2.5直線與圓錐曲線課堂探究探究一直線與圓錐曲線的位置關系判斷判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(或x)得一個關于變量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.(1)當a≠0時，若Δ＞0，則直線l與曲線C相交；若Δ＝0，則直線l與曲線C相切；若Δ＜0，則直線l與曲線C相離．(2)當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點．此時，若C為雙曲線，則l平行于雙曲線的漸近線；若C為拋物線，則l平行于拋物線的對稱軸．(3)當直線與雙曲線或拋物線只有一個公共點時，直線與雙曲線或拋物線可能相切，也可能相交．【典型例題1】已知直線l：kx－y＋2－k＝0，雙曲線C：x2－4y2＝4，當k為何值時，(1)l與C無公共點；(2)l與C有唯一公共點；(3)l與C有兩個不同的公共點．思路分析：直線與圓錐曲線的公共點的個數，就等于直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組的解的個數．因此本題可轉化為方程組解的個數的判定，從而確定參數的取值．解：(1)將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0.①要使l與C無公共點，即方程①無實數解，則有1－4k2≠0，且Δ＜0，即64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)＜0.解得k＞eq\f(－2＋eq\r(19),3)或k＜eq\f(－2－eq\r(19),3)，故當k＞eq\f(－2＋eq\r(19),3)或k＜eq\f(－2－eq\r(19),3)時，l與C無公共點．(2)當1－4k2＝0，即k＝±eq\f(1,2)時，方程①只有一解；當1－4k2≠0，且Δ＝0，即k＝eq\f(－2±eq\r(19),3)時，方程①只有一解，故當k＝±eq\f(1,2)或k＝eq\f(－2±eq\r(19),3)時，l與C有唯一公共點．(3)當1－4k2≠0，且Δ＞0時，方程①有兩個不同的解，即l與C有兩個不同的公共點，于是可得，當eq\f(－2－eq\r(19),3)＜k＜eq\f(－2＋eq\r(19),3)，且k≠±eq\f(1,2)時，l與C有兩個不同的公共點．探究二相交弦長問題若直線l與圓錐曲線F(x，y)＝0相交于A，B兩點，求弦AB的長可用下列兩種方法：(1)把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，解得點A，B的坐標，然后用兩點間距離公式，便得到弦AB的長，一般來說，這種方法較為麻煩．(2)不求交點坐標，可用一元二次方程根與系數的關系求解．設直線方程為y＝kx＋m，與圓錐曲線F(x，y)＝0交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((x1－x2)2＋(kx1＋m－kx2－m)2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)；或當k≠0時，|AB|＝eq\r(1＋eq\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋eq\f(1,k2))·eq\r((y1＋y2)2－4y1y2).當k＝0時，直線平行于x軸，∴|AB|＝|x1－x2|.【典型例題2】已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y＝x＋1與橢圓交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|＝eq\f(eq\r(10),2)，求橢圓的方程．思路分析：設出橢圓方程，將橢圓方程和直線方程聯(lián)立消去y，轉化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系，根據向量數量積和弦長公式建立方程組求解．解：設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,mx2＋ny2＝1，))得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)＞0，即m＋n－mn＞0.由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，∴eq\f(2(n－1),m＋n)－eq\f(2n,m＋n)＋1＝0，∴m＋n＝2.①又|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq\f(8(m＋n－mn),(m＋n)2)＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(eq\r(10),2)))2，將m＋n＝2代入得mn＝eq\f(3,4).②由①②式，得eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(1,2)，,n＝eq\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(3,2)，,n＝eq\f(1,2).))故橢圓方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(3,2)y2＝1或eq\f(3,2)x2＋eq\f(y2,2)＝1.探究三中點弦問題對中點弦問題，常用的解題方法——平方差法，其解題步驟為：(1)設點，即設出弦的兩端點坐標；(2)代入，即代入圓錐曲線方程；(3)作差，即兩式相減，然后用平方差公式把上式展開，整理．【典型例題3】已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，求：(1)以P(2，－1)為中點的弦所在直線的方程；(2)斜率為2的平行弦中點的軌跡方程；(3)過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程．分析：可利用平方差法求解，在求軌跡方程時要注意變量的范圍．解：設弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點為R(x，y)，則2x＝x1＋x2,2y＝y(tǒng)1＋y2.又A，B兩點均在橢圓上，故有xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16.兩式相減，得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)．故kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4(y1＋y2))＝－eq\f(x,4y).(1)由kAB＝－eq\f(x,4y)＝eq\f(1,2)，得所求軌跡方程為x－2y－4＝0.(2)由kAB＝－eq\f(x,4y)＝2，得所求軌跡方程為x＋8y＝0(－4≤x≤4)．(3)由kAB＝－eq\f(x,4y)＝eq\f(y－2,x－8)，得所求軌跡方程為(x－4)2＋4(y－1)2＝20(－4≤x≤4)．探究四易錯辨析易錯點混淆直線與圓錐曲線相切和直線與圓錐曲線只有一個公共點【典型例題4】過點(1,3)作直線與拋物線y＝x2－2x＋eq\f(17,4)交于一點，求此直線的方程．錯解：設所求直線方程為y－3＝k(x－1)，把它代入拋物線方程y＝x2－2x＋eq\f(17,4)中，得x2－(2＋k)x＋k＋eq\f(5,4)＝0.由題意知，直線與拋物線相切，∴Δ＝(2＋k)2－4×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(k＋eq\f(5,4)))＝0，解得k＝±1.∴所求的直線方程為y－3＝±1×(x－1)，即x－y＋2＝0或x＋y－4＝0.錯因分析：對于拋物線，一條直線若與它相切，則直線與拋物線只有一個公共點，反過來并不一定成立．與拋物線對稱軸平行的直線與拋物線也只有一個公共點，但它不是拋物線的切線，因此，直線與拋物線相切，并不是直線與拋物線只有一個公共點的充要條件．上述解答把直線與拋物線只有一個公共點問題完全轉化為切線問題，顯然是錯誤的．正解：過平面上一點