隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形

22

題目—若橢圓+幺=l（a>0）的蒙日圓為/+才=6,則a等于（）

Q+2Q

A.1B.2C.3D.4

【答案】8

題目區(qū)）（2023?煙臺(tái)模擬）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)廠作拋物線的弦,與拋物線交于A,B兩點(diǎn),分別過

兩點(diǎn)作拋物線的切線。相交于點(diǎn)的面積S的最小值為（）

4L

A.年B.2C.4D.4V2

O

【答案】C

[題目|Ti已知在平面直角坐標(biāo)系。^中，4-2,0）,動(dòng)點(diǎn)河滿足|M4|得到動(dòng)點(diǎn)河的軌跡是

阿氏圓。.若對任意實(shí)數(shù)M直線=l）+b與圓。恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）

A.[—V5,V5^]B.[—V69A/6]C.[—-x/7,V7]D.[—2V2,2A/2]

【答案】。

遒1口拋物線上任意兩點(diǎn)4口處的切線交于點(diǎn)尸，稱△PAR為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過

拋物線的焦點(diǎn)尸時(shí)，△P4B具有以下特征：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上;②PF_LAB.

若經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的一條弦為“阿基米德三角形”為且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,則

直線的方程為（）

A.3―2g—1=0B.2力+g—2=0C.3+2g—1=0D.2%—g—2=0

【答案】A

題目回（多選）（2023?廊坊模擬）如圖，△P4B為阿基米德三角形.拋物線/=2py（p>0）上有兩個(gè)不

同的點(diǎn)4（電，%）,8（/2,紡），以人，口為切點(diǎn)的拋物線的切線P4,相交于點(diǎn)P.給出如下結(jié)論，其

中正確的為（）

A.若弦AB過焦點(diǎn)，則△ABP為直角三角形且AAPB=90°

B.點(diǎn)P的坐標(biāo)是紅，號1）

C./\PAB的邊AB所在的直線方程為（xi+x^x—2pg—工&2=0

D.△P4B的邊48上的中線與夕軸平行（或重合）

【答案】ACD

【解析】由題意設(shè)人（傷，合），

B（^X2,言）,Xi<x2,

由x?=2pn,得夕=告—，則y'=—,

2Pp

所以k=—,kpB=—,

PAPP

若弦AB過焦點(diǎn)，設(shè)AB所在直線為

g=far+5，聯(lián)立力2=2py,

得/—2pkx—p2=0,

則力避2=一。）

所以kpA*PB==-1,

P

所以P4LPB,故A正確；

以點(diǎn)人為切點(diǎn)的切線方程為"一①=電3—為），以點(diǎn)B為切點(diǎn)的切線方程為0一三=生（，一電）,

2pp2pp

聯(lián)立消去“得工=0賢，

將力=符1代入"—￥=&（,—，），

22pp

所以p（當(dāng)學(xué),竽），故B錯(cuò)誤；

設(shè)N為拋物線弦AB的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)為XN=?曹，因此直線PN平行于。軸（或與4軸重合），即

平行于拋物線的對稱軸（或與對稱軸重合），故。正確；

設(shè)直線AB的斜率為

冠X1

k_V2-V1_藥_藥_g+12

X2—XiX2—Xi2p'

故直線AB的方程為???

￡1+^2

y-（①-力i）,

2P2P

化簡得(g+g)2—2py—力便2=0,故C正確.

題目區(qū)〔(多選)已知橢圓C：4+當(dāng)=l(a>b>0)的離心率為卓，用，耳分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，

ab2

A,8為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線Z的方程為近+ay—a?—/=().下列說法正確的是()

A.C的蒙日圓的方程為"+才=3b2

B.對直線2上任意一點(diǎn)P,且I兩>0

C.記點(diǎn)A到直線I的距離為d,則d-\AF,\的最小值為

D.若矩形MNGH的四條邊均與。相切，則矩形MNGH面積的最大值為6/

【答案】AD

【解析】對于>1,過Q(a,6)可作橢圓的兩條互相垂直的切線c=a,y=b,

：.Q(a,b)在蒙日圓上，

蒙日圓方程為x2+y2=a^+b2,

由e=《=「=粵得，=陰

C的蒙日圓方程為x+y2=3b2,A正確;

對于由Z方程知Z過P(b,a),又P滿足蒙日圓方程，

P(b,a)在圓/+才=3&2上，當(dāng)A,8恰為過P作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時(shí)，苒;.屈=0,B

錯(cuò)誤；

對于C,???7!在橢圓上，

\AF]_\+\AF2\=2a,

d—|4E|=d—(2a—1247*11)

=d+|—2a;

當(dāng)用4，Z時(shí)，d+劇取得最小值，最小值為E到直線I的距離，

又E到直線Z的距離

”\-bc-(^-b2\|-b2-2b2-b2\

a=----.----=---------7=-------

V3b

...(d—以網(wǎng))min=￥b—2a,。錯(cuò)誤；

o

對于。，當(dāng)矩形MNGH的四條邊均與C相切時(shí)，蒙日圓為矩形MNGH的外接圓，

2

/.矩形MNGH的對角線為蒙日圓的直徑,設(shè)矩形MNGH的長和寬分別為鞏夕，則/+/=12b,

矩形MNGH的面積S=陰/W缶”=6b2（當(dāng)且僅當(dāng)工="=限時(shí)取等號），即矩形MNGH面積的

最大值為6b2,。正確.

題目巨〔拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒椎?/p>

最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面

積的已知4—2,1）,8⑵1）為拋物線C：/=4y上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為

O

；弦人8與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為.

【答案】-14

O

題目|8〔（2023?贛州模擬）已知兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓。：才=1屹>1）上，動(dòng)點(diǎn)P在直線34+4U—

a

10=0上，若乙4PB恒為銳角，則橢圓。的離心率的取值范圍為.

【答案】（0,?）

【解析】根據(jù)題意可得，圓力2+才=.2+1上任意一點(diǎn)向橢圓。所引的兩條切線互相垂直,

因此當(dāng)直線3立+旬-10=0與圓2：2+y2=a2+i相離時(shí)，NAPB恒為銳角，

/lO+O-lOlV4

故a~+l<'V32+42)

解得1<￡?<3,

從而離心率e=^/1—\e（0,

:題目叵〕（2023?開封模擬）如圖，過點(diǎn)P（m,力作拋物線C：x2=2py（p>0）的兩條切線P4PB,切點(diǎn)分

別是8,動(dòng)點(diǎn)Q為拋物線。上在48之間的任意一點(diǎn),拋物線。在點(diǎn)Q處的切線分別交P4,PB

于點(diǎn)、M,N.

⑴若AP,BB,證明：直線人口經(jīng)過點(diǎn)（0,馬；

（2）若分別記A4BQ的面積為Si，S2,求善的值.

【答案】（1）證明：設(shè)AQI,gj,B（X2,統(tǒng)），直線AB的方程為y—kx+b,

由y=2如

[y=kx-\-b9

2

消去g并整理得x—2pkx—2Pb=0,有x1x2=—2pb,

2

令拋物線C:x=2Pg在點(diǎn)4處切線方程為y—yx=t{x—x^),

南\y-yi=t{x-x^,

%2=2py,

2

消去g并整理得x—2ptx+2ptxl—2py1=0,

22

則有A=4p1—4(2ptx—2py)=4p￥—4(2pta;1—rci)=0,解得t=—,

rrP

同理，拋物線。：/2=2Pg在點(diǎn)B處切線斜率為Bl,

P

因?yàn)?P_LPB,

則有色a=W=T,

ppp

解得b=卷,

所以直線AB:g=kc+或?恒過定點(diǎn)(0,￡?).

⑵解由(1)知，切線P4的方程為y—y——(re—,

xP

整理得y=-x—7/i,

P

同理切線PB的方程為y=-x—y,

P2

設(shè)點(diǎn)Q(&,%),則切線MN的方程為y——x—y,

PQ

而點(diǎn)P(m,ri),

即有n=9m—n］，n=^m—n2,

PP

因此直線48的方程為y=-x—n,

P

有MB=Ji+\xi-x2\,

點(diǎn)Q(g,y。)到直線AB的距離是

藁/。一尚一九

d2=

則$2=、~山一—xo—yo—n,

2P

由(py=xGx-pyQ,

\py=W-PVi,

解得點(diǎn)河的橫坐標(biāo)力.=叁瞥

同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)狽=號生，

t\MN\=J1+(三了山/，，點(diǎn)p(m,n)到直線上W的距離

-J1+信)2，

則S尸(山一溝|(/廠隊(duì)一八,

所以曾=?

b?2

［題目|io］已知圓。：/+才=5,橢圓：5+/=i(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E，E，過E且垂直于

立軸的直線被橢圓和圓所截得弦長分別為1和2鼻.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，P為圓上任意一點(diǎn)，過P分別作橢圓兩條切線與橢圓相切于4B兩點(diǎn).

①若直線PA的斜率為2，求直線PB的斜率；

②作于點(diǎn)Q,求證：?El+IQ網(wǎng)是定值.

a2=fe2+c2,

【答案】⑴解：由題意得,2述二^=22，

2bi

、a=1'

解得a=2,b=l,c=V3,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為——F/=1.

(2)①解設(shè)P(g,班)，則過P的切線方程為y-y0=k{x—rc0),

且城+若=5,

由仔

、y-yo=k(x-x0),

222

化簡得(1+4k)x+8k{y0—kx0)x+4(y0—AJT0)—4=0,

2

由A=0,得(4-x^)k+2x0y0k+1-*=0,

設(shè)切線的斜率分別為kltk2,

則k?2=上空=—八=—1,又直線PA的斜率為2,則直線的斜率為一《.

4—就4—(5—%)2

②證明當(dāng)切線P4,PB的斜率都存在時(shí)，設(shè)？!(◎,%),3(比2,紡)，

切線PA,PB的方程為y—y{=k^x—◎),i=1,2并由①得

(4一冠)居+209見+1—蟾=0,i=l,2,(*)

又點(diǎn)A,口在橢圓上，

得著+婿=1,i=l,2代入(*),

得(2%2+4)=0,

即a=—盧,i=12

4yt

切線PA,PB的方程為2^+y,ty=1,i=1,2,

又切線過P點(diǎn)，

XtX

則0+yty=1,i=1,2,

40

所以直線AB的方程為竽+班沙=1,

由PQ，得直線PQ方程為

y-Vo=—[x-g),

聯(lián)立直線AB方程^+yoy=l,

A”於4aMi+3%)4

解侍項(xiàng)=屆+16%=鏟°'

_%(1+3誦=工

武―V+16需—5yo,

由就+%=5得Q點(diǎn)軌跡方程為工^+5/=1,且焦點(diǎn)恰為&&

16

故IQEI+IQ網(wǎng)=2x嚏=嗅=手，

V5V55

當(dāng)切線P4,的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，如P8斜率不存在,

則風(fēng)2,0),P(2,l),4(0,1),直線AB的方程為y=-x+1，

PQ的方程為g—1=23—2),可解得q(y,y),

Q點(diǎn)也在橢圓7^~/+5才=1上,

16

若8(—2,0),同理可得.

綜上得IQEI+|Q￡|=卓，為定值.

：?叵（2023?合肥模擬）已知A是圓/+才=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作兩條直線h,仙它們與橢圓

4+y2=i都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M,N.

O

（1）若4（—2,0）,求直線Z1；Z2的方程；

⑵①求證:對于圓上的任意點(diǎn)4都有成立；

②求△AMN面積的取值范圍.

【答案】（1）解:設(shè)直線的方程為0=-/+2）,

代入橢圓+y2=1,消去g,

o

可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2—3=0,

由△=（）,可得取一1=0,

設(shè)的斜率分別為自，k2,

k1=-1,1,

:.直線Zi,1的方程分別為J=—x—2,y=x+2.

（2）①證明當(dāng)直線5，2的斜率有一條不存在時(shí)，不妨設(shè)Z1的斜率不存在，

,??4與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，?,?其方程為/=±V3,

當(dāng)。的方程為名=四時(shí)，此時(shí)。與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（四，±1）,

Z2的方程為y—1（或y=—1）,Zi-L勾成立，

同理可證，當(dāng)。的方程為力=—遍時(shí)，結(jié)論成立；

當(dāng)直線1-1,力的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)4小，n）且加十九2=4,

設(shè)方程為y=k[x—m）+九，代入橢圓方程，

可得（1+3fc2）rr2+6fc（n—krn）x+3（n—fcm）2—3=0,

由△=0化簡整理得（3—m2）fc2+2mnfc+1—n2=0,

*.*w?+n=4,

（3—m2）fe2+2mnfc+m2—3=0,

設(shè)Zl」2的斜率分別為自，后,

***k1k2==-1,**?hIl/2成9

綜上，對于圓上的任意點(diǎn)A,都有/1，，2成立.

②解記原點(diǎn)到直線/i,12的距離分別為&,必，

???AM_LNA,???MV是圓的直徑，

2

\MA\=2d2,\NA\=24,d；+d；=\OA\=49

△AAW面積為S=^-\MA\x\NA\=2（1^,

S2=4就咫=4瑞(4-出)=-4(d?-2)2+16,

笛[1,3],.-.S2G[12,16],

：.SE[2V3,4].

題目區(qū)定義橢圓。：與+4=l(a>b>0)的“蒙日圓”的方程為x2+y2=a2+/,已知橢圓。的長軸

ab

長為4,離心率為e=].

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程；

(2)過“蒙日圓”E上的任意一點(diǎn)又作橢圓。的一條切線AM,人為切點(diǎn)，延長AM與“蒙日圓”E交于

點(diǎn)。，O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OM,O。的斜率存在，且分別設(shè)為瓦，無，證明：心自為定值.

【答案】⑴解：由題意知2a=4,e=￡=

：.c=l,：.b2=3,

八、T2V

橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為——I——--1,

4O

“蒙日圓”E的方程為/+/=4+3=7,即rr2+y2=7.

(2)證明當(dāng)切線AM的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)切線AM的方程為0=k力+小，

y=kx+m,

則由星上/=]

I4十3，

消去g得(3+4：k^)x2+8mkx+4m2-12=0,

:.A=64m2fc2—4(3+4fc2)(4m2—12)=0,

m2=3+4k2,

由

\x+y=7,

消去"得(1+k^)x2+(2mkx+m2—7=0,

???A=4m2fc2-4(l+fc2)(m2-7)=16+12fc2>0,

設(shè)y),D(X2,他)，

—2mk

則Xr+X

21+fc2

7n2—7

力便2：

1+fc2

些

?.?兒k]兒k2—

XiX2

_(kx^+m)(kx2+rri)

XiX2

_火力便z+kmQi+g)+館2

力巡2

病一7

十+km師?-2mk2

1+昭1+fc2+m

館2—7

1+昭

22

=m-7fc

21-7

m—7

22m3+4fc2-7fc23

m=3+4A;,k1k2=27k

m—73+4/C2-7—4

當(dāng)切線AM的斜率不存在且為零時(shí)，&止2=—1■成立,

:.fcl?fc2為定值.

22

題目叵］已知拋物線C：x=2py(p>Q)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M：療+(y+4)=1上的點(diǎn)的距離的最

小值為4.

⑴求P；

(2)若點(diǎn)P在圓雙上，PA,是。的兩條切線，4