華東師大版八年級數(shù)學下冊第19章矩形菱形與正方形單元測試卷一、單選題1．正方形具有而菱形不具有的性質是（）A．對角線相等 B．對角線互相垂直平分C．四條邊相等 D．對角線平分一組對角2．下列說法中，不正確的是（）A．菱形的對角線互相垂直B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．矩形的四個內角都相等D．四個內角都相等的四邊形是矩形3．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質是（）A．對角線互相垂直 B．對角線互相平分C．對角線相等 D．對角線互相垂直平分且相等4．如圖，在矩形中，，則的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．65° D．70°5．如圖①，在菱形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動．設點P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y．把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的b等于（）A．8 B．3 C．6 D．126．如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，則菱形的周長是（）A．24 B．48 C．40 D．207．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當AB=BC時，它是菱形 B．當AC=BD時，它是正方形C．當∠ABC=90°時，它是矩形 D．當AC⊥BD時，它是菱形8．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6，8，AE⊥BC，垂足為點E，則AE的長是（）A． B． C． D．9．有下列命題：①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③對角線垂直且相等的四邊形是正方形；④四邊相等的四邊形是菱形．其中，真命題有（）個．A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A在y軸上，頂點B，C的坐標分別為（﹣6，0），（4，0），則點D的坐標是（）A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6）二、填空題11．如圖，菱形的周長為，對角線與相交于點，，，垂足為，則.12．如圖，在矩形ABCD中，點B的坐標為（1，3），則矩形OABC的對角線長是；13．如圖，在矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將△CBE沿CE翻折得到△CFE，連接AF，若∠EAF=70°，那么∠BCF=度.14．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為．三、解答題15．在矩形中，，E是的中點，一塊三角板的直角頂點與點E重合，將三角板繞點E按順時針方向旋轉，當三角板的兩直角邊與、分別相交于點M，N時，觀察或測量與的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論.16．已知如圖，以正方形ABCD的對角線為邊作菱形AEFC，若點B、E、F在同一直線上，求∠EAB的度數(shù)．17．如圖，AC為正方形ABCD的對角線，E為AC上一點，且AE＝AB，過E作EF⊥AC，交BC于點F.求證：BF＝EF.18．如圖，在中，，分別是，上的點，且.求證：四邊形是平行四邊形.四、綜合題19．我們已經(jīng)知道，有一個內角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對的邊叫斜邊（如圖①所示）．數(shù)學家已發(fā)現(xiàn)在一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方和等于斜邊長的平方．如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數(shù)學語言表達：a2+b2＝c2．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．（1）DE的長為．（2）動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？（3）若動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP．設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請直接寫出t的值；否則，說明理由．20．如圖，菱形ABCD的邊長為2，，對角線AC，BD相交于點O，又有E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，連接EF．（1）求對角線AC的長；（2）求EF的長．21．如圖，在四邊形中，，對角線交于點平分，過點作交的延長線于點，連接.（1）求證：；（2）求證：四邊形是菱形；（3）若，求的長.22．如圖，在中，，點是邊的中點，過點，分別作與的平行線，相交于點，連接，，與交于點．（1）求證：四邊形是矩形；（2）當時，求證：四邊形是正方形．23．如圖1，平面內有一點P到△ABC的三個頂點的距離分別為PA，PB，PC，若有PA2＝PB2+PC2則稱點P為△ABC關于點A的勾股點.（1）如圖2，在4×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的長均為1，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G均在小正方形的頂點上，則點D是△ABC關于點的勾股點；在點E，F(xiàn)，G三點中只有點是△ABC關于點A的勾股點.（2）如圖3，E是矩形ABCD內一點，且點C是△ABE關于點A的勾股點，①求證：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度數(shù).（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD內一點，且點C是△ABE關于點A的勾股點，若△ADE是等腰三角形，直接寫出AE的長.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A：對角線相等是正方形具有而菱形不具有的性質，所以A符合題意；

B：對角線互相垂直平分是菱形和正方形都具有的性質，所以B不符合題意；

C：四條邊相等是正方形和菱都具有的性質，所以B不符合題意；

D：對角線平分一組對角是正方形和菱都具有的性質，所以D不符合題意；故答案為：A.

【分析】根據(jù)正方形和菱形的性質分別進行判斷即可得出符合題意的選項。2．【答案】B【解析】【解答】B.應該是對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；故答案為：B．

【分析】根據(jù)菱形的判定與性質以及矩形的性質分別對各個選項進行判斷即可得出結論。3．【答案】B【解析】【解答】解：平行四邊形的對角線互相平分，而對角線相等、平分一組對角、互相垂直不一定成立．

故平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質是：對角線互相平分．故答案為：B.【分析】根據(jù)平行四邊形的性質：對邊平行且相等，兩組對角大小相等，相鄰的兩個角互補，對角線互相平分；矩形的性質：對邊平行且相等，四個角都是直角，對角線相等，對角線互相平分；菱形的性質：對角線互相垂直且平分，并且每條對角線平分一組對角，四條邊都相等，對角相等，鄰角互補；正方形的性質：兩組對邊分別平行，兩組對邊分別相等，四條邊都相等，四個角也分別相等，對角線互相垂直平分且相等，并且每一條對角線平分一組對角；即可得出答案.4．【答案】D5．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，連接AC交BD于O，由圖②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6，∴BO＝BD＝×6＝3，在Rt△BOC中，CO＝，AC＝2CO＝2，所以，菱形的面積＝AC?BD＝×2×6＝6，當點P在CD上運動時，△ABP的面積不變，為b，所以，b＝×6＝3．故答案為：B．

【分析】如圖，連接AC交BD于O，根據(jù)圖②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，再求出AC的長，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，求出菱形的面積，當點P在CD上運動時，△ABP的面積不變，為b，即可求解。6．【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，在Rt△AOD中，AD===5，∴菱形ABCD的周長為20，故選D．【分析】利用菱形的性質，、結合勾股定理求出AD，即可解決問題．7．【答案】B【解析】【解答】A、因為“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，所以A中結論正確，A不符合題意；B、因為“對角線相等的平行四邊形是矩形，但不一定是正方形”，所以B中結論不正確，B符合題意；C、因為“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，所以C中結論正確，C不符合題意；D、因為“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，所以D中結論正確，D不符合題意.故答案為：B.【分析】平行四邊形要滿足正方形的條件，除了對角線相等外，還需一組鄰相等才行.8．【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE==，故選D．【分析】根據(jù)菱形的性質得出BO、CO的長，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面積等于對角線乘積的一半，也等于BC×AE，可得出AE的長度．9．【答案】B【解析】【解答】解：①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，是真命題；

②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題；

③對角線垂直且相等的四邊形不一定是正方形，原命題是假命題；

④四邊相等的四邊形是菱形，是真命題；故答案為：B.【分析】根據(jù)矩形的判定定理即可判斷①；根據(jù)菱形的判定定理即可判定②④；根據(jù)正方形的判定定理即可判定③。10．【答案】B【解析】【解答】解：∵B（﹣6，0），C（4，0），∴BC＝10，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝10，在Rt△ABO中，OA＝＝＝8，∴A（0，8），∵AD∥BC，∴D（10，8），故答案為：B.【分析】根據(jù)點B、C的坐標可得BC，由菱形的性質可得AB＝BC＝10，在Rt△ABO中，應用勾股定理求出OA的值，得到點A的坐標，然后根據(jù)AD∥BC就可得到點D的坐標.11．【答案】2.4【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周長為20，∴BC=5，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AC=2OC=8，在Rt△BOC中，OB=＝3，∵OE⊥BC，∴OE?BC=OB?OC，∴OE=＝2.4.故答案為2.4.【分析】先根據(jù)菱形的性質得BC=5，利用勾股定理得出OB=3，OA=OC=AC=4，再利用面積法計算OE的長.12．【答案】【解析】【解答】解：連接OB，AC，過B作BM⊥x軸于M，∵點B的坐標是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB=，∵四邊形OABC是矩形，∴AC＝OB，∴AC＝，故答案為：．

【分析】根據(jù)勾股定理求出OB，根據(jù)矩形的性質得出AC=OB，即可得出答案。13．【答案】40【解析】【解答】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵E為邊AB的中點，∴AE=BE，由折疊的性質可得：∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE，F(xiàn)E=BE，∴AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=70°，∴∠BEF=∠EAF+∠EFA=140°，∴∠CEB=∠FEC=70°，∴∠FCE=∠BCE=90°-70°=20°，∴∠BCF=20°+20°=40°；故答案為：40.【分析】根據(jù)折疊的性質，可得∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE，F(xiàn)E=BE，從而求出AE=FE，利用等邊對等角可得∠EFA=∠EAF=70°，根據(jù)三角形外角的性質可得∠BEF=∠EAF+∠EFA=140°，即得∠CEB=∠FEC=70°，根據(jù)三角形內角和可求出∠FCE=20°，繼而求出∠BCF的度數(shù).14．【答案】16或4【解析】【解答】（1）當B′D=B′C時，過B′點作GH∥AD，則∠B′GE=90°，當B′C=B′D時，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性質，得B′E=BE=13，∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，∴B′G===12，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，∴DB′===；（2）當DB′=CD時，則DB′=16（易知點F在BC上且不與點C、B重合）；（3）當CB′=CD時，∵EB=EB′，CB=CB′，∴點E、C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去．綜上所述，DB′的長為16或．故答案為：16或．【分析】本題沒有說明是哪兩條邊相等，所以應該分三種情況說明：（1）當=時，過點做AD、BC的平行線GH；所以HG也是CD邊和AB邊的中垂線，可知EG=5，由勾股定理可知的值，進一步可知的值，再用勾股定理即可知.

（2）當時，此時；

（3）當時，有翻折的性質可知此時點F與點C會重合，所以不成立.15．【答案】解：，證明：過E點作于點F，∵為矩形，∴，∴為矩形，又∵，E是的中點，∴∴為正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴∴.【解析】【分析】過E點作EF⊥BC于點F，由矩形的性質可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠EFN=90°，AB=CD，根據(jù)矩形的判定可得四邊形ABEF、EFCD是矩形，結合已知和線段中點的定義可得AB=AE=DE=DC=EF=AD，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形可得四邊形ABEF、EFCD是正方形，由正方形的性質可得AE=EF，AB=FC由同角的余角相等可得∠AEM=∠FEN，用角邊角可證，由全等三角形的性質可得AM=FN，則可得BM=CN.16．【答案】解：如圖，連接BD與AC相交于O，過點E作EH⊥AC于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形ACFE是菱形，∴AC⊥BD，AC∥BF，∴四邊形OBEH是矩形，∴EH=OB=AC=BD，∵四邊形ACFE是菱形，∴AC=AE，∴EH=AE，∴∠HAE=30°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°，∴∠EAB=∠CAB﹣∠HAE=15°【解析】【分析】連接BD與AC相交于O，過點E作EH⊥AC于H，可得四邊形OBEH是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EH=OB，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BD=AE，然后求出EH=AE，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠HAE=30°，根據(jù)正方形性質求出∠CAB，即可求出答案．17．【答案】證明：方法一：連接AF，∵四邊形ABCD為正方形，EF⊥AC，∴∠B＝∠AEF＝90°.又∵AB＝AE，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF.∴BF＝EF.方法二：連接BE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∵四邊形ABCD為正方形，EF⊥AC，∴∠ABC＝∠AEF＝90°.∴∠ABC－∠ABE＝∠AEF－∠AEB.∴∠FBE＝∠FEB.∴BF＝EF.【解析】【分析】方法一：連接AF，根據(jù)正方形的性質及垂直的定義得出∠B＝∠AEF＝90°，根據(jù)HL可證Rt△ABF≌Rt△AEF，可得BF=EF.

方法二：連接BE，根據(jù)等邊對等角得出∠ABE＝∠AEB，根據(jù)正方形的性質及垂直的定義得出∠B＝∠AEF＝90°，由等式的性質得出∠ABC－∠ABE＝∠AEF－∠AEB，即得∠FBE＝∠FEB，利用等角對等邊即得結論.

18．【答案】證明：四邊形為平行四邊形，，.即.又，四邊形是平行四邊形.【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得AB=CD，結合已知條件DE=BF可推出AF=CE，然后利用平行四邊形的判定定理進行證明.19．【答案】（1）5（2）解：若△ABP與△DCE全等∴BP＝CE或AP＝CE當BP＝CE＝3時，則t＝＝3秒當AP＝CE＝3時，則t＝＝13秒∴求當t為3秒或13秒時，△ABP和△DCE全等．（3）解：若△PDE為等腰三角形則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE當PD＝DE時，∵PD＝DE，DC⊥BE∴PC＝CE＝3∵BP＝BC﹣CP＝3∴t＝＝3當PE＝DE＝5時，∵BP＝BE﹣PE∴BP＝9﹣5＝4∴t＝＝4當PD＝PE時，∴PE＝PC+CE＝3+PC∴PD＝3+PC在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2∴PC＝∵BP＝BC﹣PC∴BP＝∴t＝＝綜上所述：當t＝3秒或4秒或秒時，△PDE為等腰三角形．【解析】【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC在Rt△DCE中，DE＝＝＝5故答案為5．【分析】（1）根據(jù)題意可得：CD＝4，根據(jù)勾股定理可求DE的長；（2）若△ABP與△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根據(jù)時間路程的關系可求r的值；（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三種情況討論，可求t的值．20．【答案】（1）解：四邊形ABCD是菱形，∴，，∵，∴是等邊三角形∴．（2）解：∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴是中位線，∴．又∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，，∴，∴（負舍）∴∴．【解析】【分析】（1）先證明是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質可得；

（2）先證明，再利用勾股定理可得，將數(shù)據(jù)代入計算求出，所以，再結合可得答案。21．【答案】（1）證明：∵AB//DC，∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA；（2）證明：∵∠DAC=∠DCA，AB=AD，∴CD=AD=AB，∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AB，∴?ABCD是菱形；（3）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，∴OE=OA=2.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得：∠OAB=∠DCA，根據(jù)角平分線的概念可得∠OAB=∠DAC，據(jù)此證明即可；

（2）根據(jù)（1）的結論以及已知條件可得CD=AD=AB，結合AB∥DC推出四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)AD=AB證明即可；

（3）由菱形的性質可得OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，結合CE⊥AB、BD=2可求出OB的值，然后在Rt△AOB中，由勾股定理求得OA的值即可.22．【答案】（1）證明：，點是邊的中點，，，．，，四邊形為平行四邊形，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形（2）證明：設與相交于點．，，，即，又由（1）知四邊形是矩形，四邊形是正方形．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中線性質，可得，繼而得出四邊形為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定定理：有一個角為直角的平行四邊形為矩形，即可求出答案。

（2）設與相交于點，根據(jù)題意可得到，根據(jù)正方形的判定定理：對角線互相垂直的矩形為正方形，即可求出答案。23．【答案】（1）B；F（2）解：①證明：如圖3中，∵點C是△ABE關于點A的勾股點∴CA2＝CB2+CE2∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2∴CB2+CE2＝CB2+CD2∴CE＝CD②如圖3中，設∠CED＝α，則∠CDE＝∠CED＝α∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α∵∠AEC＝120°∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α∵DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°解得：α＝50°∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°（3）AE=或.【解析】【解答】（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5∴DB2＝DC2+DA2∴點D是△ABC關于點B的勾股點∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4∴點E不是△ABC的勾股點∵FA2＝32+42＝25，F(xiàn)B2＝22+42＝20，F(xiàn)C2＝12+22＝5∴FA2＝FB2+FC2∴點F是△ABC關于點A的勾股點∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8∴點