題型184類數(shù)列綜合

（數(shù)列中不等式的證明、不等式放縮、參數(shù)求解、三角函

數(shù)綜合）

技法敷列中不等式筋if明

技法以數(shù)列中的不等式放爆

技法。3數(shù)列中的參數(shù)求IW

技法04數(shù)則與三角曲數(shù)綜合

技法01數(shù)列中不等式的證明

喟3?常見題型解讀

數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的部分,它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的旅臺(tái)運(yùn)

用,還要求學(xué)牛只番尸誦的遺就見維和靈活的新1B技巧.奉慢中等偏k、需必加練習(xí).

02

跟我學(xué)?解題思維理J析

例1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，且滿足&r-1.

.

（1）證明：數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列；

（2）若4一?,.b,三L，數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和為工，證明：

?SAa3

（1）由青=7-1得工=伊-丸，則當(dāng)j?22時(shí)，有%=儼-1）*,

兩式相減得鼻一番j

整理得傳斗=（尸-1）?，即色=等=：,

因此數(shù)列｛4｝是以）為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）及可得6=5,

試卷第1頁(yè)，共10頁(yè)

因此

…J8>

?ra而F明可‘

曾EF,南-南南「南?南-南

—?_______!=2—二,

咱商面,

由于〃￡N*,

2

故

喘普福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

(2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))

C

1.已知數(shù)列｛0“｝的前〃項(xiàng)和為S“，an+l--=n+1(?eN*),且為為。?，%的等比

中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)7；為數(shù)歹的前"項(xiàng)和，證明：Tn>^.

(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))

2.已知S.是數(shù)列｛0“｝的前〃項(xiàng)和，4=：,且羊,S1,3s角-1成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)b,=S,￡+i，數(shù)列低｝的前"項(xiàng)和為人證明：3(<4.

(2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考二模)

3.已知3為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，%=2,S?+1=S?+4a?-3,記”=log?(%-1)+3.

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

⑵已知C"=（-l嚴(yán)記數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：Tn>^~.

?！?，+121

技法02數(shù)列中的不等式放縮

喟3?常見題型解讀

放端的基本思路是將通項(xiàng)適當(dāng)放大誦墉小.向便于相消或使于求利的方向轉(zhuǎn)化.放稀的餓電

是通過多酌度觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu),深入剖析其特征，見前蠅后，如準(zhǔn)突破U.怕當(dāng)放姐.唯僮

中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).

1111

（1）（—n>其中〃22,〃wN：可稱二為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照

所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇.

注：對(duì)于《，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)

n

11

相消特征的數(shù)列,例如：,這種放縮的尺度

(〃-+2(〃-1n+\)

要小于（1）中的式子.此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如:

1<1_411______

n2〃2_14"—1(2〃—1)(2〃+1)2(2〃—12n+lJ

n~4

12

(2)—j==—j=—/=,從而有:

7n7n+7n

2<1<

4n++1Jn

注:對(duì)于~還可放縮為:—j=<4n-yjn-2,nN2,nwN

7nTn

(3)分子分母同力口常數(shù)：->^-(b>a>0,m>0\->^^(a>b>0,m>0)

aa+maa+m

此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時(shí)不妨

先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系.

⑷(2"一1廣(2"-1)(2"_1)<(2"_1)(2"—2)一(2"_(2”一)

=-------------------(n>2,neN")

2n-1-12"-1、'

、k"k"knk"

可推廠為：(r-i)2(r-i)(r-Zr)-?-1)K』)

試卷第3頁(yè)，共io頁(yè)

02

例2.（2022?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足

.I20}I*JK1=-JI(I9IIX%tD.

a6

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)g=—y+n，證明：■——

、巧2ivfl

技巧點(diǎn)撥o

(1)因?yàn)?1JI(IVI1X2R?D，①

6

當(dāng)時(shí)，?(?1^4=-(■IX"1(WX"D”】=:"(?於D②

66

①-②，得

F=JHOMIXIIMDno-D，所以%="("22),

66

又jt=l時(shí)，.=-x1x2x3=l,

6

所以

（2）由（1）結(jié)合已知條件可得:

當(dāng)”=1時(shí)，$=1,---—=1,即成立.

2Nilf2nfl

當(dāng)…時(shí)/工而

1111.11

所以E=-?-y>1?-----?------

/2x33x4H(R+D2334?n+1

=—3—1

2nil

綜上，意？，-二一.

2ivfl

需票證?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模）

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

技法03數(shù)列中的參數(shù)求解

4.設(shè)S,,為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知下J是首項(xiàng)為:、公差為:的等差數(shù)列.

m幾+1〃23

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵令色善%,只為數(shù)列也｝的前"項(xiàng)積，證明：立v咚L

3〃z=i5

（2023上?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）

5.設(shè)數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)之積為北，滿足2a“+4=1（?eN,）.

⑴設(shè)4=1+",求數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式”；

1n

++1<5+in

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之和為s“，證明：j-1[|Jn<1^^r^-

（2023上?黑龍江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）

6.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=1,?！笆?。什1與-1的等差中項(xiàng).

（1）求證：數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列；

11111c

（2）證明：-+—+-+—<2.

Q]a2a3anAan

（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）

7.設(shè)對(duì)任意〃eN*,數(shù)列｛?！埃凉M足。<見<1,。“+?%?！?2，數(shù)列匕,｝滿足的=巴包.

an

⑴證明：｛g｝單調(diào)遞增，且與<1;

（2）記，=空這一」^」，證明：存在常數(shù)，，使得丑瓦<才.

an+\anan+2k=\

（2022?云南?云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）

8.已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為5“，且滿足。"+25"5一=0（〃22）

⑴求巴和S“

（2）求證：+S,++...+S~<-----.

24〃

喟3?常見題型解讀

對(duì)f此類含卷數(shù)不等式IBM.火健分可以逋過分離年效等方式轉(zhuǎn)化為總值問題,對(duì)，求收債.焉|

要分析加調(diào)性.南數(shù)類*可通過運(yùn)*法則或?qū)で蠛暨M(jìn)懺判斷，數(shù)則可通過作基法進(jìn)療判斷敢列

的單調(diào)性,充度中等偏上、需強(qiáng)加練村.

試卷第5頁(yè)，共10頁(yè)

02

例3.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛g｝中，a,=---2^-2?-2（n>2）.

（1）證明：數(shù)列｛%+2〃｝是等比數(shù)列；

（2）記數(shù)歹ij卜6+2?））的前R項(xiàng)和為工，若關(guān)于“的不等式“（2-4）4生0恒成

立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

一?技巧點(diǎn)撥€

（1）由題意可得：+2=—,

當(dāng)“22時(shí)，可得.=

11

,一ci—n—1+2n-^?.i+n-\]

則%+2〃=2_n^y__________L=_,

%+2（〃-1）%+2）%+2-T)2

所以數(shù)列｛〃〃+2〃｝是以首項(xiàng)為：，公比為:的等比數(shù)列.

（2）由（1）可得：q+liv；x（；)-1,則M.Q)=￡，

可得工+g?…?￡，貝彳毛;12B

=?*?**2**,

兩式相減得：

/(J_R]_"2,

1111JV

/F與與*~*子-產(chǎn)?,1嚴(yán)“3嚴(yán)」產(chǎn)

2

因?yàn)椤埃?耳）=與24H則口L—til,

THf12,

原題意等價(jià)于關(guān)于”的不等式叱I叨<1恒成立，可得當(dāng)口^|一《2,

2'

構(gòu)建4=9，

令產(chǎn)?，則“產(chǎn)，

解得2或3,

1r2*1

忖，取到最大值n,

則AY與4A4〉…，即當(dāng)ii=2或ii=34

2

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

可得所以實(shí)數(shù)義的取值范圍

2L2)

力魯?知識(shí)遷移強(qiáng)化

(2023?河南?信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))

9.已知5.為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且s“=〃(6；%)凡=I2.｝為正項(xiàng)等比數(shù)列,

4=%-4,b4=a6,

⑴求證：數(shù)列｛an+lan+2-a；,｝是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)c,=&二，且數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和為7；,若7；+423恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值

n+1

范圍.

(2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模)

10.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且邑=2%-".

(1)求數(shù)列｛“J的通項(xiàng)公式；

a+170?^

(2)若數(shù)列｛6,｝滿足4=」」，其前〃項(xiàng)和為求使得＜＞煞成立的〃的最小值.

anan+\2024

(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))

Q-Q

11.設(shè)S,，(分別為數(shù)列｛0“｝,低｝的前"項(xiàng)和，且廣'=2.

""+1—2

(1)若=〃2+2〃+3,=|,求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

_132n-l,

(2)若%=＜，4=1,設(shè)冽為整數(shù)，且對(duì)任意的〃cN*,加＞7+廣+…+一一,恒成立，

"1°20n

求m的最小值.

(2023?浙江?統(tǒng)考一模)

12.已知等差數(shù)列｛4｝滿足％=1.

⑴若4+%=d，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足6,=%-3〃eN*,且佃,｝是等差數(shù)列，記北是數(shù)列

的前〃項(xiàng)和.對(duì)任意”eN*,不等式4(＜2恒成立，求整數(shù)4的最小值.

技法。4數(shù)列與三角函數(shù)綜合

試卷第7頁(yè)，共10頁(yè)

識(shí)高考?常見題型解讀

數(shù)列,三角是高中數(shù)學(xué)的歪要內(nèi)容，從本班上看它們是特殊的用故.跟具仃的數(shù)的某些性旗.

數(shù)列也可和三例函數(shù)綜合考件.需強(qiáng)化支習(xí)

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4.(2023?山東濟(jì)南一模)已知函數(shù)/；(公一ii|X*+85?i(wwFr),記工(x)的最小

值為%,數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為，，下列說(shuō)法正確的是()

1c,31

AA.ciy—B.tSa

2416

c.2B(I+.)V2D.若數(shù)列也｝滿足4=T-，則；？

u11fU4

技巧點(diǎn)撥

A選項(xiàng)，/J(^=sinJrict??r=l,故4=1,

由基本不等式可得2(，?*+一*)?(■[*.B?X)'=】，故為(Qig,當(dāng)且僅當(dāng)

ia'x-￡O5'X時(shí)，等號(hào)成立，

故。2=；，A正確；

B選項(xiàng)，由柯西不等式得

力(x)=sin6x+cos6x=^sin6x+cos6xj^sin2x+cos2x)>^sin3x-sinx+cos3x-cos,

當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，等號(hào)成立，

故的=~>

4

211

2(sin8x+cos8x)>(sin4x+cos4x)>-,故<hcos11*2晨當(dāng)且僅當(dāng)

‘二rm',時(shí)，等號(hào)成立，

41

故。4=三，

O

依次類推，可得工+當(dāng)且僅當(dāng)3X=.’K等號(hào)成立，

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

A=ll-i—?—=—,B錯(cuò)誤；

2488

C選項(xiàng)，設(shè)M")=h(1+")r，K>0，

則V(K)=馬一=1=「三<0在(0,+。)上恒成立,

故MH-■(】h)r在(°，+。)上單調(diào)遞減，

所以力(x)＜/z(0)=0,故ln(l+x)vx在(0,+功上恒成立,

冢⑴令卜用］；廣＜2,C正確

2

fc=___1__________11

D選項(xiàng)，7獷?‘

,_lf1111111

故乙物+4+2=-+~T+---+-;------~-^7~-TV

~72(1x22x32x33x4+++

.、＜—,D正確.

211x2(?41)(?12)J4

故選：ACD

【點(diǎn)睛】常見的裂項(xiàng)相消法求和類型:

R(R.A)A(RR+(2JI1)(2H11)zQ”12af1)

分式型:

I等;

n(A-il)(Ai2)("1)("2)

2"11nl211

指數(shù)型:1

=E-廣I?"?】)2?=1rF(".】)2■等'

根式型:(v"TI、司等，

7e+

(2024?重慶?統(tǒng)考一模)

試卷第9頁(yè)，共10頁(yè)

13.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S,,滿足J=S小邑.

(1)求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

AZ］

(2)令，=4cos(〃7t)----------,求數(shù)列｛￡｝的前〃項(xiàng)和7；.

an'%+1

(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))

14.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足為=1,%=#+，〃eN*.數(shù)列｛xj滿足a“=tanx"，其中

怎金］。,；1,〃eN*.已知如下結(jié)論：當(dāng)入￡［。,5)時(shí)，sinx<x<tanx.

⑴求｛演｝的通項(xiàng)公式.

無(wú)2111

——<----------------1-----------------1—<n

(2)證明：n-121+1W+1H4+1L

(2024上?安徽合肥?高三合肥一中?？计谀?

15.同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為：設(shè)a,beZ,加EN*且加〉1.若

冽-6)則稱〃與6關(guān)于模冽同余，記作a三6(modm)("『為整除符號(hào)).

(1)解同余方程爐一工三0(mod3)；

⑵設(shè)(1)中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列｛。〃｝,其中

①若。=*一&(〃wN*),數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和為N，求邑。24；

@C?=tana2tt+1-tan(?eN*),求數(shù)列｛g｝的前九項(xiàng)和北.

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案:

1.(1)%=2〃，HGN*

(2)證明見解析

【分析】

(1)借助｛%｝與S〃的關(guān)系與等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可得；

(2)借助裂項(xiàng)相消法可求得(，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得證.

【詳解】⑴因?yàn)椋?i~=n+\,所以〃%+i=S〃+”(〃+l),①

n

當(dāng)〃22時(shí)，(〃-1)%=S〃T+〃(〃-1),②

①一②得〃%+i-1)%=%+2〃，化簡(jiǎn)可得%+1=2,n>2,

且當(dāng)〃=1時(shí)，a2-a1=2滿足上式,

所以數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列,

由題可得。2a8=。：，故(％+2)(4+14)=(%+6)2,解得％=2,

所以+(〃-l)x2=2〃，〃eN*;

_1__

(2)證明：令〃=-----

—2〃.2(〃+1)n+1)

所以9=4+62+4+…+”

又函數(shù)>=1--、在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以…

fl1

于〃j

2.⑴?=q

--------------,n>2.

(3〃—1)(3〃—4)

(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)已知等比中項(xiàng)列等式，結(jié)合?！芭cS”的關(guān)系可得｛5｝的遞推公式，然后利用構(gòu)造法

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

求s“，再根據(jù)。"與S”的關(guān)系求通項(xiàng)；

（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求（，然后可證明.

【詳解】（1）由芋,九,3s向-1成等比數(shù)歹！J,

得。,M（3S〃+「1）=3S3，

所以（邑+「S”）（3S“+「1）=3S*.

整理，得-S“M+S“-3s￡+尸0,貝

Q〃+i3

所以”是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,

所以g=2+3（"-1）=3〃-1,gpS?=

3n-l

當(dāng)*2時(shí)’九=上，

所以%=S"-S"-l--------------=—7-----7~/-------7,〃22

3〃-13/;-4（3?-1）（3?-4）,

當(dāng)E時(shí)'％」不符合上式?

（3〃-1）（3〃-4）'

（2）由（1）可知，"=S"S"M____L_

3n-13?+23（3〃-l3〃+2

所以7；=4+&+???+"

?3力

所以3]=g11

--------<——=

3?+22

故3（,<%.

3.（1）6“=2〃+1

（2）證明見解析

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】（1）借助S?+l-Sn=an+l構(gòu)造等比數(shù)列算出。“-1,即可求出b?；

（2）將￡,裂項(xiàng)后求和，再分奇偶討論即可得證.

【詳解】（1）由Sm=S"+4a.-3,得S"+「S"=4%-3,二%+|=4°,-3,

則%+i-1=4（%-1）,%-1=2-1=1片0,1x0,

數(shù)歹?。荩?1｝是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

?！?1=4"一=2筋-2,

,??，=1鳴（4-1）+3,

22

:.bn=log22"-+3=2M+1.

⑵■:…飛

11

?c=(-1嚴(yán)----2"+2-----

"I-(277+1)(2/7+3)2⑵+12n+3

?U=。1+。2+。3+

11

2?+12?+3

11

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，12〃+3，由&2-北＞。，可知｛1｝是遞增數(shù)列,

：.T>T=—,

n221

2

綜上，N天.

4.(1)??=?2

（2）證明見解析

【分析】

（1）由等差數(shù)列定義可得，，由S“與巴的關(guān)系即可得?！?；

（2）由，與％可得“，即可得7；,由（2〃+1）（〃+1”6,可得7；V6"T,借助等比數(shù)列求和

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

公式計(jì)算即可得證.

【詳解】⑴由mi是首項(xiàng)為，公差*的等差數(shù)列，

11/〃1

故=一+

23、‘36’

即可+小加+1）3+*1）,

當(dāng)*2時(shí)，S“_J（2"T）（1）,

6

〃(2〃+1)(〃+1)

故Sb以

—66

n(in1+3〃+1-2n2+3〃-1

=n2

6

當(dāng)〃=1時(shí)，a=S=――=1,符合上式,

xx6

故%=n2；

n(2n+1)(72+1)

(2)由%=1,sn

6

(2〃-1)見6(2〃-I)》6(2n-]〃

故〃二

〃(2〃+1)(〃+1)(2〃+1)(n+1

則…叱也=抽.北高）?????瑞福

6-(2-1)6“

(2"+1)(〃+1)(2?+1)(?+!))

由(2〃+lX〃+l)23x2=6,

故7；V"=6"T,

6

則立<力片lx(l-6")_￡_]

~1^6-5

2=17=1

5.(1)2=4x27=2用

（2）證明見解析

2a“+7；=1變形為=+1=

【分析】（1）〃22時(shí)，有%=六，可得數(shù)列也｝為

/〃-1

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

等比數(shù)列，可利用首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；

(2)利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.

【詳解】(1)?數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之積為北，滿足2%+7；=1(〃eN*),

〃=1時(shí)，2%+6=1,解得ax=—

2T111(1

時(shí)，音+北=1,化為〒=2xk+1,變形為+1=2〒+1

'〃一1n-\，n\，n-l

又b“=l+J,；應(yīng)=2%,=1+—=4^0,

1na\

數(shù)列｛?｝是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，...a=4X2"-'=2向.

(2)先證明左邊：即證明S"+

由(1)可得：1+：=2"\解得】=

1nZ

2"-1

又由2%+7；=1,解得知

-2"十一

2"-12"-]ii

又區(qū)——；——>---7~

2n+1-12"+|22向

/

i-

n+\

1iii1___1_n4n1

所以5“>+???+H)T

22"2i22

11

42,+2

112-1

下面證明一，<Lln二一,

+1

2"+222"-1

即證明__L>ln2"+1-1

r\n+\21,+1

2向一1

設(shè)?e(O,l),

2“+1

則-擊=—,即證明"1>3,

設(shè)〃。=ln/+lT,/e(O,l),/(。=：-1>0,

則函數(shù)在te(O,l)上單調(diào)遞增，=

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

即fe(0,1),

.an1,2"+11

??Sv—i—In—------.

"222"+1-14

.?1f1Y+1＜n1*1

22(2j"222+1-14

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是通過放縮法結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式證明左邊，

W+1

對(duì)右邊等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明-一1［＞In7-1再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.

2〃+i2〃+i

6.(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】

(1)由題設(shè)2%=--1,構(gòu)造法得到％討+1=20+1),即可證結(jié)論.

(2)由(1)及放縮法得＜告，再應(yīng)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求和，即可證結(jié)

冊(cè)ZTZ

論.

【詳解】(1)由題設(shè)2%=%+「ln%+i+l=2(%+l),又用+1=2,

所以｛4+1｝是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)知：+1=2〃na=2"-1,則一=—一-,顯然〃=1時(shí)一=1＜2成立，

an2-1ax

當(dāng)〃22有'-二不\＜白，此時(shí)

dnz—1z

--1---1---1--H----=2(1—)<2,

綜上，—+——+—<2,得證.

%a2a3anAan

7.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】

(1)由S包=4乎＞1可證明單調(diào)性，由反證法即可證明C,＜1,

Cnan+\

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

(2)由裂項(xiàng)求和即可求解.

【詳解】(1)證明：由于，“=與"，貝ij-=如,烏」=學(xué)^>1,

a

nc,an+lan+ian+i

所以C“M>C"，即｛c”｝單調(diào)遞增.

假設(shè)存在左eN*,使得Q>1,貝IJ—=c?-%…ck+l>(q+1)^,

ak+\

所以a,+i2+i(4+i)"".

]]

不妨取〃>人+log----,即(4+1)>---，即4+1?(4+1)〃">1,則?！?1>1，這與任意〃￡N*,

+ak+\ak+\

0<%<1恒成立相矛盾，故假設(shè)不成立，所以q,<l.

2

(2)由(1)有又"=空乜—所以

aa

%nn+2

s“二

2〃(〃-])

(2)證明見解析

【分析】(1)利用%=S.-“可得4=2,從而可求S”及4.

(2)利用放縮法及裂項(xiàng)相消法可證不等式成立.

【詳解】(1)〃=1時(shí)，5;=%=；,”22時(shí)，%=S,一S"_]=—2S"S,T，

所以!一-一=2,所以數(shù)列是以9=2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.

所以!=2+(〃-力2=2”，即S,,=3，

A,2n

當(dāng)〃22時(shí)，an=-2SnSn-l=,

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

當(dāng)〃=1時(shí)，不滿足上式,

（2）當(dāng)幾=1時(shí)，S；=—=------,原式成立.

424x1

當(dāng)〃22時(shí),

1111

s；+s；+s；+...+S；=-+H---------彳H---------彳+…H----------7T

2222

〃44x24x34x44xW

1+-...+1

41x22x3一1)

41n)2An

所以s；+s；+s；+…+s；w------.

24〃

9.（1）證明見解析

(2)4=2〃

⑶[4,+oo)

【分析】

⑴利用%=S.-整理化簡(jiǎn)可得（〃-2""+6=（〃再結(jié)合（〃-1）氏+]+6=nan得

到數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，將數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式代入

K,=%+1?！?2-4，計(jì)算弦向-M,即可得結(jié)論；

（2）利用數(shù)列｛（｝的通項(xiàng)公式即可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（3）先利用錯(cuò)位相減法求出（，再將北+高23恒成立轉(zhuǎn)化為）2（"++3）,構(gòu)造

+計(jì)算/（〃+1）-/（〃）的正負(fù)確定其單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，%=5=1，解得%=6；

當(dāng)〃22時(shí)，加=（1）（6+%）,

2

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

所以…（〃T）（,S

整理得（"-2）a“+6=（"-l）a“_i，①

所以（"-l）a“+i+6=”。"，②

由①一②得2%=%+an+x,所以數(shù)列｛??｝為等差數(shù)列，

因?yàn)闉?6,%=12,所以數(shù)列｛%｝的公差為"F=2,

所以a“=2〃+4.

設(shè)""=%+q+2一d（"eN*）,

貝！=[2（?+l）+4][2（w+2）+4]-（2w+4）2=12n+32,

因?yàn)镸用一M“=12（〃+l）+32-（12〃+32）=12（常數(shù)），

所以數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列出｝的公比為0,

結(jié)合（1）及已知得乙="]-4=2,4=6“3=16,

解得q=2,所以"=2"；

n+1

（3）由（1）（2）得，c〃:〒,

f234n+1忘

所以（=5+齊+萬(wàn)+LT+三，①

1_234nn+1

又'1二域+^+mT+^+k②

1,111n+13n+：

①-②,得ZH一7；=1+—+-T+???+—

2222

所以[=3-宇，

由1+々23,解得—（"+1）（”+3）.

n+12

、n_/、（〃+1）（〃+3）皿/、（〃+2）（幾+4）

設(shè)〃"）=1―~L，則〃〃+I）=T^-2

4故/、/、（〃+~2）（〃+4）~（〃+1）（〃+3）2—n2—2〃+2

G〃+l

因?yàn)?-2"+2V-l-2+2=-l<0,

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

故/(〃+1)-/(〃)<0恒成立，知/(〃)單調(diào)遞減，

故/(〃)的最大值為了⑴=4,則即幾的取值范圍為[4,內(nèi)).

10.(l)a?=2"-l；

⑵10.

【分析】

(1)根據(jù)。5”關(guān)系及遞推式可得%+1=2(%-+1),結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式，即

可得結(jié)果；

(2)應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求(，由不等式能成立及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得"N10,即可得結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)〃22時(shí)，a”=S“-S“_]=(2A“-〃)-(勿“_]-〃+1)=2(%1,

所以%=2%_i+1,貝!+1=2(%,_]+1),而％=S[=2%-In6=1,

所以%+1=2,故缶“+1｝是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，

所以+1=2"n%=2"-1.

(2)由6-^±1-_____4________________L

),+1+1

"anan+x(2"-1)(2-1)2"-12"-f

由210<2025<2"且〃eN*,則〃+1211n〃210.

所以使得髭2成02立3的〃的最小值為10.

—,n=1

11.(1)^,=-2

n-1,n>2

【分析】(1)根據(jù)題意得到｛%｝通項(xiàng)公式，根據(jù)〃=1和"22分類討論求數(shù)列｛，｝的通項(xiàng)公

式即可;

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

(2)先證明｛“｝是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求:+；+?2n-l

??+----

“1"23

132n-\

最后求工…:的取值范圍即可得到m的最小值.

仇b2b?

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，%=S[=6,

22

當(dāng)“22時(shí)，fl/i=5'?-5?_1=?+2/7+3-(?-1)-2(77-1)-3=2/7+1,

顯然為不適合上式.

6,n=l

所以4=

2〃+1,”22

由:=2,得當(dāng)"=1時(shí)，%=2應(yīng)-幻=-1,

"n+1—

又因?yàn)?=；,所以8=1，

當(dāng)心2時(shí),bn+l-bn=l,

所以數(shù)列｛4｝從第二項(xiàng)開始構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,

則當(dāng)〃22時(shí)，4=人2+("-2)x1=〃-1.

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為“=5'=

n-l,n>2

(2)由。“乜和K=2,得2聞

“n+1"n

所以b”+i=2b”,又4=1*0,

所以也,｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，=2片，

,132n-l

設(shè)4=廠+丁+…+F,

。b2bn

ri,132n-\.

則4=於+^?+…+萬(wàn)丁，①

..1132n—1

所以；4=不■+▼+…②

2222

①一②得，=]+2]；+4+…+

2〃22

2

=3—(2〃+3〉出,

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

所以4=6-(2〃+3〉

設(shè)c,=(2"+3)?佶］

所以數(shù)列｛g｝是遞減數(shù)列，貝lJ0<c"VC|=5,所以1V4<6.

由題意可知，機(jī)26,m6Z,故加的最小值為6.

⑵3

【分析】

(1)設(shè)出公差，得到方程，求出公差，得到通項(xiàng)公式；

(2)法一：設(shè)b“=pn+q,｛%｝的公差為d,代入題目條件變形后對(duì)照系數(shù)得到方程組,

d=2n1

0,得到%=2〃-1也=2〃，利用放縮法和裂項(xiàng)相消求和得

到2<4T“<3,得到整數(shù)2的最小值；

法二：記｛%｝的公差為d,由4=J/+2d-4,仇=,4屋+24-4,b379d2+2d-4結(jié)合

求出仇=24，進(jìn)而得到d=2,進(jìn)而求出?！?2〃-1也=2",進(jìn)而得到

T,=,利用放縮法和裂項(xiàng)相消求和得到2<4(<3,得到整數(shù)2的最小值.

【詳解】(1)

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,則l+d+l+3d=(l+2d『，^d=+-

(2)法一：由低｝為等差數(shù)列，可設(shè)6,=p"+q,記｛%｝的公差為d,

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

故為=1+(〃—l)d.

所以pn+q=yj(l+nd)2_2_2(n—T)d—3，顯然P?0,pn+qN°,

122

平方得p?/+2pqn+q=dn+2d-4,該式對(duì)任意nGN*成立，

p2=d2

p=d=2

故，2網(wǎng)=0,解得

q=0

q?=2d-4

故氏=2n-l,bn=2n.

因此小二嬴2再巧，

_、1_1_____1_

一方面’2k(2k-I：2k-「加

1,11111,11

tTakbk￡2斤(2左一1)2342k2k22

故44>2,

ninin1

4T=4V——=4y--------=y

另一方面,k[k-2

n1__nin

=2+￡-