《1.2空間向量的基本定理》考點(diǎn)復(fù)習(xí)【思維導(dǎo)圖】【常見考點(diǎn)】考點(diǎn)一基底的判斷【例1】在正方體中，可以作為空間向量的一組基底的是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．下列說法正確的是（）A．任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B．空間的基底有且僅有一個(gè)C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．基底中基向量與基底基向量對應(yīng)相等2．設(shè)向量不共面,則下列可作為空間的一個(gè)基底的是()A． B．C． D．3．若a,A．b+cC．b+c考點(diǎn)二基底的運(yùn)用【例2】如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)，，，，則（）A． B． C． D．【一隅三反】1．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A． B．C． D．2．在平行六面體ABCD－中，用向量來表示向量（）A．B．C．D．3．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A． B． C． D．考點(diǎn)三基本定理的運(yùn)用【例3】如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【一隅三反】1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于，是PC的中點(diǎn)，設(shè)．（1）試用表示出向量；（2）求的長．2．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．3．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.《1.2空間向量的基本定理》考點(diǎn)復(fù)習(xí)答案解析考點(diǎn)一基底的判斷【例1】在正方體中，可以作為空間向量的一組基底的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三個(gè)向量是不共面的，可以作為一個(gè)基底.故選：C空間向量基底.空間向量基底.不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底【一隅三反】1．下列說法正確的是（）A．任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B．空間的基底有且僅有一個(gè)C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．基底中基向量與基底基向量對應(yīng)相等【答案】C【解析】項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底,所以錯(cuò).項(xiàng)，空間基底有無數(shù)個(gè),所以錯(cuò).項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?，所以錯(cuò).故選.2．設(shè)向量不共面,則下列可作為空間的一個(gè)基底的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】選項(xiàng)A,B中的三個(gè)向量都是共面向量，所以不能作為空間的一個(gè)基底.選項(xiàng)D中，，根據(jù)空間向量共面定理得這三個(gè)向量共面，所以不能作為空間的一個(gè)基底.選項(xiàng)C中不共面,故可作為空間的一個(gè)基底.故選：C.3．若a,A．b+cC．b+c【答案】A【解析】∵2b=b∵a+b+∵a+c=a考點(diǎn)二基底的運(yùn)用【例2】如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】為的中點(diǎn)，．故選：．【一隅三反】1．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】連接分別為中點(diǎn)故選：2．在平行六面體ABCD－中，用向量來表示向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，故選B3．（2020·江西吉安。高二期末（理））在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由共面知，故選：考點(diǎn)三基本定理的運(yùn)用【例3】如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）連接,，，如圖：，，在，根據(jù)向量減法法則可得：底面是平行四邊形且又為線段中點(diǎn)在中（2）頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是由（1）可知平行四邊形中故：故：對角線的長為：.（3），又【一隅三反】1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于，是PC的中點(diǎn)，設(shè)．（1）試用表示出向量；（2）求的長．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵是PC的中點(diǎn)，∴（2）.2．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1），同理可得，．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．異面直線與所成角的余弦值為．3．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】設(shè)，，由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，（1）由所以即證.（2）由，又所以，又則又異面直線夾角范圍為所以異面直線夾角的余弦值為.\《1.2空間向量的基本定理》同步練習(xí)【題組一基底的判斷】1．已知，，是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是（）A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2C．，2，﹣ D．，+，﹣2．已知點(diǎn)為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與，不能構(gòu)成空間基底的向量是（）A． B． C． D．或3．已知是空間向量的一個(gè)基底，則與向量+，-可構(gòu)成空間向量基底的是()A． B．C．+2 D．+24．為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（）A． B．C． D．5．若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（）A． B． C． D．【題組二基底的運(yùn)用】1．如圖，平行六面體中，與交于點(diǎn)，設(shè)，則（）A． B．C． D．2．若是空間的一個(gè)基底，，，，，，則，，的值分別為（）A．，， B．，，C．，， D．，1，3.如圖所示，，分別是四面體的邊，的中點(diǎn)，是靠近的三等分點(diǎn)，且，則__．4．在正方體中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，且，則的值為________.【題組三基本定理的運(yùn)用】1．已知，，三點(diǎn)不共線，對平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足．（1）判斷，，三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)．2．已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為________．3．如圖所示，在平行四邊形中，，，將它沿對角線折起，使與成角，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．4.已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．《1.2空間向量的基本定理》同步練習(xí)答案解析【題組一基底的判斷】1．已知，，是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是（）A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2C．，2，﹣ D．，+，﹣【答案】C【解析】對于A，因?yàn)?=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三個(gè)向量共面，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，A不正確；對于B，因?yàn)?=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三個(gè)向量共面，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，B不正確；對于C，因?yàn)檎也坏綄?shí)數(shù)λ、μ，使=λ?2+μ（﹣）成立，故、2、﹣三個(gè)向量不共面，它們能構(gòu)成一個(gè)基底，C正確；對于D，因?yàn)?（+）﹣（﹣），得、+、﹣三個(gè)向量共面，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，D不正確故選：C．2．已知點(diǎn)為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與，不能構(gòu)成空間基底的向量是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】∵，即與，共面，∴與，不能構(gòu)成空間基底；故選C.3．已知是空間向量的一個(gè)基底，則與向量+，-可構(gòu)成空間向量基底的是()A． B．C．+2 D．+2【答案】D【解析】由題意，向量都有向量為共面向量，因此A、B、C都不符合題意，只有向量與向量屬于不共面向量，所以可以構(gòu)成一個(gè)空間的基底，故選D.4．為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，因?yàn)?，所以共面，不能?gòu)成基底，排除A，對于B，因?yàn)?，所以共面，不能?gòu)成基底，排除B，對于D，，所以共面，不能構(gòu)成基底，排除D，對于C，若共面，則，則共面，與為空間向量的一組基底相矛盾，故可以構(gòu)成空間向量的一組基底，故選：C5．若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】共面，故不能作為基底，故錯(cuò)誤；共面，故不能作為基底，故錯(cuò)誤；不共面，故可以作為基底，故正確；共面，故不能作為基底，故錯(cuò)誤，故選C.【題組二基底的運(yùn)用】1．如圖，平行六面體中，與交于點(diǎn)，設(shè)，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，∴，故選D．2．若是空間的一個(gè)基底，，，，，，則，，的值分別為（）A．，， B．，，C．，， D．，1，【答案】A【解析】，由空間向量基本定理，得∴，，.3.如圖所示，，分別是四面體的邊，的中點(diǎn)，是靠近的三等分點(diǎn)，且，則__．【答案】【解析】因?yàn)?，分別是四面體的邊，的中點(diǎn)，是靠近的三等分點(diǎn)，所以，，，，所以，，，，故答案為：．4．在正方體中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，且，則的值為________.【答案】【解析】在正方體中得，又因?yàn)樗运?故答案為：【題組三基本定理的運(yùn)用】1．已知，，三點(diǎn)不共線，對平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足．（1）判斷，，三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)．【答案】（1）共面（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【解析】（1）如圖，為的重心）為的三等分點(diǎn)）設(shè)中點(diǎn)為，則可知在上，且為的重心故知共面（2）由（1）知共面且過同一點(diǎn).所以四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)在平面內(nèi)．2．已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為________．【答案】【解析】如圖所示,將直三棱柱補(bǔ)成直四棱柱,連接,則,所以或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．因?yàn)?所以,.在中,,所以所以故答案為:3．如圖所示，在平行四邊形中，，，將它沿對角線折起，使與成角，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．【答案】或∴，∴或，故點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為或．4.已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．【答案】見解析【解析】連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up7(→))＋\f(1,2)(\o(OB,\s\up7(→))＋\o(OC,\s\up7(→)))