一、函數(shù)連續(xù)的概念二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第一章機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)連續(xù)的概念0.函數(shù)的增量(改變量)1．函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義則(3)10

函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)必須具備下列條件:(2)極限存在；(1)在點(diǎn)即有定義,存在；注20

函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是局部性概念．

例1討論處的連續(xù)性．解因?yàn)閺亩谔幉贿B續(xù)．例2討論處的連續(xù)性．解因?yàn)楣试谔幉贿B續(xù)．因?yàn)楣试谔幉贿B續(xù)．解因?yàn)槔?設(shè)處連續(xù)，求常數(shù)由在處連續(xù)得，故2．左連續(xù)與右連續(xù)的定義定理13．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不斷開(kāi)的曲線．注

二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理2（連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性）（反函數(shù)的連續(xù)性）

【簡(jiǎn)言之，單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù).】定理3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）

（極限號(hào)與函數(shù)號(hào)換序定理）

定理4定理5例4求下列極限：一般地，則三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．注10

定義區(qū)間──包含在定義域內(nèi)的區(qū)間

──定義域中除去＂孤立點(diǎn)＂的部分．

20

基本初等函數(shù)的定義域中沒(méi)有孤立點(diǎn)，故30

定理6表明：初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是其定義區(qū)間．

40

定理6還提供了求極限的一個(gè)簡(jiǎn)單而又重要的方法：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類1．間斷點(diǎn)的定義注2.間斷點(diǎn)的分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,若稱為可去間斷點(diǎn)

.若稱為跳躍間斷點(diǎn)

.則稱若其中至少有一個(gè)為為無(wú)窮間斷點(diǎn)

.若其中至少有一個(gè)振蕩,則稱為振蕩間斷點(diǎn)

.第一類間斷點(diǎn)跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyx可去型oyxoyx.例5解為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn),屬于第一類．例6解為函數(shù)的可去間斷點(diǎn),屬于第一類．注意只要改變或者補(bǔ)充可去間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義,即可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例7解為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn),屬于第二類．例8解且當(dāng)時(shí)函數(shù)值在－1與1之間變動(dòng)無(wú)限多次．為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn),屬于第二類．例9解（1）

為初等函數(shù)，其定義域?yàn)槭翘S間斷點(diǎn)，屬于第一類．例10解（1）

為初等函數(shù)，其定義域?yàn)樗伎碱}1思考題1解答且（夾逼準(zhǔn)則）但反之不成立.反例:但思考題2思考題2解答一個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)是否只有是有限個(gè)？不一定．

狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各