高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江西省上饒市2024屆高三第二次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，，所以，故C正確.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.3.“”是“且”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗可令，，，則滿足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分條件；根據(jù)不等式的性質(zhì)：由且，可得：.所以“”是“且”的必要條件.故選：A.4.已知平面向量，，且，則（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知：，，所以，因為，所以，即，解得：，所以A、B、D錯誤，故選：C.5.記數(shù)列的前項和為，若是等差數(shù)列，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因為是等差數(shù)列，所以可設(shè)，所以，所以為等差數(shù)列，，所以，所以.故選：D.6.已知角，滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，，，故選：A.7.定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實根之和是（）A.28 B.16 C.20 D.12〖答案〗A〖解析〗由知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，∵，是R上奇函數(shù)，∴，∴，∴的周期為4，考慮的一個周期，例如，由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，對于奇函數(shù)有，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為方程在上有實數(shù)根，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則這實數(shù)根是唯一的，所以方程在上有唯一的實數(shù)根，則由于，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故方程在上有唯一實數(shù)根，因為在和上，則方程在和上沒有實數(shù)根，從而方程在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，當(dāng)，方程的兩實數(shù)根之和為，當(dāng)，方程的所有4個實數(shù)根之和為.故選：A.8.設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點為，如圖，取線段的中點，連接，則．因為，所以，即，則．設(shè)．因為，所以，則，從而，故，解得．因為直線的斜率為，所以，整理得，即，故選：D．二、選擇題9.若（為正整數(shù)）的展開式中存在常數(shù)項，則下列選項中的取值可能是（）A.3 B.5 C.6 D.7〖答案〗AC〖解析〗展開式的通項為：，因為存在常數(shù)項，所以.經(jīng)驗證，時，；時，符合條件.故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象過點C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗對于A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，則有，即，由函數(shù)的圖象可知：，又，所以，即，由圖象可知：，所以，因此A不正確；對于B：，所以B正確；對于C：因為，，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因此C正確；對于D：當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時，則有，D正確.故選：BCD.11.在四棱錐中,是正方形,,，，為棱上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點到平面的距離為1B.若，則過點，，的平面截此四棱錐所得截面的面積為C.四棱錐外接球的表面積為D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，因為，，又，且，面，所以面，又因為，所以平面，因為，且，可得到平面的距離為，即三棱錐的高為，設(shè)點到平面的距離為，且，由，可得，得.所以點到平面的距離為1，所以A正確；對于B選項，因為，所以點為棱的中點，取中點為，連接，，則平面即為平面截此四棱錐所得的截面.且點是的中點，點為棱的中點，所以在中，是的中位線，則，且，又因為四邊形是正方形，則，所以，因為面，且面，面，所以.所以四邊形是以為下底、為上底，為高的直角梯形，因為，在等腰中，，且平分，可得，則平面截此四棱錐所得截面的面積為，所以B正確；對于C選項，又因為，，且，所以，即，其中為外接圓半徑，因為正方形的中心到面的距離等于其邊長的一半，即，故四棱錐外接球的半徑為.所以四棱錐外接球的表面積為，所以C不正確；對于D選項，過點作，再過點作，使得分別在線段上，連接.根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面，平面，因為，且平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面，即平面.所以即為與平面所成的角，即為與平面所成的角.由于平面，在平面內(nèi)，故.從而在直角中，可得.設(shè)，由，可得，所以，所以.由于，故在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可，在直角中，可得，且當(dāng)時，不等號取等.所以的最大值是，所以D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為，則這6個點數(shù)的中位數(shù)為3的概率為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)為時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為3，當(dāng)時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為，當(dāng)時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為，當(dāng)為時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為，所以這6個點數(shù)的中位數(shù)為3的概率為.故〖答案〗為：.13.在中，，，依次成等差數(shù)列，，的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，又，所以，而，由正弦定理有，所以，所以，而的取值范圍是，所以的取值范圍是，的取值范圍是，所以的取值范圍是，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.已知關(guān)于的不等式恒成立,的最小值為,則的最小值為______.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）〖答案〗〖解析〗不等式恒成立，等價于，令，所以在是增函數(shù)，且趨近于0時，趨近于，趨近于時，趨近于，即.令，則，當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，，是減函數(shù)，所以，所以，即，故.所以，，因為，所以時，是增函數(shù)，時，是減函數(shù)，即時取得最小值，此時；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，此時.綜上可知的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題15.贛南臍橙，果大形正，橙紅鮮絕，光潔美觀，已被列為全國十一大優(yōu)勢農(nóng)產(chǎn)品之一，是江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品．榮獲“中華名果”等稱號．有甲、乙兩個臍橙種植基地，按果徑（單位：）的大小分級，其中為特級果，為一級果，為二級果，為三級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)質(zhì)果，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的所有臍橙中各隨機抽取300個，測量這些臍橙的果徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：果徑分組（單位：）甲基地頻數(shù)515100150255乙基地頻數(shù)10251101202510（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下表，并回答是否有以上的把握認為“臍橙果徑與所在基地有關(guān)？”甲基地乙基地優(yōu)質(zhì)果非優(yōu)質(zhì)果（2）以樣本估計總體，用頻率代替概率，從甲種植基地采摘的所有優(yōu)質(zhì)果中隨機抽取3個，設(shè)被抽取的3個臍橙中特級果的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可得到如下列聯(lián)表：

甲基地乙基地優(yōu)質(zhì)果250230非優(yōu)質(zhì)果5070，因此，有以上的把握認為“臍橙果徑與所在基地有關(guān)”.（2）由題意得甲種植基地優(yōu)質(zhì)果中特級果概率，的所有可能取值為．，，，，的分布列表如下：0123（或）．16.已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，，，所以可得，解得.（2）若函數(shù)在上無零點，即在上無解，即在上無解，令，，，在上，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，若在上無解，則或，即或.所以的取值范圍為17.如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點，為上一點.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接.因為，且，又分別是棱的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）解：四邊形均為正方形，所以.所以平面.因為，所以平面.從而.又，所以為等邊三角形.因為是棱的中點，所以.即兩兩垂直.以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取.因為，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角正弦值為.18.已知離心率為的橢圓與拋物線有相同的焦點，且拋物線經(jīng)過點，是坐標(biāo)原點.（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，若的內(nèi)切圓圓心始終在直線上，求面積的最大值.解：（1）在拋物線上，，解得：，拋物線方程為：；由拋物線方程知：，即，，解得：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）的內(nèi)切圓圓心始終在直線上，平分，設(shè)直線斜率為，又軸，；設(shè)，，則，又，，整理可得：；，，；由得：，則，解得：；由得：，則，解得：；綜上所述：；設(shè)，，則，，，又到直線距離，，由得：，當(dāng)時，，的最大值為.19.對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且．這種“變換”記作，繼續(xù)對數(shù)列進行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束．（1）寫出數(shù)列，經(jīng)過6次“變換”后得到的數(shù)列；（2）若不全相等，判斷數(shù)列經(jīng)過不斷的“變換”是否會結(jié)束，并說明理由；（3）設(shè)數(shù)列經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求的最小值．解：（1）依題意，6次變換后得到的數(shù)列依次為；；；；；，所以，數(shù)列，經(jīng)過6次“變換”后得到的數(shù)列為.（2）數(shù)列經(jīng)過不斷的“變換”不可能結(jié)束設(shè)數(shù)列，，，且，，依題意，，，所以，即非零常數(shù)列才能通過“變換”結(jié)束．設(shè)（為非零自然數(shù)）．為變換得到數(shù)列的前兩項，數(shù)列只有四種可能，，；，，；，，；，，．而任何一種可能中，數(shù)列的第三項是0或．即不存在數(shù)列，使得其經(jīng)過“變換”成為非零常數(shù)列，由①②得，數(shù)列經(jīng)過不斷的“變換”不可能結(jié)束．（3）數(shù)列經(jīng)過一次“變換”后得到數(shù)列，其結(jié)構(gòu)為．?dāng)?shù)列經(jīng)過6次“變換”得到的數(shù)列分別為：；；；；；．所以，經(jīng)過6次“變換”后得到的數(shù)列也是形如“”的數(shù)列，變化的是，除了3之外的兩項均減小18．因為，所以，數(shù)列經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列為2，5，3．接下來經(jīng)過“變換”后得到的數(shù)列分別為：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，，至此，數(shù)列和的最小值為2，以后數(shù)列循環(huán)出現(xiàn)，數(shù)列各項和不會更小，所以經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項和達到最小，即的最小值為64．江西省上饒市2024屆高三第二次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，，所以，故C正確.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.3.“”是“且”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗可令，，，則滿足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分條件；根據(jù)不等式的性質(zhì)：由且，可得：.所以“”是“且”的必要條件.故選：A.4.已知平面向量，，且，則（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知：，，所以，因為，所以，即，解得：，所以A、B、D錯誤，故選：C.5.記數(shù)列的前項和為，若是等差數(shù)列，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗因為是等差數(shù)列，所以可設(shè)，所以，所以為等差數(shù)列，，所以，所以.故選：D.6.已知角，滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，，，故選：A.7.定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實根之和是（）A.28 B.16 C.20 D.12〖答案〗A〖解析〗由知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，∵，是R上奇函數(shù)，∴，∴，∴的周期為4，考慮的一個周期，例如，由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，對于奇函數(shù)有，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為方程在上有實數(shù)根，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則這實數(shù)根是唯一的，所以方程在上有唯一的實數(shù)根，則由于，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故方程在上有唯一實數(shù)根，因為在和上，則方程在和上沒有實數(shù)根，從而方程在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，當(dāng)，方程的兩實數(shù)根之和為，當(dāng)，方程的所有4個實數(shù)根之和為.故選：A.8.設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)雙曲線的左焦點為，如圖，取線段的中點，連接，則．因為，所以，即，則．設(shè)．因為，所以，則，從而，故，解得．因為直線的斜率為，所以，整理得，即，故選：D．二、選擇題9.若（為正整數(shù)）的展開式中存在常數(shù)項，則下列選項中的取值可能是（）A.3 B.5 C.6 D.7〖答案〗AC〖解析〗展開式的通項為：，因為存在常數(shù)項，所以.經(jīng)驗證，時，；時，符合條件.故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象過點C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗對于A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，則有，即，由函數(shù)的圖象可知：，又，所以，即，由圖象可知：，所以，因此A不正確；對于B：，所以B正確；對于C：因為，，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因此C正確；對于D：當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時，則有，D正確.故選：BCD.11.在四棱錐中,是正方形,,，，為棱上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點到平面的距離為1B.若，則過點，，的平面截此四棱錐所得截面的面積為C.四棱錐外接球的表面積為D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，因為，，又，且，面，所以面，又因為，所以平面，因為，且，可得到平面的距離為，即三棱錐的高為，設(shè)點到平面的距離為，且，由，可得，得.所以點到平面的距離為1，所以A正確；對于B選項，因為，所以點為棱的中點，取中點為，連接，，則平面即為平面截此四棱錐所得的截面.且點是的中點，點為棱的中點，所以在中，是的中位線，則，且，又因為四邊形是正方形，則，所以，因為面，且面，面，所以.所以四邊形是以為下底、為上底，為高的直角梯形，因為，在等腰中，，且平分，可得，則平面截此四棱錐所得截面的面積為，所以B正確；對于C選項，又因為，，且，所以，即，其中為外接圓半徑，因為正方形的中心到面的距離等于其邊長的一半，即，故四棱錐外接球的半徑為.所以四棱錐外接球的表面積為，所以C不正確；對于D選項，過點作，再過點作，使得分別在線段上，連接.根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面，平面，因為，且平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面，即平面.所以即為與平面所成的角，即為與平面所成的角.由于平面，在平面內(nèi)，故.從而在直角中，可得.設(shè)，由，可得，所以，所以.由于，故在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可，在直角中，可得，且當(dāng)時，不等號取等.所以的最大值是，所以D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為，則這6個點數(shù)的中位數(shù)為3的概率為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)為時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為3，當(dāng)時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為，當(dāng)時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為，當(dāng)為時，這6個點數(shù)的中位數(shù)為，所以這6個點數(shù)的中位數(shù)為3的概率為.故〖答案〗為：.13.在中，，，依次成等差數(shù)列，，的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，又，所以，而，由正弦定理有，所以，所以，而的取值范圍是，所以的取值范圍是，的取值范圍是，所以的取值范圍是，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.已知關(guān)于的不等式恒成立,的最小值為,則的最小值為______.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）〖答案〗〖解析〗不等式恒成立，等價于，令，所以在是增函數(shù)，且趨近于0時，趨近于，趨近于時，趨近于，即.令，則，當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，，是減函數(shù)，所以，所以，即，故.所以，，因為，所以時，是增函數(shù)，時，是減函數(shù)，即時取得最小值，此時；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，此時.綜上可知的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題15.贛南臍橙，果大形正，橙紅鮮絕，光潔美觀，已被列為全國十一大優(yōu)勢農(nóng)產(chǎn)品之一，是江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品．榮獲“中華名果”等稱號．有甲、乙兩個臍橙種植基地，按果徑（單位：）的大小分級，其中為特級果，為一級果，為二級果，為三級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)質(zhì)果，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的所有臍橙中各隨機抽取300個，測量這些臍橙的果徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：果徑分組（單位：）甲基地頻數(shù)515100150255乙基地頻數(shù)10251101202510（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下表，并回答是否有以上的把握認為“臍橙果徑與所在基地有關(guān)？”甲基地乙基地優(yōu)質(zhì)果非優(yōu)質(zhì)果（2）以樣本估計總體，用頻率代替概率，從甲種植基地采摘的所有優(yōu)質(zhì)果中隨機抽取3個，設(shè)被抽取的3個臍橙中特級果的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可得到如下列聯(lián)表：

甲基地乙基地優(yōu)質(zhì)果250230非優(yōu)質(zhì)果5070，因此，有以上的把握認為“臍橙果徑與所在基地有關(guān)”.（2）由題意得甲種植基地優(yōu)質(zhì)果中特級果概率，的所有可能取值為．，，，，的分布列表如下：0123（或）．16.已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，，，所以可得，解得.（2）若函數(shù)在上無零點，即在上無解，即在上無解，令，，，在上，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，若在上無解，則或，即或.所以的取值范圍為17.如圖，三棱柱中，四邊形均為正方形，分別是棱的中點，為上一點.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接.因為，且，又分別是棱的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）解：四邊形均為正方形，所以.所以平面.因為，所以平面.從而.又，所以為等邊三角形.因為是棱的中點，所以.即兩兩垂直.以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取.因為，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角正弦