確；對(duì)④，由函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故④正確，共有3個(gè)正確，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，主要考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，判斷過(guò)程中主要用了代入驗(yàn)算法，屬于簡(jiǎn)單題.例65．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減 B．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，的圖象的對(duì)稱軸方程為答案：D【解析】分析：當(dāng)、和時(shí)，可得的最小正周期，由和可確定是的一個(gè)對(duì)稱軸，由此可構(gòu)造方程求得，驗(yàn)證可得解析式，由正弦型函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱軸的求法可確定ABD正誤；將，代入解析式，驗(yàn)證可知，知C錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，的最小正周期，，，是的一個(gè)對(duì)稱軸；即，解得：，又，，，此時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，的最小正周期；，，是的一個(gè)對(duì)稱軸；即，解得：，又，，，此時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，，即，不合題意，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的最小正周期，，，是的一個(gè)對(duì)稱軸，即，解得：，又，，，此時(shí)，，，滿足題意；令，解得：，即的對(duì)稱軸方程為，D正確.故選：D.例66．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①為偶函數(shù)；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③，．則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】分析：對(duì)于①，利用奇偶性的定義判斷即可，對(duì)于②，先求出函數(shù)的周期，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由對(duì)稱性判斷上的單調(diào)性即可，對(duì)于③，由函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性判斷【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的一個(gè)周期；當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，由對(duì)稱性和周期性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故②正確；結(jié)合②中單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)的最大值為，故③錯(cuò)誤；故選：C．例67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)；③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；④若，則函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③答案：A【解析】分析：①利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；②③④由結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，作出的大致圖象判斷；【詳解】由，可知為偶函數(shù)，①對(duì).由，得關(guān)于對(duì)稱；由，得的周期為；當(dāng)時(shí)，其中且；作出在上的圖象，并根據(jù)的對(duì)稱性及周期性作出的大致圖象.由圖可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上不單調(diào)，②錯(cuò)；的最大值，最小值，故，③錯(cuò)；若，則在上有4個(gè)零點(diǎn)，④對(duì)，故選：A.例68．（2023·山西朔州·高三期末（理））已知，是函數(shù)（，）相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在上的最大值為1，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】先利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)已知零點(diǎn)得到，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，求解即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意可得，則，所以，所以，則．令，則，，即，又，所以，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值為1，且，如圖.當(dāng)時(shí)，，所以，所以．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的最大值求參數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是，是函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)求出，再作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象分析定義域的區(qū)間，屬于中檔題.例69．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．的最小正周期是C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱答案：C【解析】分析：A選項(xiàng)，可以利用函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行判斷；求出在的解析式，進(jìn)而畫出函數(shù)在R上的圖象，從而判斷出BCD選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，所以是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，畫出圖象，顯然的最小正周期是，B錯(cuò)誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項(xiàng)C正確；直線不是的對(duì)稱軸，D錯(cuò)誤；故選：C．例70．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的波，每一個(gè)音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們平常聽(tīng)到的樂(lè)音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（

）A．的最大值為 B．2π為的一個(gè)周期C．為曲線的對(duì)稱軸 D．為曲線的對(duì)稱中心答案：B【解析】分析：根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合周期、對(duì)稱的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，而，所以一定有且，?dāng)時(shí)，有，此時(shí)，，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；B：因?yàn)椋?π為的一個(gè)周期，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C：因?yàn)?，，所以，因此不是曲線的對(duì)稱軸，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；D：因?yàn)椋?，所以，因此不是曲線的對(duì)稱中心，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故選：B（多選題）例71．（2023·湖北·荊州中學(xué)三模）已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．的一個(gè)周期是B．是偶函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的最大值大于答案：BC【解析】分析：利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用和的值可判斷B選項(xiàng)的正誤；化簡(jiǎn)函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項(xiàng)的正誤；由的值可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的一個(gè)周期為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，，所以，函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，則，則，所以，函數(shù)在是常函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：BC.（多選題）例72．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．是周期函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是上的增函數(shù) D．的最小值為答案：BC【解析】分析：令，則，再分析的奇偶性、周期性與單調(diào)性，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)椋?，則，對(duì)于A，因?yàn)槭侵芷跒榈闹芷诤瘮?shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，不是周期函數(shù)，所以不是周期函數(shù)，則也不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，則，故為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則故的最小值不為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．（多選題）例73．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．，答案：AC【解析】分析：由判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減判斷BC選項(xiàng)的正確性，由的最大值小于來(lái)判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，故A正確；易知，故為函數(shù)的一個(gè)周期；當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，由對(duì)稱性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)