函數(shù)的概念及表示

一、知識框架

1.函數(shù)的概念

一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與8,以及對應(yīng)關(guān)系了,如果對于

概念集合A中的每一個實數(shù)x,在集合8中都有唯二確定的實數(shù)y與x

對應(yīng)，則稱/為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作y=/(x),xWA

三要素對

應(yīng)關(guān)系

定義域自變量取值的范圍

值域所有函數(shù)值組成的集合x^A}

2.同一個函數(shù)

(1)前提條件：①定義域相同;②對應(yīng)關(guān)系相同.

(2)結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子

來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值

域的并集.

二、真題演練

1.(2020廣東普通高中學(xué)業(yè)水平考試)函數(shù)/(x)=一以的定義域是()

A.(0,4)B.[0,4]C.(-<?,0)U(4,-+w)D.(-<?,0]U[4,-H?)

【答案】D

【詳解】

解：由題意得：X2-4X>0解得X40或X24,即/(x)的定義域為

(-co,0]U[4,-^0).

故選：D

2.（2020廣東普通高中學(xué)業(yè)水平考試）已知函數(shù)/（》）=<設(shè)

x-2,x>0

"1）=。，則/（。）=（）

3

A.2B.-C.—D.

222

【答案】A

【詳解】

解：因為/（1）=一1,/（-1）=2

故答案為：A

3.（2022廣東普通高中學(xué)業(yè)水平考試）食品安全問題越來越引起人們的重視，為了給

消費者提供放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社搭建了兩個無公害蔬菜大棚，分別種植西紅柿和黃氐，

根據(jù)以往的種植經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種植西紅柿的年利潤P（單位：萬元），種植黃瓜的年利澗Q（單位：

萬元）與投入的資金x（4WxW16,單位：萬元）滿是尸=4j五+8,Q=,x+12,現(xiàn)該合作社共

4

籌集正20萬，將其中8萬元投入種植西紅和，剩余資金投入種植西瓜，求這兩個大棚的年

利潤總和

【答案】39（萬元）

【詳解】

解：P=4V2x8+8=24,Q=^-x（20-8）+12=15,

P+Q=24+15=39（萬元）.

這兩個大棚的年利澗總和為39（萬元）.

三、典型例題

考向1求函數(shù)定義域

1.函數(shù)“力=71+&^的定義域為（）

Vx-1

A.[1,2]B.（1,2）C.（1,2]D.[1,2）

【答案】C

【詳解】

,?fx-l>0,fx>l,、,、,/i

解：由題意得：L、八解得八，即/（*）的定義域為。,2].

2—XU

故選：C.

2

2.函數(shù)〃力=:的定義域為（）

A.{x\x<0}B.Mx>0}C.{x—0}D.R

【答案】c

【詳解】

2

由題意得，函數(shù)/（X）=^的定義域為{x|xxO}.

故選：C.

3.下列函數(shù)定義域為R的是（）

A.y=\nxB.yC.y=JD.丫=產(chǎn)

【答案】C

【詳解】

A:函數(shù)y=lnx的定義域為（0,+8）,故A不符合題意；

B：函數(shù)y=『=:的定義域為{小=。},故B不符合題意：

C：函數(shù)>=%=五的定義域為R,故C符合題意；

D：函數(shù)g二工八二/二五的定義域為[0,山），故D不符合題意；

故選：C

考向2分段函數(shù)及其應(yīng)用

1.已知函數(shù)?。?]M：2：：：2,則,（"9））=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【詳解】

/（/（9））=/（V9-2）=/（I）=卜3|+2=4

故選：C

2.設(shè)函數(shù)=,則的值為（）

lx-+x-3,x>l"2"

【答案】B

【詳解】

=%+2—3)==］一§=§，

故選：B

3.設(shè)。>0且"1,函數(shù)若川)=止1),貝U。的值為

ICI-,X>U

【答案】2

【詳解】

因為f(X)=pT"：°,且/⑴=/(-1),則。=1一(7)=2.

故答案為：2.

考向3求函數(shù)解析式

1.已知函數(shù)/(力為一次函數(shù)，且"3)=7,/(5)=-1,則/⑴=()

A.15B.—15C.9D.—9

【答案】A

【詳解】

設(shè)”上…則｛；=；二，解得憶2

.-./(x)=-4x+19,.?.〃l)=-4+19=15.

故選：A

2.已知函數(shù)尸(x)=/(x)+g(x),其中/(x)是X的正比例函數(shù)，g(x)是X的反比例

函數(shù)，且尸6卜19,尸⑴=9,則F(2)=()

A.3B.8C.9D.16

【答案】C

【詳解】

根據(jù)題意設(shè)f(x)=去,g(x)=',則F(x)=/(x)+g(x)=loc+—

xx9

因為F、)=19,21)=9,

-k+3>m=l9k=3

所以，3解得

m=6

k+m=9

所以尸。)=3欠+自，

X

所以尸(2)=3x2+g=9,

故選：C

3.已知是一次函數(shù),2/(2)-3/(l)=5,2/(O)-/(-l)=l,則/(x)=()

A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-3

【答案】B

【詳解】

由題意,設(shè)函數(shù)f(x)=Ax+伙AHO),

(k-b=5

因為"(2)—3〃l)=5,2f(O)—f(—l)=l,可得解得2=3力=-2,

[K+D=\

所以/'(%)=3x-2.

故選：B.

四、練習(xí)鞏固

一、單選題

1.函數(shù)/(x)=j2-x+lnx的定義域為()

A.(2,+8)B.[0,2)C.(0,2]D.[0,2]

【答案】C

【詳解】

要使函數(shù)解析式有意義，需滿足f-:2°，=[彳'解得:xe(0,2].

故選：c

2.函數(shù)/(x)=lgx+j2-x的定義域為()

A.(0,2]B.[0,2]C.[0,2)D.(0,2)

【答案】A

【詳解】

由題意可知：2TNO=°<X42,

故選：A

3.函數(shù)/百+擊的定義域為()

A.[y-1)B.[y—l)U(—l,y)C.(—l,y)D.[<包)

【答案】B

【詳解】

x+420x>-4

依題意解得

x+lwOxx-1

所以函數(shù)的定義域為［-4,-l)U(-1,內(nèi)).

故選：B.

4.下列各項中表示同一個函數(shù)的是()

A./(x)=|x|,g(x)=(?)2B./(Jt)=x2,g(x)=(x+l)2

C.〃x)=3',g(x)=q)-*

D./(x)=l,g(x)=x°

【答案】C

【詳解】

/(x)=|x|定義域為R,8*)=(&)2的定義域為［0,+8),兩者定義域不同，故A錯

、口

沃；

/(X)=f與g(x)=。+1)2對應(yīng)關(guān)系不同，B錯誤;

/(x)=3\g(x)=('-x=3"為同一函數(shù)，C正確；

/(x)=l定義域為R,g(x)=x°定義域為(e,0)U(0,口)，兩者定義域不同，故D

錯誤

故選：C

l,x>0(

5.設(shè)S(x)=］o,x=O,。(耳=：I；干彳劫，則S(O(e)-兀)的值為()

1八U,X力尢埋數(shù)

-l,x<0i

A.-1B.兀C.1D.e

【答案】A

【詳解】

解：因為S（加、丁。（此\fl，X為黑有理數(shù)

-l,x<0i

所以D（e）=0,所以5（D（e）-7t）=S（-7t）=-l.

故選：A

1

X2,X>O

6.已知函數(shù)〃x）=?則小(T]=()

A.-4B-4C.4D-7

【答案】C

【詳解】

解：

??,/(-4)=(g)=16>0

1

???/[/(-4)]=/(16)=165=4

故選：C

7.函數(shù)y=|x-l|+l可表示為（)

[2-x,x<\12-x,x>l

A.y=]i

[x,x>1,[x,X<1

[2-x,x<1

CD.y=>

,'[2-x,x>1X>1

【答案】D

【詳解】

[2-x,x<1

當xvl時，y=\-x+l=2-x9當尢21時，y=x-\+l=x9,A,

B,C都不正確，D正確.

故選：D

x+2,x?—1,

8.函數(shù).*》)==2,-1<》<2,若五%)=2,則x的值是()

2x,x>2,

A.垃B.±72C.0或1D.6

【答案】A

【詳解】

若加)=2,

①爛一1時，x+2=2,解得尤=0(不符合，舍去)；

②一1VXV2時，丁=2,解得x=&(符合)或》=-五(不符，舍去)；

③位2時，2r=2,解得尤=1(不符，舍去).

綜上，X=A/2.

故選：A.

9.已知函數(shù)/(x)=3,°：,若/(x)=3,貝ijx=()

[x-1,x>\

A.Ig3B.2或-2C.愴3或2D.愴3或—2

【答案】C

【詳解】

當xMl時，此時.f(x)=10',即令10,=3,得x=lg3,滿足；

當x>l時，此時/(x)=x2-l,即令》2一1=3,得》=±2,因為x>l,所以x=2。

綜上所述，x=lg3或x=2.

故選：C.

10.已知函數(shù)=若"〃)+/⑴=0,則實數(shù)。的值等于()

x+l,x<0

A.-1B.-2

C.1D.3

【答案】B

【詳解】

當a>0時，由/(。)+/(1)=0=/+1=0,該方程無實根：

當aVO時，/(a)+/(l)=0=a+l+l=0na=—2,顯然符合“M0,

故選：B

11.已知/(x)是一次函數(shù)，且/(/(x))=4x-l,則/(x)的解析式為

A./(x)=2x-l^/(x)=-2x+lB./(x)=2x+l或/(x)=-2x-l

C./(X)=2x-1或/(x)=-2x+；D./(x)=2x+l或/(x)=2x-l

【答案】A

【詳解】

j殳/(X)=&+〃(人00),則f(f(x))=f(kx+b)=k^kx+h^+b=4x-1,

即左2工+妨+b=4x—l對任意的x恒成立，

k=2

:濡)7解得「k=-2

所以，1或

b=—b=i

3

所以/(X)的解析式為f(x)=2x-g或/(x)=-2x+l,

故選：A

12.已知〃x)為二次函數(shù)，且滿足〃0)=1,/(彳-1)-〃司=4》,則.”》)的解析式為

()

A./(x)=-2x2-2x+lB./(x)=-2x2+2x+l

C./(X)=-2X2-2X-1D./(x)=2x2-2x+l

【答案】A

【詳解】

設(shè)f(兀)=加+以+<;3*0),因為"0)=1,所以c=L

又/(x-l)-/(x)=4x,所以有

7,7f—2a=4卜

a(x-Y)"+h(x-l)+\-(ax~+bx+\)=4x-2ax+a-b=4x=><，解得

a=b=—2.

故選：A

二、填空題

1.函數(shù)/(司=與三的定義域為.

【答案】[-^,0)u(0,>/2]

【詳解】

由題意(:；“。，解得&且XH0,所以定義域為卜點,0”

故答案為：[-^,o)u(o,^].

2,函數(shù)＞=士*匚的定義域為______.

X4-X-6

【答案】卜卜工2且x-3}

【詳解】

要使函數(shù)有意義，必須使f