2024屆高三一輪復(fù)習(xí)補充作業(yè)21

(數(shù)列與不等式1)

1.證明：

1114

(1)----------1-----------------F.......H-------------<-

3+13x2+13?2”一+17

、，

1115一

(2)21H2-H——+........H7<

23*3

,11171、?

⑶3252(2?-1)262(2?-1)

11-31-3-51-3-5.......(272-1)I-------

(5)----1-----------1---------------F+---------------------L，2〃+1-1

22-42-4-62-4-6.....?2〃

2x3'2x322x332x3"

----------------------1-------------------------1-------------------------1-.............-I------------------------

2.數(shù)列｛%｝滿足q=1,%+]=q^(〃eN*)，證明：an>-.

〃+1'74

3.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為J,已知%=1,且滿足2S“2=%(2S「1),(〃“)。

(1)求證：數(shù)列j7|是等差數(shù)列；

.?>

c17

(2)設(shè)b,一,數(shù)列也｝的前〃項和為北，求證：北<一。

n12

4.已知正項數(shù)列｛4｝的前項和為S“，滿足S“=w(a“+')，

2an

(1)求數(shù)列的前〃項和S"；

(2)記/=彳+不+《+?一+不，證明：y/n+1-\<-^-<4n

?2?32

5.已知正項數(shù)列｛為｝的前〃項和為邑，且為=1,%=回+附二,〃￡N*,且〃22.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列<工~+1>前〃項積為《，證明：」2n+\<T<2n+l,neN*

6.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，25,,+an=1(〃eN*),

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若——+-------，5為數(shù)列｛%｝前〃項和，證明：〈〉2〃——

1+41-an+i3

7.已知正項數(shù)列｛%｝的首項4=1,其前〃項和為S“,且%%+i=2S".數(shù)列｛〃｝滿足:

(1).求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2).記C“=eN*,證明：V2—,<Cj+c0+???+cn)<2,

Y%+2+2

2

B

8.已知數(shù)列｛%｝的首項4=a,an+x=5?+(-l),neN*，且血+§(—1)"｝是等比數(shù)列.

(1)求。的值；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式a“；

11113

(3).求證：--1----1---1------1----<-

%。2。2“-12

9.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為邑，且S4=3S2+2,%〃=2%.

(1)求等差數(shù)列｛為｝的通項公式?；

2〃+131

(2)令3=,數(shù)列｛2｝的前〃項和為北,證明對任意“eN*，都有一v*<一.

("+1)2端164

10.已知數(shù)列S"｝的前〃項和為S“，首項。］=1,且對于任意〃eN*都有放"+1=25".

⑴求｛4｝的通項公式；

4〃S

⑵設(shè)bn=2片，且數(shù)列｛〃｝的前〃項之和為，，求證：［<己.

anan+24

11.已知S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，S,,-3〃(“一1)("eN*),且%=1L

(1)求為的值;

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項和S“；

(3)設(shè)數(shù)列｛“｝滿足”=—，求證：A+與+仇+?,?+6”<—J3〃+2.

S"3

12.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和又滿足:2Sn=l-an.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列次,｝滿足------且數(shù)列也,｝前〃項和為7；,求證：Tn<~.

1+?！↖--3

13.已知數(shù)列滿足4=g,an+ian-2an+1+l=O,neN*

(1)求證：數(shù)列||是等差數(shù)列；

1%TJ

(2)求證：￡<色+竺+生+…+2<〃.

a

〃+1a2a3%n+\

14.已知數(shù)列｛4〃｝中，％=1,a.=ga〃2+%,〃￡N*.

(I)求。2，。3的值；

71

(II)令人"=—，求證：A+&+&「---卜b<1；

2+4

(III)設(shè)S“是數(shù)列｛4｝的前"項和，求證：2szi+；〉2".

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為5?(〃eN*),且滿足an+Sn=2/2+1.

(1)求證：數(shù)列｛。.-2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

1111

(2)求證:-----1-------1---1-------<一

n

2a1a22a2a32anan+i3

16.已知數(shù)列｛4｝的前項和S“,滿足S〃=2a〃+(-!)-〃21,

(1)求數(shù)列｛aJ的通項公式;

1117

(2)證明：對任意的整數(shù)加〉4,都有一+—+…+—<-

?4%a,n8

17.已知數(shù)列｛aa｝滿足=3,a〃+i=4%+3"T,〃eN*,

(1)求證:數(shù)列｛4+3"T｝是等比數(shù)列，并求4的通項公式;

。111、14

(2)記S"=一+—+...+—，求證：對于任意的〃eN*，—<S<—;

?1。2a“39

(,Y1'A(iA_____

(3)設(shè)〃=log2(a"+3"")+1,若不等式1+丁1+—?1+—N-」2n+3只對

I4人瓦)Ibj15

于任意的〃eN*恒成立，求正整數(shù)，"的最大值.

18.已知｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64.包｝是公比大于0的等比數(shù)列，

。=4也一。=48;⑴求｛%｝和也｝的通項公式;

(2)記g=b2n+J,〃eN*,

bn

eN*)

,15%+〃h.2a也

19.已知數(shù)列｛%｝,｛4｝滿足%=6,a2=—,a?+1G，4+1一,7

2a?+bn

(1)證明：｛%“｝為常數(shù)數(shù)列，且氏〉知+［〉3

r1、4n

(2)設(shè)數(shù)列｛尸｝的前〃項和為S",證明S,?<—?—

un"99

2

2a,J+3a“+加/“*、

20.已知數(shù)列｛4｝滿足遞推關(guān)系：a；i=-.........:—(〃eN),又q=11

1+a“+l

(1)當(dāng)加=1時，求數(shù)列｛4〃｝的通項公式;

(2)若數(shù)列｛4｝滿足不等式an+l>a“恒成立，求m的取值范圍：

111,1

(3)當(dāng)—34加<1時'證明*…+-'1一9

21.設(shè)數(shù)列｛%｝的前/項和為S”,且S.,=2a〃—2"+i,〃eN*,

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

log

(2)設(shè)"=^2,數(shù)列@“｝的前〃項和為Bn,若存在正整數(shù)m,使得對任意

rn

n>2且〃eN*都有B3n-Bn>—,求加的最大值；

a1112

(3)設(shè)C“=——1,證明^+才+…+丁<h

22.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足：=%3+43+…+a；(neN*),其中sn為數(shù)列

｛4｝的前n項和.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

ZA.113〔31313

(2)(i)求證：----1<(一戶+(1),+(一----F(—y<3；

++l%a2a3a2n+i

11115

(ii)求證：—+-]+—1+…+—^-<—

aa

ax。23n4

(.a9

23.數(shù)列｛aJ滿足％=l，4+i?證明：an>——,n>2

l+a〃72+2

24.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足%=4外+口5”之工設(shè)數(shù)列｛4｝的前n

項和為s“，證明：對任意〃eN*,有」V—

n2

25.已知數(shù)列｛aj滿足%=g,a“+i=a：+%+1,〃eN*,

證明：(1)an+1>3an；

(2)設(shè)數(shù)列二(前"項的和為邑，證明：5?<3

UJ

T

26.已知數(shù)列｛aj滿足%>0,^=0,a2=,an<an+l，n=彳丁+

11

--------------1----1-------------------------,neN*,求證：Tn<3

(1+flj)(l+a2)(l+a1)(l+?2)d—(1+4)

27.已知數(shù)列｛4｝滿足%=1,%+]=學(xué)-,〃eN*,證明：an>-

〃+14

28.已知數(shù)列｛%｝滿足420,%=0,a3+4+1-1=a：,〃eN*,設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為

S",證明：(1)an<an+1

(2)Sn>n-2

29.已知數(shù)列｛%｝滿足%=；,%+]=；端+：%,〃eN*,證明：<an

30.已知數(shù)列｛%｝滿足q=4,an+l=不*養(yǎng)，〃eN*，設(shè)數(shù)列｛%｝前"項的和為Sn,

(1)求證：an>an+i;

(2)2<5?-2?<y

1

31.已知數(shù)列｛4｝滿足為=1,an+l=,n^N*,

2%+1

(1)證明：數(shù)列<；，為單調(diào)遞減數(shù)列；

(2)記5“為數(shù)列｛同+「｝前〃項的和，證明：<|

一輪復(fù)習(xí)補充作業(yè)21——數(shù)列與不等式1參考答案:

111111

1.證明：(1)----i---<-----T，??----1--------1----

327+13-2"T3+13x2+13x225+l-----3-2^;--+--1--

473x223x2n-1+l283x223x2n-1283^22T-x)283^222H-1J

11147484

<---F-x—〈————

28384847

2

⑵因為_L<,=q=2p_____q,所以￡1<I+2仕」q<i+2=w

n2214H2-1(2"-l2H+1J(352n-l2n+l)33

n—

4

1

因為—―—=lp--二|，所以>1+星一」-)>1+早一，)

(3)(2w-l)2(2n-l)(2M+l)2(2”12n+\)M⑵T)232及+1232n-\

LLL…+3」(i+4+…+4%+」)

(4)416364H2422n24?

先運用分式放縮法證明出L3,5??…⑵一1)<1，再結(jié)合」_<向/_〃進(jìn)行裂項,最后就可以;

(5)2-4-6..InJ2〃+1-Jn+2

當(dāng)〃》2時,--------<7-----廠-----r=7----蟲~;~~r=—:-----------.所以當(dāng)〃》2時,

(3"-川3"-3)(3"-1"1_3)3^-13"-1

『32x322x3",3門1W1

T-1--------y+...H--------7VH------z+---—；—+...+—：------------1=2-------<2

262—1)23―1)2(232-lJl32-l33-lJ(3〃T—13"-lJ3fl-l

3

且7；=—<2.故對“eN*,7；<2得證

2

a2

n+in11n-\n+\

-2-2

2.證明：fln/7+l1+Xnnn

n2

所以，當(dāng)〃之3時，

11324n-2nn1

a>一?一?一?一?一.….---------=------->一

“22233n-\n-\4(w-l)4

又因為%=1>—,^2=1>~7

424

所以(對一切neN+成立

3.(1)證明：(1)?.?當(dāng)“22時，2S；=4(2S0-1),：4=S”-S”_I，...2S,^=(S?-S?_,)(2S?-1),

11C/C、11,

整理得：5“一5“7=-25“51，.?.7-1=2(〃22),又當(dāng)“=1時，-=-=l,

dn-l‘1a\

???數(shù)列［是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

15117

(2)證明：由(1)知：不=1+2(〃—1)=2〃—1,則a=__當(dāng)〃=1時，=l<—

3〃n〃(2〃一1)TbSl12;

1

1717]

當(dāng)〃=2時，=b]+b2=1T———<—當(dāng)心3時,b=

2126612fnn(2n-l)

1111

T?=h+濟(jì)+3+…+b<14---1—-----1------F?+

123n622334

71(1H171173」.17

=7+33-=77—丁<77，練上：(<77

6212nJ122n1212

?■.S.|S"-S?,.—^―；,等式兩邊同乘2(s“-%),得

4.解：由題意得：；

3“3"1'

11\

2S：-2%SI=S：+S；_「2SJS“T+1,整理得S；-$3=1,由品=不1+一,得S；=l,即｛印｝是首項

[1a\J

為1,公差為1的等差數(shù)列，.?.s,：=〃，s,=G；

112222

Sn4n2>J~n'y/n+y/n+l2冊Vn+J--l

,11112222

n

S|s2s3sn1+V2V2+V3V3+V4G+山幣

=2^-l+V3-V2+V4-^+---+VM+T-V?)=2(VM+i-l),z.7；,>2(VH+T-1),

T11112222

T-1----1-------F…H<—|--------------1--------------------p..._|----------------------

"S]s2S3sn1V2+1V3+V2

=2^1+A/2-1+A/3-A/2d---1-yjn-VM-1)=2>/n,/.Tn<2>/n,綜上可證：^Jn+l-1<^-<\fn.

5.解：（1）當(dāng)“22時，見=s「s“T，?.?“”=￡+67，.??s“一S“T=E+67,即

（瘋+￡7）（6'-師）=回+匹，???數(shù)列｛。“｝各項為正，，瘋+67>o,即回一67=i，

則數(shù)列｛向｝為￡=苑=1首項，公差d=l的等差數(shù)列，，瘋=〃，即S“=/,.?.當(dāng)在2時，

an=Sn-Sn_x=2n-\,經(jīng)檢驗幾=1成立，，%=2〃-1.

112n2〃+l

(2)*/一+l=-----<-,--數(shù)--列前〃項積為北

an2n-l2n-l

2n+l.I12nj2〃+l

x--=---2-n--+l,?___F]=______>-

2n-lan2n-lJ2〃—I'

?乜=+4三1先+11、引=W一..Wy<2〃+l.

6.

2

令得

(l)2Sn+Qn=l(nGN*),n=1,

11111

ai=又???-----<—

3'3n+13n'3n+1-13n+i'

又兩式相減，可得

2S“_i+an_j=1(n>2),

2Qn+Qn-Qn-i=0,

得旦=1ecr/11、/11\]

???>2n

.?./=(*;

1,11、

(II)證明：+印一訶)

11_3n

111

=2nH.......-——>2n——

3n+i33

3"+111

H-------------=2---------------1-------------=2

3n+1-13"+13n+1-1

Tn>2n——.

-(---------------)o

v3n+13n+1-1

7.解：(1)由anan+l=2S”得=2sls>2),兩式相減得為+i-=2(〃22),由4=1,得〃2=2,數(shù)列

的偶數(shù)項和奇數(shù)項分別是公差為2的等差數(shù)列,當(dāng)〃為奇數(shù)時，冊=打,當(dāng)〃為偶數(shù)時，冊=幾。

綜上所述%=n.

b

(2)由4+%+,-^n=,by+b2++bn_x=^—^~,n>2,b]=：,

an+\〃+in2

兩式相減得"六‘n"驗證成立，故"—.

則T1222(J〃+1-y/n)

Jn(n+1)(〃+2)'那么G=[nQi+1)(〃+2+yJn+2)[n(n+D(G+Jn+1)Jn(n+1)

=2(H，故-F<2(1一爰+%一專++=2(1-<2,

7n

222(J幾+2—A/M+1)

同理與=

+1)(〃+2)(赤+y[n)J(〃+1)(M+2)(J〃+1++2)+1)(〃+2)

故c*2+.+G>2(《W+5W+看-焉)=2(、一焉)=邑高，得證.

8.解:(1)當(dāng)心2時,a”%—(―I)..?.%+「%=S“—S"T+2(—1)"

2?2

a=M+n又

??n+i2%+2(-1)〃,/.an+i+—(―1)=2a+—(―l)],X%=a,a2—Sx—1—a—\

2222

*.*a2+§x(-21)=2(。]——),a—1+——2(a——)]

(2)由(1)知｛氏+:(2-!)〃｝是2以2：1為首項，2為公比的等比數(shù)列

-i

212〃T+2(—1)〃

?.?%+§(—D〃=§?2〃一二..凡

3

2n22n12n221

(3)當(dāng)〃22時，，+工=——+——3(2-+2-)3(2-+2"-)

,明出,2*2+2227-23+22/22〃-14

將〃由2至！J〃賦值并累加得---1------1-----1-----F...H——--F<18[(—)2+

%%a5“6a2n-l%〃4

3

3")]313

=18-^———=-(iL)<3

?124"-'2

1-4

9.解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為囚，公差為4,則由§4=3邑+2,。2“=24得

4。]+6d=3(2q+d)+2a.-2*

,解得<，所以冊=2幾，幾eN

ax+(2n-l)d=2[q+(n-l)d]d=2

(2)因為%=2“7eN*,所以2=2〃：1,二——1

"(n+l)24n24n2(n+1)2

貝L+J——L+J——L+...+J-----1—]=1[1------?—].因為〃21,"eN*,所以a?T<▲.

"4L2222323242n2(n+I)2'4(n+1)216"4

10.解：（I）解法一：,由〃a〃+i=2S〃①可得當(dāng)〃>2時，5—=2SR②,

由①-②可得,

一("I)%=2(S〃一S"_1)=2%,所以nan+l=(n+l)an，

%+1_〃+1,所以幺=』%_4。5_5aY!

即當(dāng)7此2時,n——，將上面各式兩邊分別相乘

〃33'%4

anna22an-Xn-1

Xpaan〃口口"/T7

倚，——，即4〃——C?的Z(〃23),又。Z2=2S]=2%=2,所以=n（H>3）,此.結(jié)果也滿足％,。2,

22

故=〃對任意nGN+都成立。

4〃4〃+411

(II)依題意可得a=，"+1,

/(〃+2)2i(〃+2)2

anan+2n

」」J___1_工」11="*5+11)25+12)

7

一1一鏟十落L鏟一二+'+落5+2）2,244

11.解：(1)由S2=q+%=2a,—3x2(2—1)和4=11可得q=5

(2)解法1：當(dāng)〃22時，由q=-S72T得a八=一3〃(〃一1)—(〃-I)%——3(〃一1)(〃一2)

n(n-l)an-(n-V)an_x=6(n-1)nan-an_x-6(n>2,nGN*),數(shù)列｛%｝是首項4=5，公差為6

n12

的等差數(shù)列，；?%=q+6(〃—1)=6〃—1,**-Sn=^—2n+2n

b<

(3)證明：n-6-d3n+2-2d3n+2yj3n-l+^+2

二l_2日一乃

(V3n+2+V3n-l)(V3n+2-V3n-1)3

4

：.b,+偽+…+0<2[(6-0)+(血一石)+…+(j3〃+2—J3"一1)]

3

12.解：(I)當(dāng)〃=1時，2al=1—q,所以當(dāng)2時，a〃=S"-Sn_[,即24=-a“+a“_],

3%=%i，2=工，所以數(shù)列｛4｝是首項為1,公比也為1的等比數(shù)列，所以

""Ta.3*1133

71—1

11

3〃3〃+i_111

(II)證明：b"="------工

-+1由J,T—

1+41-4+1'一i-3"+13"-13"+13"3,1+1-1

1-]------1--------------

QWon+1

所以“=77FE(二尸所以(=4+4++20+&_小+

因為-f<0,所以----—T<—,即(,〈一?

3用33'"i33

11a

13.證明：(1)V-^----—=O,neN\；.—-------=-------gn±i=-?i_

a-1+=b

4+i-1n4+iT4,-1an+1-1an+l-1an+1-1

：.-----------13分；.數(shù)列｛」一｝是以」一=-2為首項，以1為公差的等差數(shù)列.5分

a-1

4+1Tn4-14T

證法2：由已知—%------L=O”N*即(4LI*一——=0,1+—-------—=0,

a-1a-a-1

a”+lTnn+l14-14+1-1n

即」-------L=—1（常數(shù)）3.?.數(shù)歹!]｛—1—｝是以」一=-2為首項，以1為公差的等差數(shù)列.5分

%+1-1an-1a“T%T

117

(2)由(1)得-----=-2+(〃—1)x(—1)=+,所以=----,-■方面，

1ZZI1

2

qz(z+2)z+2z.qa,an?.不

—!-=———之=不——；—<1,+^-++^-<M，另一萬面，

@+1(i+1)i+27+1a?%4+i

...&=3J”=1__

22=+

q+i(z+1)i+2i+l?+i)2/(z+1)iz+1

=n-l-\-----

n+1n+1

rra%a?―—

故不等式----…—2-<”成乂

"+1a2q4+i

5

1913If3?321

14.解：(I)由題4=1,?！?1=5?！?。八，得〃2=]+1=5

。3=5日尸5=可

I.,_%(%+2),._L1__]1_1___1_

（II）證明：顯然4>0,\-a=

n+i%+2aa

2""2??+ia?4+2nn+l

11I11)(1

即=，；?瓦+%+…+年=----+—

°n"〃+1IJ^^2“3JVanan+\J^n+l

al321

(III)證明：?.?3=5。0+1>1,a>0,...｛a,｝是遞增數(shù)列，由于g=7，?3=—>2,

ann228

2aa

~~=；4+1〉2(〃23),.?.當(dāng)上上3時，ak>2al>~k-2>…>k-i>21a3=4

anZO

5,=1+y-+。，>1+3+2+*2+*22+...+汽2〃.

〃"2〃28888

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??.2S+->—X2n-2>4x2n-2=2n

44

,3

15.解：(1);an+Sn=2〃+l,令〃=1,得2q=3,ax=—.*.*an+Sn=2〃+l,

*1

的+S"2(…+1,(心2,i)兩式相減'得2-=2,整理-1+1

2=g(4_i—2),(w>2).??數(shù)列｛%—2｝是首項為囚―2=—g,公比為g的等比數(shù)列

%-2=-(J"，，4=2-￡?

,八..112"+111

1)?-------=-----------------=---------------=---------------

2"aa.心2K+1-12,,+2-1(2"+1-1)(2"+2-1)2,,+1-12"+2-1

+2----—

+2++(23)+(34)++(+1n+2

2a,a22a2a32''anan+l-2-1-2-l2-1-2-1'"2"-1-2-?

—-1--------1--------1

32"+2-13'

16.(1)由q=S[=2q—1得：4=1當(dāng)〃》2且〃wN*時，有2=S”一S1=2(2一a,i)+2x(—1)”

/、j

.?.a“=2%+2x(—l)"T,則為+；=―2冷p+；，，數(shù)列丹+；是以一;為首項，_2

\/\\/),

為公比的等比數(shù)列，，7^1+52=一3](一2)'1,...a“=#2"-2+(—1)”[,經(jīng)驗證q也滿足上式

6

??”=翡""+(-1尸

(2)證明：由通項公式得%=2,當(dāng)且〃為奇數(shù)時,

n-ln-2

有工1332+232〃一1+2〃一2

+----二—_xv_x

―222n_3+2n-1-2,!"2-l2

冊Q〃+i2

所以，當(dāng)相＞4且加為偶數(shù)時,

111(1111)13111

1<+1+7

W—+一+…+一=一+一+-+---++——22i22+…H---2--2--2r

\am-lQm)

131137

=—+—X—X1-<一+一=

224288

11111117

當(dāng)相>4且加為奇數(shù)時，一+—++—<—+—+--+—+——<—

%%am%%am金+18

.1117

所以對任意整數(shù)相＞4時，都有一+—+???+——＜—

。4。5am8

17.(1)由〃i=3,詼+戶4斯+3〃-i,nGN*,可得凡+1+3〃=4凡+4?3”T=4(?！?3"一)，

所以｛%+3〃T｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以q+3〃T=4〃，則%=4〃-3〃T,〃EN*;

n-\

111_1_

(2)當(dāng)論2時，—-------=---------------<-----

-1一3

an4"-3"341+41—3向3-4"-'

所以s“」+L+—<-i+-+f-Y++W=-i-f-Y<-,又工>o,所以

q%??3[4⑷⑷J9[UJJ9人4為3

14

綜上,3~Sn<9；

nn1012n

(3)bn=log2(4-3-+3-)+1=log22+1=2n+1,則1+J=