§2.9指、對、冪的大小比較指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2找中間值例2(2023·上饒模擬)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>b>a聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．跟蹤訓練1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>b>a D．c>a>b(2)(2023·安陽模擬)已知a＝log20.3，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0.3，c＝eq\f(\r(5),5)，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小例4(1)已知，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·棗陽模擬)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>c>a D．c>a>b聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．跟蹤訓練2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(參考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a(2)(2022·汝州模擬)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，則()A．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c題型三構(gòu)造函數(shù)比較大小例5(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝eq\f(5,ln5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<a<b B．a(chǎn)<c<bC．b<c<a D．a(chǎn)<b<c聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·南寧模擬)已知a＝68，b＝77，c＝86，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b>c>a B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大?。櫽柧?(1)設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>1，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系是()A.eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2) B.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)C.eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5) D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)(2)(2023·南昌模擬)設(shè)a＝e1.3－2eq\r(7)，b＝4eq\r(1.1)－4，c＝2ln1.1，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<a<b§2.9指、對、冪的大小比較指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a答案C解析因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x是增函數(shù)，所以，即a<b，又因為函數(shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以所以b<c，故c>b>a.命題點2找中間值例2(2023·上饒模擬)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>b>a答案C解析因為1＝log55>log53>log5eq\r(5)＝＝eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)<a<1，b＝>20＝1,7－0.5＝＝eq\f(1,2)，即0<c<eq\f(1,2)，所以b>a>c.命題點3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc答案C解析取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,4)，則ac＝，bc＝，∴ac>bc，故A錯誤；abc＝，bac＝，∴abc>bac，故B錯誤；logac＝＝－1，logbc＝log2eq\f(1,4)＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯誤．思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．跟蹤訓練1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>b>a D．c>a>b答案D解析因為y＝x0.6在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以1.60.6>0.60.6>0，又b＝lg0.6<lg1＝0，所以c>a>b.(2)(2023·安陽模擬)已知a＝log20.3，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0.3，c＝eq\f(\r(5),5)，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b答案D解析因為函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，0<0.3<1，所以a＝log20.3<log21＝0，又因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是減函數(shù)，0.3<1，所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0.3>eq\f(1,2)，而eq\r(5)<2.5，所以0<c＝eq\f(\r(5),5)<eq\f(1,2)，所以a<c<b.題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小例4(1)已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b答案A解析c＝＝1，因為y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且eq\f(1,1024)<eq\f(1,625)，所以a<b，又<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,625)))0＝1，即b<1，所以a<b<c.(2)(2023·棗陽模擬)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>c>a D．c>a>b答案A解析∵a＝log34＝eq\f(lg4,lg3)，b＝log45＝eq\f(lg5,lg4)，c＝log56＝eq\f(lg6,lg5)，∴a－b＝eq\f(lg4,lg3)－eq\f(lg5,lg4)＝eq\f(lg42－lg3lg5,lg3lg4)，∵lg3lg5<eq\f(lg3＋lg52,4)＝eq\f(lg152,4)<eq\f(lg162,4)＝eq\f(2lg42,4)＝(lg4)2，∴(lg4)2－lg3lg5>0，lg3lg4>0，∴a－b>0，即a>b，同理可證b>c，故a>b>c.思維升華求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．跟蹤訓練2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(參考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a答案B解析c＝930＝360，a＝2100?lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，b＝365?lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，c＝930?lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c.(2)(2022·汝州模擬)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，則()A．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案D解析由題意得，a＝log63＝log6eq\f(6,2)＝1－log62＝1－eq\f(1,log26)，b＝log84＝log8eq\f(8,2)＝1－log82＝1－eq\f(1,log28)，c＝log105＝log10eq\f(10,2)＝1－log102＝1－eq\f(1,log210)，因為函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以log26<log28<log210，則eq\f(1,log26)>eq\f(1,log28)>eq\f(1,log210)，所以a<b<c.題型三構(gòu)造函數(shù)比較大小例5(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝eq\f(5,ln5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<a<b B．a(chǎn)<c<bC．b<c<a D．a(chǎn)<b<c答案D解析設(shè)f(x)＝eq\f(x,lnx)，x≥e，則f′(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2)≥0恒成立，∴函數(shù)f(x)在[e，＋∞)上單調(diào)遞增，又a＝f(e)，b＝3log3e＝eq\f(3,ln3)＝f(3)，c＝eq\f(5,ln5)＝f(5)，∵e<3<5，∴f(e)<f(3)<f(5)，∴a<b<c.(2)(2023·南寧模擬)已知a＝68，b＝77，c＝86，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b>c>a B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c答案D解析令f(x)＝(14－x)lnx，則f′(x)＝－lnx＋eq\f(14,x)－1.因為y＝－lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，y＝eq\f(14,x)－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f′(x)＝－lnx＋eq\f(14,x)－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．而f′(5)＝－ln5＋eq\f(14,5)－1>0，f′(6)＝－ln6＋eq\f(14,6)－1<0，所以當x∈(6，＋∞)時，f′(x)<0.所以f(x)＝(14－x)lnx在(6，＋∞)上單調(diào)遞減．所以f(6)>f(7)>f(8)，即8ln6>7ln7>6ln8，故68>77>86.故a>b>c.思維升華某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大?。櫽柧?(1)設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>1，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系是()A.eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2) B.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)C.eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5) D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)答案B解析由x，y，z為正實數(shù)，設(shè)log2x＝log3y＝log5z＝k>1，可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.∴eq\f(x,2)＝2k－1>1，eq\f(y,3)＝3k－1>1，eq\f(z,5)＝5k－1>1，令f(x)＝xk－1，∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(2)<f(3)<f(5)，即eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5).(2)(2023·南昌模擬)設(shè)a＝e1.3－2eq\r(7)，b＝4eq\r(1.1)－4，c＝2ln1.1，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案B解析∵(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(2eq\r(7))2＝28>33，∴e1.3<2eq\r(7)，∴a<0；b－c＝4eq\r(1.1)－4－2ln1.1＝2(2eq\r(1.1)－2－ln1.1)，令f(x)＝2eq\r(x)－2－lnx，∴f′(x)＝eq\f(1,\r(x))－eq\f(1,x)＝eq\f(\r(x)－1,x)，∴當0<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x>1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(1.1)>0，即2eq\r(1.1)－2－ln1.1>0，∴c<b，又c＝2ln1.1>2ln1＝0，∴a<c<b.課時精練1．設(shè)a＝，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，c＝log2eq\f(3,2)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a(chǎn)<c<b答案B解析a＝>1，且<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝b，又c＝log2eq\f(3,2)<log22＝1.故c<a<b.2．(2021·新高考全國Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.3．設(shè)a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，則()A．c<b<a B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．a(chǎn)<c<b答案B解析a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1，所以a>b，a>c，b－c＝log32－log3020＝eq\f(lg2,lg3)－eq\f(1＋lg2,1＋lg3)＝eq\f(lg2－lg3,lg31＋lg3)<0，所以c>b，所以b<c<a.4．(2023·濰坊模擬)若3x＝4y＝10，z＝logxy，則()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y答案A解析因為3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2，則1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5．若e>b>a>eq\r(e)，m＝ab，n＝ba，p＝logab，則m，n，p這三個數(shù)的大小關(guān)系為()A．m>n>p B．n>p>mC．n>m>p D．m>p>n答案C解析因為e>b>a>eq\r(e)，所以取a＝2，b＝eq\f(5,2)，則m＝ab＝＝eq\r(25)＝eq\r(32)∈(5,6)，n＝ba＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＝eq\f(25,4)＝6.25，p＝logab＝log2eq\f(5,2)∈(1,2)，所以n>m>p.6．(2023·茂名模擬)已知a＝sin2，b＝ln2，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．b<c<a答案D解析a＝sin2>sin

eq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)>eq\f(3,4)，＝e3>24?>2?＝eq\f(3,4)>ln2，即b<eq\f(3,4)，∴a>b；∵＝eq\f(1,2)＝eq\f(32,64)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，∴>eq\f(3,4)，∴c>b；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))6＝eq\f(27,64)，＝eq\f(1,4)＝eq\f(16,64)，∴eq\f(\r(3),2)>，∴a>c，∴b<c<a.7．設(shè)a＝eq\r(9,10)，b＝9sin

eq\f(1,10)，c＝eq\r(5,3)，則()A．b<a<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a答案B解析令f(x)＝sinx－x，則f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)為減函數(shù)，所以當x>0時，f(x)<f(0)＝0，即sinx<x，所以b＝9sin

eq\f(1,10)<9×eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)<1，又a＝eq\r(9,10)>eq