第8章統(tǒng)計(jì)與概率8.3正態(tài)分布曲線學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．了解正態(tài)曲線和正態(tài)分布的概念．2．認(rèn)識正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．3．會根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機(jī)變量在某一區(qū)間范圍內(nèi)的概率.1．重點(diǎn)是正態(tài)分布的概念、性質(zhì)．2．難點(diǎn)是通過正態(tài)分布的圖象特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).μσ2X～N(μ，σ2)如何由正態(tài)曲線求隨機(jī)變量X在(a，b]的概率值？2．正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)(1)分布密度曲線位于x軸上方，與x軸不相交．(2)分布密度曲線是單峰的，它關(guān)于直線_________對稱．(3)分布密度曲線在x＝μ處達(dá)到峰值________.(4)分布密度曲線與x軸之間的面積為_________.(5)當(dāng)σ一定時(shí)，分布密度曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖所示．x＝μ1(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越_________，曲線越尖陡，表示總體的分布越集中；σ越_________，曲線越扁平，表示總體的分布越分散，如圖所示．小大(7)正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈99.7%，上述結(jié)果可用下圖表示．1．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在區(qū)間(2.4,2.6)中的概率．解：因?yàn)閄～N(2.5,0.12)，所以μ＝2.5，σ＝0.1.所以X落在區(qū)間(2.4,2.6)中的概率為P(2.5－0.1＜X＜2.5＋0.1)＝0.6827.01X～N(0,1)解析：由題意知，μ＝0，σ＝1，所以曲線關(guān)于x＝0對稱．所以p1＝p2.答案：C4．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的性質(zhì)根據(jù)φ(x)的圖象可知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線有如下特點(diǎn)：(1)曲線關(guān)于_________對稱；(2)φ(x)在x＝0處達(dá)到_________值；(3)曲線和x軸所夾的面積等于_________；(4)設(shè)a≥0，則Φ(a)＋Φ(－a)＝________，Φ(－a)＝_____________．y軸最大111－Φ(a)3．若X～N(0,1)，求P(X＞2)．解：P(X＞2)＝1－P(X＜2)＝1－Φ(2)＝1－0.9773＝0.0227.5．設(shè)X～N(μ，σ2)，則F(x)可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)表示為______________________.正態(tài)分布的概念和性質(zhì)解析：根據(jù)正態(tài)分布N(μ，σ2)的性質(zhì)，正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，故由圖象可知，μ1＜μ2.σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且彎曲較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭．故選A．答案：A【點(diǎn)評】準(zhǔn)確理解正態(tài)分布的概念和性質(zhì)是解題關(guān)鍵，尤其應(yīng)注意正態(tài)分布中參數(shù)μ，σ的意義以及它們在正態(tài)曲線中的作用．正態(tài)分布由μ和σ這兩個(gè)參數(shù)決定，參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量的平均水平的特征數(shù)，參數(shù)σ是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，σ越小，曲線越尖陡，σ越大，曲線越扁平．A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)解析：由題圖可知μ1<0<μ2，σ1＜σ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A錯(cuò)；P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B錯(cuò)；當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由題圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正確，D錯(cuò)．答案：C正態(tài)分布下的概率問題

設(shè)隨機(jī)變量X～N(3,1)，P(X＞4)＝p.求P(2＜X＜4)．解：由X～N(3,1)，得μ＝3.∵P(X＞4)＝p，∴由對稱性可得P(X＞4)＝P(X＜2)＝p.∴P(2＜X＜4)＝1－P(X＞4)－P(X＜2)＝1－2p.[互動探究1](變換條件)若例2中的條件“P(X>4)＝p”改為“P(X<4)＝p”，則結(jié)果如何？[互動探究2](改變問法)若例2的條件不變，求P(X<2)的概率．解：由X～N(3,1)，得μ＝3.∴P(X<2)＝P(X>4)＝p.【點(diǎn)評】

(1)注意對稱：解答此類問題的關(guān)鍵在于充分利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在此過程中注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．(2)注意面積：正態(tài)曲線與x軸所圍成的面積值為1；X落在區(qū)間(a，b)的概率與由正態(tài)曲線，過點(diǎn)(a,0)和(b,0)的兩條x軸的垂線及x軸所圍成的圖形的面積相等．2．設(shè)X～N(1,22)．試求：(1)P(－1＜X＜3)；(2)P(X≥5)．解：因?yàn)閄～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X＜3)＝P(1－2<X＜1＋2)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683.

已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.477

B．0.628C．0.954 D．0.977標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的概率問題方法二因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對稱．又P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝0.023.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C【點(diǎn)評】把復(fù)雜的非標(biāo)準(zhǔn)問題化歸為簡單的標(biāo)準(zhǔn)型，這是數(shù)學(xué)中重要的“轉(zhuǎn)化與化歸”的思想方法．3．若X～N(0,1)，求：(1)P(－2.32＜X＜1.2)；(2)P(X＞2)．解：(1)P(－2.32＜X＜1.2)＝Φ(1.2)－Φ(－2.32)＝Φ(1.2)－[1－Φ(2.32)]＝0.8849－(1－0.9898)＝0.8747.(2)P(X＞2)＝1－P(X＜2)＝1－Φ(2)＝1－0.9773＝0.0227.正態(tài)分布的應(yīng)用

設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N(110,202)．已知試卷滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人．求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．解：由題可知，μ＝110，σ＝20，P(X>90)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ＞－σ)．∵P(X－μ＜－σ)＋P(－σ＜X－μ＜σ)＋P(X－μ＞σ)＝2P(X－μ＜－σ)＋0.683＝1，∴P(X－μ＜－σ)＝0.1585.∴P(X＞90)＝1－P(X－μ＜－σ)＝1－0.1585≈0.842.∴54×0.842≈45(人)，即及格人數(shù)約為45.∵P(X＞130)＝P(X－110＞20)＝P(X－μ＞σ)，P(X－μ＜－σ)＋P(－σ＜X－μ＜σ)＋P(X－μ＞σ)＝0.683＋2P(X－μ＞σ)＝1，∴P(X－μ＞σ)＝0.1585，即P(X＞130)＝0.1585.∴54×0.1585≈9(人)，即130分以上的人數(shù)約為9.【點(diǎn)評】

(1)本題利用轉(zhuǎn)化的思想方法，把普通的區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ區(qū)間，由特殊區(qū)間的概率值求出；(2)解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想．4．有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，即X～N(20,4)．若這批零件共有5000個(gè)．(1)求這批零件中尺寸在區(qū)間(18,22)mm的零件所占的百分比．(2)若規(guī)定尺寸在區(qū)間(24,26)mm的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？解：(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在區(qū)間(18,22)mm的零件所占百分比大約是68.3