備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題20四邊形

一、選擇題

1.我們在探究“任意一個四邊形內(nèi)角和是多少度？'‘時，采用的方法是連接四邊形的一條對角線，把

四邊形分割成兩個三角形，從而探究出任意四邊形的內(nèi)角和等于360。，這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是

（）

A.轉(zhuǎn)化思想B.方程思想

C.函數(shù)思想D.數(shù)形結(jié)合思想

2.對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法.以方程久（久+6）=72為例加以說明.數(shù)

學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個長為％+6,寬為式的長方形紙

片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是％+6+%,面積是四個矩形的面積與中間小正方形的面積

之和，即4X72+62,據(jù)此易得％=當(dāng)心=6.小明用此方法解關(guān)于左的方程久（3支―"）=24,其

中3x-幾＞%構(gòu)造出同樣的圖形，已知小正方形的面積為4,則n的值為（）

3.在《類比探究菱形的有關(guān)問題》這節(jié)網(wǎng)課中，老師給出了如下畫菱形的步驟，請問這么畫的依據(jù)

A.四條邊都相等的四邊形是菱形

B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

C.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4.數(shù)學(xué)家莫倫在1925年發(fā)現(xiàn)了世界上第一個完美長方形（如圖1）,即它恰好能被分割成10個大小

不同的正方形，從這以后人們開始熱衷圖形完美分割的研究，平行四邊形EFGH被分割成13個小正

三角形（如圖2）,已知中間最小的兩個正三角形AABC和△4DC邊長均為4,平行四邊形EFG4的

周長為（）

二'填空題

5.如圖是蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，以。為橫板AB的中點(diǎn)，AB繞點(diǎn)。上下轉(zhuǎn)

動，橫板的B端最大高度h是否會隨橫板長度的變化而變化呢？一位同學(xué)做了如下研究：他

先設(shè)AB^2m,OC=0.5m,通過計(jì)算得到此時的心，再將橫板AB換成橫板AB,0為

橫板AB的中點(diǎn)，且AB=3m,此時B'點(diǎn)的最大高度為h2,由此得到電與h2的大小關(guān)系

是：dh2（填“〉、"=”或“<”）可進(jìn)一步得出，八隨橫板的長度的變化而（填

"不變’或"改變”）.

6.在圖1所示的3X3的網(wǎng)格內(nèi)有一個八邊形，其中每個小方格的邊長均為1.經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，此八邊

形可按圖2的方式分割成四個全等的五邊形和一個小正方形①.現(xiàn)將分割后的四個五邊形重新拼接

（即圖2中的陰影部分），得到一個大正方形ABCD,發(fā)現(xiàn)該正方形中間的空白部分②也是一個正

方形，且正方形②的面積恰好是正方形①的面積的2倍，則AE的長為.

圖13圖2

7.利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法.如圖1,是矩形

力BCD的對角線，將ABC。分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察

兩圖，若a=5,b=3,則矩形4BCD的面積是.

8.何老師在一次“探析矩形折疊問題”的公開課上，與同學(xué)們一起對折紙進(jìn)行了如下探究：已知正方

形4BCD邊長為1,G是邊的中點(diǎn)，E是射線DC上的一個動點(diǎn).

（1）如圖①，若點(diǎn)E在線段OC上且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，連結(jié)BE,將△BCE沿著BE翻折，使

點(diǎn)C落在DG上的點(diǎn)M處，連結(jié)CM延長交AD邊于點(diǎn)F且CF1.DG,則EH-CF的值為

（2）若點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，以點(diǎn)C為圓心，線段GE的長為半徑作OC,當(dāng)OC與線段DG只有

一個公共點(diǎn)時，CE的取值范圍是

9.綜合實(shí)踐課上，小聰用一張長方形紙ABCD對不同折法下的折痕進(jìn)行了探究，已知AB=12,ZCAB

=30。，點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，且AE=5,

E

圖①

(1)把長方形紙片沿著直線EF翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A"恰好落在對角線AC上，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)

為D,如圖①，則折痕EF長為；

(2)在EF,ATT上取點(diǎn)G,H,沿著直線GH繼續(xù)翻折，使點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，如圖②，則折痕

GH長為.

10.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完矩形的知識后一起探討了一個紙片折疊問題：如何將一張平行四邊

形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起，拼成一個無縫隙、無重疊的矩形EFGH.圖中EF,FG,GH,

HE表示折痕，折后B,D的對應(yīng)點(diǎn)分別是M,N.若AB=8cm,AD=10cm,ZB=60°,

則紙片折疊時AH的長應(yīng)取_________.

三'實(shí)踐探究題

11.綜合與探究

如圖，經(jīng)過B(3,0),C(0,-3)兩點(diǎn)的拋物線y=/-bx+c與久軸的另一個交點(diǎn)為A.

<Bx

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)。在拋物線的對稱軸上，當(dāng)AACD的周長最小時，求。的坐標(biāo)；

(3)已知點(diǎn)M在拋物線上，求S“BM=8時的點(diǎn)M坐標(biāo)；

(4)已知E(2,-3),請直接寫出能以點(diǎn)A,B,E,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P坐標(biāo).

【問題】北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊P32第2題：

已知：如圖1,A4BC的外角“BC和ZBCE的平分線相交于點(diǎn)F.

求證：點(diǎn)F在ND4E的平分線上.

某數(shù)學(xué)興趣小姐的小明同學(xué)提出了如下的解題方法：

如圖2,過點(diǎn)F作FG14D于點(diǎn)G,作于點(diǎn)H,作FM1BC于點(diǎn)M,由角平分線的性質(zhì)

定理可得：FG=FM,FH=FM.

：.FG=FH.

'：FG1AD,FH1AE,

/.F在ND4E的平分結(jié)上.

【探究】

(1)小方在研究小明的解題過程時，還發(fā)現(xiàn)圖2中BG、BC和三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，

請你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：;

(2)小明也發(fā)現(xiàn)NBFC和ZGFH之間存在一定的數(shù)量關(guān)系.請你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)

系：;

(3)如圖3,邊長為3的正方形/BCD中，點(diǎn)E,F分別是邊C。、BC上的點(diǎn)，且DE=1.連接

AE,AF,EF,若ZE4F=45。，求BF的長；

(4)如圖4,△ABC中，AB=4C=5,BC=4.△DEF中，乙EDF=AB.將△CEF的頂點(diǎn)D放

在BC邊的中點(diǎn)處，邊DF交線段4B于點(diǎn)G,邊DE交線段AC于點(diǎn)H,連接GH.現(xiàn)將△DEF繞著

點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，△AGH的周長是否發(fā)生變化？若不變，求出△AGH的周長，若改變，請

說明理由.

13.小星和小紅在學(xué)習(xí)了正方形的相關(guān)知識后，對正方形內(nèi)一些特殊線段的關(guān)系進(jìn)行探究.

如圖(1)所示，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD邊上的點(diǎn)，連接AE,BF,且AELBF,

求證：△ABE/4BCF；

(2)類比探究

如圖(2)所示，在正方形ABCD中，E,F,G,H分別是BC,AD,AB,CD邊上的點(diǎn)，連接EF,

GH,且EFLGH,求證：EF=GH；

(3)遷移應(yīng)用

如圖(3)所示，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,D是BC的中點(diǎn)，E是AC邊上的點(diǎn)，連接

AD,BE,且BELAD,求AE：CE的值.

14.某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題:

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△ABC中，ZBAC=9O。，AB=AC.點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接4P,

以4P為腰作等腰RM4PQ，且NP4?=90。，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是；

(2)變式探究：如圖2,△ABC中，^BAC=90°,4B=AC.點(diǎn)P是腰4B上一點(diǎn)，連接CP,以CP

為底邊作等腰RtACPQ,連接4Q,判斷BP和4Q的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)問題解決；如圖3,正方形4BCD的邊長為10,點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，以DP為對角線作正

方形DEPQ,連接4Q.若設(shè)正方形CEPQ的面積為y,AQ=%.求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

15.［探究與證明］折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘.

4DAND

一

?BMcB1C

圖1圖2

［動手操作］如圖1,將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙

片，使點(diǎn)B落在EF.上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A,得到折痕AM.點(diǎn)B,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為B，，E',展平紙

片，連結(jié)ABIBB',BE.請完成：

(1)觀察圖1中Nl,N2和N3,試猜想這三個角的大小關(guān)系.

(2)證明(1)中的猜想.

(3)［類比操作］如圖2,N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，連結(jié)BN,在AB上取一點(diǎn)P,

折疊紙片，使B,P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點(diǎn)B,P分別落在EF,BN上,

得到折痕1,點(diǎn)B,P的對應(yīng)點(diǎn)分別為B，，P,展平紙片，連結(jié)BB，，PB.請完成：

證明BB，是/NBC的一條三等分線.

16.小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一個矩形ABCD繞點(diǎn)A順

時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到矩形ABCD,連結(jié)BD..

（1）【探究1】如圖1,當(dāng)a=90。時，點(diǎn)C恰好在DB的延長線上.若AB=1,求BC的長.

（2）【探究2】如圖2,連結(jié)AC,過點(diǎn)D作口皿1/4（？交8口于點(diǎn)乂.線段口可與DM相等嗎？

請說明理由.

（3）【探究3】在探究2的條件下，射線DB分別交AD,AC于點(diǎn)P,N（如圖3）,發(fā)現(xiàn)線段DN,

MN,PN之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個關(guān)系式，并加以證明.

17.【探究與證明】

折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘.

【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使4。與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊

紙片，使點(diǎn)B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A,得到折痕點(diǎn)B,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為B'，E,展平

（圖1）

請完成：

（1）觀察圖1中Nl,N2和/3,試猜想這三個角的木小朱系；

（2）證明（1）中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片4BCD的邊4。上的一點(diǎn)，連接BN,在上取一點(diǎn)P,折疊

紙片，使B,P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點(diǎn)B,P分別落在EF,BN上,得

到折痕1,點(diǎn)B,P的對應(yīng)點(diǎn)分別為B',P,展平紙片，連接，P,B.

（圖2）

(3)證明BB'是乙NBC的一條三等分線.

18.【問題情境】:

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們開展了以折疊為主題的探究活動，如圖1,已知矩形紙片2BCDQ4D>ZB),

其中寬AB=8.

圖1圖2備用圖

(D【動手實(shí)踐工

如圖1,威威同學(xué)將矩形紙片4BCD折疊，點(diǎn)4落在BC邊上的點(diǎn)M處，折痕為BN,連接MN,

然后將紙片展平，得到四邊形4BMN,則折痕BN的長度為.

(2)【探究發(fā)現(xiàn)工

如圖2,勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形剪下，取ZN邊中點(diǎn)E,將AZBE沿BE折疊得到BE，

延長B/'交MN于點(diǎn)上點(diǎn)Q為BM邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊MN上一動點(diǎn)，將AMQP沿PQ折疊，當(dāng)點(diǎn)

M的對應(yīng)點(diǎn)M'落在線段BF上時，求此時tanZPQM的值；

(3)【反思提升工

明明同學(xué)改變圖2中Q點(diǎn)的位置，即點(diǎn)Q為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)P仍是邊MN上一動點(diǎn)，按照(2)

中方式折疊AMQP,使點(diǎn)M'落在線段B尸上，明明同學(xué)不斷改變點(diǎn)Q的位置，發(fā)現(xiàn)在某一位置NQPM

與(2)中的ZPQM相等，請直接寫出此時BQ的長度.

19.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

G

圖④圖⑤

(1)［觀察與猜想］

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是4B、4。上的兩點(diǎn)，連接。E、CF,DE1CF,則年

Cr

的值為=;

(2)如圖②，在矩形ABCD中，2。=7,CD=4,點(diǎn)E是4。上的一點(diǎn)，連接CE,BD,且CE1BD,

則嘉的值為.

DU

(3)［性質(zhì)探究］

如圖③，在四邊形4BCD中，AA=AB=90°.點(diǎn)E為ZB上一點(diǎn)，連接。E,過點(diǎn)C作DE的垂

線交ED的延長線于點(diǎn)G,交4。的延長線于點(diǎn)F.求證：DE-AB^CF-AD；

(4)［拓展延伸］已知四邊形是矩形，AD=6,AB=8

如圖④，點(diǎn)P是BC上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE1CF,垂足為O,點(diǎn)O恰好落在對角線BD上.求法

的值；

(5)如圖⑤，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE1CF,垂足為O,點(diǎn)O恰好落在對角線上,

延長EP、4B交于點(diǎn)G.當(dāng)BG=2時，DE=.

20.問題提出

如圖(1),E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，AAEF是等腰三角形，AE=EF,ZAEF=ZABC=a(o^90°),

AF交CD于點(diǎn)G,探究NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

（1）問題探究

先將問題特殊化，如圖（2）,當(dāng)a=90。，直接寫出NGCF的大小;

（2）再探究一般情形,如圖（1）,求NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展

將圖（1）特殊化，如圖（3）,當(dāng)a=120。，若黑=攝求器的值.

21.綜合與探究

問題情境：數(shù)學(xué)課上，老師引導(dǎo)同學(xué)們以“正方形中線段的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.已知正方形

48c。中，4B=2,點(diǎn)E是射線CO上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接3E,將8E繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90。

得到廠E,連接。尸.

（1）特例分析：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，求乙4DF的度數(shù)；

（2）深入談及：當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)。重合時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請?jiān)趫D2與圖3

中選擇一種情況進(jìn)行證明；若不成立，請說明理由；

（3）問題解決：如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在線段上，且。尸=2X4時，請直接寫出線段3尸的長.

22.小明學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，

如圖1,我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

BD

c

圖1圖2

(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是

(2)性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂直四邊形ABCD的面積S與兩對角線AC,BD之間的數(shù)

量關(guān)系：■

(3)問題解決：如圖2,分別以RtZ\ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正

方形ABDE,連接CG,BE,GE,已知AC=4,AB=5.

①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；

②求出四邊形BCGE的面積.

23.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以特殊四邊形為基本圖形，添加一些幾何元素后探究圖形中存在的結(jié)

論.已知在DABCD中，AB<BC,NABC的平分線交AD邊于點(diǎn)E,交CD邊的延長線于點(diǎn)F,以DE,

DF為鄰邊作DDEGF.

(1)特例探究：如圖1,“創(chuàng)思”小組的同學(xué)研究了四邊形ABCD為矩形時的情形，發(fā)現(xiàn)四邊形

DEGF是正方形，請你證明這一結(jié)論；

(2)“敏學(xué)”小組的同學(xué)在圖1基礎(chǔ)上連接BG,AC,得到圖2,發(fā)現(xiàn)圖2中線段BG與AC之間存

在特定的數(shù)量關(guān)系，請你幫他們寫出結(jié)論并說明理由；

(3)拓展延伸：“善問”小組的同學(xué)計(jì)劃對DABCD展開類似研究.如圖3,在DABCD中，ZABC=60.

請從下面4B兩題中任選一題作答.我選擇___人題.

力：當(dāng)AB=4,BC=6時，請補(bǔ)全圖形，并直接寫出A,G兩點(diǎn)之間的距離.

B,當(dāng)BC=6時，請補(bǔ)全圖形，并直接寫出以A,C,G為頂點(diǎn)的三角形面積的最小值.

24.通過以前的學(xué)習(xí)，我們知道：“如圖1,在正方形2BC。中，CE1DF,則CE=DF”.某數(shù)學(xué)興

趣小組在完成了以上學(xué)習(xí)后，決定對該問題進(jìn)一步探究:

H/)

1

JG

H

圖4

（1）【問題探究】如圖2,在正方形2BCD中，點(diǎn)E,F,G,〃分別在線段ZB,BC,CD,DA±,

且EG1FH,試猜想黑=

（2）【知識遷移】如圖3,在矩形2BCD中，AB^m,BC=n,點(diǎn)E,F,G,H分別在線段4B,

BC，CD，DA±.,且EGCH,試猜想錯的值，并證明你的猜想;

（3）【拓展應(yīng)用】如圖4,在四邊形4BCD中，^DAB=90°,乙4BC=60。，AB=BC,點(diǎn)、E,F

分別在線段ZB,AD±.,且CE1BF,求需的值.

25.在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊、旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，探究與角的

度數(shù)、線段長度有關(guān)的問題.對直角三角形紙片4BC（ZB4C=9O。）進(jìn)行如下操作:

M

圖2

（1）【初步探究】

如圖1,折疊三角形紙片4BC,使點(diǎn)C與點(diǎn)工重合,得到折痕DE,然后展開鋪平，則2B與。E

位置關(guān)系為,AB與CE的數(shù)量關(guān)系為

（2）【再次探究】

如圖2,將ACDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到ACMN,連接BM,AN,若BC=5,AB=3,求第的

值;

（3）【拓展提升】

在（2）的條件下，在順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)CNII2B時，求AM的長.

26.綜合與探究:

如圖，直線h：y=與直線%：y+6交于點(diǎn)4《4,m%直線％與黑軸交于點(diǎn)861,0）,

點(diǎn)C從點(diǎn)。出發(fā)沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動，速度為每秒1個單位，同時點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)以同樣的速度沿

B0向終點(diǎn)。運(yùn)動，作CM1%軸，交折線。4-AB于點(diǎn)M,作DN1%軸，交折線BA-A0于點(diǎn)N,

設(shè)運(yùn)動時間為t.

(1)求A,B點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在點(diǎn)C,點(diǎn)。運(yùn)動過程中，

①當(dāng)點(diǎn)M,N分別在。44B上時，求證四邊形CMND是矩形；

②在點(diǎn)C,點(diǎn)。的整個運(yùn)動過程中，當(dāng)四邊形CMND是正方形時，請你直接寫出t的值；

(3)點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，問是否存在以點(diǎn)P,0,A,C為頂點(diǎn)的四邊形是

菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

27.一張矩形紙片ABCD(如圖1),AB=6,AD=3.點(diǎn)E是BC邊上的一個動點(diǎn)，將4ABE沿直線AE

折疊得到^AEF,延長AE交直線CD于點(diǎn)G,直線AF與直線CD交于點(diǎn)Q.

H

￡

圖1

【初步探究】

(1)求證：4AQG是等腰三角形;

(2)記FQ=m,當(dāng)BE=2CE時，計(jì)算m的值;

(3)【深入探究】

將矩形紙片放入平面直角坐標(biāo)系中(如圖2所示)，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，邊OC、0A分別與x軸、y軸

正半軸重合.點(diǎn)H在OC邊上，將△AOH沿直線AH折疊得到△APH.

①當(dāng)AP經(jīng)過CD的中點(diǎn)N時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在①的條件下，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、D兩點(diǎn).若將直線AH右側(cè)的拋物線沿

AH對折，交y軸于點(diǎn)M,請求出AM的長度.

28.【性質(zhì)探究】

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AE平分NBAC,交BC于點(diǎn)E.作DFLAE

于點(diǎn)H,分別交AB,AC于點(diǎn)F,G.

(1)判斷4AFG的形狀并說明理由

(2)求證:BF=2OG.

(3)【遷移應(yīng)用】

記aDGO的面積為Si,ADBF的面積為S2,當(dāng)§=/寸，求器的值.

(4)【拓展延伸】

若DF交射線AB于點(diǎn)F,【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)EF,當(dāng)4BEF的面積為矩形ABCD

面積的告時，請直接寫出tanNBAE的值.

29.某“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”成員在復(fù)習(xí)《圖形的變化》時，對下面的圖形背景產(chǎn)生了濃厚的興趣，并

嘗試運(yùn)用由“特殊到一般，的思想進(jìn)行了探究：

(1)【問題背景】如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作EF_LDE

交BC邊于點(diǎn)F,將4ADE沿直線DE折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)/BEF=25。，則NFEA'

A\-----------KD

(2)【特例探究】如圖2,連接DF,當(dāng)點(diǎn)A,恰好落在DF上時，求證：AE=2/F.

\D

圖2

（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD,且AD=mAB,其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)

AE與4F之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出AE與4F之間的數(shù)量關(guān)系式.

（4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD,且NB=60。，ZDEF=120°,其他條件不

變，他們發(fā)現(xiàn)AE與4F之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出AE與AT之間的數(shù)量關(guān)系式.

30.如圖1,小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形4BCD和矩形EFGH,點(diǎn)E、F在

邊上（EFVAB）,且點(diǎn)C、D、G、H在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)置奈=小，囂=〃矩形

EFGH能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊EF的中點(diǎn)0,射線0H與射線4。相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P、

。不重合），射線。G與射線BC相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q、C不重合），觀測CP、CQ的長度.

A(E)OFB

(圖2)

（1）如圖2,小麗取4B=4,EF=3,m=1,n=3,滑動矩形EFGH,當(dāng)點(diǎn)E、4重合時，

CQ=；

（2）小麗滑動矩形EFGH,使得。恰為邊AB的中點(diǎn).她發(fā)現(xiàn)對于任意的TH。n,DP=CQ總成

立.請說明理由;

(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定小、n的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動矩形EFGH,DP=CQ總成

立.小麗的猜想是否正確？請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】=:不變

6.【答案】V2—g

7.【答案】30

8.【答案】(1)1

C2)j<CE<l

9.【答案】(1)8

(2)2V3

10.【答案】3+舊

11.【答案】(1)解：將B(3,0),C(0,—3)代入y=x2—b%+(^^

9—3b+c=0，解得，｛匕,

c=-3

二拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

(2)解：如圖所示，連結(jié)BC與對稱軸直線%=1的交點(diǎn)為點(diǎn)D,此時△AC。的周長最小,

設(shè)直線BC的解析式為y=zn%+n,將B(3,0),C(0,一3)代入得:

(3m+n=0解得｛m=1

In=—3n=-3

???直線BC為y=%—3,

當(dāng)％=1時，y=—2,

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-2).

(3)解：在y=/一2%一3中，令y=0得它-2%-3=0,解得％=3或%=—1,

X(-l,0),8(3,0),

???AB—4,

vS?ABM=8,

???x4-\yM\=8,解得=4或y”=—4,

當(dāng)VM=4時，x2—2x—3—4,解得，%=1+2A/2,

???M(1+2V2,4)或M(1-2vL4),

2

當(dāng)VM=14時，x-2x-3=-4,解得，Xi-x2-1,

???M(l,-4),

綜上所述，M的坐標(biāo)為：(1+2V2,4)或(1—2魚，4)或(1,-4)

(4)解：P坐標(biāo)為(―2,—3)或(6,—3)或(0,3)

12.【答案】(1)BC=BG+CH

(2)AGFH=2乙BCF

(3)-

2

(4)不改變停

13.【答案】(1)證明：如圖①所示，

?.?四邊形ABCD為正方形，

/.ZABC=ZC=90o,

AB=BC.

VAEXBF,ZABC=90°,

/.Zl+ZABC=Z2+ZABF=90°.

...Z1=Z2.：.AABE^ABCF.

(2)證明：如圖②所示，分別過點(diǎn)G,E作GMLCD,EN_LAD垂足分別為M,N,

圖②

,/四邊形ABCD為正方形.

???AB=BC=CD,AB〃CD,NA=NB=ND=90。.

VGM±CD,.??NGMD=ND=NA=90。.

???四邊形ADMG為矩形.

AGM//AD,GM=AD.

同理EN〃AB,EN=AB.

AGM±EN,GM=EN.

?.?N1+N3=N2+N3=9O。，AZ1=Z2.

NENF=NGMH=90。，

??.AENF^AGMH.Z.EF=GH.

(3)解：如圖③所示，分別過點(diǎn)A,C作AG〃:BC,CG〃AB,交于點(diǎn)G,延長BE交CG于點(diǎn)H,

VAG//BC,CG//AB,

???四邊形ABCG為平行四邊形.

???ZABC=90°,

???平行四邊形ABCG為矩形.

VAB=BC,???矩形ABCG為正方形.

VBEXAD,

由(1)得4ABD2△BCH.

???BD=CH.

???D是BC的中點(diǎn)，

???BC=2BD=2CH=AB.

???CG〃AB,

???NBAC=N1,N2=N3.

AABAE^AHCE.

,ZE—

''CE~CH,

即AE:CE=2：1.

14.【答案】(1)BP=CQ

(2)解：BP=yplAQ,理由如下：

,??△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，^BAC=90°,AB^AC,

史生區(qū)乙ACB=LQCP=45°.

PCBC2”

v乙BCP+^ACP=^ACQ+^ACP=45°,

:.乙BCP=Z.ACQ,

???△CBPs〉CAQ,

.QC_AC_AQ_42

‘,定=阮=而="T'

BP=y/2AQ;

(3)解：連接BD,

???四邊形/BCD是正方形，四邊形DEPQ是正方形,

??.△BAD和^PQD都是等腰直角三角形，

絲亞也="QQ=45。，

PDBD2”

???乙BDP+^PDA=APDA+Z.ADQ=45°,

:.Z-BDP=Z.ADQ,

??.△BPDs〉A(chǔ)QD,

QD_AD_AQ_/2

二而=而=前=T

AQ—x,AD=10,

BP-V2x,AP=10—V2x,

在RtAPAD中，AP2+AD2=DP2,

即(10-魚%)2+102=DP2,

???DP是正方形DEPQ的對角線，正方形DEPQ的面積為y,

1

??.y=qDP?9,

y=1x[(10-V2x)2+100]=*(100-20V2x+2x2+100)=x2-10V2x+100,

-.?AQ>0,DP>0,

0<%<5V2.

15.【答案】(1)N1=N2=N3

(2)證明：設(shè)AM、EF相交于點(diǎn)O,

由題意得；EF是AB的垂直平分線，AM是BB，的垂直平分線，AB=AB\

.,.AB=BB',OA=OB=OB',

.,.AB=BB=AB,O為外心，

/.ZABB=60°,貝叱l=N2=30°,

?..四邊形ABCD是矩形，

.".ZABC=90°,

.?.N3=90°-60°=30°,

.,.Z1=Z2=Z3；

(3)證明：如圖，

同理(2)可得：OB=OB'=OP=OP',BP'=PB'=BB',

.,.ZPBO=ZBBO,NBBONOBB',

VEF/7BC,

.,.ZBBO=ZCBB\

.,.BB，是NNBC的一條三等分線.

16.【答案】(1)解：如圖1,設(shè)BC=x,

圖1

則AD，=AD=BC=x,D'C'=AB'=AB=1,

.\D'B=AD,-AB=x-l,

,ZZBAD=ZD'=90°,ZD'BC'=ZDBA,

.,.△D'CB^AADB,

?D'C_D'B

??初=沖

解得x=與l

(2)解：D'M=DM，理由如下：

???NADM=NDAC,

,.?AD=AD,NADC=NDAB=90。，DC=AB,

AAACD^ADBA(SAS),

???NDAC=NADB,

???NADB=NADM,

VAD^AD,

???NADD』/ADD,

???NMDD'=NMD'D,

???D'M=DM；

(3)解：MN2=PN-DN.理由如下:

如圖3,連接AM,

圖3

VD'M=DM,AD=AD,AM=AM,

.?.△AD'M四△ADM(SSS),

/.ZMAD'=ZMAD,

ZAMN=ZMAD+ZNDA,ZNAM=ZMAD'+ZNAP,

ZAMN=ZNAM,

?.MN=AN(等角對等邊)，

在Z\NAP和ZXNDA中，ZANP=ZDNA,ZNAP=ZNDA,

Z.ANPA^ANAD,

.PN_AN

"WW

.?.AN^PN-DN,

.\MN2=PN-DN.

17.【答案】(1)解：Z1=Z2=Z3

理由：設(shè)AM與EF交于點(diǎn)O,

(圖1)

將矩形紙片對折，使4。與BC重合，折疊紙片，使點(diǎn)B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A,

得到折痕4M,點(diǎn)B,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為B',E,

，AM垂直平分BB\EF垂直平分AB,

.,.AB=AB,,OB=OB'=OA,

.,.AB=AB'=BB',

???△ABB，是等邊三角形，

???NABB，=60。，

/.Zl=Z2=30°,

???/3=90。-30。-30。=30。，

???N1=N2=N3.

(2)證明：由折疊的性質(zhì)可得：AB=BB,AB=AB\AE=AE,AE=BE,

：.AB=BB'=AB,AE=BE,

??.△ABB'是等邊三角形，

9：AE'=BE,/.ABB=60°,

^￡.ABE=^BBE="ABB，=30。，

??,四邊形/BCD是矩形，

=90°,

?"3=30°,

AZ1=Z2=43；

(3)證明：設(shè)折痕1與線段EF的交點(diǎn)為M,連接并延長，交PP'于點(diǎn)H,連接MP,MP,如圖

所示：

由折疊的性質(zhì)可知：EF、折痕1分別垂直平分BP,BB\

：.BM=MP=BM=MP\EF||BC,

=乙MB'B=乙CBB',

:MP'=MB',點(diǎn)M在8"上，

：.BH垂直平分BRI(到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上)

：.BP=BB',

C.Z-PBH=乙BBH=乙CBB',

:?BB'是乙NBC的一條三等分線.

18.【答案】(1)8V2

(2)解：連接EF,如圖,

圖2

在（1）中已得矩形ABMN是正方形，

JAN=MN=BM=AB=8,zX=Z/V=90°=zM,

???E為AN中點(diǎn)，Q為BM中點(diǎn)，

???AE=EN=4=BQ=QM,

???根據(jù)翻折的性質(zhì)有=MQ=M'Q,/LA=^BAE=90°,^AEB=^AEB,乙MQP=^M,QP,

：.AE=AE=EN=4,MQ=MQ=BQ=4,^EAF=^BAE=90°

:?乙BM,Q=乙M,BQ,

LBM'Q+^M'BQ=Z.MQM=匕MQP=^M'QP,

:?乙M,BQ=匕PQM.

V^EAF=AE=90°fA'E=EN,FE=EF,

：.^EAF=^ENF,

：./,AEF=乙NEF,

又???△ZEB=^AEB,乙AEB+Z.AEB+Z.AEF+乙NEF=180°,

：.^AEB+^NEF=90°,

\aZ-AEB+^ABE=90°,

:?乙NEF=4ABE,

J結(jié)合4/=NN=90°有4ABENEF,

.AB_NE

??亞一所’

???AB=8,AE=EN=4,

=需即NF=2,

???MF=MN-NF=8-2=6,

???在RtABFM中,tanzFfiM=^=1=

??2M‘BQ=乙PQM,

3

tanzPQM=tanzFFM=彳；

(3)解：BQ啰

19.【答案】(1)1

⑵|

(3)證明：過F作FKLBC于K,如圖:

???N4=NB=90°,FK1BC,

???四邊形4BKF是矩形，

AB=FK,AF||BC,

：.乙FCK=乙GFD,

zG=ZX=90°,AADE=乙GDF,

:.Z.AED=Z.GFD,

???乙FCK=^AED,

???乙FKC=90°=LA,

???△FKC?XDAE,

FK_CF

AD=DE9

??.FK-DE=AD-CF,

??.DE-AB=CF-AD；

(4)解：過O作。M14D于點(diǎn)M,ON_LCD于點(diǎn)N,如圖:

???乙OMD="ND=90°,

???四邊形ZBCD是矩形,

BC=AD=6,AB=CD=8,乙MDN==乙BCD=90°,

四邊形OMDN是矩形，

乙MON=90°,

PE1CT于點(diǎn)O,

乙C0E=90°,

乙CON=乙EOM=90°-乙EON,

NON。=COME=90°,

△ONC八OME,

PC_ON

~OE=~OM'

乙OND=(BCD,

ON||BC,

△DONs、DBC,

ONOD

：'~BC=~BD"

同理”r_OD

'=BDf

ONOM

：'~BC=而

ONBC

：'OM=麗，

.O￡_BC__6_3

^~0E=AB=8=4;

⑸I

20.【答案】(1)解：ZGCF=45°；

(2)解：結(jié)論：zGCF=|a-90°;

理由：在AB上截取AN,使AN=EC,連接NE.

(1)

,?ZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,NABC=NAEF,

.,.ZEAN=ZFEC.

VAE=EF,

AAANE^AECF(SAS).

AZANE=ZECF.

???四邊形ABCD是菱形，

???AB=BC,AB〃CD,

???AB-AN=BC-EC,

即BN=BE,

???NENB=NNEB

VZEBN=a,

11

"ENB=乙NEB=2(180。-a)=90。一

LANE=180°—ZENB=180°-(90°-1cr)=90°

XVAB^CD,

.,.ZBCG=180°-ZEBN=180°-a,

12

AzGCF=乙ECF一(BCD=UNE-乙BCD=(90。+*a)-(180°-a)=|a-90°;

問題拓展：過點(diǎn)A作CD的垂線交CD的延長線于點(diǎn)P,設(shè)菱形的邊長為3b.

Va=120°,

AzGCF=—90。=]x120°-90°=90°,

??,四邊形ABCD是菱形，

???NB=NADC=a=120。，

???ZPAD=ZADC-90o=120°-90o=30°,

??,AD=2PD,

:.PD=^b,

則AP—y/AD2—PD2-J(3b)2_d"》=

:否=2'DC=3b,

???DG=b,CG=2b,

則PG=PD+DG=弱+b=如

VZAGP=ZFGC,ZAGP=ZCGF,

/.AAPG^AFCG.

在AB上截取AN,使AN=EC,連接NE,過點(diǎn)B作BHLNE,

則NH=EH,

?:乙ENB=（NEB=90°-^a=90°-^x120°=30°,

???BE=2BH,

設(shè)BH=x,貝!JBE=2x,EH=VfiE12-BH2=7（2x）2-%2=Wx，

則NE=2HE=2V3x,

故病急等

故BE=*NE=*CF，

,DZ7遮rr門76^/3,6,

..BE=_CF=_x_b=_b,

69

***CE=BC—BE=3b—9b=可血，

.幽_*_2

,,CE-97-3-

5D

21.【答案】（1）解：?.?四邊形ABCD是正方形,

：.AB=AD,ZX=90°

?Arxr^4r\180°-Z-A.-

..A.ADB=乙ABD=-----------=45°o

由旋轉(zhuǎn)可知=90。,

?.^ADF=Z.BDF-AADB=45°.

(2)解：仍然成立

若選圖2,證明如下：

如圖，過點(diǎn)F作FG，CD交CD的延長線于點(diǎn)G,則ZFG。=90。

?.,四邊形ABCD是正方形，

."C="DC=90。，BC=CD

:.乙FGD=乙C,乙CBE+乙BEC=90°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知EF=BE,乙BEF=90°.

:.乙BEC+乙FEG=90°.

."FEG=乙CBE

：.△FGE=AECBQMS)

：.FG=EC,EG=BC=CD.

：.EG-DE=CD-DE,BPCE=DG.

：.FG=DG

又：乙FGD=90°,."FOG=45。.

'J^ADC=90°,Z.FDA=180°-乙FDG-乙ADC=45°

若選圖3,證明如下：

如圖，過點(diǎn)F作FG_LCD交CD的延長線于點(diǎn)G,則ZFGD=90。

???四邊形ABCD是正方形，

ZC=A.ADC=90°,BC=CD

：.^FGD=4乙CBE+乙BEC=90°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知EF=BE,Z.BEF=90°.

.,.ZBEC+ZFEG=9O°.

J.Z-FEG=乙CBE

：.△FGE=△ECB^AAS}

：.FG=EC,EG=BC=CD.

：.EG+DE=CD+DE,BPCE=DG.

：.FG=DG

又,：乙FGD=9。。,：.Z-FDG=45°.

VZXDC=90°,C.Z,FDA=180°一乙FDG-^ADC=45°.

(3)BF=2V3

22.【答案】(1)菱形、正方形

(2)^AC-BD

(3)解：①證明：連接CG、BE,AB與CE交于點(diǎn)M,BC與CE交于點(diǎn)N,如圖:

,/四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，

/.ZF=ZCAG=ZBAE=90°,FG=AG=AC=CF,AB=AE,

,ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,

即NGAB=NCAE,

在4GAB和4CAE中，

-AG^AC

乙GAB=Z-CAEf

、AB=AE

AAGAB^ACAE(SAS),

???BG=CE,NABG=NAEC,

又,.?NAEC+NAME=90。，ZAME-ZBMN,

ZABG+ZBMN=90°,

?.ZBNM=90°,

???四邊形BCGE為垂美四邊形；

②解：：FG=CF=AC=4,ZACB=90°,AB=5,

/.BC=7AB2-4c2=V52-42=3，

；.BF=BC+CF=7,

在RtABFG中，BG=y/BF2+FG2=772+42=假，

CE=BG=V65>

四邊形BCGE為垂美四邊形，

?，"四邊形BCGE的面積=xBG-CE=/XV65xV65=竽.

23.【答案】(1)解：證明：?.?四邊形ABCD為矩形，

6,_____/

/.ZC=90°,AD〃BC,AB//CD

.\ZFED=ZEBC,ZEFD=ZABE,ZFDE=ZC=90°

,/四邊形DEGF平行四邊形，

二平行四邊形DEGF為矩形

VBE平分NABC,

ZABE=ZEBC=|ZABC./.ZFED=ZEFD..\DE=DF

矩形DEGF為正方形.

(2)解：BG=AC.理由：連接DG交BF于點(diǎn)O,連接BD.

BC

?；由(1)得四邊形DEGF為正方形,

，DG_LEF,GO=OD

，BF垂直平分DG.

.,.BG=BD

,四邊形ABCD為矩形，

/.AC=BD,

，BG=AC.

(3)A：補(bǔ)全圖形如下：

此時，A,G兩點(diǎn)之間的距離為2位.

B：補(bǔ)全圖形如下：

以A,C,G為頂點(diǎn)的三角形面積的最小值為軍.

4

24.【答案】(1)1

(2)解：過點(diǎn)A作AM||HF交BC于點(diǎn)M,作AN||EG交CD的延長線于點(diǎn)N,

：.AM=HF,AN=EG,

在長方形/BCD中，BC=AD,/.ABM=ABAD=^ADN=90°,

\'EGLFH,

：.^NAM=90°,

：.Z.BAM=乙DAN,

：.AABM?bADN,

.AM_AB

??麗二而‘

AB=m,BC=AD=n,

?ZM_m

99AN=n9

.EG_AN_n

**FH—AM—m9

(3)解：如圖所示：過。點(diǎn)作于點(diǎn)M,設(shè)CE交3產(chǎn)于點(diǎn)。,

,?CMLAB,

：.￡.CME=90°,

?31+42=90。，

VCE1BF,

AZ5OE=90°,

???42+43=90。，

AZ1=Z3,

:ACME?XBAF,

.CE_CM

?,麗=7F

9：AB=BC,^.ABC=60°,

-CE_CM_.._V3

^BF='BC=sm60no=r

25.【答案】(1)DE〃AB；DE=^AB

(2)解：在中，由勾股定理得ZC='BC?一引/2=4,

VDE/7AB,CE=AE,

.CD_CE_1

9UJC=AC=2'

.\CD=^BC=2.5,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CM=CD=2.5,CN=CE=^AC=2,NM=DE=*，^ACB=乙NCM,

：.Z.ACN=ABCM,

..AC_CN

*BC-5-CM'

:?MACNFBCM,

.AN_AC_4

^BM=BC=5；

(3)解：如圖3-1所示，當(dāng)CN〃AB時，延長MN交AB于T,

:?乙ACN=180°一4BAC=90°,

=乙CNT=乙CNM=90°,

???四邊形ACNT是矩形，

：.NT=AC=4,乙4TM=90°,AT=CN=2,

：?TM=NT+MN=3,

在RtAATM中，由勾股定理得：AM=y/AT2+TM2=；

如圖3-2所示，當(dāng)CN〃AB時，過點(diǎn)M作MHLAC于H,

圖3-2

,?CN