PAGEPAGE29習(xí)題解答習(xí)題1.11．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)(3)；(4)；(5)．解（１）要使函數(shù)有定義，必須，即，故函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ玻┮购瘮?shù)有定義，必須，解之得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ常┮购瘮?shù)有定義，必須，解之得或，故函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ矗┮购瘮?shù)有定義，必須，即且，故函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ担┮购瘮?shù)有定義，必須，解之得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?．判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否相同，并說(shuō)明理由：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．解（１）這兩個(gè)函數(shù)不同．因?yàn)樗鼈兊亩x域不同，前者的定義域?yàn)?，而后者的定義域?yàn)椋ǎ玻┻@兩個(gè)函數(shù)相同．因?yàn)?，所以它們的定義域與對(duì)應(yīng)法則均相同．（３）這兩個(gè)函數(shù)不同．因?yàn)?，所以它們的?duì)應(yīng)法則不同．（４）這兩個(gè)函數(shù)相同．因?yàn)樗鼈兊亩x域與對(duì)應(yīng)法則均相同．3．下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些是非奇非偶函數(shù)？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)所給函數(shù)是偶函數(shù)．(2)所給函數(shù)是奇函數(shù)．(3)所給函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．(4)所給函數(shù)是偶函數(shù)．(5)所給函數(shù)是奇函數(shù)．(6)所給函數(shù)是奇函數(shù)．4．求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)；(2)；(3)．解(1)由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．(２)由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．(３)由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．5．設(shè)，求．解因?yàn)?，故．于是，?．設(shè)，求，及．解．7．設(shè)，求及．解8．已知的定義域?yàn)?，求下列?fù)合函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．解(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?2)函數(shù)的定義域?yàn)椋?3)函數(shù)的定義域?yàn)椋?．在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，并求對(duì)應(yīng)于所給自變量值的函數(shù)值：(1)；(2)；(3)．解(1)，；(2)，；(3)，，．10．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品1000噸，每噸定價(jià)為130元，銷售量在700噸以內(nèi)時(shí)，按原價(jià)銷售，超過(guò)700噸時(shí)超過(guò)的部分打九折出售．試將銷售總收益與銷售量的函數(shù)關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式表出．解設(shè)用表示銷售量，用表示銷售總收益，根據(jù)題意可得銷售總收益R與銷售量x的函數(shù)關(guān)系如下：11．假設(shè)某種商品的需求量是價(jià)格（單位：元）的函數(shù)：；商品的總成本是需求量的函數(shù)：；每單位商品需要納稅2元．試將銷售利潤(rùn)表示為單價(jià)的函數(shù)．解根據(jù)題意，銷售利潤(rùn)與單價(jià)的函數(shù)關(guān)系為：．習(xí)題1.21．觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，指出是收斂還是發(fā)散．如果收斂，寫出其極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)收斂于．(2)收斂于0．(3)收斂于1．(4)發(fā)散．(5)收斂于．(6)發(fā)散．2．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)；(2)．證(1)對(duì)于任意給定的正數(shù)，要使，只要，即．于是，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，總有．據(jù)數(shù)列極限的定義，得．（2）對(duì)于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要，即．于是，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，總有．據(jù)數(shù)列極限的定義，得．3．證明：若，則．證由于，，所以因?yàn)?，所以?jù)數(shù)列極限的定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，從而．再據(jù)數(shù)列極限的定義，有．習(xí)題1.31．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：(1)；(2)．證（1）對(duì)于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要，即．于是，取正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．（２）對(duì)于任意給定的正數(shù)（不妨設(shè)），由于，故要使，只要，即．于是，取正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．2．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：(1)；(2)．證(1)對(duì)于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要．于是，取正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．(2)對(duì)于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要．于是，取正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．3．證明：函數(shù)當(dāng)時(shí)極限為零．證，，因?yàn)?，所以?．求下列函數(shù)當(dāng)時(shí)的左、右極限，并說(shuō)明他們當(dāng)時(shí)的極限是否存在：（1）（2）．解(1)，．因?yàn)?，所以存在?２)，．因?yàn)?，所以不存在．?xí)題1.41．下列函數(shù)在其自變量的指定變化過(guò)程中哪些是無(wú)窮??？哪些是無(wú)窮大？哪些既不是無(wú)窮小也不是無(wú)窮大？(1)，當(dāng)時(shí)；(2)，當(dāng)時(shí)；(3)，當(dāng)時(shí)；(4)，當(dāng)時(shí)；解(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)為無(wú)窮大．(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)為無(wú)窮?。?3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)為無(wú)窮?。?4)當(dāng)時(shí)，函數(shù)既不是無(wú)窮小也不是無(wú)窮大．2．下列函數(shù)在自變量的哪些變化過(guò)程中為無(wú)窮小？在自變量的哪些變化過(guò)程中為無(wú)窮大？(1)；(2)．解(1)當(dāng)或時(shí)為無(wú)窮小，當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大．(2)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小，當(dāng)或當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大．3．利用無(wú)窮小的性質(zhì)求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)因?yàn)?，且，所以?2)因?yàn)槭怯薪绾瘮?shù)，且，所以．(3)因?yàn)槭怯薪绾瘮?shù)，且，所以．(4)因?yàn)?，所以?/p>

習(xí)題1.51．求下列極限：(1)(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．2．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)．(2)．(3)．(4)．3．設(shè)，若已知：(1)；(2)；(3)，試分別求這三種情形下常數(shù)與的值．解．(1)由得，故．(2)由得，故，．(3)由得，故，為任意實(shí)數(shù)．4．已知存在且等于，求常數(shù)與的值．解因?yàn)?，故．另一方面，，故．于是．?xí)題1.61．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．2．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．3．利用極限夾逼準(zhǔn)則證明：(1)；(2)．證(1)因?yàn)?，而且，，故由夾逼準(zhǔn)則得．(2)因?yàn)?，而且，，故由夾逼準(zhǔn)則得．習(xí)題1.71．當(dāng)時(shí)，與相比，哪一個(gè)是高階無(wú)窮?。拷庖?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小.2．當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小與下列無(wú)窮小是否同階？是否等價(jià)？(1)；(2)；(3)．解(1)因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小與同階但不等價(jià)．(2)因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小與同階且等價(jià)．(3)因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小與同階但不等價(jià)．3．設(shè)當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)及正整數(shù)．解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，所以,由此得:，.4．利用等價(jià)無(wú)窮小代換法求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)習(xí)題1.81．研究下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性：(1)；(2)；(3)，．解(1)因?yàn)?，，且，所以，從而在點(diǎn)處連續(xù)．(2)因?yàn)?，所以在點(diǎn)處連續(xù)．(3)因?yàn)樵邳c(diǎn)處無(wú)定義，所以在點(diǎn)處不連續(xù)．因?yàn)?，，所以，從而在點(diǎn)處不連續(xù)．2．討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型：(1)；(2)；(3)；(4)解（1）為初等函數(shù)，其定義域?yàn)椋沙醯群瘮?shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點(diǎn)及為間斷點(diǎn)．因?yàn)?，所以是的第一類間斷點(diǎn)，且是可去間斷點(diǎn)．因?yàn)?，所以是的第二類間斷點(diǎn)，且是無(wú)窮間斷點(diǎn)．（2）為初等函數(shù)，其定義域?yàn)椋沙醯群瘮?shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點(diǎn)及為間斷點(diǎn)．因?yàn)?，所以是的第二類間斷點(diǎn)，且是無(wú)窮間斷點(diǎn)．因?yàn)?，，所以是的第一類間斷點(diǎn)，且是跳躍間斷點(diǎn)．（3）為初等函數(shù)，其定義域?yàn)椋沙醯群瘮?shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點(diǎn)為間斷點(diǎn)．因?yàn)椴淮嬖冢ㄒ膊淮嬖冢?，所以是的第二類間斷點(diǎn)．（4）為分段函數(shù)．顯然在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．因?yàn)椋?，所以是的第一類間斷點(diǎn)，且是跳躍間斷點(diǎn)．因?yàn)?，，所以是的第一類間斷點(diǎn)，且是跳躍間斷點(diǎn)．3．求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求．解為初等函數(shù)，其定義域?yàn)椋沙醯群瘮?shù)的連續(xù)性知，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為．．．．4．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．5．求常數(shù)a的值，使函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．解，，要使在點(diǎn)處連續(xù)，只要，所以．6．設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，求常數(shù)k．解，．由于在內(nèi)顯然連續(xù)，故要使在點(diǎn)內(nèi)連續(xù)，只要使在點(diǎn)處連續(xù)，即使得，所以．習(xí)題1.91．證明方程至少有一個(gè)介于與之間的實(shí)根．證令，則在上連續(xù)，且，故據(jù)零點(diǎn)定理，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程至少有一個(gè)介于與之間的實(shí)根．2．證明方程至少有一個(gè)小于的正根．證令，則在上連續(xù)，且，據(jù)零點(diǎn)定理，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程至少有一個(gè)小于的正根．3．證明方程()至少有一個(gè)不超過(guò)的正根．證令，則在上連續(xù)，且，，據(jù)零點(diǎn)定理，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程()至少有一個(gè)不超過(guò)的正根．4．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得．證因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，所以在閉區(qū)間上連續(xù)．于是，據(jù)最值定理得，在上取得最大值與最小值，從而．再據(jù)介值定理得，至少存在一點(diǎn)，使得．

總習(xí)題11．選擇題(1)下列命題中錯(cuò)誤的是（）．(A)兩個(gè)偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是偶函數(shù)(B)兩個(gè)奇函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是奇函數(shù)(C)兩個(gè)單調(diào)增加函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是單調(diào)增加函數(shù)(D)兩個(gè)單調(diào)減少函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是單調(diào)減少函數(shù)(2)若存在，不存在，則下列命題正確的是（）．(A)與都存在(B)與都不存在(C)必不存在，而可能存在(D)可能存在，而必不存在(3)當(dāng)時(shí)，下列四個(gè)無(wú)窮小中，比其它三個(gè)更高階的無(wú)窮小是（）．(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，函數(shù)在上有定義且有間斷點(diǎn)，則必有間斷點(diǎn)的函數(shù)是（）．(A)(B)(C)(D)(5)函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（）．(A)(B)(C)(D)解(1)應(yīng)選Ｄ．例如：與均為單調(diào)減少函數(shù)，但它們的復(fù)合函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)．(2)應(yīng)選C．必不存在．因?yàn)槿绻嬖?，則由及存在，得存在．這與題設(shè)矛盾．當(dāng)，時(shí)，存在，不存在，而是未定式，可能存在．(3)應(yīng)選A．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，，所以當(dāng)時(shí)，與其它三個(gè)無(wú)窮小相比，無(wú)窮小的階最高．(4)應(yīng)選D．因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)也在上連續(xù)，與題設(shè)矛盾．(5)應(yīng)選B．因?yàn)闉槌醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)椋沙醯群瘮?shù)的連續(xù)性知，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為．2．填空題(1)設(shè)都是常數(shù)，若，則，．(2)設(shè)函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小，則常數(shù)，．(3)設(shè)當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)，．解(1)應(yīng)填．因?yàn)?，所以?，從而．于是，．(2)應(yīng)填．因?yàn)橛深}設(shè)得，所以，，即，．(3)應(yīng)填．因?yàn)橛深}設(shè)得，所以，，．3．求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．4．設(shè)，當(dāng)常數(shù)為何值時(shí)，(1)是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)？(2)是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)？(3)是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)？解，，，(1)當(dāng)，即，時(shí)，是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)．(2)當(dāng)，即，時(shí)，是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．(3)當(dāng)，即，為任意實(shí)數(shù)時(shí)，是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)．5．求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)的類型．解顯然，在內(nèi)連續(xù)．因?yàn)?，；因?yàn)?，，所以與均為的第一類間斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn)．6．已知三次方程有三個(gè)實(shí)根，試指出這三個(gè)根所在的區(qū)間（每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度都必須小于1）．解令，則在上連續(xù)，且，，，，，，據(jù)零點(diǎn)定理，函數(shù)在開區(qū)間，，內(nèi)分別至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在開區(qū)間，，內(nèi)分別至少有一個(gè)實(shí)根．又方程有三個(gè)實(shí)根，故這三個(gè)實(shí)根所在的區(qū)間分別為，，．習(xí)題解答習(xí)題2.11．設(shè)是常數(shù)），試按定義求．解．2．證明：．證．3．設(shè)，試按定義求．解．4．求函數(shù)在點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)，并說(shuō)明在點(diǎn)處是否可導(dǎo)．解；．因?yàn)?，所以在點(diǎn)處不可導(dǎo)．5．利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．6.已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為（單位為m），求這物體在s和s時(shí)的速度．解；．7．討論下列函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：(1)；(2)(3)解(1)因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處連續(xù)．因?yàn)?，，所以，從而函?shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)．(2)因?yàn)椋瘮?shù)在點(diǎn)處連續(xù)．因?yàn)?，所以函?shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)．(3)因?yàn)?，函?shù)在點(diǎn)處連續(xù)．因?yàn)椴淮嬖冢院瘮?shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)．8．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，證明：．證因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，所以．9．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解因?yàn)?，所以切線斜率為，法線斜率為．于是，所求切線方程為；所求法線方程為．10．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解因?yàn)?，所以切線斜率為，法線斜率為．于是，所求切線方程為，即；所求法線方程為，即．11．在曲線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于直線．解設(shè)所求點(diǎn)為，則由題設(shè)知，，從而．故所求之點(diǎn)為．12．證明雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為定值．證設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn)，則雙曲線在該點(diǎn)處的切線斜率為．于是，切線方程為，即．切線在兩坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為與，故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．習(xí)題2.21．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)(11)；(12)；(13)；(14)；(15)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．(15)．2．求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程和法線方程．解因?yàn)?，所以切線斜率為，法線斜率為．于是，所求切線方程為，即；所求法線方程為，即．3．曲線上哪一點(diǎn)的切線與直線平行？解設(shè)為曲線上的一點(diǎn)，則曲線在該點(diǎn)處的切線斜率為．令，得，故所求點(diǎn)為或．4．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7)；(8)；(9)；(10)(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．(15)．(16)．(17)．(18)．(19)．(20)．5．求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：(1)，求；(2)，求；(3)，求．解(1)，．(2)，．(3)，．6．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)．(2)．(3)．習(xí)題2.31．求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．(7)；(8)；(9)；(10)；(11)．解(1)，．(2)，．(3)，．(4)，．(5)，．(6)．(7)，．(8)，．(9)，．(10)，．(11)，．2．設(shè)，求．解，，，．3．設(shè)二階可導(dǎo)，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．解(1)，．(2)，．4．驗(yàn)證函數(shù)（是常數(shù)）滿足關(guān)系式：．解因?yàn)?，，所以?．求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)：(1)（都是常數(shù)）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)，，，，一般地，．(3)，，，，一般地，．(4)，，，，一般地，．(5)，，，，一般地，．(6)，，，，一般地，．

習(xí)題2.41．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．(2)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．(3)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．(4)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．2．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，切線斜率為，法線斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．3．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，切線斜率為，法線斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．4．求下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．解(1)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，．(2)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．于是，．(3)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得．從而．于是，．5．用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．(2)兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．(3)兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．(4)兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．6．求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)解(1)．(2)．(3)．7．求曲線在相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解參數(shù)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)．，所求切線的斜率為，所求法線的斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．8．求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程．解點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)．，所求切線的斜率為，所求法線的斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．9．求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)解(1)，．(2)，．(3)，．

習(xí)題2.51．設(shè)函數(shù)的圖形如圖2-5所示，試在圖2-5(a)、(b)、(c)、(d)中分別標(biāo)出點(diǎn)處的、及，并說(shuō)明其正負(fù)．解(a)，，；(b)，，；(c)，，；(d)，，．2．已知函數(shù)，求：（1）該函數(shù)在處的微分；（2）該函數(shù)在處當(dāng)時(shí)的微分．解(1)．(2)．3．求下列函數(shù)的微分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6);(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．4．將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi)使等式成立：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．5．?dāng)U音器插頭為圓柱形，截面半徑為0.15cm，長(zhǎng)度為4cm．為了提高它的導(dǎo)電性能，必須在這圓柱的側(cè)面鍍上一層厚為0.001cm的純銅，問(wèn)約需多少克的純銅？解，，故大約需要純銅（g）.6．設(shè)扇形的圓心角，半徑，如果不變，減少，問(wèn)扇形的面積大約改變了多少？又如果不變，增加，問(wèn)扇形的面積大約改變了多少？解.(1)如果不變，則（cm2）．故扇形的面積約減少．(2)如果不變，則（cm2）．故扇形的面積約增加．7．計(jì)算下列各式的近似值：(1)；(2)．解(1)令，，，則．(2)令，，，則．習(xí)題2.61.某工廠每日產(chǎn)品的總成本C（單位：元）是日產(chǎn)量Q（單位：公斤）的函數(shù)，（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤時(shí)的總成本和平均單位成本；（2）求當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤和1000公斤時(shí)的邊際成本．解（1）當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤時(shí)的總成本為（元）；平均單位成本為（元）．（2）由于邊際成本函數(shù)為，所以當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤時(shí)的邊際成本為（元）；當(dāng)日產(chǎn)量為1000公斤時(shí)的邊際成本為（元）．2.某產(chǎn)品的總成本C關(guān)于產(chǎn)量Q的函數(shù)為，求：（1）產(chǎn)量為100時(shí)的總成本、平均單位成本；（2）生產(chǎn)100單位和225單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義．解（1）產(chǎn)量為100時(shí)的總成本為；平均單位成本為（元）．（2）由于邊際成本函數(shù)為，所以生產(chǎn)100單位單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本，（元），其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為100時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本就增加元；生產(chǎn)225單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本，（元）．其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為225時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本就增加元．3.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)Q單位的總收益R為，求生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時(shí)的總收益和邊際收益．解生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時(shí)的總收益為．因?yàn)檫呺H收益函數(shù)為，所以生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時(shí)的邊際收益為．4.設(shè)某商品的價(jià)格關(guān)于產(chǎn)量Q的函數(shù)為，求邊際收益函數(shù)及和時(shí)的邊際收益，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義．解因?yàn)榭偸找婧瘮?shù)為，所以邊際收益函數(shù)為，從而當(dāng)和時(shí)的邊際收益分別為，．其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益增加個(gè)單位；當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益減少個(gè)單位．5.求函數(shù)在點(diǎn)處的彈性．解因?yàn)?，所以?.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求時(shí)的需求彈性．解因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)的需求彈性為；當(dāng)時(shí)的需求彈性為．7.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，（1）求時(shí)的需求彈性；（2）在時(shí)，若價(jià)格上漲1%，總收益是增加還是減少？將變化百分之幾？解（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)的需求彈性為．（2）因?yàn)榭偸找?，，所以，即在時(shí)，若價(jià)格上漲1%，總收益增加0.67%．習(xí)題2.61.某工廠每日產(chǎn)品的總成本C（單位：元）是日產(chǎn)量Q（單位：公斤）的函數(shù)，（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤時(shí)的總成本和平均單位成本；（2）求當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤和1000公斤時(shí)的邊際成本．解（1）當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤時(shí)的總成本為（元）；平均單位成本為（元）．（2）由于邊際成本函數(shù)為，所以當(dāng)日產(chǎn)量為900公斤時(shí)的邊際成本為（元）；當(dāng)日產(chǎn)量為1000公斤時(shí)的邊際成本為（元）．2.某產(chǎn)品的總成本C關(guān)于產(chǎn)量Q的函數(shù)為，求：（1）產(chǎn)量為100時(shí)的總成本、平均單位成本；（2）生產(chǎn)100單位和225單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義．解（1）產(chǎn)量為100時(shí)的總成本為；平均單位成本為（元）．（2）由于邊際成本函數(shù)為，所以生產(chǎn)100單位單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本，（元），其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為100時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本就增加元；生產(chǎn)225單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本，（元）．其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為225時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本就增加元．3.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)Q單位的總收益R為，求生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時(shí)的總收益和邊際收益．解生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時(shí)的總收益為．因?yàn)檫呺H收益函數(shù)為，所以生產(chǎn)50單位產(chǎn)品時(shí)的邊際收益為．4.設(shè)某商品的價(jià)格關(guān)于產(chǎn)量Q的函數(shù)為，求邊際收益函數(shù)及和時(shí)的邊際收益，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義．解因?yàn)榭偸找婧瘮?shù)為，所以邊際收益函數(shù)為，從而當(dāng)和時(shí)的邊際收益分別為，．其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益增加個(gè)單位；當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益減少個(gè)單位．5.求函數(shù)在點(diǎn)處的彈性．解因?yàn)?，所以?.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求時(shí)的需求彈性．解因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)的需求彈性為；當(dāng)時(shí)的需求彈性為．7.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，（1）求時(shí)的需求彈性；（2）在時(shí)，若價(jià)格上漲1%，總收益是增加還是減少？將變化百分之幾？解（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)的需求彈性為．（2）因?yàn)榭偸找?，，所以，即在時(shí)，若價(jià)格上漲1%，總收益增加0.67%．總習(xí)題21．選擇題(1)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則下列四個(gè)極限中等于的是（）．A．B．C．D．(2)設(shè)則函數(shù)在點(diǎn)處（）．A．左、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等B．左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等C．左導(dǎo)數(shù)存在、右導(dǎo)數(shù)不存在D．左導(dǎo)數(shù)不存在、右導(dǎo)數(shù)存在(3)已知在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且，則下述結(jié)論正確的是（）．A．不一定存在B．在不一定可微；C．D．(4)設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則n階導(dǎo)數(shù)（）．A．B．C．D．(5)設(shè)，則（）．A．B．C．D．解(1)應(yīng)選A．因?yàn)椋?2)應(yīng)選Ｃ．因?yàn)?，，所以函?shù)在點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)存在、右導(dǎo)數(shù)不存在．(3)應(yīng)選Ｄ．因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo)，所以在點(diǎn)處連續(xù)，從而．(4)應(yīng)選A．因?yàn)?，，，，一般地，?5)應(yīng)選B．因?yàn)?，故?．填空題(1)設(shè)，則．(2)設(shè)，則．(3)已知，，則．(4)設(shè)，則．(5)設(shè)曲線與都通過(guò)點(diǎn)，且在該點(diǎn)有公共切線，則，，．解(1)應(yīng)填．因?yàn)?，所以?2)應(yīng)填．因?yàn)椋裕谑?，，從而?3)應(yīng)填．因?yàn)?，所以?4)應(yīng)填．因?yàn)椋?5)應(yīng)填．因?yàn)橛深}設(shè)知，，即，解之得．3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，于是，．4．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．解(1)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．(2)方程兩邊取對(duì)數(shù)，得，上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，從而．5．設(shè)函數(shù)由方程所確定，求與．解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，①將，代入①式，得．①式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得②將，，代入①式，得．6．求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)（存在且不為零）．解(1)，．(2)，．7．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且可導(dǎo)，求常數(shù)a，b的值．解由在點(diǎn)處連續(xù)得，，故，即．于是，，．由在點(diǎn)處可導(dǎo)得，，故．8．若為偶函數(shù)，且存在，證明．證因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且存在，所以，從而．9.生產(chǎn)某產(chǎn)品，每日固定成本為100元，每多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加20元，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為，試寫出日總成本函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)，并求邊際成本函數(shù)和邊際利潤(rùn)函數(shù)．解日總成本函數(shù)為，日邊際成本函數(shù)為．由得，．于是，日總利潤(rùn)函數(shù)為．日邊際利潤(rùn)函數(shù)為．10.某商品的需求量Q為價(jià)格的函數(shù)．（1）求時(shí)的邊際需求，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（2）求時(shí)的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（3）求時(shí)，若價(jià)格下降2%，總收益變化百分之幾？是增加還是減少？解（1）因?yàn)檫呺H需求函數(shù)為，故當(dāng)時(shí)的邊際需求為，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格為6時(shí)，再上漲一個(gè)單位價(jià)格，需求將減少24個(gè)單位．（2）當(dāng)時(shí)的需求彈性為，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格為6時(shí)，再上漲1%，需求將約減少1.85%．（3）因?yàn)榭偸找妫援?dāng)價(jià)格為6時(shí)，價(jià)格再下降2%時(shí)，總收益將約增加1.69%．習(xí)題解答習(xí)題3--11.驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性。解：因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)且,所以由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得。由得因此確有使2.證明對(duì)函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的總是位于該區(qū)間的中點(diǎn)。證明：因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理至少存在一點(diǎn)(ab)使得即(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)化簡(jiǎn)上式得：p(ba)(ba)2p(ba)故3.利用中值定理證明下列不等式：（1）；（2）；（3）； 證明(1)設(shè)則f(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在(ab)使f(b)f(a)f()(ba)即而所以。（）設(shè)f(x)xn則f(x)在[ba]上連續(xù)在(ba)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)因?yàn)閚bn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)（）設(shè)則f(x)在以ab為端點(diǎn)的閉區(qū)間上連續(xù)在以ab為端點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理存在介于ab之間，使f(b)f(a)f()(ba)即而所以。4.利用導(dǎo)數(shù)證明：（）；證明設(shè)f(x)arcsinxarccosx因?yàn)椋ǎ┧詅(x)C其中C是一常數(shù)取，得到=；又，因此（）；習(xí)題3-21.利用羅必達(dá)法則求下列極限：（1）；解：原式===6（2）；解：原式==（3）；解：原式==（4）；解：原式===（5）；解：原式====（6）；解：原式===（7）；解：原式====（8）；解：原式===（9）；解：原式===（10）；解：原式=====（11）；解：原式==，又====，所以，原式==（12）；解：原式==，又===，所以，原式=2.驗(yàn)證極限存在，但不能用羅必達(dá)法則計(jì)算出來(lái)。解：原式==，所以，極限存在。但是=不存在，不能用羅必達(dá)法則。習(xí)題3-31.將多項(xiàng)式展開成的多項(xiàng)式。解：因?yàn)?，，，所以按的冪展開的多項(xiàng)式為2.應(yīng)用馬克勞林公式，按的冪展開函數(shù)。解：因?yàn)?，，，，，所以按的冪展開的多項(xiàng)式為3.求函數(shù)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階馬克勞林公式。解：因?yàn)?，，，，，所以，從?.求函數(shù)的帶有皮爾諾型余項(xiàng)的5階馬克勞林公式。解：因?yàn)椋?，所以：?xí)題341.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；；（6）；解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠0+0y↘↗↘可見函數(shù)在(-￥,-1]、[1,+￥)內(nèi)單調(diào)減少,在[-1,1]內(nèi)單調(diào)增加。（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠0+0y↘↗↘可見函數(shù)在(-￥,-1]、[1,+￥)內(nèi)單調(diào)減少,在[-1,1]內(nèi)單調(diào)增加。（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(0,2)2(2,+￥)y￠0+y↘↗所以函數(shù)在(0,2]內(nèi)單調(diào)減少,在[2,+￥)內(nèi)單調(diào)增加。（4）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(0,1)1(1,2)y￠+0y↗↘所以函數(shù)在[0,1]內(nèi)單調(diào)增加,在[1,]內(nèi)單調(diào)減少。（5）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：xy￠0+0-y↘↗↘可見函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)減少,在內(nèi)單調(diào)增加。（6）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，另外為函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。列表得：x(-￥,0)0(0,)(,+￥)y￠+不存在-0+y↗↘０↗可見函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)單調(diào)減少。2.證明下列不等式：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，；證明：（1）設(shè),則f(x)在[0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)樗詅(x)在(0,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0,即亦.()（2）設(shè),則f(x)在[1,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)樗詅(x)在(1,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>1時(shí)f(x)>f(1)=0,即亦.()（3）設(shè),則f(x)在[0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)樗詅(x)在(0,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0,即亦.()3.求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為列表x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+0-0+y↗7極大值↘6極小值↗可見函數(shù)在x=0處取得極大值7,在x=1處取得極小值6.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為。又。因?yàn)閥(0)=40,y(-1)=-80,y(1)=-80,所以y(0)=0是函數(shù)的極小值,y(-1)=1和y(1)=1是函數(shù)的極大值.(3)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且。令，駐點(diǎn)為列表x(-,0)0(0,+)y-0+y↘0極小值↗可見函數(shù)在x=0處取得極小值0.(4)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且。為不可導(dǎo)點(diǎn)列表x(-,1)1(1,+)y-0+y↘2極小值↗可見函數(shù)在x=1處取得極小值2.(5)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且。令，得駐點(diǎn)為，列表x(-,-1)-1(-1,)(,+)y-0-0+y↘非極值↘極小值↗可見函數(shù)在x=處取得極小值.4.問(wèn)為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值。解：,，要使函數(shù)在處取得極值,必有,即，.當(dāng)時(shí),.因此,當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在處取得極值,而且取得極大值,極大值為.5.求下列函數(shù)的最大值或最小值，如果都存在，均求出：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），。解：（1），令,得駐點(diǎn)為。計(jì)算函數(shù)值得y(-1)=1,y(0)=0,y(-2)=-4,y(2)=28,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(-1)=-4,最大值為y(2)=28.（2），令,得駐點(diǎn)為（其中不合）。計(jì)算函數(shù)值得y(0)=5,y(-1)=-2,y(2)=-11,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(2)=-11,最大值為y(0)=5.（3），令,得駐點(diǎn)為。計(jì)算函數(shù)值得,,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為,最大值為.（4），令,得駐點(diǎn)為（其中不合）。列表得x(0,1)1(1,+)y+0-y↗極大值↘所以函數(shù)在x=1處取得極大值.又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè),所以這個(gè)極大值也就是最大值,即函數(shù)在x=1處取得最大值,最大值為.（5），令,得駐點(diǎn)為。列表得x(-,-2)-2(-2,0)y-0+y↘極小值↗所以函數(shù)在x=-2處取得極小值.又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè),所以這個(gè)極小值也就是最小值,即函數(shù)在x=-2處取得最小值,最小值為.6.將6分為兩數(shù)之和，使其立方和為最小。解：設(shè)兩數(shù)中的一數(shù)為x則另一數(shù)為(6-x),于是立方和為，令,得唯一駐點(diǎn)x=3.因?yàn)?所以x=3為極小值點(diǎn),從而也是最小值點(diǎn).即當(dāng)兩數(shù)均為3時(shí)，兩數(shù)的立方和為最小.7.一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形容器，當(dāng)給定體積為時(shí)，要使容器的表面積為最小，問(wèn)底的半徑與容器的高的比例應(yīng)該怎樣？解：由V=r2h,得.于是容器表面積為：S=r2+2rh(0x+),.令S=0,得駐點(diǎn).因?yàn)?所以S在駐點(diǎn)處取得極小值,也就是最小值.這時(shí)相應(yīng)的高為.底半徑與高的比為。8.已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（元），問(wèn)：（1）要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（2）若產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：（1）平均成本函數(shù)，.令,得駐點(diǎn).因?yàn)?所以在駐點(diǎn)處取得極小值。.因?yàn)轳v點(diǎn)唯一,所以這個(gè)極小值也就是最小值，即當(dāng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時(shí)，平均成本最小。（2）利潤(rùn)函數(shù)，，，令,得駐點(diǎn).因?yàn)?所以在駐點(diǎn)處取得極大值。.因?yàn)轳v點(diǎn)唯一,所以這個(gè)極大值也就是最大值，即當(dāng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大。9.用一塊半徑為的圓形鐵皮，剪去一圓心角為的扇形后，做成一個(gè)漏斗形容器，問(wèn)為何值時(shí)，容器的容積最大？解：設(shè)漏斗的底周長(zhǎng)為l、底半徑為r、高為h，那么,.漏斗的容積為(0<<2).，令，得駐點(diǎn)為.由問(wèn)題的實(shí)際意義,V一定在(0,2)內(nèi)取得最大值,而V在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),所以該駐點(diǎn)一定也是最大值點(diǎn).因此當(dāng)時(shí),漏斗的容積最大.10.用三塊相同的木板做成一個(gè)斷面為梯形的水槽（如圖3-12），問(wèn)傾斜角為多大時(shí)，水槽的流量最大？最大流量是多少？(設(shè)流速為)解：槽的流量與槽的橫截面面積有關(guān)，橫截面面積愈大，流量愈大。因此，求流量最大，也就是求槽的橫截面面積最大。設(shè)橫截面面積為，由于截面為梯形，所以，在直角三角形中，，，又，于是，故令，得和（不合舍去），從而有唯一駐點(diǎn)為。所以當(dāng)時(shí)，橫截面面積最大，即水槽的流量最大，最大流量為。12.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當(dāng)月租金定為1000元時(shí)，公寓能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)，就會(huì)多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi)，問(wèn)房租定為多少元時(shí)可獲得最大收入？解：設(shè)房租定為x元,純收入為R元.當(dāng)x1000時(shí),R=50x-50100=50x-5000,且當(dāng)x=1000時(shí),得最大純收入45000元.當(dāng)x1000時(shí),.令R=0得(1000,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=1800.因?yàn)?所以x=1800為極大值點(diǎn),同時(shí)也是最大值點(diǎn).最大值為R=57800.因此,房租定為1800元可獲最大收入習(xí)題3--51.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)（1）；（2）；（3）；（4）； 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,)(,+￥)y￠￠-0+y?拐點(diǎn)è所以曲線在(-￥,]內(nèi)是凸的,在[,+￥)內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(,).(2)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠￠-0+0-y?ln2拐點(diǎn)èln2拐點(diǎn)?可見曲線在(-￥,-1]和[1,+￥)內(nèi)是凸的,在[-1,1]內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(-1,ln2)和(1,ln2).(3)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.當(dāng)時(shí),不存在。列表得x(-￥,0)0(0,+￥)y￠￠+0-yè0拐點(diǎn)?可見曲線在(-￥,0]內(nèi)是凹的,在[0,+￥)內(nèi)是凸的，拐點(diǎn)為(0,0)。(4)函數(shù)的定義域?yàn)?且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,-1)(-1,2)2(2,+￥)y￠￠--0+y??拐點(diǎn)è可見曲線在(-￥,-1)和(-1,2]內(nèi)是凸的,在[2,+￥)內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(2,).2.問(wèn)和為何值時(shí)，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)？解：y￠=3ax2+2bx,y￠￠=6ax+2b.要使(1,3)成為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn),必須y(1)=3且y￠￠(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程組得,.習(xí)題3--61.求下列曲線的漸近線：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1），，所以函數(shù)有水平漸近線和鉛直漸近線（2），所以函數(shù)有水平漸近線。（3），所以函數(shù)有鉛直漸近線。（4），，，所以函數(shù)有水平漸近線和鉛直漸近線。2.作出下列函數(shù)的圖形：（1）；（2）；（3）；（4）；解：略習(xí)題3--71.求下列曲線在指定點(diǎn)處的曲率及曲率半徑：（1），在點(diǎn)處；（2），在任意點(diǎn)處及點(diǎn)處；（3），在點(diǎn)處。解：（1），；,所求曲率為.曲率半徑為。（2），；,在任意點(diǎn)所求曲率為.曲率半徑為；在任意點(diǎn)所求曲率為，曲率半徑為（3）兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得,,.,.所求曲率為，曲率半徑為。2.曲線上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最??？求出該點(diǎn)處的曲率半徑。解：,.在任意點(diǎn)處的曲率,在任意點(diǎn)處的曲率半徑,其導(dǎo)數(shù)為.令,得因?yàn)楫?dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),,所以是的極小值點(diǎn),同時(shí)也最小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)因此在曲線上點(diǎn)處曲率半徑最小最小曲率半徑為.習(xí)題3--81.證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)根，并用二分法求這個(gè)根的近似值，使誤差不超過(guò)。解：設(shè)，顯然在內(nèi)連續(xù)．又因?yàn)?，，且在區(qū)間內(nèi)大于零，故方程在內(nèi)有唯一實(shí)根．就是一個(gè)根的隔離區(qū)間．計(jì)算得：，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，于是．即取作為根的不足近似值，取作為根的過(guò)剩近似值，其誤差都小于．2.證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)根，并用牛頓切線法求這個(gè)根的近似值，使誤差不超過(guò)。解：設(shè)，顯然在內(nèi)連續(xù)．因?yàn)?，，所以就是一個(gè)根的隔離區(qū)間，且在區(qū)間上，．由于與同號(hào)，故取的弧端作切線．應(yīng)用公式（3-21），得；；；．上述計(jì)算到此不能再繼續(xù)，與相等，說(shuō)明迭代已經(jīng)趨于穩(wěn)定，并且，，于是．因此，以或作為根的近似值，其誤差都不超過(guò)．3.求方程的近似根，使誤差不超過(guò)。解：用牛頓切線法.設(shè)，顯然在內(nèi)連續(xù)．因?yàn)椋?，所以就是一個(gè)根的隔離區(qū)間，且在區(qū)間上，．由于與同號(hào)，故取的弧端作切線．應(yīng)用公式（3-21），得；；；．上述計(jì)算到此不能再繼續(xù)，與相等，說(shuō)明迭代已經(jīng)趨于穩(wěn)定，并且，，于是．因此，以或作為根的近似值，其誤差都不超過(guò)．總習(xí)題31.選擇題（1）設(shè)在可導(dǎo)，則是在取得極值的（B）（A）充分條件（B）必要條件（C）充要條件（D）既非充分又非必要條件（2）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則對(duì)任意常數(shù)，必有（A）（A）（B）0（C）（D）（3）設(shè)滿足方程，且，，則函數(shù)在點(diǎn)處（A）（A）取得極大值（B）某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加（C）取得極小值（D）某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少（4）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（D）（A）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對(duì)任意，都有；（B）若函數(shù)和都在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且，則；（C）若函數(shù)在處取得極大值，則也在處取得極大值；（D）若函數(shù)和都在處取得極小值，則也在處取得極小值。（5）曲線的鉛直漸近線的條數(shù)是（C）（A）0（B）1（C）2（D）32.填空題（1）函數(shù)在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理成立的e-1。（2）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，根據(jù)羅必達(dá)法則可得，1。（3）函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為[0,1)。（4）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值依次為-3、2。3.求下列極限（1）；（2）；（3）；解：（1）原式====（2）原式==（3）原式，又，所以，原式==4.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，且點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求常數(shù)的值。解：，，依條件有，即，解之得：。5.求橢圓上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得則。令得到，代入得，即為橢圓方程確定的隱函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)。由幾何性質(zhì)知:的最大值、最小值是存在的，因此，對(duì)應(yīng)的最大值、最小值：。從而縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)分別是和。6.證明下列不等式：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)，時(shí)，；證明：（1）設(shè),則f(x)在(0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)椋?)所以f(x)在(e,+￥)內(nèi)是單調(diào)減少的，從而當(dāng)時(shí)，有。即亦.（2）設(shè),則g(x)在[0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)椋?)所以g(x)在(0,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)時(shí)，有。即亦.（3）設(shè),則h(x)在(-1,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)椋?，（）令，得為唯一駐點(diǎn)。又，所以為的極大值點(diǎn),同時(shí)也是最大值點(diǎn)。從而當(dāng)時(shí)，有。即亦.7.設(shè)函數(shù)、均在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。證明：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得。即8.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。證明：由題意知：在和上均滿足羅爾定理的條件。由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得，。這樣在上也滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)使得。9.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。所以滿足羅爾定理的條件。又，由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得。即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。10.將長(zhǎng)為的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓，問(wèn)兩段鐵絲各為多長(zhǎng)時(shí)，正方形與圓的面積之和最小。解：設(shè)圓的周長(zhǎng)為，則正方形的周長(zhǎng)為，兩圖形面積之和為，。令得到唯一駐點(diǎn)，而，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即當(dāng)圓的周長(zhǎng)為，正方形的周長(zhǎng)為時(shí)，正方形與圓的面積之和最小。11.甲、乙兩地相距km,汽車從甲地勻速地行駛到乙地，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（單位：元）由固定成本與可變成本組成，其中固定成本為元，可變成本與速度（單位：km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為。試問(wèn)汽車應(yīng)以多大的速度行駛，才能使全程運(yùn)輸成本最??？解：汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本為，汽車從甲地到乙地全程運(yùn)輸成本，令得到唯一駐點(diǎn)，而，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即當(dāng)汽車以的速度行駛，才能使全程運(yùn)輸成本最小。習(xí)題解答習(xí)題4－11．求下列不定積分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）．解．2．已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，求．解．3．已知一曲線通過(guò)點(diǎn)，且曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程．解設(shè)所求曲線方程為，則，，由曲線過(guò)點(diǎn)，得，即所求曲線方程為．4．一物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)秒后的速度為（米/秒），求物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系．解，由，得，所以及．5．證明函數(shù),和都是同一函數(shù)的原函數(shù)．證因?yàn)?，，，所以它們都是的原函?shù)．習(xí)題4－21．在下列各式等號(hào)右端的空白處填入適當(dāng)?shù)南禂?shù)，使等式成立：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解．2．利用第一類換元法求下列不定積分：（1）；解；（2）解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）；解；（22）；解；（23）；解；（24）；解；（25）；解；（26）．解．3．利用第二類換元法求下列不定積分：（1）；解令，則，；（2）；解令，則，；（3）；解令，則，；（4）；解令，則，；（5）；解令，則，；（6）；解令，則，；（7）；解令，則，，；（8）；解令，則，，；（9）；解令，則，，；（10）；解令，則，，；（11）；解；（12）．解．習(xí)題4－31．求下列不定積分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解，；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）．解令，則，，．2．已知的一個(gè)原函數(shù)為，求．解．習(xí)題4－41．求下列有理函數(shù)的不定積分：（1）；解；（2）；解；（3）；解，通分，得令，得，令，得，比較項(xiàng)系數(shù)，得，，；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解，通分，得比較項(xiàng)系數(shù)，得，比較項(xiàng)系數(shù)，得，解得比較項(xiàng)系數(shù)，得，比較常數(shù)項(xiàng)，得，；（8）；解；（9）．解．2．化被積函數(shù)為有理函數(shù)，求下列不定積分：（1）；解令，則，；（2）．解令，則，．總習(xí)題41．選擇題（1）函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是（）；（A）（B）（C）（D）解因?yàn)椋缘囊粋€(gè)原函數(shù)是，即選項(xiàng)B正確；（2）下列等式中成立的是（）；（A）（B）（C）（D）解因?yàn)?，所以選項(xiàng)B的等式成立；（3）若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式中成立的是（）；（A）（B）（C）（D）解因?yàn)?，所以選項(xiàng)C的等式成立；（4）設(shè)，則（）；（A）（B）（C）（D）解因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確．2．填空題（1）如果，則；解因?yàn)?，所以；?）設(shè)，則；解因?yàn)?，所以；?）設(shè)，則；解因?yàn)椋?，所以；?），．解，．3．求下列不定積分：（1）；解；（2）解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解令，則，；（7）；解令，則，；（8）；解令，則，；（9）；解；（10）；解令，則，，；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）．解．4．已知的一個(gè)原函數(shù)為，求，．解；．5．設(shè)，求．解．習(xí)題解答習(xí)題5－11．利用定積分定義計(jì)算下列各題：（1）；解對(duì)區(qū)間作等分，，，；（2）．解對(duì)區(qū)間作等分，，，，，因?yàn)?，所以，即?．利用定積分的幾何意義求下列定積分：（1）；解因?yàn)楸硎緸橐粋€(gè)三角形面積，所以；（2）；解因?yàn)楸硎緸橐粋€(gè)梯形面積，所以；（3）；解因?yàn)楸硎緸橐粋€(gè)半圓面積，所以；（4）．解因?yàn)楸硎旧锨€與軸圍成的平面圖形，用軸上方的面積減軸下方的面積，所以．3．設(shè)，，，求（1）；解；（2）；解因?yàn)椋?；?）；解；（4）．解；4．證明定積分的性質(zhì)：（1）（是常數(shù)）；證；（2）．證．5．不計(jì)算定積分的值，比較下列各對(duì)定積分值的大小：（1）與；解因?yàn)樵陂]區(qū)間上，，所以；（2）與；解因?yàn)樵陂]區(qū)間上，，所以；（3）與；解因?yàn)樵陂]區(qū)間上，，所以；（4）與．解因?yàn)樵陂]區(qū)間上，，所以．6．估計(jì)下列各積分的值：（1）；解因?yàn)樵陂]區(qū)間上，是單調(diào)增加函數(shù)，即，所以；（2）；解設(shè)，在閉區(qū)間上，，令，解得，由，，，即，所以；（3）；解設(shè)，在閉區(qū)間上，，即，所以；（4）．解設(shè)，在閉區(qū)間上，，是單調(diào)減少函數(shù)，即，所以．習(xí)題5－21．計(jì)算下列各定積分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7），其中．解．2．計(jì)算下列各導(dǎo)數(shù)：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）．解．3．求由所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解，，．4．設(shè)，求．解，，．5．求下列各極限：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）．解．6．設(shè)求在上的表達(dá)式，并討論在上的連續(xù)性與可導(dǎo)性．解當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；，，，即，在上連續(xù)；，，因?yàn)?，在處不可?dǎo)．習(xí)題5－31．求下列定積分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解令，則，，由，得，由，得，；（9）；解令，則，由，得，由，得，；（10）；解令，則，由，得，由，得，；（11）；解令，則，由，得，由，得，；（12）．解令，則，由，得，由，得，．2．用分部積分法求下列定積分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解，；（8）；解，；（9）；解；（10）；解令，則，由，得，由，得，；（11）．解令，則，由，得，由，得，．3．計(jì)算下列定積分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）．解．4．證明下列各等式：（1），其中；證令，則，由，得，由，得，；（2），其中在上連續(xù)；證令，則，由，得，由，得，；（3）．證令，則，由，得，由，得，；5．設(shè)在上連續(xù)，且，，，求．解．6．若是連續(xù)的奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若是連續(xù)的偶函數(shù)，證明是奇函數(shù)．證設(shè)，則（令），即是偶函數(shù)；設(shè)，則（令），即是奇函數(shù)．習(xí)題5－41．討論下列反常積分的斂散性，如果收斂，求反常積分的值：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解，發(fā)散；（10）．解．2．已知，求常數(shù)的值．解，由，解得．3．當(dāng)為何值時(shí)，反常積分收斂？當(dāng)為何值時(shí)，該反常積分發(fā)散？又當(dāng)為何值時(shí)，該反常積分取得最小值？解當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則，，令，得，且，即在處取極大值，所以取最小值．*4．用函數(shù)表示下列反常積分：（1）；解；（2）；解令，則，由，得，由，得，；（3）．解令，則，由，得，由，得，．總習(xí)題51．選擇題（1）設(shè)在上，，，記，，，則（）；（A）（B）（C）（D）解因?yàn)?，，所以在上單調(diào)減少，即，由定積分性質(zhì)得，即選項(xiàng)B正確；（2）設(shè)，，，則（）；（A）（B）（C）（D）解由奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的結(jié)論，得，，，即選項(xiàng)D正確；（3）設(shè)，，則（）；（A）（B）（C）（D）解，即選項(xiàng)C正確；（4）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，，且，則的值（）；（A）依賴于與（B）依賴于、和（C）依賴于、，不依賴于（D）依賴于，不依賴于解，即選項(xiàng)D正確；（5）設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)（）．（A）有第一類間斷點(diǎn)（B）有第二類間斷點(diǎn)（C）兩類間斷點(diǎn)都有（D）是連續(xù)的解，，，，即選項(xiàng)D正確．2．填空題（1）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則；解，令，得；（2）；解；（3）；解；（4）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)，則．解令，則，由，得，由，得，．3．求下列極限：（1）；解；（2）；解；（3），其中連續(xù)．解．4.計(jì)算下列各題：（1）已知滿足，求；解因?yàn)樗裕?；?）已知滿足，求；解因?yàn)椋?，得即；?）設(shè)函數(shù)求．解令，則，由，得，由，得，；（4）已知，且，求；解,所以；（5）設(shè)，求．解令，則，由，得，由，得，所以．5．設(shè)在上二階連續(xù)可導(dǎo)，又，證明：．證．6．設(shè)在上連續(xù)，且，記，證明：（1）；（2）在內(nèi)有一個(gè)且僅有一個(gè)實(shí)根．證（1）（2）在上連續(xù)，由（1）的結(jié)論得在上單調(diào)增加，且，由零點(diǎn)定理得，在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根．7．設(shè)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：（1）（a為任意常數(shù)）；（2），并由此計(jì)算．證（1），對(duì)，令，得，所以；（2），．習(xí)題解答習(xí)題6－21．求由下列各組曲線或直線所圍成的平面圖形的面積：（1）與；解，得交點(diǎn)為，，；（2）與及；解；（3）與、及；解；（4）與；解，得交點(diǎn)為，，；（5）擺線,與；解；（6）阿基米德螺線與極軸．解．2．求由拋物線及其在點(diǎn)和處的切線所圍成的平面圖形的面積．解，在點(diǎn)處，，切線方程：，在點(diǎn)處，，切線方程：，，得交點(diǎn)為，；．3．求由拋物線及其的法線所圍成的平面圖形的面積．解，在點(diǎn)處，，法線方程：，，解得，．4．求由下列各組曲線所圍成的圖形公共部分的面積（1）及；解