第三章平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)第一節(jié)平均數(shù)下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第1頁平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最慣用統(tǒng)計量，用來表明資料中各觀察值相對集中較多中心位置。平均數(shù)主要包含有：

算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）

中位數(shù)（median）

眾數(shù)（mode）

幾何平均數(shù)（geometricmean）

調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）

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一、算術(shù)平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀察值總和除以觀察值個數(shù)所得商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。算術(shù)平均數(shù)可依據(jù)樣本大小及分組情況而采取直接法或加權(quán)法計算。

(一)直接法

主要用于樣本含量n≤30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)計算。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第3頁設(shè)某一資料包含n個觀察值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可經(jīng)過下式計算：（3-1）

其中，Σ為總和符號；表示從第一個觀察值x1累加到第n個觀察值xn。當(dāng)在意義上已明確時，可簡寫為Σx，（3-1）式可改寫為：下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第4頁【例3.1】某種公牛站測得10頭成年公牛體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。

因為Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n=10

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第5頁得：即10頭種公牛平均體重為528.5kg。

（二）加權(quán)法對于樣本含量n≥30以上且已分組資料，能夠在次數(shù)分布表基礎(chǔ)上采取加權(quán)法計算平均數(shù)，計算公式為：（3-2）下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第6頁式中：—第i組組中值；—第i組次數(shù)；—分組數(shù)第i組次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小數(shù)量，所以將fi

稱為是xi“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名?！纠?.2】將100頭長白母豬仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表以下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第7頁表3—1100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第8頁利用（3—2）式得：即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計算若干個來自同一總體樣本平均數(shù)平均數(shù)時，假如樣本含量不等，也應(yīng)采取加權(quán)法計算。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第9頁【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725kg，假如將這兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個牛群所包含牛頭數(shù)不等，要計算兩個牛群混合后平均體重，應(yīng)以兩個牛群牛頭數(shù)為權(quán)，求兩個牛群平均體重加權(quán)平均數(shù)，即下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第10頁即兩個牛群混合后平均體重為738.89kg。

（三）平均數(shù)基本性質(zhì)1、樣本各觀察值與平均數(shù)之差和為零，即離均差之和等于零。或簡寫成下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第11頁2、樣本各觀察值與平均數(shù)之差平方和為最小，即離均差平方和為最小。(xi-)2<(xi-a)2（常數(shù)a≠）或簡寫為：<對于總體而言，通慣用μ表示總體平均數(shù)，有限總體平均數(shù)為：（3-3）下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第12頁式中，N表示總體所包含個體數(shù)。當(dāng)一個統(tǒng)計量數(shù)學(xué)期望等于所預(yù)計總體參數(shù)時，則稱此統(tǒng)計量為該總體參數(shù)無偏預(yù)計量。統(tǒng)計學(xué)中慣用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）預(yù)計量，并已證實樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ無偏預(yù)計量。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第13頁二、中位數(shù)

將資料內(nèi)全部觀察值從小到大依次排列，位于中間那個觀察值，稱為中位數(shù)，記為Md。

當(dāng)觀察值個數(shù)是偶數(shù)時，則以中間兩個觀察值平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所取得數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時，中位數(shù)代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)計算方法因資料是否分組而有所不一樣。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第14頁

（一）未分組資料中位數(shù)計算方法

對于未分組資料，先將各觀察值由小到大依次排列。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第15頁1、當(dāng)觀察值個數(shù)n為奇數(shù)時，(n+1)/2位置觀察值，即x(n+1)/2為中位數(shù)：Md=

2、當(dāng)觀察值個數(shù)為偶數(shù)時，n/2和（n/2+1）位置兩個觀察值之和1/2為中位數(shù)，即：（3-4）下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第16頁【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)為144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。此例n=9，為奇數(shù)，則：Md==150（天）即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)中位數(shù)為150天。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第17頁【例3.5】某犬場發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)覺癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。此例n=10，為偶數(shù)，則：(天)即10只仔犬從發(fā)覺癥狀到死亡天數(shù)中位數(shù)為11.5天。

（二）已分組資料中位數(shù)計算方法下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第18頁

若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次數(shù)分布表來計算中位數(shù)，其計算公式為：

（3—5）式中：L—中位數(shù)所在組下限；i—組距；

f—中位數(shù)所在組次數(shù)；

n—總次數(shù)；

c—小于中數(shù)所在組累加次數(shù)。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第19頁【例3.6】某奶牛場68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間整理成次數(shù)分布表如表3—2所表示，求中位數(shù)。表3—268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時間次數(shù)分布表下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第20頁由表3—2可見：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對應(yīng)“57—71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3—5）得：(天)即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時間中位數(shù)為70.5天。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第21頁三、幾何平均數(shù)n個觀察值相乘之積開n次方所得方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)動態(tài)分析，畜禽疾病及藥品效價統(tǒng)計分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖增加率，抗體滴度，藥品效價，畜禽疾病潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計算公式以下：

(3-6)下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第22頁為了計算方便，可將各觀察值取對數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG反對數(shù)，即得G值，即(3-7)【例3.7】某波爾山羊群1997—年各年度存欄數(shù)見表3—3，試求其年平均增加率。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第23頁表3—3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增加率下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第24頁利用（3—7）式求年平均增加率G==lg-1[（-0.368-0.398–0.602）]=lg-1（-0.456）=0.3501即年平均增加率為0.3501或35.01%。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第25頁四、眾數(shù)

資料中出現(xiàn)次數(shù)最多那個觀察值或次數(shù)最多一組組中值，稱為眾數(shù)，記為M0。如表2-3所列50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)次數(shù)最多，則該資料眾數(shù)為22天。又如【例3.6】所列出次數(shù)分布表中，57—71這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料眾數(shù)為64天。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第26頁

五、調(diào)和平均數(shù)

資料中各觀察值倒數(shù)算術(shù)平均數(shù)倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H，即（3—8）

調(diào)和平均數(shù)主要用于反應(yīng)畜群不一樣階段平均增加率或畜群不一樣規(guī)模平均規(guī)模。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第27頁【例3.8】某保種牛群不一樣世代牛群保種規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用（3—9）式求平均規(guī)模：

(頭)

即保種群平均規(guī)模為208.33頭。

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第28頁對于同一資料：算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)上述五種平均數(shù)，最慣用是算術(shù)平均數(shù)。Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第29頁第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差

一、標(biāo)準(zhǔn)差意義用平均數(shù)作為樣本代表，其代表性強弱受樣本資料中各觀察值變異程度影響。僅用平均數(shù)對一個資料特征作統(tǒng)計描述是不全方面，還需引入一個表示資料中觀察值變異程度大小統(tǒng)計量。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第30頁

全距（極差）是表示資料中各觀察值變異程度大小最簡便統(tǒng)計量。不過全距只利用了資料中最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表示資料中各觀察值變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要快速對資料變異程度作出判斷時，能夠利用全距這個統(tǒng)計量。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第31頁為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個觀察值變異程度，人們首先會考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個觀察值與平均數(shù)離差，（），稱為離均差。即使離均差能表示一個觀察值偏離平均數(shù)性質(zhì)和程度，但因為離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，即（）=0，因而不能用離均差之和Σ（）來表示資料中全部觀察值總偏離程度。

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第32頁

為了處理離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零問題，可先求離均差絕對值并將各離均差絕對值之和除以觀測值個數(shù)n求得平均絕對離差，即Σ||/n。即使平均絕對離差能夠表示資料中各觀察值變異程度，但因為平均絕對離差包含絕對值符號，使用很不方便，在統(tǒng)計學(xué)中未被采取。Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第33頁

我們還能夠采取將離均差平方方法來處理離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零問題。先將各個離均差平方，即()2，再求離均差平方和，即，簡稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和平均數(shù)；下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第34頁

為了使所得統(tǒng)計量是對應(yīng)總體參數(shù)無偏預(yù)計量，統(tǒng)計學(xué)證實，在求離均差平方和平均數(shù)時，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計量表示資料變異程度。統(tǒng)計量稱為均方（meansquare縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即S2=（3—9）下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第35頁對應(yīng)總體參數(shù)叫總體方差，記為σ2。對于有限總體而言，σ2計算公式為：（3—10）Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第36頁

因為樣本方差帶有原觀察單位平方單位，在僅表示一個資料中各觀察值變異程度而不作其它分析時，常需要與平均數(shù)配合使用，這時應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差平方根。統(tǒng)計學(xué)上把樣本方差S2平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即：

（3-11）下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第37頁因為所以（3-11）式可改寫為：（3-12）下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第38頁

對應(yīng)總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對于有限總體而言，σ計算公式為：（3-13）在統(tǒng)計學(xué)中，慣用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S預(yù)計總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第39頁二、標(biāo)準(zhǔn)差計算方法

（一）直接法

對于未分組或小樣本資料，可直接利用（3—11）或（3-12）式來計算標(biāo)準(zhǔn)差。Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第40頁【例3.9】計算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10，經(jīng)計算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3—12）式得：(g)即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量標(biāo)準(zhǔn)差為65.828g。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第41頁（二）加權(quán)法

對于已制成次數(shù)分布表大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采取加權(quán)法計算標(biāo)準(zhǔn)差。計算公式為：

（3—14）式中，f為各組次數(shù)；x為各組組中值；Σf=n為總次數(shù)。

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第42頁

【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布表（見表3-4）計算標(biāo)準(zhǔn)差。將表3-4中Σf、Σfx、代入（3—14）式得：

(g)

即某純系蛋雞200枚蛋重標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第43頁表3—4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計算表下一張

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Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright-AsposePtyLtd.第44頁

三、標(biāo)準(zhǔn)差特征

（一）標(biāo)準(zhǔn)差大小，受資料中每個觀察值影響，如觀察值間變異大，求得標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。

（二）在計算標(biāo)準(zhǔn)差時，在各觀察值加上或減去一個常數(shù)，其數(shù)值不變。

（三）當(dāng)每個觀察值乘以或除以一個