第六節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第九章1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在

xoy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B,

求移“分割”

“取近似”“求和”

“取極限”常力沿直線所作的功本例解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.1)“分割”:2)“取近似”把

L分成

n個(gè)小弧段3)“求和”4)“取極限”(其中

為

n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)

2.定義.設(shè)L為xoy

平面內(nèi)從

A到B

的一條有向光滑弧,向任意插入一點(diǎn)列

把

L

函數(shù)

在L

上有界.在L上沿L

的方弧段

上任意取定的點(diǎn)，如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的

設(shè)

，點(diǎn)

為有向分成n個(gè)有向小弧段最大值時(shí)，極限總存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)

在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)

x

的曲線積分（或第二類(lèi)曲線積分），記作即類(lèi)似地，如果

總存在，則稱(chēng)此極限稱(chēng)為函數(shù)

在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)

y的曲線積分，記作

，即注1：注2：質(zhì)點(diǎn)受到力

作用，沿平面曲

線L移動(dòng)所作的功為3.主要性質(zhì)設(shè)

L－

表示

L

的反向弧,則注：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分曲線的方向。4.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向曲線弧

L上有定義且L的參數(shù)方程為，當(dāng)參數(shù)

t單調(diào)地由連續(xù),α變到β時(shí)，點(diǎn)M從L的起點(diǎn)沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn),,在以α及β為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

,則

若L

：,且起點(diǎn)對(duì)應(yīng)

x＝a,終點(diǎn)對(duì)應(yīng)

x＝b（1）則

若L

：,且起點(diǎn)對(duì)應(yīng)

y＝c，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)

y＝d（2）則注：例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P1141(1),(2),(3),(4)2原點(diǎn)O

的距離成正比,思考與練習(xí)

設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示:F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F