五年(2019-2023)年高考真題分項(xiàng)匯編

冷題05克體瓜何(解答鑒J

高存?送瓶分衍

立體幾何在理科數(shù)解答題中一般出現(xiàn)在20題左右的位置。主要考查空間幾何體對(duì)應(yīng)的空間角問題，考查二

面角的頻率比較大。

備存真魅精折

1.（2023?全國?新課標(biāo)回卷）如圖，在正四棱柱A3CO-4B]C[D]中，A2=2,A4,=4.點(diǎn)&,凡,@2分另（]在

棱A4,,BB\,CClrDDt上,AA,=1,BB、=DD、=2,CC2=3.

⑴證明：82c2〃4。2；

(2)點(diǎn)尸在棱上，當(dāng)二面角p-AC?-2為150。時(shí)，求B2P.

2.（20203全國,統(tǒng)考新課標(biāo)回卷）如圖,三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,

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E為BC的中點(diǎn).

AF

⑴證明：BC±DA；

(2)點(diǎn)尸滿足EF=ZM，求二面角O—AB-尸的正弦值.

3.(2023?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，在三棱錐尸—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2應(yīng),PB=PC=^6,

BP,AP,8C的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=y/5DO,點(diǎn)尸在AC上，BF1AO.

(1)證明：〃平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面2ER

⑶求二面角Q-AO-C的正弦值.

2

4.（2023,全國,統(tǒng)考IWJ考甲卷）如圖，在二棱柱ABC-A4G中，4。-1底面43（7,Z.ACB=90°,AAt=2,At

到平面BCC4的距離為1.

Bi

（1）證明：4C=AC；

⑵已知M與BBt的距離為2,求A片與平面BCCR所成角的正弦值.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考乙卷）如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD^CD,ZADB=Z.BDC,E為AC的中

點(diǎn).

⑴證明：平面3ED_L平面ACD；

⑵設(shè)鉆=如=2,ZACB=60。，點(diǎn)尸在3D上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求CF與平面的所成的角的正弦

值.

6.（2022?全國?統(tǒng)考高考甲卷）在四棱錐P-ABCD中，底面

3

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=lAB=2,DP=y/3.

⑴證明：BD±PA；

(2)求尸。與平面上4B所成的角的正弦值.

7.(2022?全國?新課標(biāo)團(tuán)卷)如圖，直三棱柱ABC-A與G的體積為4,ABC的面積為2應(yīng).

⑴求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為4C的中點(diǎn)，AAl=AB,平面ABC，平面AB4A，求二面角A—C的正弦值.

4

8.(2022全國?統(tǒng)考新課標(biāo)國卷)如圖，PO是三棱錐P-A5c的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點(diǎn).

(1)證明：OE〃平面PAC；

(2)5^ZABO=Z.CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

9.(2021?全國?統(tǒng)考高考乙卷)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，底面A8CD,PD=DC=1,M

為BC的中點(diǎn)，且依_LA〃.

(1)求BC；

(2)求二面角A-PA/-3的正弦值.

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10.(2021?全國?統(tǒng)考高考甲卷)己知直三棱柱ABC-A2|G中，側(cè)面A41AB為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱4再上的點(diǎn).BF1A.B,

(1)證明：BF±DE；

(2)當(dāng)與。為何值時(shí)，面8瓦GC與面DEE所成的二面角的正弦值最小?

11.(2021?全國,新課標(biāo)回卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABZ〃平面BCD,AB=AD,。為3。的中

點(diǎn).

(1)證明：OALCD；

(2)若.。CD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-3C-D的大小為45。,

求三棱錐A-3CD的體積.

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12.（2021全國,統(tǒng)考新課標(biāo)回卷）在四棱錐。-ABCZ）中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=04=底QC=3.

（1）證明：平面QAOJ■平面ABCD；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

13.（2020?全國?回卷）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.ABC是

（1）證明：R4_L平面P3C；

（2）求二面角3-PC—E的余弦值.

14.（2020?全國?新課標(biāo)團(tuán)卷）如圖，四棱錐PA8C。的底面為正方形，尸?；氐酌鍭BCD設(shè)平面E4D與平面

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PBC的交線為I.

（1）證明：兩平面PZ）C；

（2）己知尸。=4。=1,。為/上的點(diǎn)，求與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

15.（2020全國?統(tǒng)考新課標(biāo)回卷）如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，PD_L底面ABCD.設(shè)平面力。與平

面PBC的交線為/.

P

（1）證明：/I平面PDC；

（2）已知PO=AO=1,Q為/上的點(diǎn)，Q8=0,求P8與平面QCD所成角的正弦值.

16.（2020全國?統(tǒng)考新課標(biāo)團(tuán)卷）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面BB】JC是矩形，M,

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N分別為BC,BQ的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B￡和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：AAiSMN,且平面AiAMMBEBiQF；

(2)設(shè)。為ELAiBQ的中心，若A。0平面EBiQF,且AO=AB,求直線&E與平面4A/WN所成角的正弦值.

17.(2019?全國?統(tǒng)考13卷)如圖，直四棱柱ABCD-A/B/C/Q的底面是菱形，A4/=4,AB=2,回540=60。，E,

M,N分別是BC,BBi,4。的中點(diǎn).

(1)證明：平面C/DE；

(2)求二面角A-MA/-N的正弦值.