專題09平面向量小題

解題秘籍

向量的運(yùn)算

兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式:

4(%,為)，B(x2,j2),=終點(diǎn)坐標(biāo)-始點(diǎn)坐標(biāo)=(%-%，%-乂)

(1)向量的加減法

“=(%,,yj,b=(x2,y2):.a+b=(<xx+x2,%+%)，a~b=(xl-x2,%一%)

(2)向量的數(shù)乘運(yùn)算

a=(x,y),則：2a=A(x,_y)=(Ax,Ay)

(3)向量的模

a=(x,y),則“的模忖=jY+y2

(4)相反向量

已知a=(x,y),貝！1—。=(一羽一丫)；已知

(5)單位向量

(6)向量的數(shù)量積

a-b=同?卜|<05。,其中6為&與6的夾角，記作a,6,且6e[0,句

a=(占，%),6=(%,%)，,。力=%%+%%

(7)向量的夾角

a'bxx+yy

cos6=x2x2

(8)向量的投影

。在6上的投影為同?cose=同?=I=44

H-HH

b在a上的投影為向?cos6=I4~T->=*

1111\4\b\同

(9)向量的平行關(guān)系

atlb<^>a=Abo玉%=%2乂

(10)向量的垂直關(guān)系

?

a_LZ?oaZ?=0oxvx2+yxy2=0

(ID向量模的運(yùn)算

a=L|2

模擬訓(xùn)練

一、單選題

（23-24上?永州?一模）

1.已知向量a=（T,2）,b=（3,-l）,d=（x,l）,且（a+26）_Lc,貝！jx=（）

A.2B.1C.0D.-1

（23-24上?寧波?一模）

2.若a,6是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，2a+b與-3a+2〃垂直，則2=（）

A.-B.-C.-D.-

8484

（23-24上?湖北?一模）

3.設(shè)，〃cR,0=0,1）,b=（4,M，c=（1,-2）,則6_Lc是a//6的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

（2223?三明?三模）

4.若向量3,%滿足a=（2,l）,a與〃垂直，則6在a上的投影向量為（）

A.（-2,-1）B.（2,1）C.（-2A/5,-A/5）D.（2非，?。?/p>

（23-24上?郴州?一模）

5.已知向量扇5滿足（。-分6=2,且6則向量d在向量方上的投影向量為（

試卷第2頁，共8頁

A.（2,2）B.（-2,2）C.（1,1）D.（-1,1）

（22-23下?金華?三模）

6.已知向量在=（2,1）,6=（-1,1）,向量。在。方向上的投影向量為（）

A.bB.—bC.2bD.—b

222

（2223.龍巖.二模）

7.已知向量0=（-3,0）,方=（2,1）,c=（A,-l）,2eR,若（a+2b），c,貝山在2上的投

影向量為（）

6_365/53A/5

C.D.

I55)5,~555)

（22-23下?長(zhǎng)沙?三模）

8.已知向量0=（2,1）,b=（T，3),則向量a在B方向上的投影向量為（)

1,

A.~^bB.C.—bD.~—b

1010

（22-23下.常州?一模）

9.己知平面向量a,6,滿足H=2,6=（Ll）,|a+b|=J記，貝Ua在方方向上的投影向量的

坐標(biāo)為（）

A。3?B.（1/）C.（一1,一1）口.卜卓一生

（22-23下?江蘇?三模）

10.已知非零向量a,b滿足6=（石,1）,{a,b）=~,若"可"則向量a在向量b方

向上的投影向量為（）

11c

A.—bB.—bC.—bD.b

422

（22.23?深圳?二模）

11.在正六邊形ABCOE尸中，陽與CE相交于點(diǎn)G,設(shè)尸G=p,CG=q,則8C=（）

12c21D.；p+q

A.~p+—qB.~p+—qP+

2332c.5g

(22?23?濰坊?三模)

12.已知平面向量￡與。的夾角是60。,且同=2,6=（1,2）,則。.(2a-6)=()

A.8+2若B.4-75C.8-百D.4+2石

（2223?寧德?一模）

13.已知向量°,6的夾角為60。，且忖=2忖=2,貝U1a+q（feR）的最小值是（）

A.3B.2C.6D.V2

（22-23下?浙江?二模）

14.在三角形ABC中，AB=7,BC=8,AC=9,AM和AN分別是8C邊上的高和中線,

則（）

A.14B.15C.16D.17

（2223.廣東?二模）

15.已知單位圓。是AA8C的外接圓，若4=則A80C的最大值為（）

4

A.JB.—C.1D.72

22

（22-23下?長(zhǎng)沙?二模）

-JT

16.已知aABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若人=:，則543。的最大值為（）

4

A.72+1B.272C.2D.1-72

（22-23下?湖北?三模）

17.正1aABC的邊長(zhǎng)為2,BM=2MC，貝()

7「810

A.2B.-C.—D.——

333

（2223?滄州?三模）

uunilUumi

18.在，ASC中，若。4=0q=0（7=0尸，.AB|=|AC|=2,A=120°,則APAB的取

值范圍為（）

A.[—2,8]B.[—2,6]C[-4,6]D.[T8]

（22-23下?武漢?三模）

19.如圖，在，ABC中，M為線段BC的中點(diǎn)，G為線段AM上一點(diǎn)，AG=2GM,過

點(diǎn)G的直線分別交直線42,AC于P,。兩點(diǎn),AB=xAP^x>0),AC=yAQ(^y>0^,

41

則丁的的最小值為（）.

A

BMC

試卷第4頁，共8頁

3

A.C.3D.9

（22-23下?武漢?三模）

20.已知）=（1,2）,人為單位向量，若〃?力+卜|小卜0,貝同二（）

口（非2出'

A[-JB?「…J

0（JI_14￡\

C.,1.X.?

（2223?青島?三模）

21.已知向量3,b,c滿足：任=忖=1,a-（a-6）=：,（b-c）（36-c）=0,貝

的最小值為（）

A.73-1B.V3C.2D.1

（2223?廈門?二模）

22.在，A03中，已知|聞=夜，|同=1,ZAO3=45。，若OP=XOA+〃OB,且?guī)?2〃=2,

〃e[0,l],則。4在0P上的投影向量為相e（e為與。尸同向的單位向量），則機(jī)的取值

范圍是（）

④「「血」（五]（女：

A.——,1B.——,1C.——,1D.--,1

2J2J（2」（2

（22.23下?紹興?二模）

23.已知直線x+y="（a>0）與圓Y+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，^\OA+OB\^\OA-OB\,

其中。為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.1B.亞C.6D.2

（22-23下?浙江?三模）

24.已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為1的正十二邊形A44邊上任意一點(diǎn)，則APA4的最小值

為（）

A.B.-^±1C.-y/3D.-2

22、

（22-23下?南通?一模）

25.已知等邊；ABC的邊長(zhǎng)為2,。為的中點(diǎn)，尸為線段4。上一點(diǎn)，PE1AC,

2

垂足為E,當(dāng)尸3"。=—耳時(shí)，PE=（）

A.--AB+-ACB.--AB+-AC

3336

2uuninum

C.--AB+-ACD.——AB+-AC

6333

二、多選題

（2223梅州三模）

26.如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，CD//AB,CD=^-ABfE,尸分別為OC,

2

AE的中點(diǎn)，若AD=XAB+〃臺(tái)廠（Z〃eR）,則（）

B.〃=2

2

C.*D.〃二1

（22-23下?湖南?二模）

27.已知向量￡=（2,-1）,“〃入忖=2口，c=（l,2）,則（）

A.a-LcB.\a\C.8=(4,-2)D.b=a+c

（22?23?山東?二模）

28.下列說法正確的是（）

A.a+b]'C=a-c+b-c

B.非零向量°和b,滿足卜|＜W且“和0同向，則。＜力

C.非零向量〃和〃滿足,則〃_Lb

D.已知a=（2,若），6=（1,則a在b的投影向量的坐標(biāo)為

（2223?聊城.三模）

29.已知向量a,b滿足|。+6|=布，則。與〃的夾角可以為（）

71-2兀3兀-5兀

A.—B.—C.—D.——

6789

（2223?荷澤?三模）

30.已知點(diǎn)41,0）,3（-2,0）動(dòng)點(diǎn)/＞滿足慍?

=2,則下面結(jié)論正確的為（）

A.點(diǎn)尸的軌跡方程為（》+3）2+尸=4B.點(diǎn)尸到原點(diǎn)。的距離的最大值為5

試卷第6頁，共8頁

c.E4B面積的最大值為4D.PAM的最大值為18

三、填空題

（2223?衡水?一模）

31.已知向量。=（2,-3）,6=（—1,2）,。=。一2,3/）.若向量《與2"+6平行，則實(shí)數(shù)f的

值為.

（22-23下?鎮(zhèn)江?三模）

32.在ABC中，AB=3AD,點(diǎn)E是8的中點(diǎn).若存在實(shí)數(shù)使得A￡=；LAB+〃AC,

則2+〃=（請(qǐng)用數(shù)字作答）.

（2223?張家口?三模）

33.已知向量均為單位向量，aLb向量〃+2）與向量2〃+b的夾角為，，則

cos0=.

（22?23?深圳?二模）

34.已知平面向量不共線，若|〃|=1,|b|==1,貝!J當(dāng)瓦2a+萬的夾角為30時(shí)，

元的值是.

（22?23嚀德?二模）

35.在平行四邊形ASCD中，已知OE=：EC,BF=；FC,|AE|=A/2,|AF|=A/6,

則.

（2223?唐山?二模）

36.已知向量a=（l,2）,Z?=（2,3）,若（kb+d）/l（b-d）,則實(shí)數(shù)左=.

（22.23下?鹽城?三模）

37.在ABC中，AB=4,B=pAe],?,則跟淺的取值范圍是.

（2223?濟(jì)寧?三模）

38.在ABC中，。、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，AE交8。于點(diǎn)M.若AB=4,AC=6,

兀—

ZBAC=§,貝|]〃￡.必）=.

（2223?保定?二模）

39.在ABC中，點(diǎn)。在邊上，8平分NACB,若同=1,畫=2,ZACB=60°,

則.

（2223?惠州?一模）

40.已知點(diǎn)O在線段AB上，是ABC的角平分線，E為CD上一點(diǎn),且滿足

/、

ADAC

BE=BA+A----------1---------（-2>0）,|C4|-|CB|=6,|BA|=14,設(shè)R4=a,則助在d上的投影

HlACU

向量為..（結(jié)果用］表不）.

試卷第8頁，共8頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，由此求得X的值.

【詳解】a+2/7=（-1,2）+（6,-2）=（5,0）,

由于（a+26）J_e,

所以（a+26）?c=5x=0,x=0.

故選：C

2.B

【分析】由題意先分別算出7力2M.z，的值，然后將“丸。+/,與一3a+2石垂直”等價(jià)轉(zhuǎn)換為

32+訪）=0,從而即可求解.

【詳解】由題意有=1,b=|z?|=1,CZ-Z?=|<2|-|Z?|COS60°=lxlx1-=l,

又因?yàn)閄a+Z?與-3a+2b垂直，

所以（幾<2+6》（一3<2+26）=-3彳1+（2彳-3）<2.5+2『=-3/1+3*（2/1-3）+2=0,

整理得-22+工=0,解得X=L

24

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)向量共線和垂直的坐標(biāo)表示，分別求得優(yōu)的值，結(jié)合充分條件、必要條件的判

定方法，即可求解.

【詳解】由向量。=（加,1）,b=（4,加）,o=（1,一2）,

當(dāng)b_Lc時(shí)，可得4xl—2m=0,解得根=2；

當(dāng)〃//Z?時(shí)，可得4-1x4=0,解得加=±2,

所以匕，c是a//的充分不必要條件.

故選：A.

4.A

【分析】首先根據(jù)向量垂直求得小。=-5,再根據(jù)投影向量的公式，即可求解.

【詳解】由題意可知，a-（a+b^=a2+a-b=5+a-b=0,

即〃?/?=一5，

答案第1頁，共18頁

所以〃在a上的投影向量為丁==-。=(-2,-1).

口|\a\5

故選:A

5.B

【分析】由已知可求出=4,再利用投影向量的計(jì)算公式，可得答案.

【詳解】由b=(-M),則|正日

(a-b^b=a^b-b2=2,則無匕=4，

則向量4在向量Z?上的投影向量為=

聞聞

故選：B

6.B

【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求得答案.

【詳解】由題意得=(2/)?(—1/)=—1,W=J(_1)2+12=0,

n-hh1

所以向量d在匕方向上的投影向量為*?小=-%為，

聞聞2

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)已知向量坐標(biāo)，求投影向量公式求解即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜=(-3,0),6=(2,1),a+2b=(1,2),(a+2?_Lc,

所以(1,2>(4一1)=4-2=0,，彳=2,，。=(2,_1),向量b在向量c方向上的投影向量為

b-cc_2.(2)+1.卜1),2,-1)_3(2_1_(6,_3

|c|\c\J⑵2+EJ⑵?+『55)5,

故選：C

8.C

【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄?=(2,1),b=(T，3),

所以向量”在6方向上的投影向量為

答案第2頁，共18頁

a-bb-2+31

故選：c

9.B

【分析】由|a+b|=J而，平方求得。包=2,結(jié)合投影向量的計(jì)算公式，即可求解；

【詳解】由口=2,忖=0,且卜+b卜亞，

平方得卜『+2。力+忖2=4+2“力+2=：10,解得。d=2，

a-bb_ab2,

所以“在b方向上的投影向量為WM=『/=］后/力=°=°/n）.

故選：B.

10.A

【分析】依題意可得（”-6）”=。，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出口，即可求出人最

a-b,

后根據(jù)麗計(jì)算可得?

【詳解】因?yàn)椋āㄒ籦）_L",所以（〃一力/二）一Q.b=0,

-胴W=o,又〃=（石」），所以w=j（道y+f=2,斗卜1或忖=。（舍去），

所以==1,

a'b1,

所以。在心方向上的投影向量為環(huán)心7=兀%

故選：A.

11.C

【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理表示出GE，即可得到結(jié)果.

如圖，連接CP,

答案第3頁，共18頁

因?yàn)锳BCDEF為正六邊形，所以CP〃Z)E,CF=2DE,

所以GE=；CG=gq,所以BC=F^=GE-GF=gq+p.

故選：C

12.C

【分析】利用模的公式可得到忖=&,然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到答案

【詳解】由6=(1,2)可得忖=6,

因?yàn)槠矫嫦蛄俊昱c6的夾角是60。，且同=2,

所以a?2a-6)=2忖-71=2忖—|a|-|&|cos60°=8—y/5

故選：C

13.C

【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.

22而+

【詳解】扇+B2a+Z?+2ta-b=?+2fxlx2xg+4=11+3,

當(dāng)t=-l時(shí)，|a+W?eR)有最小值名,

故選：C

14.C

【分析】將AB,AC作為基底，用基底表示MN和BC，根據(jù)數(shù)量積的規(guī)則計(jì)算即可.

【詳解】

^AB=a,AC=b,BM=ABC,則有

AM=AB+2BC=AB+A(AC-AB)=(1-A)AB+ABC=(1-A)a+2Z?,

IA,B^+AC*2—BC^72+92-82_11

由余弦7E理得cosABAC=-----------------------

2AB.AC2x7x9-21

AM±BC,AM.BC=0,[(1-A)a+-a)=0,(1-2A)a.Z?-(1-A)?2+A/?2=0,

答案第4頁，共18頁

其中mb=忖.忖cosZBAC=63x.=33,a=49,&?=81，解得彳=；，

1112

BN=-BC,:.MN=BN-BM=~BC,MN-BC=-BC=16；

244

故選：C.

15.C

【分析】利用圓的性質(zhì)，得到ZBOC=:將A8.OC轉(zhuǎn)換為-cos(OA。。，進(jìn)而找到最大值.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)閱挝粓A。是AA8C的外接圓，A=f,所以ZBOC=2NA=^,

42

5.|0A|=|051=|0C|=1,

AB0C={0B-0A)0C=0B0C-0A0C=-0A0C=-ms(0A,0C^,

故當(dāng)。40。共線反向時(shí)，ABOC取到最大值1,

故選：C.

16.A

【分析】由題設(shè)易知OB_LOC且8A=OA-O3,BC=OC-OB,進(jìn)而求BA8C即可得答案.

【詳解】由圓。是AABC的外接圓，且4=￡,故OBLOC,

4

所以54=。4-08，BC=OC-OB，

答案第5頁，共18頁

貝(jBABC=[OA-OB^[OC-OB^=OAOC-OAOB-OBOC+OB

=cosZAOC-cosZAOB+1=cosZAOC-cos(g-ZAOc\+1

=cosZAOC+sinZAOC+1=應(yīng)sin(ZAOC+：j+1V0+1,

jr

僅當(dāng)NAOC=：時(shí)等號(hào)成立.

4

故選：A

17.C

【分析】根據(jù)5M=2AfC，表示出向量3C,再利用向量基本運(yùn)算法則表示出向量AM,再

利用向量額數(shù)量積運(yùn)算即可.

【詳解】設(shè)A3=a,AC=),如圖所示:

所以AM=A3+：3C=AB+|(AC-AB)=a+：(b-a)=y"

ZX

…a+2Z?a9+2a-b

AB-AM=a------=----------

\373

4+2x2x2xcos6008

——，

33

故選：C.

18.B

【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)

行求解即可.

【詳解】因?yàn)椴樊?|。4=0，

所以。為ABC的外心，且尸為ABC外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，

|UlttI||UUIU|

又陰=叫=2,8=120。,

所以ABC外接圓的半徑r=—號(hào)*?=2.

sin12002

如圖，作尸—形，垂足為O,則朋2目=網(wǎng)?網(wǎng)|cos/PA*網(wǎng)|罔=2,4

答案第6頁，共18頁

所以，當(dāng)PD與圓相切時(shí)，AP.AB取最值，即尸在片處取最大值6,

在6處取最小值-2,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由|例=倒=|0+|0尸|確定點(diǎn)尸的軌跡.

19.B

【分析】先利用向量的線性運(yùn)算得到46=54尸+。4。，再利用三點(diǎn)共線的充要條件，得

到x+y=3,再利用基本不等式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镸為線段8C的中點(diǎn)，所以AM=：（A3+AC）,又因?yàn)锳G=2GM，所以

AG=|AM=|（AB+AC）,

又AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,所以AG=3AP+?AQ,

又P,G,Q三點(diǎn)共線，所以］+1=1,即x+y=3,

所以

丁4Q1=Z1『4R1)[x+(，y+，l)、]i=f14,+Qx+^4(y+l)+,1]\(5+J2JQ尤.4^(y^+l))x="9

當(dāng)且僅當(dāng)捻=中，即，=|?三時(shí)取等號(hào)?

故選：B.

答案第7頁，共18頁

20.D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的定義分析可得〃力反向，進(jìn)而可得匕=一百，運(yùn)算求解即可.

rrrrrr

【詳解】由題意可得：。力+卜|巾|=瓦卜|cos(a,b)+cos(?,Z?)+l<0,

wO,貝ljcos(a,b)+lWO,即cos(〃力-1,

可得cos(a/)=-l,且｛仍閆。,兀］,

貝|(。,?=兀,即4,。反向，

故選：D.

21.A

【分析】建立平面坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示a,b,c，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)b=O5=0,O),a=Q4=(m,〃),c=OC=(%,y),則

3

2

+n――J且毋+4=1,

4

解之得根=工,〃-或n=-^-,

222

由僅_c)?(3Z?_c)=0=(l_%,_y)?(3_%,_y)=(X_2)2+y2-l=0^>(x-2)2+y2=1,

即c的終點(diǎn)C在以。(2,0)為圓心，1為半徑的圓上，故,-,二,4,

由圓的對(duì)稱性，不妨令〃=咚，即。=［；，咚］,連接4。交圓于E，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

可知

|CA|>|AE|=\AD\-\DE\=IQ-2^|+jH-l=y(3-l.

故選：A

答案第8頁，共18頁

【分析】先利用余弦定理求出AO=1,進(jìn)而得到AO_LA3,求出。4。尸=2-〃,

22OAOP2—//3_LI、I

OP=（/LOA+〃O8）=2〃2一4〃+4,從而得到/,.=7，換元后求出m

丑〃2-_4〃+4

的取值范圍.

【詳解】由余弦定理得cosZAQ3=42l士變二竺IAO2+2-1_y[2

2AOOB2垃AO-2

解得AO=1,

因?yàn)?02+3。2=鈿2,由勾股定理逆定理得A。LAB,

OAOP=OA-（AOA+〃OB）=AO^+/nOA-OB=A+/z|OA|?|（9B|cos450=2+//,

貝UOP1=（2OA+〃OBj=A2GA"+2AjLiOAOB+^2OB2=A2+2X〃+2〃？，

因?yàn)閹?2〃=2,//e[0,l],所以040尸=2-2〃+〃=2-〃，

加=卜。1+〃08『=/12+2/1〃+2〃2=（2-2〃）2+2（2-2〃）〃+2〃2=2〃2_4〃+4,

OAOPOAOP2-〃

以在"上的投影向量為故加="=-4〃+4'

tt1

令2=/e[1,2],則^2（2-?）2-4（2-r）+4也產(chǎn)-4/+4

令/"一+2=41]+1,

II乙）

答案第9頁，共18頁

因?yàn)閥i,2],所以;e,故當(dāng)L；時(shí)，〃K=1,

當(dāng);=1時(shí)，4*=2,〃，閆1，2]，

故選：B

23.D

--2--2

【分析】由題平方可得04+05=OA-OB，化簡(jiǎn)得到辦=o,得出垂直關(guān)系，可得

圓心到直線的距離，由點(diǎn)到線的距離公式，列式即可得解.

fffTI,|2I-|2

［詳角單］：OA+OB=OA-OB,貝！||ft4+03|=\0A-0B\,0AX)B=,

OA±OB'OALOB,

而圓尤?+y2=4的圓心坐標(biāo)為（0,0）,半徑為R=2,

貝“圖=|。回=尺=2,.?.么。8為等腰直角三角形,

/.\AB\=yf2R=2>/2,

圓心到直線尤+y_〃=0的距離d=；|AB|=*=0,

.\\a\=2,又〃>0,a=2.

故選：D.

24.B

【分析】根據(jù)數(shù)量積AP-Ad的幾何意義：4PT4等于A4長(zhǎng)度從聞與A戶在A4的方

向上的投影RP|COS。的乘積，結(jié)合圖形求解.

答案第10頁，共18頁

延長(zhǎng)A]o4i，44父于。，由題意AoA]]_L44,

過血分別作AQ，4。的垂線，垂足為M,N,

正十二邊形44維的每個(gè)內(nèi)角為02-2)x180。=]50。,

12

在中，H4|=L5%=30°,=21cos30。=#,

在中，|44|=1，”應(yīng)=3?！?|Q叫=|'N|=|A3卜in30°=g,

則|AQ卜卜必+回卜年',

APA4=|44||A^|COS0,9為ARA4的夾角，

二數(shù)量積AP-A4的幾何意義：APA4等于A4長(zhǎng)度,聞與A/在A4的方向上的投影

RHcos。的乘積，

由圖可知，當(dāng)尸在線段A。、上時(shí)，APAA取得最小值，

此時(shí)WA=,&卜/卜0$6=,闖(一閨@)=一當(dāng)±

故選：B.

25.B

【分析】根據(jù)題意，先分別表示出尸8，PC，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算得到PB.PC，從而得

到尸為ABC的重心，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)AP=2AD(O<；1<1),貝!jpc=AC-AP=AC-；L4r>,PB=AB-AAD,

?-PCPB=(AC-AAD)(AB-^AD)=AC-AB-AACAD-AABAD+A2AD=

2-Ax2x^x^-x2+3A2=322-6A+2=--,

23

24

.-.922-182+8=0,：.2=-^A=j(舍去)，

:.P為ABC的重心，PELAC,r.E為AC的中點(diǎn)，

PE=AE-AP=-AC--AD=-AC--x-(AB+AC)=--AB+1-AC,

2323236

故選：B.

26.BC

【分析】根據(jù)平行向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.

答案第11頁，共18頁

【詳解】因?yàn)镃Z）〃AB,CD=-AB=2,所以AO=AE+Er）=AE—」A8,

24

因?yàn)槭瑸锳E的中點(diǎn)，所以AE=2A尸=2（42+8萬）=242+28尸，

177

所以AO=2A3+23尸一一AB=-AB+2BF,所以;1=',〃=2.

444

可知：AD錯(cuò)誤，BC正確.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意義.

27.AB

【分析】A選項(xiàng)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；

B選項(xiàng)根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算；

C選項(xiàng)利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算；

D選項(xiàng)根據(jù)向量的加法進(jìn)行判斷.

【詳解】因?yàn)閍-c=（2,—l>（l,2）=0,所以心c，則A正確；

卜卜H=石，則B正確；

因?yàn)?//B,所以設(shè)8=&/=4（2,-1）=（24-孫因?yàn)槭?2口=2氐

所以.22）2+（_田2=26,解得x=±2,所以。=（4,-2）或6=（T,2）,故C錯(cuò)誤；

a+c=（3』）/b,故D錯(cuò)誤.

故選：AB

28.AC

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、C,根據(jù)向量的定義判斷B,根據(jù)投影向量的定義判

斷D.

【詳解】對(duì)于A：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可知（a+6>c=a%+b-c,故A正確；

對(duì)于B：向量不可以比較大小，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：非零向量。和b滿足卜+.=卜-0,則（a+b）=（"。），

即/+2。力+//=口一—20力+萬，所以。?6=0，則。_L6，故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)閍=（2,5/^）,b=^1,,所以a.￡>=lx2+5/^=5,|/?|=+（^A/3j=2,

答案第12頁，共18頁

..a*bb51rn；\(55如)

所以Q在人的投影向量為下^、慟=5*5(1,，3)二叮,7一J,故D錯(cuò)誤；

故選：AC

29.AB

【分析】根據(jù)題意，將式子兩邊同時(shí)平方，然后相減即可得到4力=1，卜(+|]=4,然后

結(jié)合向量夾角公式即可得到cos。2；,從而得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閨a+)|=#,貝！],『+|1+2°.4=6,S.\a-b|=A/2,貝I」一2a-a=2,

所以4a為=4,即a-b=l，則忖+慟=4,又因?yàn)?=卜|+忖＞)

即同形2,設(shè)a與b的夾角為。，則a?日刑cosd=l,即儂。=曲，

且硼42,貝"6日，所以夕轉(zhuǎn)，則a與6的夾角可以為方，y.

故選：AB

30.ABD

【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式結(jié)合條件化簡(jiǎn)即可判斷A選項(xiàng)，再由圓

外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離范圍判斷B和C選項(xiàng)，利用向量的數(shù)量積公式和代入消元法即可

判斷D選項(xiàng).

/\PAJ(x-l2)+y2

【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸,則由徐『=2得：=2,

PBJT(x+2)?2

gp(x-l)2+y2=4[(x+2)2+y2],

化簡(jiǎn)得：X2+/+6X+5=0,BP(X+3)2+/=4,所以A選項(xiàng)正確；

所以點(diǎn)尸軌跡是圓心為(-3,0),半徑為2的圓，

則點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離最大值為7(-3-0)2+(0-0)2+2=5,所以B選項(xiàng)正確；

又A,B和點(diǎn)尸軌跡的圓心都在x軸上，且|AB|=3,

所以當(dāng)圓的半徑垂直于x軸時(shí)，鉆面積取得最大值1x3x2=3,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又PAP5=(l-%,-y)(-2-%,-y)=(l-x)(-2-%)+y2=%2+y2+x-2,

答案第13頁，共18頁

因?yàn)?=-Y-6x-5（-5<x<-l）,

所以PA?尸8=—5X一7（-5<x<-l）,

貝lJPbRB4—5x（—5）-7=18,所以D選項(xiàng)正確；

故選：ABD.

31.A

13

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】2l+J=（3,T）,又以/（22+“，.?.%=T?—2）,解得:f=R.

Q

故答案為：—.

32-

?3

【分析】利用基底表示出AE，結(jié)合條件可得4",進(jìn)而可求答案.

【詳解】因?yàn)镋是C。的中點(diǎn)，所以AE=AC+CE=AC+；CD

=AC+1（AD-AC）=1（AD+AC）

因?yàn)锳B=3A。，所以=

所以AE=JAB+[AC,所以彳=3〃=1，即4+〃=]+[==.

6262623

故答案為：

4

33.-##0.8

5

【分析】根據(jù)題意，分別求得卜+2。卜百，|2〃+。卜君，且（〃+24?（2〃+人）=4,結(jié)合向

量的夾角公式，即可求解.

【詳解】由向量均為單位向量且可得忖=網(wǎng)=1且〃加=0，

則k+2b|=+4〃+4〃?b=6,|2a+Z?|+〃+44?/?=后,

_a（^+2Z?）-（2?+Z7）=2?2+5a-Z?+2Z?2=2+0+2=4,

（2+2/?）.（2Q+Z?）44

又由向量a+2〃與向量24+〃的夾角為凡貝!Jcos6=1------n------\~=~r—尸二口

\a+2b\\2a+b\J5xj55

4

故答案為：—

答案第14頁，共18頁

34.2

【分析】根據(jù)平面向量夾角公式列式可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閨a|=l,g|=x,a/=l,

所以(2a+b)2=4a之+/?2+4a?/?=f+8,所以|2a+b|=+8，

b-(2a+b)=2a-b+\b\1=2+x2,

8sk,2a+6)=44=4=走，

'/\b\]2a+b\2

整理得2%2+4=%，3尤2+24，得％=2(負(fù)值已舍去).

故答案為：2.

35.--

2

【分析】設(shè)AB=a,AO=b,根據(jù)題意化簡(jiǎn)求得再由AC1O=/_/，即可求

解.

【詳解】如圖所示，設(shè)A5=〃,AZ)=b,

因?yàn)?E=；EC,BF=；FC,AE=AD+DE=^a+b,AF=AB+BF=a+^bf

又因?yàn)閨AE|=0,=后，

?|21.1.2-22I|2121>22

2=a

可得|AEj=(—6i+Z?)~+b+—a-b=2,|AF|=(a+—b)=a+—Z7+—a^b=6f

兩式相減得到、R蘇2g62=4,可得a2-^2=|9,

又由AC=a+Z?,5Z)=b—a,所以AC。50=(Q+b)?僅一4)=b—a=——.

g

故答案為：-

A

36.-1

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.

【詳解】由a=（l,2）,b=（2,3）,得女人+a=（2k+1,3左+2）,b-a=（l,l^,

答案第15頁，共18頁

由（Z6+a）//S-a）,得（3左+2）—（2左+1）=0,所以左=-].

故答案為：-1

37.（0,12）

.A一&月

【分析】利用正弦定理和向量數(shù)量積的定義得16,再根據(jù)A的范圍和正

-tanA+—