廣東省清遠(yuǎn)市清城區(qū)2024年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知心匕是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量，且同=L&-沙與人的夾角為150,則W的取值范圍是（）

A.（O.VJ]B.[1,73]C.（02]D.[73,2]

22〃

2.雙曲線j-4=1（。>0,6>0）的左右焦點(diǎn)為耳，心，一條漸近線方程為=過點(diǎn)耳且與/垂直的直線分

aba

別交雙曲線的左支及右支于P,Q,滿足OP=gc>K+goQ,則該雙曲線的離心率為（）

A.VwB.3C.V5D.2

3.一場(chǎng)考試需要2小時(shí)，在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）

7i兀一2兀2萬

A.—B.C.—D?-------

3333

4.已知復(fù)數(shù)z滿足—=則目=（）

A.2血B.2C.4D.3

5.已知集合4={（陽,）|丁=尤2},3={（x,y）|x2+y2=i},則A8的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.已知1,m是兩條不同的直線，機(jī)_1_平面a,則“///a"是"LLnz"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.集合用=卜|丁=〃^了,％洌的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.31D.32

8.下圖是我國(guó)第24~30屆奧運(yùn)獎(jiǎng)牌數(shù)的回眸和中國(guó)代表團(tuán)獎(jiǎng)牌總數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖，以下描述正確的是

().

金牌銀牌銅牌獎(jiǎng)牌

(塊)(塊)(塊)總數(shù)

245111228

2516221254

2616221250

2728161559

2832171463

29512128100

3038272388

A.中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)一直保持上升趨勢(shì)

B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不具有實(shí)際意義

C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降

D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)的中位數(shù)是54.5

x/(x)

9.已知函數(shù)/(x)=Je-雙，xe(0,+8),當(dāng)馬〉石時(shí),不等式辦上<恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

X%2%

，e)(e

A.(-oo,e］B.(-oo,e)C.D.［一°0，］

10.關(guān)于函數(shù)/。)=用續(xù)+cos2x,下列說法正確的是()

1+tanx

A.函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽

B.函數(shù)/(x)一個(gè)遞增區(qū)間為一丁,互

OO_

C.函數(shù)/(尤)的圖像關(guān)于直線X=9對(duì)稱

O

D.將函數(shù)y=J5sin2x圖像向左平移￡個(gè)單位可得函數(shù)y=/(%)的圖像

8

11.函數(shù)/（力=4^二5%76的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.?<2或％23}B.{川％<—3或工2—2}

C.{乂2<%<3}D.^x|-3<x<-21

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8,則框圖中①處可以填（）.

z=1,5=0

S=S+i

Z=Z4-1

輸出i

▼

（結(jié)束）

A.S>7?B.S>21?C.S>28?D.S>36?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若將函數(shù)"X）=sin的圖象沿x軸向右平移。儂>0）個(gè)單位后所得的圖象與/⑺的圖象關(guān)于x軸對(duì)

稱，則9的最小值為.

14.某校為了解家長(zhǎng)對(duì)學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級(jí)隨機(jī)抽取了20位家長(zhǎng)的滿意度評(píng)分，其頻數(shù)分布

表如下：

滿意度評(píng)分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合計(jì)

高一1366420

高二2655220

根據(jù)評(píng)分，將家長(zhǎng)的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):

滿意度評(píng)分評(píng)分<70分70W評(píng)分＜90評(píng)分290分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

假設(shè)兩個(gè)年級(jí)家長(zhǎng)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二

年級(jí)各隨機(jī)抽取1名家長(zhǎng)，記事件A：“高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)”，則事件4發(fā)生的概率為

15.已知變量玉,9e（O,（，》0）,且不<々，若工/<工2為恒成立，則機(jī)的最大值_______.

y<%

vri

16.若實(shí)數(shù)羽y滿足約束條件元+y24,設(shè)z=3%-2y的最大值與最小值分別為加，%則一=.

x<3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知點(diǎn)A為圓C：（尤―l『+y2=i上的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P（0,4）作直線Q4的垂線（當(dāng)人、。

重合時(shí)，直線。L約定為V軸），垂足為"，以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（2）直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin［。+：］=4,連接04并延長(zhǎng)交/于3,求尚的最大值.

18.（12分）在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行

合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:

試銷價(jià)格

456789

X阮）

產(chǎn)品銷量y

898382797467

（件）

已知變量羽V且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲亍=4x+53；乙

y=-4x+105；丙y=-4.6x+104,其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.

（1）試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確？

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過1,則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中

隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為2的概率.

19.（12分）如圖1,在等腰梯形43月心中，兩腰A月=3片=2,底邊AB=6,耳K=4,D,C是AB的三等

分點(diǎn)，E是耳心的中點(diǎn)?分別沿CE，OE將四邊形片和折起，使耳，工重合于點(diǎn)尸，得到如圖2所示

的幾何體.在圖2中，M,N分別為CD,E尸的中點(diǎn).

(1)證明：MN_L平面ABCD.

(2)求直線CN與平面AB尸所成角的正弦值.

20.(12分)如圖，四棱錐尸-A3CD的底面ABC。中，AABD為等邊三角形，5CD是等腰三角形，且頂角

ZBCD=120°,PCLBD,平面平面ABC。，M為必中點(diǎn).

(1)求證：DM//平面「5C；

(2)若PD工PB,求二面角C-B4—3的余弦值大小.

21.(12分)如圖，已知三棱柱A3C-4與￡中，A6C與g是全等的等邊三角形.

(1)求證：BC1ABX.

(2)若cosN43A=z，求二面角B—4C—A的余弦值.

22.(10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|x+l|+2|x—a|.

(1)設(shè)。=1,求不等式/(九)<7的解集；

(2)已知a>—1,且/(x)的最小值等于3,求實(shí)數(shù)。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

試題分析：如下圖所示，==則==b，因?yàn)閍—b與人的夾角為150，即NZMB=150°,

所以NAD6=30。，設(shè)=則0＜。＜150。，在三角形曲中，由正弦定理得同=問，所以

sin30°sin。

\b\=———xsin。=2sin，，所以。＜網(wǎng)《2,故選C.

?1sin30011

考點(diǎn)：L向量加減法的幾何意義；2.正弦定理；3.正弦函數(shù)性質(zhì).

2、A

【解析】

2加a2b4

設(shè)（）（），直線。的方程為％=—

P/X,Qx,,%Py—c聯(lián)立方程得到％+為%%=僅2一"2,

a

根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到b2=9a2，得到離心率.

【詳解】

A

設(shè)尸（&K）,Q（X2，%），直線P。的方程為》=一丁一。.

b

x=-y-c,

a

聯(lián)立一/)y?_2ab3cy+a2b4=0,

22

土-^=1

2ab3a2b4

則必+為二尸)?％乂二尸尸.

因?yàn)?P=go「+g。。，所以P為線段。耳的中點(diǎn)，所以%=2%,

2262222

(y1+y2)94ab(b-a)c4b

I'〒/22，一不一A-整理得。2=9/，

必,%2僅2_礦)c~a-b\b-aj

故該雙曲線的離心率e=廂.

故選：A.

本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

3、B

【解析】

因?yàn)闀r(shí)針經(jīng)過2小時(shí)相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的工，且按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，綜合以上即可得到本題答案.

6

【詳解】

因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí)，轉(zhuǎn)過的角度為2?，按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過2小時(shí)，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的弧

度數(shù)為」*2乃

63

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出z,再由模的定義計(jì)算出模.

【詳解】

M4z(l+z)

=-2+2Z,|Z|=2A/2.

(1-0(1+0

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

求出A8的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù).

【詳解】

_曲布-2,2--2

y=必X—X二------------

2

由＜,解得或＜2,AA8中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè).

必+丁

=1V5-1V5-1

y=---------

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí)，本題中集合

A,8都是曲線上的點(diǎn)集.

6、A

【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)機(jī)_1平面a時(shí)，若/〃a"則"_1_小”成立，即充分性成立，

若LL機(jī)，貝!|/〃a或/ua,即必要性不成立，

則”〃a”是“以療充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題

7、A

【解析】

計(jì)算M={2,6,0},再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)得到答案.

【詳解】

=?二正xez[={2,/0},故真子集個(gè)數(shù)為：23—1=7.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的真子集個(gè)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

8、B

【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計(jì)圖逐一判斷即可.

【詳解】

A.中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢(shì)，29屆最多，錯(cuò)誤；

B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不表示某種意思，正確；

C.30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比，奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降，銀牌數(shù)有所上升，錯(cuò)誤；

54+59

D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為^―=56.5，不正確;

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)鍵點(diǎn)讀懂折線圖，屬于簡(jiǎn)單題目.

9、D

【解析】

由'(')<'°2)變形可得石/(石)<X2/(X2)，可知函數(shù)g(x)=4"(x)在xe(0,+oo)為增函數(shù)，由

X2X\

g'(x)=蜻-2ax20恒成立，求解參數(shù)即可求得取值范圍.

【詳解】

xe(0,+oo),

???%/(%)<X2/(X2)，即函數(shù)g(x)=n"(X)=靖—奴2在Xe(0,+00)時(shí)是單調(diào)增函數(shù).

貝!1g'(%)=ex-2ax>。'恒成立.

ex

/.2〃4—?

x

令m(x)=貝(J加(％)=――

xx

xe(0,1)時(shí),mr(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,xG(1,+00)時(shí)m"(x)>0,m(x)單調(diào)遞增.

2a<m(x)niin=m(l)=e,:.a<-

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題，考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問題,考查學(xué)生的分析問題的能力

和計(jì)算求解的能力，難度較難.

10、B

【解析】

化簡(jiǎn)到/(x)=J^sin，x+?1,根據(jù)定義域排除ACD,計(jì)算單調(diào)性知B正確，得到答案.

【詳解】

/(x)=L：+cos2x=sin2x+cos2x=0sinf2x+—|,

1+tanxI4J

71

故函數(shù)的定義域?yàn)闊o%。式+左耳左￡Z,故A錯(cuò)誤；

[2J

37cTC7C7C7C

當(dāng)xe---時(shí)，2x+—G,函數(shù)單調(diào)遞增，故3正確；

_88J4122_

當(dāng)x=-二77，關(guān)于x=T￡T的對(duì)稱的直線為尤=T9T不在定義域內(nèi)，故C錯(cuò)誤.

4X2

平移得到的函數(shù)定義域?yàn)镽,故不可能為y=/(%),。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

11、A

【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于x的不等式，即可解得函數(shù)y=f(x)的定義域.

【詳解】

由題意可得7―5x+620，解得x<2或xN3.

因此，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閧尤|尤<2或123}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時(shí).

【詳解】

第一次循環(huán)：S=O,i=l

第二次循環(huán)：S=l,i=2

第三次循環(huán)：S=3,i=3

第四次循環(huán)：S=6,i=4

第五次循環(huán)：S=10,i=5

第六次循環(huán)：S=15,i=6

第七次循環(huán)：5=21,/=7

第八次循環(huán)：S=28,，=8

所以框圖中①處填S228?時(shí)，滿足輸出的值為8.

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

71

13、一

2

【解析】

由題意利用函數(shù)y=Asin（a）x+9）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，求得。的最小值.

【詳解】

解：將函數(shù)仆）=411小+力的圖象沿^軸向右平移03>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，可得

y=sin2^x-（p）+—=sinl2x-2^9+y的圖象.

根據(jù)圖象與/（龍）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，nT^-sinJ2x+yUsinf2x-2^+yj,

3

二.—20=（2左+1）〃，keZ,即左=—1時(shí)，9的最小值為

71

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin（a）x+9）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

14、0.42

【解析】

高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.

【詳解】

由已知，高一家長(zhǎng)滿意等級(jí)為不滿意的概率為《，滿意的概率為非常滿意的概率為《，

211

高二家長(zhǎng)滿意等級(jí)為不滿意的概率為一，滿意的概率為一，非常滿意的概率為不，

5210

高一家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)高于高二家長(zhǎng)的滿意度等級(jí)有三種情況：

1.高一家長(zhǎng)滿意，高二家長(zhǎng)不滿意，其概率為gx2=g；

5525

122

2.高一家長(zhǎng)非常滿意，高二家長(zhǎng)不滿意，其概率為-x-=）；

5525

3.高一家長(zhǎng)非常滿意，高二家長(zhǎng)滿意，其概率為工義[=].

5210

由加法公式，知事件4發(fā)生的概率為假+5+'=|^=0.42.

故答案為：0.42

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.

15、e

【解析】

InX

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)/（X）=——，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

X

【詳解】

X1

不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得Inxj<inx2,

即又七,刀2G（°，"z）

Inx.Inx,

即一L<—二成立,

X]

1nx

設(shè)/(x)=-----，(0,m)9

x

Vxi<X2,f(xi)<f(X2),則函數(shù)/(x)在(0,m)上為增函數(shù),

腑的且新--x-lnx

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)#,/、x1-Inx,

/W=-一2-----

X

由/(x)>0得1-阮r>0得阮rVl,

得OVxVe,

即函數(shù)/CO的最大增區(qū)間為（0,e）,

則m的最大值為e

故答案為：e

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵

7

16、-

2

【解析】

rij

畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線3x-2y=0到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進(jìn)而求得」的比值.

n

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)直線z=3x-2y過點(diǎn)（3,1）時(shí)，z取得最大值7；過點(diǎn)（2,2）時(shí)，z取得最小值

2,所以

本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫

出可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行

域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)Q=4sin，；(2)2+^

8

【解析】

(D設(shè)M的極坐標(biāo)為(P招)，在中，有夕=4sin，，即可得結(jié)果；

(2)設(shè)射線圓。的極坐標(biāo)方程為夕=2cos。，聯(lián)立兩個(gè)方程，可求出聯(lián)立

psin|0H—I-4IIOA.1(萬、^/3

I3J可得|。理，則計(jì)算可得K7=：sin：+*,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.

八OB4\37o

0—cc

【詳解】

(1)設(shè)M的極坐標(biāo)為(P,。)，在0PM中，有夕=4sin，，

???點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程為。=4sin，；

兀兀

(2)設(shè)射線04：6=a,ae萬'萬,圓C的極坐標(biāo)方程為夕=2cos。,

p-2cos^??

由＜得：\OA\=p=2coscif,

0=ax

4

夕sin19+朗=4得：阿“2=

由＜

sina+-

0=ccI3

OA2cosa

0B~~4

sintz+—

I3

1兀

=—cosa-sina+—

23

1.71.K

=-cosasinsinacos—+cosasin—

233

，2/cos2a

44

=-sin2a+

8

+今

2兀小兀4TI

;-----<2a+—<一

333

-7C7CTCt2+73

當(dāng)t2aH—=—,即a=—時(shí),

OB8

3212/max

扁|0A的|最大值2為+千A/3

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

9

18、(1)乙同學(xué)正確；(2)—.

20

【解析】

(1)根據(jù)變量羽y且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)GJ),判斷出乙正確.

(2)由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算出誤差，求得“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，由此利用古典概型概率計(jì)算公式，求得

所求概率.

【詳解】

(1)已知變量羽y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，

7=6.5,5=79,代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，

故回歸方程為：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

X456789

y898382797467

y898581777369

y-y021212

由上表可知，“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為3.

用列舉法可知，從6個(gè)不同數(shù)據(jù)里抽出3個(gè)不同數(shù)據(jù)的方法有20種.

從符合條件的3個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出2個(gè)，還要在不符合條件的3個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出1個(gè)的方法有3x3=9種.

9

故所求概率為P=一

20

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查回歸直線方程的判斷，考查古典概型概率計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

19、(1)證明見解析(2)走

3

【解析】

(1)先證CWLEF,再證。NLEE,由跖〃可得平面CDN,從而推出平面ABC。；(2)建立空

間直角坐標(biāo)系，求出平面廠的法向量與CN,坐標(biāo)代入線面角的正弦值公式即可得解.

【詳解】

(1)證明：連接Cb,DN,由圖1知，四邊形5CEF為菱形，且NCM=60°,

所以ACEF是正三角形，從而CNLEF.

同理可證，DN1EF,

所以平面CDN.

又EF//BC,所以BC_L平面CDN,

因?yàn)锽Cu平面A3CD,

所以平面CDNJ_平面ABCD.

易知CN=DN,且M為CD的中點(diǎn)，所以

所以MNJ_平面ABCD.

(2)解：由(1)可知CN=石，MN=0，且四邊形ABC。為正方形.設(shè)A3的中點(diǎn)為G,

以"為原點(diǎn)，以MG,MC,所在直線分別為x,V,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系孫z,

則4(2,—1,0),5(2,1,0),C(0,l,0),N(0,0,夜)，F(xiàn)(1,0,A/2),

所以AB=(0,2,0),AF=(-1,1,72),C7V=(0,-1,72).

設(shè)平面ABF的法向量為n=(%,y,z),

由＜,得＜r

n-AF-0,[-x+y+，2z=0,

取〃=W，0,l).

設(shè)直線CN與平面AB廠所成的角為e,

CN-n歷歷

所以sin0------ri-=—j=—『=——,

CN(〃V3XV33

所以直線CN與平面ABF所成角的正弦值為交.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的證明，直線與平面所成的角，要求一定的空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于基

礎(chǔ)題.

20、(1)見解析；(2)--

7

【解析】

(1)設(shè)中點(diǎn)為N,連接MN、DN,首先通過條件得出CBLAB,加。NLA5,可得DN//BC,進(jìn)而可得

DN//平面PBC,再加上ACV7/平面尸5C,可得平面QMN//平面尸5c,則DM7/平面「5c；

(2)設(shè)6。中點(diǎn)為。，連接AO、CO,可得尸0,平面A5CD,加上班)，平面PCO,則可如圖建立直角坐標(biāo)系

O-xyz,求出平面R鉆的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：設(shè)中點(diǎn)為N,連接MN、DN,

為等邊三角形，

:.DN±AB,

DC=CB,ZDCB=120°,

,-.ZCBD=30°,

.?.ZABC=60o+30°=90°,即CBLAB,

DNLAB,

：.DN//BC,

BCu平面尸3C,ZW<z平面尸5c,

:.DN//平面PBC,

MN為△PAB的中位線，

:.MN//PB,

Mu平面「5C,MNe平面PBC,

:.MN//平面PBC,

MN、DN為平面DAW內(nèi)二相交直線，

???平面DMN//平面PBC,

,ZM/u平面OMN,

」.￡>聞7/平面尸5C；

(2)設(shè)BD中點(diǎn)為。，連接A。、CO

?ABD為等邊三角形，5CD是等腰三角形，且頂角N3CD=120。

:.AO±BD,COLBD,

:.A,C、。共線，

PC±BD,BD±CO,PCCO=C,PC,COu平面PCO

..班)，平面PCO.

POU平面PCO

:.BD±PO

平面P3Z5_L平面ABCD,交線為BD,POu平面PBD

.,.POL平面ABC。.

設(shè)AB=2,則AO=3

在BCD中，由余弦定理，得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD

又BC=CD,

.-.22=2BC2-2BC2COS120%

.rn_rr)_2百「c_4

33

PD±PB,。為BD中點(diǎn)，

PO=i-BD=l,

2

建立直角坐標(biāo)系。-孫z（如圖），則

C—*,0,0,尸(0,0,1),A(A/3,0,0),5(0,1,0).

.?.BA=(A/3,-1,0),PA=(A

設(shè)平面的法向量為〃=(%,y,z),貝(j,

n-BA-0A/3X-y=0

n-PA=0y/3x-z=0

取x=l,貝!|y=z=6,

平面PAC的法向量為OB=(0,1,0),

/n0B0^

、/\n[\0B\7，

二面角C—K4—3為銳角，

二面角C-K4-3的余弦值大小為叵.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學(xué)生計(jì)算能力和空間想象能力，是中檔題.

21、(1)證明見解析；(2)走.