PAGEPAGE21習(xí)題解答習(xí)題6－21．求由下列各組曲線或直線所圍成的平面圖形的面積：（1）與；解由得交點(diǎn)為，，.（2）與及；解所求面積為.（3）與、及；解所求面積為.（4）與；解由得交點(diǎn)為，，（5）擺線,與；解所求面積為（6）星形線；解由對(duì)稱性可知，所求面積為（7）阿基米德螺線與極軸．解所求面積為．（8）；解所求面積為.2．求由拋物線及其在點(diǎn)和處的切線所圍成的平面圖形的面積．解因?yàn)?，在點(diǎn)處，，切線方程：，在點(diǎn)處，，切線方程：，由，得交點(diǎn)為，所求面積為．3．求由拋物線及其的法線所圍成的平面圖形的面積．解因?yàn)?，在點(diǎn)處，，法線方程：，由，解得，所求面積為4．求由下列各組曲線所圍成的圖形公共部分的面積（1）及；解；（2）及．解，解得，．5．求曲線在區(qū)間內(nèi)的一條切線，使該切線與直線，及曲線所圍成的圖形面積為最?。庠O(shè)切點(diǎn)為，，則切線方程為，即，，令，解得，且，所以時(shí)面積最小，所求切線方程：．6．問為何值時(shí)，由曲線、直線及所圍成的圖形面積為最?。?，解得，，令，解得，由，得時(shí)，圖中陰影部分面積最小．7．求由下列各組曲線或直線所圍成的平面圖形，繞指定的軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積：（1）、及，分別繞軸、軸；解，；（2），及，分別繞軸、軸；解，；（3）及，繞軸；解；（4）及，繞軸；解由得交點(diǎn)為，，根據(jù)對(duì)稱性知，所求旋轉(zhuǎn)體的體積.（5），繞軸；解；（6）、、及，繞軸．解．8．求位于曲線下方，軸右方以及軸上方之間的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．解．9．求由拋物線與直線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解由微元法可知，與所圍圖形繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.10．求由擺線的一拱與軸所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解由微元法可知，的一拱與軸所圍圖形繞旋轉(zhuǎn)所得體積.11．求由心形線與直線、所圍成的圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解由微元法可知，心形線與、所圍圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得體積.12．求以拋物線與直線所圍成的圖形為底，而垂直于拋物線軸的截面都是等邊三角形的立體的體積．解，．13．求以半長(zhǎng)軸、半短軸的橢圓為底，而垂直于長(zhǎng)軸的截面都是等邊三角形的立體的體積．解橢圓的方程為：，，．14．求下列曲線在指定范圍內(nèi)的一段弧的長(zhǎng)度：（1），；解；（2），；解，令，則，，由，得，由，得，所以；（3），；解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為由弧長(zhǎng)公式得所求曲線的長(zhǎng)度為.（4）擺線，；解；（5），，；解由弧長(zhǎng)公式得所求曲線的長(zhǎng)度為.（6），．解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為由弧長(zhǎng)公式得所求曲線的長(zhǎng)度為.15．求心形線的全長(zhǎng)．解．16.求下列曲線弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)面的表面積：（1）；解表面積；（2）解表面積習(xí)題6－31．設(shè)有一彈簧原長(zhǎng)為m，每壓縮cm需要N的力，若將彈簧自cm壓縮至cm，求克服彈性力所作的功．解如圖，，，，取彈簧所在直線為軸，原長(zhǎng)的端點(diǎn)為原點(diǎn)，則（J）．2．直徑為cm、高為cm的圓筒內(nèi)充滿壓強(qiáng)為N／cm2的蒸汽．設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問要作多少功？解取圓筒母線為軸，如圖．設(shè)壓強(qiáng)為，體積為，由，，（Ncm）（Nm），蒸汽體積縮小一半時(shí)要作的功為（J）．3．一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，求物體由移至?xí)r，克服介質(zhì)阻力所作的功．解速度，阻力，（J）．4．設(shè)有截面面積m2、深m的水池，用水泵把水池中的水全部抽到m高的水塔頂上去，問要作多少功？解如圖．薄層水的重量為，把這薄層水吸到水塔頂上去需要作的功為，所作功為（J）．5．設(shè)某水渠的閘門與水面垂直，水渠的橫截面是等腰梯形，下底為m，上底為m，高為m，當(dāng)水渠灌滿時(shí)，求閘門所受的水壓力．解，建立如圖所示的坐標(biāo)系．=9.8千牛/米3方程：，即,窄條面積為,窄條受的大力為：,所以，水壓力為（牛）．6．灑水車上的水箱是一個(gè)橫放的橢圓柱體，已知橢圓的長(zhǎng)軸為m、短軸為m，柱體的長(zhǎng)為m，當(dāng)水箱裝滿水時(shí)，求水箱的一個(gè)端面所受的壓力．解以橢圓中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，鉛直向下為軸正向，如圖．則橢圓方程為窄條面積約為，所受的壓力為，故水箱的一個(gè)端面所受的壓力為（N）；7．水壩中有一直立的矩形閘門，寬m，高m，閘門的上邊平行于水面，試求：（1）當(dāng)水面在閘門頂上m時(shí)，閘門所受的壓力；（2）當(dāng)閘門所受的壓力為前者的倍時(shí)，閘門頂離水面的距離．解(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，（N）；設(shè)閘門頂離水面的距離為h,則由于，得，m.8．設(shè)有一長(zhǎng)為、質(zhì)量為的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒單位處有一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，求細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力．解建立如圖所示的坐標(biāo)系．由對(duì)稱性，細(xì)棒在水平方向的引力為0.下面計(jì)算細(xì)棒在鉛直方向的引力．取為積分變量，它的變化區(qū)間為．在內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間，細(xì)棒上相應(yīng)于的一小段可近似地看作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，它與質(zhì)點(diǎn)的距離為，故引力元素為，沿軸方向的引力元素為，引力在鉛直方向的分力為．因此，所求引力為．總習(xí)題61．選擇題：（1）由連續(xù)曲線，直線、及軸所圍成的圖形面積（）；（A）（B）（C）（D）解選項(xiàng)C正確；（2）曲線，軸及軸所圍成的圖形被曲線分為面積相等的兩部分，其中，則常數(shù)（）；（A）（B）（C）（D）解由，解得，，由，解得，即選項(xiàng)C正確；（3）設(shè)，在上連續(xù)，且（為常數(shù)），則由曲線，及直線、所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積（）；（A）（B）（C）（D）解，即選項(xiàng)B正確；（4）曲線從到的一段弧長(zhǎng)（）．（A）（B）（C）（D）解因?yàn)?，即選項(xiàng)A正確．2．填空題：（1）由曲線、及直線所圍成的圖形面積為；解曲線、及所圍圖形面積為；（2）由對(duì)數(shù)螺線及射線所圍成的平面圖形面積為；解對(duì)數(shù)螺線及所圍圖形面積為；（3）由曲線及直線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為；解曲線及所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得體積為；（4）曲線被拋物線所截一段弧的長(zhǎng)度為；解由，得，即交點(diǎn)橫坐標(biāo)，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且與軸交點(diǎn)為，，即，．（5）底為cm、高為cm的等腰三角形薄片，鉛直地沉沒在水中，頂在上距水面cm，底在下且與水面平行，則三角形薄片的一側(cè)所受的壓力為．解建立如圖所示的坐標(biāo)，所求壓力為（N）．3．求由下列各組曲線所圍成的圖形公共部分的面積：（1）、及；解．（2）及；解．（3）及．解．4．求由曲線，直線及所圍成的第一象限內(nèi)的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解所求旋轉(zhuǎn)體的體積為．5．求由曲線與軸所圍成的圖形分別繞軸和直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為．繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為．6．求由星形線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解．7．設(shè)有一截錐體，其高為，上、下底均為橢圓，橢圓的軸長(zhǎng)分別為、和、，求該截錐體的體積．解．8．求曲線上相應(yīng)于的一段弧的長(zhǎng)度．解由弧長(zhǎng)公式得所求曲線的長(zhǎng)度為.9．用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵釘被擊第一次時(shí)能將鐵釘擊入木板cm，如果鐵錘每次擊打鐵釘所作的功相等，問鐵錘擊打第二次時(shí)，能把鐵釘又擊入多少cm？解鐵錘擊打第二次時(shí)，能把鐵釘又擊入hcm,x為鐵釘擊入木板的深度，則木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇椋╧為比例常數(shù)）．功元素為，鐵錘擊第一次所作的功；鐵錘擊第二次所作的功由得，即解之得cm.10．人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為kg，按下列兩種情況，計(jì)算發(fā)射衛(wèi)星時(shí)克服地球引力所作的功：（1）把衛(wèi)星送到離地面km處使衛(wèi)星進(jìn)入軌道；（2）把衛(wèi)星發(fā)射到無窮遠(yuǎn)處使之脫離地球引力；（提示：地球和衛(wèi)星間的引力按萬有引力定律計(jì)算，其中為衛(wèi)星到地球中心距離，，地球半徑為km，地球質(zhì)量為kg）．解取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，把質(zhì)量為mkg的衛(wèi)星升高到離地球中心x米時(shí)的功元素為，其中M為地球的質(zhì)量．故衛(wèi)星升到h時(shí)所作的功為（1）當(dāng)時(shí)，功．（2）功w＝.11．設(shè)有一平面薄板，上半部分是底為m、高為m的等腰三角形，下半部分是直徑為m的半圓．將該薄板垂直地沉沒在水中，且等腰三角形的頂點(diǎn)與水面相齊，底與水平面平行，求薄板一側(cè)所受到的水壓力．解取軸鉛直向下，軸為水面位置，則計(jì)算三角形上壓力的積分區(qū)間是，，取軸鉛直向下，軸為半圓直徑位置，則計(jì)算半圓上壓力的積分區(qū)間是，（N）．12．設(shè)底為，高為的對(duì)稱拋物線弓形閘門，底邊在水下且與水面平行，頂點(diǎn)與水面相齊，若底與高之和為常數(shù)，問底和高各為何值時(shí)，閘門所受的壓力最大？解建立如圖所示坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為，則