第16講拉格朗日中值定理在高考中的應(yīng)用

拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中也是比較重要的一塊,其定理本身比

較簡(jiǎn)潔，也可以在高考中解決一類不等式問(wèn)題，其解法比較快捷，我們來(lái)認(rèn)識(shí)一下這個(gè)定理吧！

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：

若函數(shù)/滿足如下條件：

(1)/在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù).(2)/在開(kāi)區(qū)間(a,。)內(nèi)可導(dǎo).

則在(a,。)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得二/⑷.

b-a

幾何意義：

在以A(?,/(?)),為端點(diǎn)的曲線上y=/(%)至少存在一點(diǎn)PC，/O)，該曲

線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線A3.

21

【例】已知函數(shù)g(X)=l--7+—,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)X,使得函數(shù)g(X)上任意不同兩點(diǎn)連線的

X"X

斜率都不小于左？若存在，求上的取值范圍;若不存在，說(shuō)明理由.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)左，使得的圖像上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于七

即對(duì)任意無(wú)2〉3〉0,都有一gQ)..h

x2-x1

即求任意兩點(diǎn)割線斜率的大小，由中值定理知存在有g(shù)'(x)=5區(qū)二日型."，轉(zhuǎn)

x2—%

為求切線斜率的大小.即8(b="-《."在(°，+8)上恒成立的問(wèn)題.

X3X2

拉格朗日證明無(wú)參不等式

用拉格朗日中值定理證明不等式的一般步驟：

第一步:在不等式中找合適的函數(shù)y=/(x).第二步:利用拉格朗日中值定理轉(zhuǎn)換，即

-⑹=/(?/⑷(或/3)-/(°)=(OS—a))，并確定J的范圍.

b-a

第三步:利用J的范圍對(duì)不等式放縮，從而證明不等式.

［例1］設(shè)x>0,證明:ln(l+x)<x.

【解析】證明：令/(x)=ln(l+x)(尤>0),

V/(x)在［0,劃上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，

由拉格朗日中值定理得ln(l+x)=ln(l+x)-ln(l+0)=/'?)(x-0)=」一xx

1+&

0<^<x,/.xx<x,x>0,ln(l+x)<x.

【例2】當(dāng)x>l時(shí),證明:e*〉ex.

【解析】???/(%)在工劃上連續(xù)，在(l,x)內(nèi)可導(dǎo),

:.由拉格朗日中值定理得e，—e=e"x—1).

,1<<^<x,er-e=(%-1)>e(x-1)=ex-e,從而當(dāng)x>1時(shí),e">ex.

【例3】當(dāng)龍>0時(shí)，證明:/1+口>'.

IX)1+x

【解析】令/(x)=lnx(x>0),

???/(%)在［羽1+劃上連續(xù)，在(%/+%)內(nèi)可導(dǎo),

由拉格朗日中值定理得ln(l+L)=

ln(l+x)-Inx=+x)-x]=—.

x<^<\+x,:.—>一一，即當(dāng)x>0時(shí),In[1+1]>」一?可導(dǎo),

Jl+xvx)1+x

【例4】當(dāng)龍>0時(shí)，證明iinL+n〉一1-.

IX)1+x

【解析】令/(x)=lnx(x>0),

???/(%)在［羽1+幻上連續(xù)，在(x,l+%)內(nèi)可導(dǎo),

???由拉格朗日中值定理得lnh+L1]=ln(l+x)—inx=rC)[(l+x)—x]=L

X

-11fn1

%<J<1+1,「.一>----即當(dāng)x>0時(shí),In|1H—>-----

~J1+xIx)1+x

拉格朗日證明一元含參不等式

利用拉格朗日中值定理證明一元含參不等式問(wèn)題的一般步驟：

第一步:參變分離為:幺2>a或幺乃<a成立.［其中%>0,/(0)=0，只有這種

XX

結(jié)構(gòu)才可以使用］

第二步：拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化為ro=/(x)—/(°)>a或1?J(x)--(O)

x-0x-0

<a.［其中。e(0,%)］第三步:轉(zhuǎn)化為求re)最值問(wèn)題.

【例1】設(shè)函數(shù)/(x)=e，-1,若對(duì)所有x>0,都有/(x)>ax,求a的取值范圍.

【解析】第一步:參變分離.

要使/(x)>ax恒成立，等價(jià)于:3>a恒成立.

X

第二步:拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化.△效=/⑴一/⑼=廣4)>a,

xx-0

其中/(0)=0,欠(0,x).

第三步:求最值.

要使/'C)>a恒成立，即/G)min>a恒成立.

1C)=苫/e(0,尤),.G)>廣(0)=1.ae(一91]

【例2】設(shè)函數(shù)/00=6，-b,證明:若對(duì)所有"0,都有/(無(wú))..?，則。的范圍是(-00,2].

【解析】第一步：分類討論，參變分離.

當(dāng)x=0時(shí)，顯然對(duì)任何a，都有/(%)?ax.

當(dāng)x>0時(shí)3J(x)T(°).

xx-0

第二步:利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).G(x)==/(X)~/(0),

xx-0

由拉格朗日中值定理知(0,%)內(nèi)至少存在一點(diǎn)j(從而。>0)，使得r(j)=/a)-"。)

x-0

G(x)=1?=*+/，由于廣(J=苫——>e°-e-°=0Q>0).

第三步:利用極限求出下確界，進(jìn)而得取值范圍.

故/C)在(0,x)上是增函數(shù)，讓xf0得G(x)1nhi=/W=e-+eW.(0)=2.

a的取值范圍是(-00,2].

cinx

【例3】設(shè)函數(shù)/(%)=-------，如果對(duì)任何X..0,都有/(%)?依,求a的取值范圍.

2+cosx

【解析】第一步:分類討論，參變分離.

當(dāng)x=0時(shí)，顯然對(duì)任何a，都有/(x),,ax

當(dāng)％>0時(shí),3="x)一/⑼.

xx-0

第二步:利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).

由拉格朗中中值定理知，存在Je(0,x)，使得="x)T(°)=廣記).

xx-Q

第三步:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)研究其單調(diào)性.

2CSX+1

7(x)=°2，從而廣⑴=2sinx(2+--1)

(2+cosx)(2+cosx)~

令，''(尤)..0得xw[(2k+1)乃，(2%+2)乃].

令f"(x)?0得xe[2丘,(2左+1)用.

第四步:根據(jù)單調(diào)性得函數(shù)最值，進(jìn)而得參數(shù)范圍.

/.在[(2k+1)漢(2左+2)用上,/'(X)的最大值

/'(X)max=(Qk+2)?)=g在［2k7T,(2k+1)加上，

廣(X)的最大值/(X)max=f'Qk兀)=1.

從而函數(shù)/(x)在［24漢(2左+2)%］上的最大值是r(x)1mx=1?

由左WN知，當(dāng)X>0時(shí),/'(X)的最大值為了'(X)max=1.

???f'8的最大值/(/max=??為了使于'/)，，。恒成立，應(yīng)有/'(Jmax，，飆

，。的取值范圍是

拉格朗日證明雙變量含參不等式

由拉格朗日中值定理解決具有一八馬)特點(diǎn)的證明或求參數(shù)的范圍問(wèn)題的一般步驟：

西-x2

第一步:把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明/⑺一/⑷>4或/4)-"*2)<彳(其中不。)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題―

%一/%—%2

第二步:利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化.即證明一=ro>x或

xl-x2

〃6〃尤2)=/④<%.第三步問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證-C)與2的大小關(guān)系?

%1-%2-

【例1】設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-(m+l)%,(x>0,根wR).若對(duì)任意玉>x2>1,

”花)一〃"2)<一1恒成立，求〃2的取值范圍.

玉一九2

【解析】解法一:同構(gòu)函數(shù)法

X］>x,>1,/(%)/(々)<-1,/(%］)一/(x,)<一(再一x,),

xi—x2

即/(%)+XV/(%2)+%2,令左(%)=/(%)+%

要使不等式恒成立,則函數(shù)y=k(x)在區(qū)間(l,+oo)上單調(diào)遞減，

k'(x)=--m,,0(x>1)恒成立,即—?加在區(qū)間(1,+oo)上恒成立.故m..l.

XX

法二:拉格朗日法

由拉格朗日中值定理可得，(~)一［1,其中l(wèi)€(/%)?

又尸修)=￡—加一i,則廣@<一>/(?儂<-i.

又自>1,7'(9單調(diào)遞減,fg)</⑴”—1.可得7n.1.

【例2】設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+-,meR，若對(duì)任意b>a>0,"①一,⑷,,1恒成立，求m的

xb-a

取值范圍。

【解析】解法一:同構(gòu)函數(shù)法

對(duì)任意b>a>0,⑷,,1恒成立，等價(jià)于f(b)-b?f(a)~a恒成立.

b-a

設(shè)h(x)=/(x)-x=Inx+---x(x>0).

x

I

???等價(jià)于力。)在(0,+oo)上單調(diào)遞減.??.〃(％)=——L,0在(0,+00)恒成立.

xx

m...一尤?+尤=—[%——+^(%>0)怛成乂.

r

m..(m=—,h(x)=0,x='恒成立..二m的取值范圍是一,+oo].

442L4)

法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得〃")―/(")=rc)?1,其中自￡(〃/).

b-a

又，則/?刑=尋1n4一咒,機(jī).又4〉0,令g(j)=j—產(chǎn),

自自鏟

則gOmax==；.，加的取值范圍是

【例3】已知/(%)=(?+1)In%+ax2+1.

(1)討論/'(x)的單調(diào)性.

⑵設(shè)",一2，求證:V%々e(0,+oo),

|/(%)-/(9)|-4人—々卜

【解析】⑴/(%)的定義域?yàn)閤>0,f'(x)=—+2ax=2次+"+1.為尸⑺>0,即

XX

+4+1>0=>2Q%2>—+1).

①1=0,則廣(%)>0恒成立,/(%)為增函數(shù).

②a>0,則/>—絲土且，1(%)>0恒成立,7(x)為增函數(shù).

2a

③Q<0時(shí)，尤2

2a

當(dāng)④—i,則廣(％)<0恒成立,了(%)為減函數(shù).

。+1

當(dāng)—IvavO時(shí)，解得0<x<

2a

X(1--、

(16Z+1)

50-2-al

/'(X)+—

于(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

⑵法一:雙元構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)法

不妨設(shè)馬〉玉，.④-2,

???由第⑴問(wèn)可得/(%)單調(diào)遞減.???/(9)</(%)?

所證不等式等價(jià)于：/-)…4/一4%o/(石)+4%.J>(W)+4%，

令g(%)=/(%)+4%=(a+l)ln%+Q%2+i+4x,只需證明g(x)單調(diào)遞減即可.

，/、〃+1_.2ax2+4x+tz+l

g'(x)=---+2〃x+4=-------------.

xx

設(shè)/z(%)=2ax2+41+。+1.方程/1(%)=(),△=16-8々(〃+1)=-8(〃+2)(〃一1),,0.

???〃(%)張D=g，(x)0,/.g(%)在(0,+8)單調(diào)遞減.???且(工1).?且(%2)，即所證不等式成立,

法二:拉格朗日中值定理

不妨設(shè)％2>玉，?、?2,

由第(1)題可得/(%)單調(diào)遞減,.\/(々)</(%)?

位上旭=廣?,總㈤

x2-xi

v%,%e(0,+oo),|/(%1)-/(x2)|%；-x2|o‘⑷一4of，記)?-4.

%2一%

即證1@=空+2若,,-4.

在Je(0,+8),4,-2上恒成立即可，即可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次含參不等式恒成立問(wèn)題，用分

類討論或基本不等式即可證明.

【例41已知函數(shù)/（x）=x2+2+“inMx>0）,/（x）的導(dǎo)函數(shù)是廣（X）,對(duì)任意兩個(gè)不相等

X

的正數(shù)看,%2，證明：

⑴當(dāng)“0時(shí)“玉）+"/）Jx+z］

<1）3倨,U時(shí),------------->JI---I-

⑵當(dāng)心4時(shí),『（七）一/（%）|>|%-無(wú)

【解析】證明：（1）不妨設(shè)玉<X2,即證1生產(chǎn)］〉/［受產(chǎn)］—/（苞）.

由拉格朗日中值定理知，存在《€口|,土產(chǎn)e1弋上,馬］則4<42且

廣仁）?一，

/fA4^K/