重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2024年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知AABC中，BC\=2,BABC=-2.點(diǎn)尸為8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC-(PA+P3+PC)的最小值為()

325

A.2B.——C.—2D.------

412

2-3z,、

2.---=()

1+Z

15.15.15.15.

A.----1B.----1C.—+—zD.--+—z

22222222

3.已知a=log374,b=logm,c=若a>b>c,則正數(shù)加可以為()

22

A.4B.23C.8D.17

4.如圖，正三棱柱ABC-AqC各條棱的長度均相等，。為AA的中點(diǎn)，分別是線段8瓦和線段CG的動(dòng)點(diǎn)

(含端點(diǎn))，且滿足6"=GN,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不F確的是

4將―---------Ci

/\

*

H

A.在ADACV內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DAWJ_平面5。￡四

C.三棱錐A-DMN的體積為定值

D.ADACV可能為直角三角形

5.已知函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)，且/(x)—/⑴=In(l+x)—ln(l—x)—7若對(duì)Vxeg。，|/(依+1)|<|/(x—1)|

1—x62

恒成立，則。的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-4,-1)C.(-3,0)D.?0)

6.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向

后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知復(fù)數(shù)z=（l+，）（3—為虛數(shù)單位）,則z的虛部為（）

A.2B.2iC.4D.4z

8.函數(shù)=—d（<y>0）,當(dāng)x?0,司時(shí)，/（%）的值域?yàn)楱D-梳，1，則。的范圍為（）

535524

A.B.D.

6526,32?3

9.已知/為拋物線必=4〉的準(zhǔn)線，拋物線上的點(diǎn)M至I"的距離為d,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,1）,貝!!|陰+d的最小值是

()

A.V17B.4C.2D.1+#7

10.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)。，E分別是邊AB,的中點(diǎn)，連接OE并延長到點(diǎn)尸，使得

￡史=2跖，則的值為（）

11.設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，則“（45+4。），5?！笔恰皘筋卜,4”（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

12.已知機(jī)為實(shí)數(shù)，直線4：nvc+y-l=O,l2：（3m-2）x+my-2=0,貝!機(jī)=1”是“4//夕的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知E為拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)，過尸作兩條互相垂直的直線4，/2,直線式與C交于A、B兩點(diǎn),直線4

與C交于D、E兩點(diǎn),貝?。﹟45|+|?！陓的最小值為.

14.若X,y均為正數(shù)，s,x+y=xy,則x+y的最小值為.

15.已知集合4={-1,0,2},3={無,=2"-1,neZ},則AB=.

16.函數(shù)/（%）=5加12%+口的最小正周期為;若函數(shù)〃尤）在區(qū)間（0,上單調(diào)遞增，則c的最大值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，直三棱柱ABC—中，底面ABC為等腰直角三角形，ABLBC,/%=2AB=4,M,N

分別為CG，8用的中點(diǎn)，G為棱A4上一點(diǎn)，若A3,平面肱VG.

"1

(1)求線段AG的長;

(2)求二面角5—MG—N的余弦值.

18.(12分)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)

行調(diào)查，如表：(平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘)

平均每天鍛煉

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

的時(shí)間/分鐘

總?cè)藬?shù)203644504010

將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在［40,60)的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.

(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表:

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)

男

女20110

合計(jì)

并通過計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流.

(i)求這10人中，男生、女生各有多少人？

(ii)從參加體會(huì)交流的10人中，隨機(jī)選出2人發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：K2=------------------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

2

P(K>k0)0.100.050.0250.010

0k°2.7063.8415.0246.635

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|2x+a|-|尤一3|(。wR).

(1)若a=—1,求不等式/(x)+l>0的解集；

(2)已知a>0,若/'(x)+3a>2對(duì)于任意恒成立，求”的取值范圍.

20.(12分)我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動(dòng)就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁

瑣，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動(dòng)就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,

得到其辦理手續(xù)所需時(shí)間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表：

時(shí)間［。，2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)

人數(shù)156090754515

(1)若300名辦理社保的人員中流動(dòng)人員210人，非流動(dòng)人員90人，若辦理時(shí)間超過4天的人員里非流動(dòng)人員有60

人，請(qǐng)完成辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間

與是否流動(dòng)人員”有關(guān).

列聯(lián)表如下

流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)

辦理社保手續(xù)所需

時(shí)間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

60

時(shí)間超過4天

總計(jì)21090300

(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng)，提高效率，從抽取的300人中辦理時(shí)間為［8,12)流動(dòng)人員中利用分層抽樣，抽取12名流動(dòng)

人員召開座談會(huì)，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時(shí)間為［10,12)的人數(shù)為自，求出自分布列及期望值.

附：K2=___-___

(a+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0100.005

2.7063.8416.6357.879

21.(12分)已知拋物線。d=4力(〃為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)尸且斜率為網(wǎng)后0)的直線交。于A,6兩點(diǎn),

線段A3的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,拋物線C在點(diǎn)A,3處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AE5G的面積為S.

(1)求點(diǎn)G的軌跡方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S是否為整數(shù)？若是，請(qǐng)求出所有滿足條件的S的值；若不是，請(qǐng)說明理由.

22.(10分)手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，

有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該

村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，

質(zhì)量把關(guān)程序如下：(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；(ii)若僅有1位行家

認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工

藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；(iii)

若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為

質(zhì)量不過關(guān)的概率為:，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.

(1)求一件手工藝品質(zhì)量為3級(jí)的概率；

(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為O級(jí)不能外銷，

利潤記為100元.

①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；

②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

以3c的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得6(—1,O),C(1,O),設(shè)P(a,O),A(x,y),運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,

求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于。的二次函數(shù)，可得最小值.

【詳解】

以3c的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，

可得6(-1,O),C(LO),設(shè)P(a,0),A(x,y),

由348c=-2，

可得(x+1,y).(2,0)=2x+2=—2,即x=-2,ywO,

貝！jPC.(_PA+P3+PC)=(1-a,0).(x-a-1-a+1-a,y+0+0)

=(1_a)(x_3a)=(1—Q)(-?—3a)=3cr—ci—2

當(dāng)a=J■時(shí)，PC.(PA+P3+PC)的最小值為一生.

6''12

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

2、B

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

_2-3i_(2-3z)(l-z)_-l-5z_15.

z-------=-----------------=-------------------1

1+i+222'

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出。的取值范圍，再代入驗(yàn)證即可；

【詳解】

解：?..3=log327<a=log374<log381=4,.?.當(dāng)加=8時(shí)，6=log2〃，=3滿足。>b>c,...實(shí)數(shù)a可以為8.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；

B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；

C項(xiàng)三棱錐A的體積與三棱錐N-4。/體積相等，三棱錐N-ADM的底面積是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確；

B項(xiàng)，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面DMN±平面BCC&],故正確；

C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),△AiDM的面積不變,N到平面AjDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐Ai-DMN的體積為定值，故正確；

D項(xiàng)，若△DMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BCi,而此時(shí)DM,DN的長大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

5、A

【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得了(%),/'(x),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/Xx)是奇函數(shù)，

所以函數(shù)/'(%)是偶函數(shù).

f(1%)一/'(—X)=ln(l-%)-ln(l+x)-----,

即—f(x)-f\x)=ln(l-x)-ln(l+%)-

1-x

2

又/(x)—f\x)=ln(l+x)-ln(l-x)-

所以1/(x)=ln(l+x)-ln(l-x),f'(x)=-——-

2

函數(shù)”x)的定義域?yàn)?-U),所以尸(x)=^—~F>0,

則函數(shù)“x)在(-1/)上為單調(diào)遞增函數(shù).又在(o,i)上,

/(x)>/(0)=0,所以|/(刈為偶函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增.

^\f(ax+V)\<\f(x-V)\,

可得

|ar+l|<1-%1——<a<-\

2對(duì)％w恒成立’,

——<a<062

—3<a<—1

-4<tz<0

所以a的取值范圍是（-3,-1）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.

6、B

【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】

“正面朝南”“正面朝北”分別用“A”“V”表示，

利用列舉法，可得下表，

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到z=4+2"從而得到虛部為2.

【詳解】

因?yàn)閦=（l+，）（3—力）=4+27,所以％的虛部為2.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過程要注意『=—1.

8、B

【解析】

首先由可得ox-：的范圍，結(jié)合函數(shù)/（力的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)0的不等式，解

不等式即可求得范圍.

【詳解】

因?yàn)閤e［。,丐I，所以—,a)n--,若值域?yàn)椤?1,

所以只需工—工《生，，。4。三3.

23363

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

9、B

【解析】

設(shè)拋物線焦點(diǎn)為尸，由題意利用拋物線的定義可得，當(dāng)共線時(shí)，+d取得最小值，由此求得答案.

【詳解】

解：拋物線焦點(diǎn)b(0,1),準(zhǔn)線y=-l,

過M作MN工l交l于前N,連接F0

由拋物線定義Ww|=|MF|=d,

:.\MP\+d=|W|+|MF|>|PF|=A/47=4,

當(dāng)且僅當(dāng)RM,尸三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”號(hào)，

.?.|叫+"的最小值為4.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

10、D

【解析】

設(shè)A4=o，BC=b，作為一個(gè)基底，表示向量場=［*=［伍—a),DF=lDE^(b-a\,

22'，24'，

AF=AD+DF^--a+-（b-a\=--a+-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、'44

【詳解】

設(shè)BA=。，BC=b?

所以￡）百=24。=9仿一a）,DF=-DE=AF=AD+DF=--6?+-^-^=--a+-b,

22、'24、'24、'44

531

所以AE?BC=——a-b+—b-b=—.

448

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

由于點(diǎn)A,B,。不共線，貝!I

（45+4。）,5。0（45+4。）.8。=00（45+40.比_必=402-府=0。舅=加

網(wǎng)=,中；

故“（AB+AC）15?！笔恰皘筋卜的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

根據(jù)直線平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)m=l時(shí)，兩直線方程分別為直線h：x+y-1=0,h:*+丫-2=0滿足11〃12,即充分性成立，

當(dāng)m=0時(shí)，兩直線方程分別為y-1=0,和-2x-2=0,不滿足條件.

當(dāng)m/）時(shí)，則h〃12n網(wǎng)二2=‘7二，

m1—1

3m—2F77

由------二一得in?-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

由一H—得m,2,則m=L

1—1

即“m=l”是“h//L”的充要條件，

故答案為：A

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能

力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線qx+4_y+G=0和直線。2%+4丁+。2=。平行，則。也一。24=0且兩

直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、16.

【解析】

由題意可知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)/:(1,0),準(zhǔn)線為x=—1

設(shè)直線4的解析式為y=M九-1)

?.?直線/1」2互相垂直

：,I的斜率為-7

k

與拋物線的方程聯(lián)立｛)=—1)，消去y得公尤2—(2K+4)X+左2=0

y~=4x\)

242+42；+4

由跟與系數(shù)的關(guān)系得占+々=：，同理—

?.?根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離

.**|二年+1+%2+1，同理|DE^=Xy+I+X4+1

22—+4

\AB\+\DE\=lk^+—+4=8+p+4F>8+2A/4^4=16,當(dāng)且僅當(dāng)左2=1時(shí)取等號(hào).

故答案為16

點(diǎn)睛：(1)與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離

轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以使運(yùn)算化繁為簡.“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題

的重要途徑；(2)圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件.

14、4

【解析】

由基本不等式可得個(gè)寄］，則,即可解得x+y?4.

【詳解】

方法一：x+y=xy<^^nx+yN4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等.

X+V1II

方法二：因?yàn)獒?丁=孫，所以一^=l=>-+-=l,

xyxy

所以尤+y=(x+y)-+-=-+^+2>2Vl+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等.

vxyJyx

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用，難度較易.

15、{-1}

【解析】

由6={%=2〃-1,“ez}可得集合B是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.

【詳解】

解：因?yàn)?={x|x=2"-l,"ez}

所以集合3中的元素為奇數(shù)，

所以AB={-1}.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集，解析出集合3中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.

16、萬—

8

【解析】

直接計(jì)算得到答案，根據(jù)題意得到2x+fef,2a+f,2?+^<^,解得答案.

4(44)42

【詳解】

：

sinf2x+故T=兀,當(dāng)xe(0,a)時(shí)，2x+：e戶+j，

故2戊+￡三9,解得cwj.

428

JT

故答案為：兀；—?

8

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)AG=1(2)6

5

【解析】

(1)先證得44，GN,設(shè)45與GN交于點(diǎn)E,在ABNE中解直角三角形求得,由此求得AG的值.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面3MG和平面NMG的法向量，計(jì)算出二面角3-MG-N的余弦值.

【詳解】

\B1平面MNG

(1)由題意,>^AiB±GN,

GNu平面A/NG

設(shè)4/與GN交于點(diǎn)E,在ABNE中,可求得BE=竽，則4石=?

可求得AG=3,則AG=1

(2)以月為原點(diǎn)，片3方向?yàn)閤軸，同。方向?yàn)閥軸，44方向?yàn)閦軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

3(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)

BM=(-2,2,0),BG=(-1,0,2),易得平面朋TG的法向量為1=(2,2,1).

NM=(0,2,0),NG=(1,0,2),易得平面NMG的法向量為％=(2,0,—1).

設(shè)二面角3—MG—N為。，由圖可知。為銳角，所以

cos"3注=3=旦

l^l-l^l3-V55

即二面角5—MG—N的余弦值為好.

5

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

4

18、(1)能；(2)(i)男生有6人，女生有4人；(ii)￡(X)=-,分布列見解析.

【解析】

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表.由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這

樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計(jì)算K?可得結(jié)論；

(2)由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為3：2可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，X的可能值為0,1,2,分別

計(jì)算概率得分布列，再由期望公式可計(jì)算出期望.

【詳解】

(1)列出列聯(lián)表，

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)

男603090

女9020110

合計(jì)15050200

%=200x(60x20-30x90)2=200.^咐〉5.024,

150x50x90x11033

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).

(2)(i)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生50中，男女生人數(shù)比為3:2,

用分層抽樣方法抽出10人，男生有6人，女生有4人.

(ii)從參加體會(huì)交流的10人中，隨機(jī)選出2人發(fā)言，2人中女生的人數(shù)為X,

則X的可能值為0,1,2,

「21「1只「27

則P(X=0)=-f~=—,P(X=1)=^^=—,P(X=2)=m=—,

*3'15C*15

可得X的分布列為:

X012

p182

31515

1o94

可得數(shù)學(xué)期望E(X)=0x-+lx^+2x—=-.

【點(diǎn)睛】

本題考查列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣，隨機(jī)變量的概率分布列和期望.主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

19、(1){x|x<-l或%>1}；(2)(2,+oo).

【解析】

(1)a=-1時(shí)，分類討論，去掉絕對(duì)值，分類討論解不等式.

(2)。>0時(shí)，分類討論去絕對(duì)值，得到/(%)解析式，由函數(shù)的單調(diào)性可得/(光)的最小值，通過恒成立問題，得

到關(guān)于。的不等式，得到。的取值范圍.

【詳解】

—x—2,%<一

2

(1)因?yàn)椤?一1,所以/'(%)=<3x—4,一<%?3,

2

x+2,x>3

1

-<x<3x>3

所以不等式/(尤)+1>0等價(jià)于｛2或v2或4

[x+2+l>0

-x-2+l>03x—4+1>0

解得或%>1.

所以不等式/■(九)+1>0的解集為{x|x<—l或％>1}.

a

—x—a—3c,%<—

2

(2)因?yàn)椤?gt;0,所以因(%)=<3x+〃-3,-9

x+a+3,x>3

a

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/(%)的最小值為f-t-3

因?yàn)?（%）+3。>2恒成立，所以一￡—3+3a>2,解得。>2?

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2,轉(zhuǎn)）.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類討論去絕對(duì)值，分段函數(shù)求最值，不等式恒成立問題，屬于中檔題.

3

20、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，一.

4

【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，計(jì)算出K?的觀測值，即可進(jìn)行判斷；

（2）先計(jì)算出時(shí)間在［8,10）和［10,12）選取的人數(shù)，再求出J的可取值，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求得分布列,

結(jié)合分布列即可求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

（1）因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有流動(dòng)人員210人，非流動(dòng)人員90人，所以辦理社保手續(xù)

所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表如下：

辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表

流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)

辦理社保手續(xù)所需

453075

時(shí)間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

16560225

時(shí)間超過4天

總計(jì)21090300

結(jié)合列聯(lián)表可算得K?=3。。；；黑募R=詈.4.762>3,841.

有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員”有關(guān).

（2）根據(jù)分層抽樣可知時(shí)間在［8,10）可選9人，時(shí)間在［10,12）可以選3名,

故&=0,1,2,3,

貝！|。（。=。）=/=||C2c127

P(^=l)=^-A=—

一a55

c'c227c0c31

3=看』心3)=『五

可知分布列為

40123

2127271

P

5555220220

21272713

可知E((^)=0x—+lx—+2x—+3x—=-.

55552202204

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2的計(jì)算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.

21、(1)y=~P(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S不是整數(shù).

【解析】

(1)先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程；

(2)先求解弦長仙耳，再分別求解點(diǎn)E,G到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行

判斷.

【詳解】

⑴設(shè)如當(dāng)卜6(為,先),則x；=4孫芯=4p%,

12,1

拋物線C的方程可化為工而貝仃=57,

11

所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為y=「Xiz(x-xJ+%=—

2P2P

1/、1

在點(diǎn)B處的切線方程為y=—x(x-x,)+y=-xx-y,

2p222p22

11

因?yàn)閮汕芯€均過點(diǎn)G,所以%=丁石/一%，%=丁々%—%

2P2P

11

所以A,5兩點(diǎn)均在直線上先=丁/工->,所以直線A5的方程為方=丁毛%一丁，

2P2p

又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)尸(0,p),所以%=-〃，即G點(diǎn)軌跡方程為>="?；

1

(2)設(shè)點(diǎn)G(x0,一P),由(1)可知，直線A3的方程為一〃=「玉)》一丁,

2P

1

即y=『xox+"，

2P

1

y=——xx+p、、

將直線A3的方程與拋物線聯(lián)立，《-2po,整理得%2—2/x—4p2=o,

=4py

所以石+々—2%0,王%=—4p~＞解得忖—%|=2+4p-）

因?yàn)橹本€AB的斜率左=丁/70,所以％o,O,

2P

1

且|AB|=A/1+k|xj-x2|="+4P,

1,

線段45的中點(diǎn)為M(x(),丁/+。)，

2P

所以直線EM的方程為：y=-—(x-x0)+^-xl+p,

/2P

12

所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—x；+p),

2P

直線AB的方程整理得/X—2py+2P2=0,

忖+4/|_

則G到AB的距離4=

收+4p2

|-xo-4°2|_

則E到A3的距離d2=

（%；+4p2）Jx：+4p2

所以S=；|A@(4+d2)=

P

設(shè)/=%，因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，且.%為整數(shù)，所以同="1