§1.4基本不等式

【考試要求】1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程2會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.3.理解基

本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：G0,6>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí),等號(hào)成立.

(3)其中竽叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，幅叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.幾個(gè)重要的不等式

(1)〃2+22ab(a,〃￡R).

hri

(2與+］》2(。，c同號(hào)).

(3)abW("m，》GR).

(4)a~^b(a,bGR).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積犯等于定值尸，那么當(dāng)尤=>時(shí)，和尤+y有最小值2爐.

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積沖有最大值*.

注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴不等式與迎W皇等號(hào)成立的條件是相同的.(X)

(2)y=%+：的最小值是2.(X)

(3)若x>0,y>0且4+>=孫，則孫的最小值為4.(V)

(4)函數(shù)尸sinx+#"，%］。，以的最小值為4.(X)

SillX\乙)

【教材改編題】

1.若正實(shí)數(shù)〃，匕滿足。+4吐出則就的最小值為()

A.16B.8C.4D.2

答案A

解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。，6滿足〃+4/?=血

所以ab=a+4b^2\[4ab=4y[ab,

所以ab216,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=4A,即〃=8,8=2時(shí)等號(hào)成立.

2.函數(shù)丁=%+金7光20)的最小值為.

答案1

解析因?yàn)閤20,所以x+l>0,義7>。，

x十1

利用基本不等式得y=尤+士=尤+1+七一1/(x+l>dy—1=1,

JiIJ-人I1\/Ji\L

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=±,即尤=0時(shí)，等號(hào)成立.

X十1

所以函數(shù)〉=%+金^。10)的最小值為1.

3.若把總長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是n?.

答案25

解析設(shè)矩形的一邊為xm,面積為yn?,

則另一邊為]X(20—2x)=(10—x)m,

其中0<x<10,

x+(10—x)

.??y=x(10—x)W--------------29=25,

當(dāng)且僅當(dāng)x=10—x,即x=5時(shí)，等號(hào)成立，

,,Vmax-25,

即矩形場(chǎng)地的最大面積是25nA

■探究核心題型

題型一利用基本不等式求最值

命題點(diǎn)1配湊法

例1⑴已知x>2,則函數(shù)尸x+五的最小值是()

A.2^2B.2吸+2

C.2D.A/2+2

答案D

解析由題意可知，x-2>Q,

1

,,?y=(x-2)+,,'A+2^2A/(X-2K,-7.+2=V2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2+號(hào)時(shí)，等號(hào)成立,

函數(shù)>=苫+本，(02)的最小值為也+2.

3

(2)設(shè)04<于則函數(shù)y=4x(3—2x)的最大值為.

宏安—9

u木2?

3

角星析V0<x<2，A3-2x>0,

—「2x+(3—2x"9

y=4x(3—2x)=2[2x(3—2x)]W2——-------=1

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即尤時(shí)，等號(hào)成立.

函數(shù)y=4x(3—2x)(0<x<!)的最大值為

命題點(diǎn)2常數(shù)代換法

例2己知無(wú)>0,y>0,且4x+2y-孫=0,則2尤+y的最小值為()

A.16B.8+4也

C.12D.6+4正

答案A

解析由題意可知彳2+4?=1,

xy

.?.2x+y=(2x+y0力=三+m+8N2里f+8=16,

當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)=§,即x=4,y=8時(shí)，等號(hào)成立，

yx

則2x+y的最小值為16.

命題點(diǎn)3消元法

例3(2023?煙臺(tái)模擬)已知無(wú)>0,j>0,x+3y+xy=9,貝！Jx+3y的最小值為.

答案6

解析方法一(換元消元法)

由已知得9-(%+3>)=盯=+3>耳.’3")2,當(dāng)且僅當(dāng)彳=3丫，即x=3,y=l時(shí)取等號(hào).

即(x+3y>+12(尤+3y)—108N0,

令x+3y=t,則f>0且產(chǎn)+12f—10820,

得即x+3y的最小值為6.

方法二(代人消元法)

9—3y

由x+3y+孫=9,得x=]+.,

訴也工鼻9—3y9—3y+3y(1+y)

所以x+3y-i+y+3y-引

9+3y23(l+y)2-6(l+y)+12

=]+y=1+^

=3(1+y)+差一62213(1+y)?差一6

=12—6=6,

1?

當(dāng)且僅當(dāng)3(1+內(nèi)=有，即y=l,x=3時(shí)取等號(hào)，

所以x+3y的最小值為6.

延伸探究本例條件不變，求孫的最大值.

解9~xy—x+3y^2\l3xy,

；.9一町22"\/3xy,

：.t>0,

.?.9一戶,2小f,

即戶+25f—9W0,

解得0<fW小，

'.y[xy^y[3,...孫W3,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=l時(shí)取等號(hào)，

孫的最大值為3.

思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)若正實(shí)數(shù)a,6滿足a+6=l,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.ab有最小值[

B.8g+8也有最大值8啦

C.[+1有最小值4

D.那+爐有最小值乎

答案AD

解析由1=〃+/?22^^（當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=3時(shí)等號(hào)成立），

得abW9,故〃/?有最大值：，故A錯(cuò)誤；

（6+也）2=4+6+2，^=1+2^^^1+2\^=2（當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?=；時(shí)等號(hào)成立）,

則3+也貝I隊(duì)「+8也有最大值8也，故B正確；

工+4="中=424（當(dāng)且僅當(dāng)。=6=:時(shí)等號(hào)成立），

故!+1有最小值4,故C正確；

〃2+。2=3+力2-2〃6=1-24/?*（當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?=3時(shí)等號(hào)成立），

所以層+〃有最小值;，故D錯(cuò)誤.

Y---1

⑵已知X>1,則y=m兩的最大值為.

答案I

解析令t=X—l9/.x=t+l,

Vx>l,.*.^>0,

._t_￡_1_1_1

，），_2-2--,

?（r+l）+3r+2r+4f+4+2^2V4+26

4

當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即x=3時(shí)，等號(hào)成立，

.,.當(dāng)X=3時(shí)，Jmax=g.

題型二基本不等式的常見變形應(yīng)用

例4⑴若0<a<b,則下列不等式一定成立的是（）

ct~\~bi—

A.b>~2~>ci>\lab

i—〃+b

B.bRab>—

abI—

C.b>~2~>\ab>a

a+hI—

D.b>a>~2~>y/ab

答案c

解析*.*0<a<b,2b>a~\~b,

.ciIbI—

/.b>-2-Xab.

*.*b>a>0,ab>ci1,y[ab>a.

..cibI—

故b>~2~>yjab>a.

（2）（2023?寧波模擬）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方

數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證

明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形,點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑上，且OFLAB,

設(shè)BC=b,則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）

abI—

A.—2一ab(a>0,b>0)

B.c^+b2^2y[ab(a>0,Z?>0)

a~\~b層+及

D.2W-2—(〃>0,Z?>0)

答案D

由圖形可知，）

解析OF=^AB=^a+b,

OC=1（〃+b）—b=2（?！猙）,

在RtZXOC尸中，由勾股定理可得，

CF=\I（審）+（/）=1〈02+及），

?：CF20F,

+b）（a>0,Z?>0）.

思維升華基本不等式的常見變形

⑴.”性中.

27i—a~\~bc^+b2

Q）1jWyfZbW~~2~~W\~2-（。>0,Z?>0）.

~a+TbV

跟蹤訓(xùn)練2（2022.漳州質(zhì)檢）已知a,b為互不相等的正實(shí)數(shù)，則下列四個(gè)式子中最大的是

（）

A.啖B-+J-

a+bab

2/~2-

C'y[abcr+b2

答案B

解析'：a,6為互不相等的正實(shí)數(shù)，

?1.12

2212

2\j~aby[abyfab9

I2rr__i___2_

\a2+b2<\]2aby[ab<y[ab9

???最大的是％/

題型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例5中華人民共和國(guó)第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在陜西省舉辦，某公益團(tuán)隊(duì)聯(lián)系全運(yùn)會(huì)組委會(huì)舉辦一

場(chǎng)紀(jì)念品展銷會(huì)，并將所獲利潤(rùn)全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品（一

個(gè)會(huì)徽和一個(gè)吉祥物）售價(jià)定為尤元時(shí)，銷售量可達(dá)到（15—0.1尤）萬(wàn)套.為配合這個(gè)活動(dòng)，生

產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價(jià)格分為固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為

50元，浮動(dòng)價(jià)格（單位：元）與銷售量（單位：萬(wàn)套）成反比，比例系數(shù)為10.約定不計(jì)其他成本,

即銷售每套紀(jì)念品的利潤(rùn)=售價(jià)一供貨價(jià)格.

中國(guó)陜西2021

SHAANXICHINA

（1）每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為100元時(shí)，能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

（2）每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，單套的利潤(rùn)最大？最大值是多少元？

解（1）每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為100元時(shí)，銷售量為15—0.1X100=5（萬(wàn)套）,

供貨單價(jià)為50+學(xué)=52（元），

總利潤(rùn)為5X（100—52）=240（萬(wàn)元）.

（2）設(shè)售價(jià)為x元，則銷售量為（15—0.1尤）萬(wàn)套，供貨單價(jià)為（50+i5，1iJ元，

單套利潤(rùn)為X—50一m二5。一詢二J元，因?yàn)?5—0.卜＞0,所以0＜無(wú)＜150.

所以單套利潤(rùn)為

產(chǎn)尤一50—［（150—^^^J+lOOWl。?！?y

當(dāng)且僅當(dāng)150—x=10,即x=140時(shí)取等號(hào)，

所以每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為140元時(shí)，單套的利潤(rùn)最大，最大值是80元.

思維升華利用基本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足

實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

跟蹤訓(xùn)練3某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形A8CD,如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的

宣傳欄（欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之

和為1440cn?.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當(dāng)直角

梯形的高為cm時(shí)，用紙量最少（即矩形A3CZ）的面積最?。?

答案12小

解析設(shè)直角梯形的高為xcm,

???宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為1440cm2,

且海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm,

1440

???海報(bào)寬AO=x+4,海報(bào)長(zhǎng)+8,

故S屐4BCO=ADQC=（X+4）^^+8）=8X+^^+1

472N28^5^0+1472=192小+

1472,

當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=等，

即x=12小時(shí)，等號(hào)成立.

「?當(dāng)直角梯形的高為12小cm時(shí)，用紙量最少.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

2

A.y=x+~

f+3

B.

C.y=ex+e~x

D.y=sinx+^^0<x<3

答案C

2

解析當(dāng)x<0時(shí)，y=x+-<0,故A錯(cuò)誤;

f+3/o—1

y飛奉=點(diǎn)王+平壽2，

當(dāng)且僅當(dāng)7好+2=吊=^^,即f=—1時(shí)取等號(hào),

又一w—1,故B錯(cuò)誤；

y=e*+e-x2y/ex-e~x=2,

當(dāng)且僅當(dāng)ex=e~x,

即x=0時(shí)取等號(hào)，故C正確;

當(dāng)電

0,I時(shí)，sin%￡(0,1),

>=5由％+系22,

當(dāng)且僅當(dāng)sinx=^^,

即sinx=l時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)閟inxG(0,1),故D錯(cuò)誤.

2.已知。>0,b>0,a+b=2,則lga+lg6的最大值為()

A.0B.1C.；D.1

答案A

解析'：a>Q,b>0,a+b=2,

/.1ga+lgb=lgab^lg=0,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=\時(shí)，取等號(hào).

；.lga+lgb的最大值為0.

3.（2021?新高考全國(guó)I）已知尸1，尸2是橢圓C：5+]=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則阿

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

解析由橢圓C：看+彳=1，得|"+|M尸￥=2X3=6,貝山"皿尸21d也”皆理>二32

=9,當(dāng)且僅當(dāng)1MBi=|MB|=3時(shí)等號(hào)成立.

所以的最大值為9.

4.（2023?太原模擬）已知a,6為正實(shí)數(shù)，a+b=3,則一）+9方的最小值為（）

CLILU\乙

A.TB.7C.2D.4

Jo2

答案A

解析因?yàn)镼+Z?=3,

111t1萬(wàn)+2+1

所以--1A1%+2〃+1

++2-6++1+Z?+2=+1+2

〃&+2M)6.a

2

3'

當(dāng)且僅當(dāng)即°=2,6=1時(shí)，等號(hào)成立.

112

所以?的最小值為（

a~\~1b+2

4

5.（多選X2022?衡陽(yáng)模擬）設(shè)。=log23,Z?=log2^則下列關(guān)系正確的是（）

a~\~ba+b

A.ab>~2—B.ab<2

a-\~bbC7b

>一D.ab>~

2aa

答案BCD

(a+b)2bi小、I、、

解析易知〃>0,Z?>0,―2—=1，a豐b,ab<r~~—=1,ab>~^a>l,顯然成立.

叱7b

所以一^—>ab>G

6.（多選）（2023?黃岡模擬）若〃>0,b>0,且〃+b=4,則下列不等式恒成立的是（）

1111

AKN--十-

浦_4a力

C.Iog2〃+log2b<2D-^+^C8

答案BD

解析因?yàn)椤?gt;0,Z?>0,所以停/）w"J",當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=2時(shí)等號(hào)成立,

則仔>=4或02或〃,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立，

則/層+尻力8,懸

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立，

則10g2〃+10g20=10g246W10g24=2,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕=2時(shí)等號(hào)成立，故A,C不恒成立，D恒成立；

對(duì)于B選項(xiàng)，1+：="￥=W14X]=1,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕=2時(shí)等號(hào)成立，故B恒成立.

7.函數(shù)的最小值為.

答案0

爐—1+111

解析因?yàn)閥=」_[—X-1+?=x~\~1+I—2(x>-1),

,x+1x+11x-\-1

所以代2#—2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)，等號(hào)成立.

所以〉=百(%>—1)的最小值為o.

8.(2023?婁底質(zhì)檢)已知〃，/?為正實(shí)數(shù)，且2〃+/?=1,貝(+治的最小值為

答案6

解析由已知條件得，(+治=吟絲+為=號(hào)+型+4N2\^W+4=6,

當(dāng)且僅當(dāng)§=品即a=京匕=￡時(shí)，取等號(hào).

所以|十為的最小值為6.

9.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y=x+o的最大值;

⑵已知0<x<2,求函數(shù)y=R4—/的最大值.

解(Dy=T(2x—3)+己十|=—(y+&)+|.

3

當(dāng)時(shí)，有3—2x>0,

叱23-2%813—2x8一,

所以25+3Q—2x、253Q—2%

Q—OyQ1

當(dāng)且僅當(dāng)一^=占，即X=—3時(shí)，取等號(hào).

23~2x2

355

于是yW—4+]=—故函數(shù)的最大值為一].

(2)因?yàn)?<x<2,

所以4—P>0,

則y=x\)4—x2=y]x2-(4~x2)<~—=2

當(dāng)且僅當(dāng)f=4—即彳=啦時(shí)，取等號(hào)，

所以y=r\/4—%2的最大值為2.

10.某企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過市場(chǎng)分析，

生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本300萬(wàn)元，每生產(chǎn)武干部)手機(jī)，需另投入成本R(x)萬(wàn)元，

10A2+100x,0<x<40,

且R(x)=1,10000、通過市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.7萬(wàn)元，且全

70U+—：——9450,x，40,

年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求出今年的利潤(rùn)wax萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量彳(千部)的函數(shù)關(guān)系式(利潤(rùn)=銷售額一成本)；

(2)今年產(chǎn)量為多少(千部)時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解(1)當(dāng)0<x<40時(shí)，W(x)=700x~(10^+100x)-300=-10^+600.r-300,

?、,,10000八,10000A,

當(dāng)x240時(shí)，W(x)=700x—(705+―-——9450)—300=—卜+――J+9150,

—1Ox2+600%—300,0<x<40,

⑵若0a<40,W(x)=-10(x-30)2+8700,

當(dāng)X=30時(shí)，W(X)max=8700(萬(wàn)元).

若尤2M0,W(x)=-[j+10^00^+9150W9150-2^/10000=8950,

當(dāng)且僅當(dāng)天=萼2時(shí)，即x=100時(shí)，取等號(hào).

???W(X)max=8950(萬(wàn)元).

.?.今年產(chǎn)量為100千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是8950萬(wàn)元.

立綜合提升練

11.(2023?湘潭模擬)已知a,P為銳角，且tana-tan』+2tanatar?夕=0,則tana的最大值為

()

.坐C坐D.^2

答案A

解析因?yàn)椤隇殇J角，所以tan￡>0,

由題意可得tana=[黑2/1].去=

"an夕+訴'

當(dāng)且僅當(dāng)tan^=坐時(shí)取等號(hào)，

故tana的最大值為當(dāng).

12.（2022?天津模擬）若a>0,b>0,則（。+6）2+9的最小值為.

答案4

解析若a>0,b>0,則3+￡>）2+9分（2/^）2+3=4"+表力4,

a='b,

當(dāng)且僅當(dāng)（1

葉=茄，

即a=6=乎時(shí)取等號(hào)，

故所求的最小值為4.

維堯展沖刺練

13.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依

據(jù)，通過這