加強練08相似三角形綜合專練（解析版）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（2023?上海青浦??？家荒＃┤鐖D，已知在Rt^ABC中，NC=90。，點G是ABC的重心，GE1AC,

垂足為E,如果CB=10,則線段GE的長為（）

10

D.——

3

【答案】D

【分析】因為點G是.ABC的重心，根據三角形的重心是三角形三條中線的交點以及重心的性質：重心到

A（Z2

頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2:1,可知點。為的中點，—根據GELAC,可得

GD1

FGAG

/AEG=90。，進而證得△AEGS,ACD,從而得到==赤，代入數值即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AG并延長交BC于點。.

A（Z7

點。為2C的中點，黑=9,

GD1

CB=10,

CD=BD=-BC=5

2f

GE±ACf

ZAEG=90°,

ZC=90°,

ZAEG=ZC=9Q°,

ZEAG=ZCAD（公共角）,

AAEG^AACD,

EGAG

~CD~~AD

AG2

GD~I'

AG_2

~AD~3,

.EGAG_2

,守一而一§

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的重心的定義及其性質，熟練運用三角形重心的性

質是解題的關鍵.

2.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD與EFG在方格紙中，正方形和三角形的頂點都在格點

上，那么與EFG相似的是（）

F

c口7

B41

A.以點E、F、A為頂點的三角形B.以點E、F、3為頂點的三角形

C.以點E、F、C為頂點的三角形D.以點E、F、。為頂點的三角形

【答案】C

【分析】根據勾股定理求出三角形的邊長，根據相似三角形的判定判斷即可.

【詳解】由圖可知EG=2,ZEGF=135°,由勾股定理得：GF=0EF=M

A.最大的角為NA￡F>135。，；.兩三角形不相似，故A選項不符合題意.

B.Z\EFB最大的角為/BEF>135°,；.兩三角形不相似，故B選項不符合題意.

C.由圖可知￡FC的邊CF=5,由勾股定理得aEFC兩條邊分別為CE=6,EF=回，；.

—=—=—=/.EFG與二EFC三邊成比例，兩三角形相似，故C選項符合題意.

CEEFCF5

D.由圖可知△EED的邊上=5,由勾股定理得△EED兩條邊分別為DE=四，EF=?，:.EFG馬

△EED三邊不成比例，兩三角形不相似，故D選項不符合題意.

故選C

【點睛】本題考查了勾股定理和相似三角形的判定定理的應用，解題的關鍵是熟練應用相似三角形的判定

定理.

3.（2023?上海楊浦?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AG平分/B4C,點。在邊A3上，線段CD與AG交

于點E,且/ACD=/3,下列結論中，錯誤的是（）

A.ZXACD^AABCB.ADE^ACG

C.八ACES&ABGD.AADESACGE

【答案】D

【分析】由/ACD=/3,ZDAC=ZCAB,可直接證明"CDs,即可判斷A；由角平分線的定

義得出/ZME=NC4G,再結合三角形外角的性質即可得出NA￡D=/AGC,從而可證ADESACG,

即可判斷B；由NC4E=ZS4G,ZACD=ZB,可直接證明,即可判斷C；沒有條件證明

Z\ADEs^CGE,即可判斷D.

【詳解】VZACD=ZB,ZDAC=ZCAB,

AACD^-AABC,故A正確，不符合題意；

AG平分/3AC,

?*.NDAE=NCAG.

'：ZAED=ZCAG+ZACD,ZAGC=ZDAE+ZB,

：.ZAED=ZAGC,

：.,ADE^ACG,故B正確，不符合題意；

VZCAE=ZBAG,ZACD=NB,

：.△ACESAABG,故C正確，不符合題意；

在VADE和CGE中只有/AED=NCEG,不能證明△ADEsZkcGE,故D錯誤，符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查三角形相似的判定，角平分線的定義，三角形外角的性質.掌握三角形相似的判定定理

是解題關鍵.

ARAF

4.（2023?上海虹口?統(tǒng)考一模）如圖，點D、￡分別在AABC邊AB、AC上，-=--=3,^ZAED=ZB,

ADCE

AD

那么筆的值為（）

D

E

BC

A.1B.-C.-D.-

2343

【答案】A

4nApAnAJ7

【分析】根據Z4￡D=NB與NA=NA,即可得到AAPEs人人。3,即可得至!）大=不，結合==3

ACABADCE

4n

即可得到F的值；

AC

【詳解】解：vZAED^ZB,ZA=ZA,

AACB,

.ADAE

??一，

ACAB

..ABAE

.----=-----=J,

ADCE

.AD_3CE

7CE~3AD"

AD2=4CE2,

,ADAD1

"AC~4CE~2

故選A.

【點睛】本題考查三角形相似的性質與判定，解題的關鍵是根據分式的性質得到AD與CE的關系.

二、填空題

5.（2023?上海寶山?校考一模）已知線段AB=8c〃z,點C在線段上，^.AC2=BCAB,那么線段AC

的長cm.

【答案】475-4

【分析】根據黃金分割的定義得到點C是線段AB的黃金分割點，根據黃金比值計算得到答案.

【詳解】：AC2=BCAB,

；?點C是線段AB的黃金分割點，AOBC,

AC=避二AB=避二LX8=4A/5-4

22

故答案為：4石-4.

【點睛】本題考查的是黃金分割的概念和性質，掌握黃金比值為叵」是解題的關鍵.

2

6.（2023?上海浦東新??？家荒＃┤鐖D，已知。E〃BC,且。E經過「ABC的重心G.若BC=6cm,則。E

等于cm.

【答案】4

【分析】連接AG并延長交BC于點N,證明△ADGA4BN即可得解;

【詳解】連接AG并延長交8c于點N,

是的重心，DE//BC,

AADGAABN,BN=CN,DG=EG,

.AGDG2

""AN~BN~3J

BC=6cm,

BN=3cm,

/.DG=2cm,

DE=4cm.

故答案是：4.

【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質以及相似三角形的判定與性質，準確計算是解題的關鍵.

7.（2023?上海寶山??？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點D、E在邊BC上，ZDAE=ZB=30°,

日AD3工〃DE,,/士

且——=一，那么z—的值是R_____.

AE2BC

【答案】幽-1.

18

ARAri3

【分析】由己知可得，/睡DAE,從而可知胃=寫=：,AE2=BE.DE，

BEAE2

設AB=3x,則BE=2x,再利用勾股定理和等腰三角形性質用x表示DE和BC,從而解答

【詳解】解：：NBAE=/DAE+NBAD,ZADE=ZB+ZBAD,

又：NDAE=NB=30°,

???ZBAE=ZADE,

/.ABEDAE,

.ABAD30

?寶AE=BE.DE，

過A點作AHLBC,垂足為H,

A

BDEH

設AB=3x,貝ijBE=2x,

VZB=30°,

：.AH=-AB=^-x,BH=^AB=^-x,

2222

(36)

:.EH=BH—BE=--一2尤，

I2J

在Rf.AHE中，AE2=AH2+EH2+]^^-x-2x=(13-6指產,

又,：AE?=BE.DE，

：.(13-6⑹V=2X.￡)E,

???DE=U1X,

2

VAB=AC,AH±BC,

/.BC=2BH=3-j3x,

13-60

/.DE=2%二13百］,

~BC~3A/3X-~18"一

13-6/

故答案為：DE2尤.弓1.

BC3上x18

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質以及勾股定理，利用三角形相似得到

AB與BE的關系是解題的關鍵.

三、解答題

8.（2022秋.上海奉賢.九年級校聯考期中）如圖，己知在四邊形A5CD中，AD〃BC,E為邊CB延長線

FGAD

上一點，聯結社交邊鉆于點F,聯結AC交社于點G,且灰^=在

⑴求證：ABCD.

AE_DE

⑵如果AE?=AGSC,求證:

AG-AO

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據相＞〃8C,得ADGCEG,再根據相似三角形的判定和性質，即可;

（2）由AE2=AG.4C,貝IAEGACE,得/AEG=/ACE=/ZMG,可得，ADGEDA,再根據相似三

角形的性質，即可.

【詳解】（1）,/AD〃BC,

：.ZADE=ZCED,ZCAD=ZACE,

：.；ADGCEG,

.AD_AG

??一，

CECG

..FGAD

?~DG~~CE"

.AG_FG

??一，

CGDG

；.AFGCDG,

：.ZACD=ZCAF,

ABCD.

(2)VAE2=AGAC,

AJ74c

???會=7黑且/EAC是公共邊，

ACAE

：.AEGACE,

：.ZAEG=ZACEf

?.?ABCD,

：.ZDAG=ZACE,

：.ZAEG=ZDAG,

???NAOG是公共角，

???ADGEDA,

.AE_DE

**AG-AD*

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

9.(2022秋.上海奉賢.九年級校聯考期中)如圖，已知AD〃班〃CF,它們依次交直線4、4于點A、B、

。和點。、E、F.

(1)如果AC=14,BC=8,DE=9,求EF的長；

(2)如果OQO/=2:5,AD=7,BE=U,求b的長.

【答案】(1)￡F=12

(2)CF=17

【分析】(1)根據平行線分線段成比例定理得到黑=名，把已知數據代入計算即可;

BCEF

(2)連接AF,交BE于H,先證明根據相似三角形的性質求出僦，進而求出

再證明△ABHs3c尸，根據相似三角形的性質計算，得到答案.

【詳解】(1).AD//BE//CF,

ABDE

,?法一而‘

AC=14,BC=8,DE=9,

.14-8_9

??一,

8EF

解得：EF=12；

(2)連接AF,交BE于H,

AD//BE//CF,

ABDE_2

-5?

AD//BE,

:ZEHS^FDA,

HEEFHE3

/.——=——，即nn——=一

ADDF75

21

解得:HE==^,

34

:.BH=BE-HE=—,

BE//CF,

:.AABH^AACF,

解得：CF=17.

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質，靈活運用定理、找準對應關

系是解題的關鍵.

10.（2022秋.上海靜安?九年級?？计谥校┤鐖D，在中，點、D、E分別在邊8C、AC上，與BE相

交于點凡AE2=EFEB，ZADB=ZEBC+ZEAF.

A

E

BD

⑴求證：AB=AD-,

（2）若AD=DC,求證：AFAD=ACEF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）先證明&EE4S_E4B,可得=結合=可證=

從而可證相=AD成立；

（2）先證明ZA￡F=/4BC,然后通過證明&AEFsCBA可證結論成立.

【詳解】（1）證明：:AE?=EF-EB，

.AEEF

??一,

BEAE

?：ZAEF=ZBEA,

???一EFA/EAB,

：?ZEAF=ZABF,

ZADB=NEBC+NEAF,

:.ZADB=NEBC+ZABF=ABD,

?\AB=AD;

（2）VAD=DCf

：.ZCAD=ZC.

?：ZAEF=NEBC+NC,

：.ZAEF=NEBC+NCAD,

由（1）知NC4Z）=NABb，

JZAEF=NEBC+ZABE,

?:ZABC=NEBC+ZABE,

ZAEF=ZABC,

???AEFs,CBA,

.AF_EF

??就一而‘

由（1）知AB=AT>,

.AFEF

??就一茄’

：.AFAD=ACEF.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.如果兩個三角形相似，那么它們的對應角相等，對

應邊成比例.

DF1

11.（2023?上海寶山??？家荒＃┮阎?，如圖，點E在平行四邊形A3CD的邊CD上，且==1,設

CE2

AB=a,AD=b.

（1）用。/表示AE（直接寫出答案）.

（2）設AE=e，在答題卷中所給的圖上畫出3c的結果.

【答案】（1）AE=^a+b-（2）見解析

【分析】（1）根據平面向量的平行定理即可表示；

（2）由（1）中結論得至Ua—3c=a-3（；a+bj=-3b,延長AE交BC延長線于點G,通過平行四邊形的

性質得到△ADE△GCE,再根據對應邊成比例得到CG=2D4,從而有GB=GC+BC=3C=3AD,即可

求解.

【詳解】解：⑴：名|=；，即DE=《CE,DE={DC,

CEz23

?*.A￡=—a十Z?,

3

1-

（2）由（1）知]〃+。，

1?a_3c=Q+0]=—30,

延長AE交BC延長線于點G,如圖所示，

B

貝lJG3=a-3c.

理由如下：

:四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BC,AD=BC,

：.NDAE=NCGE,

又；NDEA=NCEG（對頂角相等），

：.AADEAGCE,

.CGCE

??7-，

DADE

..DE_L

*CE~^f

：.CG=2DA,

：?GB=GC+BC=3BC=3AD,

?AD=b,

GB=-3b?BPGB=G-3C.

【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算、平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，解題關鍵是

熟練掌握平面向量的線性運算、平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質.

12.（2023?上海浦東新?上海市建平實驗中學校考一模）如圖，已知在△ABC中，AC=6,D為BC上一點,

CD=4.△AOC與△ABD的面積比為4：5.

（1）求證：△ZMCS/VIBC；

（2）如果點。在AB的中垂線上，求cosB.

【答案】（1）見解析

（2）1

【分析】⑴作皿改于點E,號=管嘴T得BD=5,39,證明出片唱，結合

2

NC=NC,即可證明出AZMCSAABC；

（2）由AZMCsAABC得）二年，求出A3的長，根據點。在A8的中垂線上，△ABD為等腰三角形，過

DAJDC

點。作A3的垂線交于尸，根據等腰三角形三線合一的性質，得5尸=NBFD=90。,最后根據余弦

函數的定義可得.

【詳解】（1）解：如圖，作AEL5c于點E,

A

BDEC

Q—CD.AE「八A

,?SMCD=2_8=4

BD5

S^ABD-BD^AE

2

:.BD=-CD=5,

4

，CB=CD+BD=9,

CA62CD42

貝ntU[—=-=——=-=-

CB93C463

.CA_CD

'~CB~~CAf

zc=zc,

/.AZMC^AABC；

(2)解：AZMC^AABC,

.ADAC

"BA-BC'

點。在A3的中垂線上，

△AB。為等腰三角形，

/.AD=BD=5,

口n56

即——=-,

AB9

/.AB=-f

過點。作AB的垂線交于尸，如下圖:

A

BDEC

根據等腰三角形三線合一的性質，

:.BF=-AB=—,S.ZBFD=9Q°,

24

15

DBF73.

BD54

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角函數的定義，解題的關鍵是熟

練掌握相似三角形的判定與性質.

13.（2023?上海嘉定??？家荒＃┤鐖D，已知點。在△ABC的外部，AD//BC,點E在邊A3上，

NBAC=ZAED.

⑴求證：ABAD=BCAE；

ADAF

（2）在邊AC取一點F,如果，一=—,求證：ZAFE=ZD.

BCAC

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

【分析】（1）欲證明=只要證明4.CBAs即可;

⑵由CBAs；可得器嚼，再根據器=篆,推出9K一通即可解決問題;

【詳解】（1）,：AD//BC,

：.NB=NDAE,

*：ZBAC=ZAED,

:.ca4sDAE,

.ABBC

??標一茄’

:,ABAD=BCAE.

（2）由（1）得,CBAsDAE

?小A。AE

??/D=NC,=9

BCAB

..ADAF

?正一IE'

.AEAF

，eAB-AC?

ZBAC=ZEAF

???ACSASPEA

：.ZAFE=ZC

?：/D=/C,

:?ZAFE=ZD,

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

AI7Af1

14.（2023?上海?校考一模）如圖，在ABC中，點。在邊A3上，點方、E在邊AC上，且。咒〃BE,-.

FECE

AF1

（2）如果弁=；,S=2求S.c的值.

AE2VADF9

【答案】（1）見解析

(2)16

ADAf1AnAJ7

【分析】（1）由。尸〃BE可得==三，再結合已知比例，可得-=7不，即可得證;

BDFEDBCE

（2）由圖可知尸與切防等高，根據等高的兩個三角形面積比等于底邊的比，再由。石〃3C,得出

AADESAABC,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解.

【詳解】(1)證明：,，DF||BE,

.ADAF

BD-FE'

又Q墨嚙

ADAE

DBCE

:.DE//BC.

AF1

(2)解：.AE=AF+FE,

AE2

AF=FE=-AE,

2

?S」S

??0AAZ)F-2，

又?，DE//BC,

:△ADEsAABC,

^E_AF

又V‘法一商一1'

AE=-AC,

2

?q?S^ABC

^.ABC=^'^,ADE=^^.ADF=16.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，平行線分線段成比例.關鍵是利用平行線

得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題.

15.(2022秋.上海.九年級?？计谥?己知：如圖，已知△ABC與△>!￡>￡均為等腰三角形，BA=BC,DA

=DE.如果點。在BC邊上，且NEOC=NBAD點。為AC與DE的交點.

⑴求證：AABC^AADE；

(2)求證：DA-OC=OD-CE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴根據三角形的外角的性質和角的和差得到4=43由于前二而4根據SAS得到

結論;

(2)根據相似三角形的性質得到/BAC=ND4E,于是得到N8AO=/CAE=/CDE,證得△COD-△EON,

根據相似三角形的性質得到=2，由/AOZ)=/COE,推出44。。6△(：:。打，根據相似三角形的性

OEOA

質即可得到結論.

【詳解】(1)vZADC=ZABC+ZBAD=ZADE+ZEDC,

:./B=/ADE,

..BA_DA

BC~DE~，

△ABCS"OE；

(2)?:△ABCs△ADE,

ZBAC=ZDAE,

：./BAD=ZCAE=ZCDE,

'：ZCOD=ZEOA,

：./\COD^/\EOA,

,PCOP

"~OE~~OA，

ZAOD=ZCOE,

：.AAOD^AEOC,

：.DA：CE=OD：OC,

即DA-OC^OD-CE.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的外角的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理是

解題的關鍵.

16.(2022秋?上海?九年級?？计谥?如圖，已知，在銳角ABC中，BD和CE分別是邊AC、AB上的高.

(2)聯結AF求證：AFBE=BCEF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）通過證明根據相似三角形的性質可得結論;

（2）通過證明△AEVS^CEB,根據相似三角形的性質可得結論.

【詳解】（1）證明：.8。和CE分別是邊AC、AB上的高，

:.ZAEC=ZBDA=90°

：.ZA+ZACE=90°=ZA+ZABD

:.ZACE=ZABD

又ZAEC=ZBEF=90°

.-.△ABC^AFEB

.AEAC

"~EF~~BF

(2)證明：如圖，連接A尸

△AECsBEB

.AEEC

"EF~BE

.AEEF

"EC~BE

又iZAEC=ZFEB=90°

AAEFs八CEB

.AFEF

"BC~BE

：.AFBE=BCEF

【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，熟記相似三角形的性質和判定定理并能靈活運用是解決本

題的關鍵.

17.（2022秋.上海靜安.九年級上海市華東模范中學?？计谥校┘褐喝鐖D，梯形ABCD中，DC//AB,

AD^BC=DC,AC,3。是對角線，點E是A3延長線上一點，且/BCE=ZACD,聯結CE.

DC

(1)求證：四邊形DBEC是平行四邊形;

⑵求證：AC~=ADAE.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析

【分析】(1)由等腰梯形的性質得出NADC=/3CD,由S4S證明AADCZABCD,得出NACD=/BDC,

由等腰三角形的性質和已知條件得出/8CE=/CBD,證出&)〃CE,即可得出結論；

CFAF

(2)證出CE=AC,證明AEACSAEBC,得出對應邊成比例=即可得出結論.

BCAC

【詳解】(1)「梯形ABCD中，DC//AB,AD=BC=DC,

:.ZADC=NBCD,

在AADC和ABCD中，

AD=BC

<ZADC=ZBCD,

CD=DC

^ADC^ABCD(SAS),

:.ZACD=/BDC,

BC=DC,

:"CBD=/BDC,

:.ZCBD=ZACDf

/BCE=ZACD,

.\ZBCE=ZCBD,

:.BD〃CE,

又：DC//AB,

.?.四邊形。3EC是平行四邊形；

(2)由(1)得：四邊形。班C是平行四邊形，

:"E=/BDC,

DC//AB,

/.ZBAC=ZACD,

/BCE=ZACD,

:.ZBAC=ZBCE=ZE,

CE=AC,

又?NB=NB,

.?.AE4csAEBC,

.CEAE

"BC-ACJ

ACAE

即Rn——=——，

ADAC

.\AC2=ADAE.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等

腰梯形的性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形相似得出比例

式是解決問題（2）的關鍵.

18.（2022秋?上海靜安?九年級上海市華東模范中學校考期中）如圖所示，ABC中，尸。平分/ACB,

PB=PC.

⑴求證：VAPC:VACB；

(2)若AP=2,PC=6,5ABe=126，求S”c

【答案】（1）見解析

(2)3A/3

【分析】（1）利用角平分線及等腰三角形性質，可得出/ACP=/ABC,同時兩個三角形有一個公共角,

即可得出兩個三角形相似；

ApA（J

（2）由VAPC:VACS得到——=——，利用AP=2,PC=6,AB=8即可求解.

ACAB

【詳解】（1）尸C平分/ACB,PB=PC,

:.ZACP=ZBCP.NBCP=ZABC,

:.ZACP=ZABC

又?,NC4P=NA4C,

/.APCACB；

(2).APCACB,

.AP-AC

*AC-AB*

AP=2fPC=PB=6,AB=AP+PB=8,

.\AC=4,

APCACB,

.AP_2_1

'AC~4~2f

?Q—4Q

…Q.ABC—宣一APC，

Sw—3y/3.

【點睛】本題考查角平分線及等腰三角形性質、相似三角形的判定及其性質的應用，解題的關鍵是熟練掌

握相似三角形的判定及其性質.

19.(2023?上海奉賢?統(tǒng)考一模)已知：如圖，在梯形ABCD中，點E在對角線上，

ZEAD=ZBDC.

(1)求證：A