PAGEPAGE36習題解答習題9.11.．設一平面薄板占有面上的閉區(qū)域D，其上點處的面密度為，其中在D上連續(xù)，試用二重積分表達該薄板的質(zhì)量M．解由二重積分的定義可知，質(zhì)量．2.根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小：（1），其中；解區(qū)域的面積=，區(qū)域的面積=，所以：；（2），其中D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域；解對區(qū)域D上的任意點，都有：，，所以：；（3），其中D是由直線圍成的閉區(qū)域．解對區(qū)域D上的任意點，都有：，，所以：．3.利用二重積分的性質(zhì)，估計下列積分的值：（1）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（2）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（3）其中D是兩坐標軸與直線圍成的閉區(qū)域．解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得．習題9.21.計算下列二重積分：（1）其中；解；（2），其中D是由兩坐標軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解；（3），其中D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域；解；(4)，其中．解．2.畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：（1）其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3），其中；解圖略；（4），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域．解圖略．3.化二重積分為二次積分（分別給出兩種不同的積分次序），其中積分區(qū)域D分別為：（1）由兩坐標軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略或；（2）由及所圍成的閉區(qū)域；解圖略或（3）由及所圍成的閉區(qū)域．解圖略或4.略．5.交換下列二次積分的次序：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．6.交換積分次序，證明：．證：交換積分次序，得．7.證明：．證：交換積分次序，立得．8.設平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線和x軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質(zhì)量．解由習題9.1第1題知，所求薄片的質(zhì)量．9.計算由四個平面所圍成的柱體被平面及截得的立體的體積．解記，則．10.求由平面及拋物面所圍成的立體的體積．解記，則．11.畫出積分區(qū)域，把積分表示為極坐標形式的二次積分，其中積分區(qū)域D是：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．12.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）．解圖略．13.把下列積分化為極坐標形式，并計算積分值：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略．（4）．解圖略．14.利用極坐標計算下列二重積分：（1），其中D由圓周所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中；解圖略；（3），其中D由圓周及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中解圖略．15.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝懈黝}：（1），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中；解圖略；（3）其中D是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中D是由圓周及坐標軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域．解圖略．16.求曲面與平面圍成立體的體積．解記，則．17.求圓柱面被平面及拋物面截得的立體的體積．解記，則．習題9.31.求拋物面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．解記，由得：．2.求半球面被平面截得的上半部分的面積．解記，由得：．3.求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．解記，由得：．4.求下列均勻薄板的質(zhì)心，其中薄板所占的閉區(qū)域D如下：（1）D由圍成；解閉區(qū)域關于x軸對稱，所以質(zhì)心必位于x軸上，于是．閉區(qū)域D的面積：；而，故薄板的質(zhì)心為．（2）D由圍成；閉區(qū)域D的面積：；而，故薄板的質(zhì)心為．（3）D是介于兩個圓之間的閉區(qū)域．解閉區(qū)域關于y軸對稱，所以質(zhì)心必位于y軸上，于是．閉區(qū)域D的面積（兩個圓面積之差）：；而，故薄板的質(zhì)心為．5.設平面薄板所占的閉區(qū)域D是由所圍成，在處的密度，求此薄板的質(zhì)心．解，，，故薄板的質(zhì)心為．6.設均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占的閉區(qū)域D如下，求指定的轉(zhuǎn)動慣量：（1）D由圍成，求和；解，．（2），求、和；解；（3）邊長為a和b的矩形薄片對兩條邊的轉(zhuǎn)動慣量．解建立圖示坐標系，，．習題9.41.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：（1）；解圖略；（2）由錐面及平面所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3）由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域．解圖略．2.設有一物體，占有空間閉區(qū)域，在點處的密度，求該物體的質(zhì)量．解物體的質(zhì)量．3.利用直角坐標計算下列三重積分：（1），其中為平面所圍成的閉區(qū)域；解．（2），其中是由平面與三個坐標面所圍成的四面體；解；（3）其中為球面及三個坐標平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域．解．4.利用柱面坐標計算下列三重積分：（1）其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；解；（2）其中是由圓錐面與平面所圍成的閉區(qū)域．解.5.利用三重積分求由下列曲面所圍成的立體的體積：（1）及；解；（2）及；解；（3）及．解．6.利用三重積分計算曲面與平面所圍立體的質(zhì)心（設密度）．解顯然，質(zhì)心在z軸上，故．由于，所以，從而質(zhì)心為．7.均勻圓錐體（密度）由、圍成，求其對圓錐中心軸的轉(zhuǎn)動慣量．解．習題9.51.計算下列對弧長的曲線積分：（1），其中L為圓周；解=；（2），其中L為直線段；解；（3），其中L為由直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界；解；（4），其中L為及y軸所圍成的區(qū)域的整個邊界；解；（5），其中L是以為頂點的三角形的周界．解2.設圓周L：上任一點處的線密度等于該點縱坐標的平方，求圓周L的質(zhì)量．解線密度，圓周L的質(zhì)量為．習題9.61.計算下列對坐標的曲線積分：（1），其中L為拋物線上從點到的一段?。唤?；（2），其中L為拋物線及所圍成的區(qū)域的整個邊界（按逆時針方向繞行）；解；；（3），其中L為自點至點，再到點的折線段；解；（4），其中L為圓周（按逆時針方向繞行）；解；(5),其中L為擺線上從到的一段?。猓?.計算，其中L是：（1）曲線上從點到點的一段?。唬?）從點到點的直線段；（3）曲線上從點到點的一段弧．解（1）；（2）；（3）．3.一力場由沿橫軸正方向的恒力F所構(gòu)成．試求當一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿圓周按逆時針方向移過位于第一象限的那一段弧時場力所作的功．解，．習題9.71.利用格林公式計算下列曲線積分：（1），其中L是沿圓周，逆時針方向；解；（2），其中L是以點為頂點的三角形區(qū)域的正向邊界；解；（3），其中L是由不等式所確定的閉區(qū)域的正向邊界；解；（4），其中L是由點到點再到點的折線段；解補曲線，則;而，所以．（5），其中L是在曲線上由點到點的一段?。庋a曲線，則，而，所以．2.利用曲線積分，求下列曲線所圍成的平面圖形的面積：（1）圓；解面積；（2）橢圓．解將改寫為參數(shù)式得：面積．3.證明下列曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關，并計算積分值：（1）；證記，則P，Q在整個xOy面上有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關．現(xiàn)選取有向折線計算．；（2）．證記，則P，Q在整個xOy面上有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關．現(xiàn)選取有向折線計算．．4.計算曲線積分，其中L是在曲線上由點到點的一段?。庾C記，則P，Q在整個xOy面上有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關．現(xiàn)選取直線段計算．．總習題91.選擇題（1）若閉區(qū)域D由圓周圍成，則（）．A.B.C.D.解；即選項C正確．（2）設平面閉區(qū)域，，則有（）．A.B.C.D.解由于積分區(qū)域關于x軸、y軸都對稱，而是關于x、y的偶函數(shù)，故；即選項D正確．（3）設函數(shù)連續(xù)，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于積分區(qū)域是由圍成的，故；即選項C正確．*（4）設函數(shù)有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分與路徑無關的條件為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解記，則曲線積分與路徑無關的條件為，即，得．即選項B正確．2.填空題（1）設，則根據(jù)重積分的幾何意義可得：．解表示以為底，以半球面為頂?shù)那斨w體積，故．（2）設，函數(shù)在D上連續(xù)，則根據(jù)二重積分的中值定理可得：．解，其中，所以．（3）將化為極坐標下的二次積分，得．解記，則*（4）設L為橢圓，L的長度記為，則對弧長的曲線積分．解．3.交換下列二次積分的次序：（1）；解．（2）．解．4.計算．解．5.計算下列二重積分：（1），其中；解．（2），其中D是由圓周所圍成閉區(qū)域；解．（3），其中D是由直線所圍成閉區(qū)域．解．6.求平面被三坐標面所割出的有限部分的面積．解由得，．7．求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)1）對于直線及的轉(zhuǎn)動慣量．解對于直線的轉(zhuǎn)動慣量為；對于直線的轉(zhuǎn)動慣量為．*8.計算下列三重積分：（1），其中是由與所圍成的區(qū)域；解．（2），其中是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)面與平面所圍成的閉區(qū)域．解繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)面的方程為，．*9.化三次積分為柱面坐標形式，并求I的值．解．*10.計算下列曲線積分：（1），其中L是取正向的圓周；解；（2），其中L為從點沿曲線到點．解添加一段從