2023-2024學(xué)年海南省文昌中學(xué)高一（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)集合力={x|-l<%<3］,B={xeN*\0<x<4］,則2CB=（）

A.{x|0<x<3}B.{x|-1<x<4}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.已知2=（3,2）,b=（—6,x）,若2與b共線(xiàn)，則x=（）

A.-4B.4C.9D.-9

1

5

2-是"cosx=〒"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.前，孩是平面內(nèi)不共線(xiàn)兩向量，己知荏二月一/c/，方=2及+/，而=3/—瓦，若4B,D三點(diǎn)、

共線(xiàn)，則k的值是（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知偶函數(shù)f（久）=2s譏（5+（p-方（3>0（<9<兀）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為與貝U

f的=（）

A.苧B.-<2C.-<3D./2

6.將函數(shù)y=sin（2x+g）的圖象向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)

（）

A.在區(qū)間件,為上單調(diào)遞增B.在區(qū)間［即，兀|上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間伴彎］上單調(diào)遞增D.在區(qū)間停,2兀］上單調(diào)遞減

7.扇子最早稱(chēng)“罷”，其功能并不是納涼，而是禮儀器具，后用于納涼、娛樂(lè)、欣賞等.扇文化是中國(guó)傳

統(tǒng)文化的重要門(mén)類(lèi)，扇子的美學(xué)也隨之融人到建筑等藝術(shù)審美之中.圖1為一古代扇形窗子，此窗子所在

扇形的半徑（圖2）4。=120cm,圓心角為45。，且C為4。的中點(diǎn)，則該扇形窗子的面積為（）

222

A.^-cmB.13507TcmC.1350cmD.18007Tcm2

8.如圖所示，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F,G分別是邊BC,CD,4D的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段EF上的動(dòng)點(diǎn)，則方?布的最小值為（）

A23

A下

B.3

「27

c-y

D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)任意向量?jī)?yōu)b,都有同|向

B.對(duì)任意非零向量第b,都有|2+1|〈同+㈤

C.若向量游3滿(mǎn)足@+方），0—方），則I引=1后I

D.若非零向量落方滿(mǎn)足占1%則|為+方|=|周一|3||

10.已知函數(shù)f（x）=tanQx+》下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)的周期為2兀

B.（*,0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

C.2兀是函數(shù)y=|f（x）|的一個(gè)周期

D.不等式/（無(wú)）＞門(mén)的解集為（2卜兀5+2kn},k6Z

11.下列命題為真命題的是（）

A.在△ABC中，若屈?前＞0,則△4BC為銳角三角形

B.若P為A4BC的垂心，AB-AC=2,則而?通=2

C.ATIBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面A8C內(nèi)一點(diǎn)，則2同?(而+配)的最小值為-3

D.。為A4BC內(nèi)部一點(diǎn)，3^1+40^+53?=?^,貝IU04B,△OAC,AOBC的面積比為2：1：1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若8￡(0,^),tan0=I，則sin?！猚osd=.

13.已知向量d=(-1,2),b=(1,3),則立在Lh的投影向量的坐標(biāo)為.

14.如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，4比。y=60。，平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系/y

的斜坐標(biāo)這樣定義：若OP=+y否(其中西\名分別是久軸，y軸正方向的單//

位向量)，則P點(diǎn)的斜坐標(biāo)為(久,y),向量方的斜坐標(biāo)為(x,y),而=(3,1)，~0N=

------------------?

(1,3),則AOMN的面積為.x

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知|初=4,|方|=2,乙方的夾角為寺.

⑴求|31+3的值；

(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(方+21)1(k五一B).

16.(本小題15分)

己知向量五=(sind,cosO—2sin8),b=(1,2).

⑴若沙/點(diǎn)求鬻喝的值；

''''l+3cosA3

(2)若向=麗，O<0<n,求。的值.

17.(本小題15分)

已知在中，N是邊48的中點(diǎn)，且4麗=能，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P.記荏=落AC=b.

(1)用落石表示向量麗7,C7V；

(2)若2同=歷|,且而，荏，求@3)的余弦值.

BMC

18.(本小題17分)

已知向量沅=—1),n=(sina)x,cos2tox)(to>0),函數(shù)/(%)=記?元圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間

的距離為攻

(1)求/(%)的解析式；

(2)若%()e[p^]M/(x0)=苧―1求cos2久°的值.

31ZoZ

19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=Asin{(i)x+0)+B(4>0,w>0,\<p\<])的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)將函數(shù)y=/(?的圖象上所有的點(diǎn)向右平移工個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2

倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=。(久)的圖象.

①當(dāng)尤6[三,芻時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域;

②若方程g(x)—m=0在[0,李上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根“%2>尢3(久1<X2<x3),求tan(%i+2x2+x3)

的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合交集的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

先求出集合再由集合交集的定義求解即可.

【解答】

解：因?yàn)榧蟖={久I—1<x<3},B={%eN*\0<x<4}={1,2,3},

則anB={1,2}.

故答案選：c.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)槲?(3,2)5=(一6,久)，方與狹線(xiàn)，

所以3久=2x(-6),解得久=一4.

故選：A.

根據(jù)平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示即可求解.

本題主要考查了向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：sinx=x可為30。，150。等等，當(dāng)x=150。時(shí)，cosl5(F=-苧，cos*力?，

所以"s譏x=是"cosx=苧”的不充分條件；

反之，當(dāng)cosx=亨時(shí)，x可為30。，330。等等，當(dāng)％=330。時(shí)，sm330°=—p

所以“sinx=,是“cos%=苧”的不必要條件.

故選：D.

已知三角函數(shù)值求角，注意角的取值不唯一，從而可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.

本題考查三角函數(shù)值，既不充分也不必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查向量共線(xiàn)的條件，屬于中檔題.

由4B,。三點(diǎn)共線(xiàn)，可構(gòu)造兩個(gè)向量共線(xiàn)，再利用兩個(gè)向量共線(xiàn)的定理求解即可.

【解答】

解：???4B,D三點(diǎn)共線(xiàn)，.?.四與麗共線(xiàn)，

??.存在實(shí)數(shù)人使得屈=4前；

---BD=CD-CB=3e]-e2—(2e1+e2)=e1—2e2,

???~e1—ke^=A(e7—2eJ),

???瓦瓦是平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩向量，

I172力解得k=2.

l—k=—2A

故選B.

5.【答案】B

【解析】解：?.?函數(shù)/(%)=2sin(a)x+R-頡3>0,0V0V兀)為偶函數(shù)，，9二手

???函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為[二=號(hào)T=n=-,.-.(0=2,f(x)=2cos2x,

ZZZ(J)

/(y)=2cos^=-y[2.

故選：B.

根據(jù)/(X)為偶函數(shù)求得0的值，再根據(jù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為熱求得3的值，可得函數(shù)的解析

式，從而求得f郎).

O

本題主要考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)平移等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

將函數(shù)y=sin(2x+g)的圖象向右平移巳個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為：y=sin2x,增區(qū)間為[-^+時(shí)5+

j1U44

kji],k￡Z,減區(qū)間為g+/CTT,乎+/CTT],kEZ,由此能求出結(jié)果.

44

【解答】

解：將函數(shù)y=sin(2x+0的圖象向右平移養(yǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到的函數(shù)為：y=sin2x,

增區(qū)間滿(mǎn)足：—，+2kyi<2%4]+2/CTT,kEZ,

減區(qū)間滿(mǎn)足：+2kli<2%<+2/CTT,kEZ,

.,.增區(qū)間為[-]+Mr,]+/CTl],kCZ,

減區(qū)間為[J+kyi,孚+/CTT]fkEZy

44

.??將函數(shù)y=sin(2x+”的圖象向右平移器個(gè)單位長(zhǎng)度，

所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間俘，當(dāng)上單調(diào)遞增.

44

故選A.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查扇形面積的求法，牢記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)扇形面積S=，aR2,并結(jié)合割補(bǔ)法，即可得解.

【解答】

解：因?yàn)?。=120cm,且C為4。的中點(diǎn)，

所以C。=60cm,

所以該扇形窗子的面積S=S扇形OAB一S扇形OCD

11

=214。『?N40B-2|CO『ZOB

=1x1202X7-^X602X7=13507rcm2.

Z4Z4

故選：B.

8.【答案】A

【解析】解：取4G中點(diǎn)為M,連接EM,FM,PM,

此時(shí)而?布=；[(GP+而尸-(GP-XP)2]

=海麗2—|的2)=兩|2一$

要求而?存的最小值,

即求I兩71的最小值,

易知SAEFM=S四邊形ECDM—SACEF-S^DFM

=2(1+|)_ixi_lx|=5；

--22F一屋

又EF=Vl2+12=72.

此時(shí)_V2|PM|_5

皿口」ZEFM—2-4

解得I兩I=苧，

所以Q.硝就“=|兩|2_[=(竽)2_*圣

故選：A.

由題意，取4G中點(diǎn)為M,連接EM,FM,PM,根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算將求而.存的最小值，轉(zhuǎn)化成求

|西|的最小值，利用梯形面積公式和三角形面積公式得到的面積，結(jié)合三角形面積公式列出等

式，即可求出|由|的值，進(jìn)而即可求解.

由題意，本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用以及線(xiàn)性運(yùn)算，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4：設(shè)8=(優(yōu)亦，則|cosO|Wl,

所以|五?方|=|初㈤cos。WI3||司,故A正確；

對(duì)于B：當(dāng)向量3同向時(shí)，\a+b\-\a\+\b\,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：>(a+K)1(a-K),則伍+力?@一石)=0,

所以同2=\b\2,

所以同=\b\,故C正確；

對(duì)于。：若非零向量?jī)?yōu)3滿(mǎn)足213,則8=90。，即2i=0,

所以|五+3『^a2+2a-b+b2^a2+b2^\a\2+\b\2,

X(|a|-|K|)2=|a|2-2|a||K|+|K|2,

所以|W+B|2H(同一面產(chǎn),即|方+3|力同一向,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)數(shù)量積定義和三角函數(shù)有界性可判斷4由向量三角不等式等號(hào)成立條件可判斷B；根據(jù)向量垂直的充

要條件推導(dǎo)可判斷C;根據(jù)己知比較|五+311布一|3112可判斷。.

本題考查向量的運(yùn)算，解題中需要熟練掌握向量的概念和運(yùn)算，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：,?,/(%)=tan(1x+今,

T='=2n,A正確；

2

又1(4)+：乒領(lǐng)六2),

(一或0)不是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，8錯(cuò)誤；

令g(x)=|tan(|x+^)|,則g。+2兀)=|tan[|(x+2兀)+芻|=|tan(1x+^)|=g(x),

???2兀是函數(shù)y=g(x)=|f(久)|的一個(gè)周期，C正確；

由/0)>門(mén)，得tan(gx+E)>C,

+kn<2x+g<km+](keZ),

解得2/OT<%<2kn+g(keZ),

.?.不等式/(久)>，^的解集為(2/OT(+2for),keZ,O正確.

故選：ACD.

利用正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析可得答案.

本題考查正切函數(shù)的周期性、單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4由南?前>0，可得|四|?|就|cos4>0，

所以cos4>0,所以角力為銳角，而角B,C不能確定，

所以△ABC不一定為銳角三角形，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)镻為△ABC的垂心，所以而?通=0，因?yàn)獒茉?前=2，

所以布?用=(AC+CP)-AB=AC-AB+CP-AB^2+0^2,所以2正確；

則4(0，CB(-l,0),C(l,0),設(shè)PQ,y),

則萬(wàn)=(一%,C-y),而=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y)-

所以2成?(而+正)=(-2x,2/3-2y)■(-2x,-2y)

—4x2—4V~3y+4y2—4/_|_43_?)2_3，

所以當(dāng)％=0且丫=苧時(shí)，2萬(wàn)?(麗+配)取得最小值一3,所以C正確;

對(duì)于D,在AABC中，因?yàn)?瓦？+4a+5芯=方，

所以3旅+4加+5元=南一元，即3m+34=一6而，

所以瓦？+南=—2灰，即。1+加=2訪(fǎng)，

取4B邊上的中點(diǎn)D,連接。D,

則瓦？+礪=2話(huà)，所以方=說(shuō)，

所以C,0,D三點(diǎn)共線(xiàn)，且。為CD的中點(diǎn)，

所以S440c=S"OD=SHBOC=SABOD，

所以SAOAB：SAOAC：SAOBC=2：1：1,所以。正確.

故選：BCD.

對(duì)于4由希?左>0可判斷角4為銳角，不能判斷角8,C是否為銳角；對(duì)于8,由題意可得方.荏=

0,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和向量的加法運(yùn)算化簡(jiǎn)變形即可；對(duì)于C,建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示

向量，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)計(jì)算2成?(麗+配)可得結(jié)果；對(duì)于。，由己知得瓦5+加=2萬(wàn)，從而得

SAAOC=SAAOD=S4B0C=SNBOD，進(jìn)而可求得△OAB,△OAC,△OBC的面積比?

本題考查平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

12.【答案】-3

【解析】解：因?yàn)閑e(0,9貝卜譏e>0,cose>o,

又因?yàn)閠an9=鬻=5則cos。=2sM0,

Mcos20+sin20=4sbi2。+sin20=5sin29=1,

解得sin。=*或sin。=-?(舍去)，

所以sinS—cosd=sind—2sin9=—sind=一蹩.

故答案為：-g.

根據(jù)同角三角關(guān)系求s譏氏進(jìn)而可得結(jié)果.

本題主要考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于中檔題.

13.【答案】言|)

【解析】解：a=(-1,2),b=(1,3)，

則a在行上的投影向量的坐標(biāo)為用x聲=71sx搐=頡=6,|).

故答案為：.

根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】20

【解析】解:設(shè)與無(wú)軸方向相同的單位向量為瓦，與y軸方向相同的單位向量為石，

則。M=3瓦+瓦，ON=瓦+3匹,NM=0M—ON=2瓦—2瓦,e7-ej=cosd=

所以|麗『=Q可一2砧2=4可2+4&2_8否.&=*所以|兩|=2,

又因?yàn)閨而『=?瓦+五)2=9工2+前2+6區(qū)?石=13,所以|麗|=百②|而『=(瓦>+3部)2=

瓦2+9西'2+6瓦?西'=13,所以|ON|=713；

故〃OMN=3X2XJ(AA13)2-1=273.

故答案為：2c.

設(shè)平面內(nèi)一組不共線(xiàn)的基底，則根據(jù)題意可以將麗=(3,1),麗=(1,3)用瓦，石表示，即可求得三角形

的三邊長(zhǎng)，進(jìn)而可以求得三角形的面積.

本題考查平面向量基本定理，屬于中檔題.

15.【答案】解：⑴由忻|=4,\b\=2,R與3的夾角是為今

->217"

則五?b=4X2xcos—=—4,

所以|3五+3|=、(33+及2

=J9|a|2+6a-K+|K|2

=79x16+6x(-4)+4

—2731；

(2)由@+23)1(fca-K),

則@+29)■(^ka-b)=0,

即kf—2片+(2k—1)17=0,

即有16k-2x4-4(2/c-1)=0,

解得k=5.

即有當(dāng)k為抖，(a+2b)1(fca-K).

【解析】本題考查利用向量的數(shù)量積求向量的模，主要考查向量垂直的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(1)運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和向量的模的計(jì)算即可得到；

(2)運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0,化簡(jiǎn)整理，解方程即可得到k.

16.【答案】解：(1)a//b,???2sin3=cos3—2sin3,A4sin0=cos0,

cos3HO,???tand=7,

4

sinO?cosOsinO?cosOtanO4

"1+3cos20-sin20+4cos2。-tan20+4-65

(2),?,|a|=|K|,sin20+(cosO—2sin0)2=5,

???1—4sin6cos3+4sin20=5,

???—2s譏26+2(1—cos23)=4,

???sin23+cos20=—1,

71V~2

??sin(2e+4)=一彳

0<0<7T,74<20+74<4

二2。+?印或2。+；%

...”舞”空.

【解析】(1)由共線(xiàn)定理結(jié)合齊次式弦化切可求；

(2)由數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換得sin(2。+J)=-?，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得到結(jié)

4Z

果.

本題考查了平面向量的共線(xiàn)定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于

中檔題.

17.【答案】解：(1)配=1?一通=另一落

-->-->-->-->1-->

AM=AB+BM=AB+-BC

4

^a+^(b-a,-)=la+^b,

11

心K

CN=CA+AN=-AC2-2-

(2)???N,P,C三點(diǎn)共線(xiàn)，又CP148,

???CW1AB,

0=67V-XB=(|a-K)-a,即,為『二3?落

/.11a|2=|a||b\cos(a,b)=2|方12cos位歷，

???cos(a,b)=J,〈乙石)的余弦值為

44

【解析】(1)根據(jù)平面向量的基底與三角形法則即可用灑另表示向量前，CN；

(2)由91荏得前1荏，代入向量數(shù)量積公式即可求得〈乙亦的余弦值.

本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.

21+c(2a)x

18.【答案】解：(1)/(%)=yT3sina)xcosa)x—cosa)x=字sinlsx—^>

=sin(2tox——)——f

??,T=2x2a)=呼=2,即/(%)=sin(2x—^)—

(2)vf(%0)=?一卷??sin(2x0一看)=??

???%oe冷裳］,2%oYwg,"］，

???sin(2"。一滬苧<苧

2&Y6停,兀］,cos(2x0Y)=—苧

cos2x0—cos［(2x0―看)+￡=cos(2x0-京)cos'—sin(2x0-看)si琮=-3/^HQ

【解析】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平面向量數(shù)量積，考查了運(yùn)算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由已知利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式/(久)=sin(23%-分-由題意可知其周期為

n,利用周期公式可求3,即可得解函數(shù)解析式.

(2)由/(&)=半一］可得sin(2%0-3)=半結(jié)合式0￡單碧］,得cos(210一看)=一等由cos2%o=

cos[(2%o-9+g計(jì)算即可.

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1

2--2-