七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》8.1&8.2二元一次方程組及其解法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一二元一次方程◆二元一次方程的定義：每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.◆二元一次方程的一般形式：ax+by=c(a≠0,b≠0)【注意】二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二二元一次方程的解◆二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.【注意】1、二元一次方程的解都是成對(duì)出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)，一般要用大括號(hào)括起來.2、在二元一次方程中，只要給定其中一個(gè)未知數(shù)的值，就可以相應(yīng)地求出另一個(gè)未知數(shù)的值，因此二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三二元一次方程組◆二元一次方程組的定義：方程組有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.【注意】1、二元一次方程組需滿足三個(gè)條件：①2個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1；③方程的左右兩邊都是整式.2、二元一次方程組不一定都是由兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的，方程的個(gè)數(shù)可以超過兩個(gè)，其中有的方程也可以是一元一次方程.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四二元一次方程組的解◆1、二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.◆2、只要告訴一組值是某個(gè)二元一次方程組的解，就說明這組值是這個(gè)方程組中每個(gè)方程的解．◆3、方程組中的某個(gè)方程的解不一定是這個(gè)方程組的解，因此，要檢驗(yàn)一對(duì)未知數(shù)的值是否為一個(gè)方程組的解時(shí)，必須將這對(duì)未知數(shù)的值分別代入方程組的每一個(gè)方程中進(jìn)行檢驗(yàn)．知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五代入消元法◆1、消元思想：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想方法，叫做消元思想.◆2、代入法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.◆3、用代入法解二元一次方程組的一般步驟：②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．知識(shí)點(diǎn)六知識(shí)點(diǎn)六加減消元法◆1、加減法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.◆2、用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用x=ay=b題型一二元一次方程的概念題型一二元一次方程的概念二元一次方程的概念【例題1】（2022春?南湖區(qū)校級(jí)期中）下列方程中，屬于二元一次方程的是（）A．x﹣2y＝z B．x+y＝2 C．1x+4y＝6 D．x2﹣【分析】根據(jù)二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【解答】解：A．x﹣2y＝z，三個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．x+y＝2，是二元一次方程，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C．1x+4D．x2﹣x＝0，次數(shù)不為1，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的定義，理解二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉判斷二元一次方程的方法是看它是否需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．【變式1-1】（2022秋?寧明縣期末）下列方程中，是二元一次方程的是（）A．2x+3y＝5 B．xy＝1 C．2(m?5)=14m?2【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程可得答案．【解答】解：A、此方程符合二元一次方程的條件，故此選項(xiàng)符合題意；B、此方程是二元二次方程的條件，故此選項(xiàng)不符合題意；C、此方程是一元一次方程的條件，故此選項(xiàng)不符合題意；D、此方程不符合二元一次方程的條件，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．【變式1-2】（2022秋?雞澤縣期末）已知方程ax+y＝3x﹣1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a滿足的條件是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠﹣1 C．a(chǎn)≠3 D．a(chǎn)≠﹣3【分析】根據(jù)二元一次方程的定義即可求出答案．【解答】解：方程整理得（a﹣3）x+y+1＝0，由題意得：a﹣3≠0，即a≠3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程是二元一次方程．【變式1-3】（2022秋?鳳翔縣期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m的值為（）A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2【分析】根據(jù)二元一次方程的定義列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的形式及其特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程，要注意未知項(xiàng)的系數(shù)不等于0．【變式1-4】（2022?南京模擬）已知關(guān)于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，則m，n的值為（）A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m=13，n=?43 D．m【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，列出關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可．【解答】解：∵x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是關(guān)于x、y二元一次方程，∴2m?n?2=1m+n+1=1解得：m=1n=?1，故A故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的定義，根據(jù)題意列出關(guān)于m、n的方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2023?北碚區(qū)校級(jí)開學(xué)）方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m﹣2n的值為．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義列出關(guān)于m，n的方程，求出m，n的值再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是關(guān)于x，y的二元一次方程，∴m﹣1＝1，2n﹣1＝1，∴m＝2，n＝1，∴m﹣2n＝2﹣2×1＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程的定義，熟知含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期末）方程（m﹣2）x﹣y|m﹣3|＝1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m＝．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：|m﹣3|＝1且m﹣2≠0，∴m＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的定義，掌握二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程，注意x前面的系數(shù)不等于0．【變式1-7】（2022?江北區(qū)開學(xué)）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是關(guān)于x、y的方程，試問當(dāng)k為何值時(shí)，（1）方程為一元一次方程？（2）方程為二元一次方程？【分析】（1）若方程為關(guān)于x、y的一元一次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為0，然后x或y的系數(shù)中有一個(gè)為0，另一個(gè)不為0即可．（2）若方程為關(guān)于x、y的二元一次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為0且x或y的系數(shù)不為0．【解答】解：（1）因?yàn)榉匠虨殛P(guān)于x、y的一元一次方程，所以：①k2?4=0k+2=0②k2所以k＝﹣2時(shí)，方程為一元一次方程．（2）根據(jù)二元一次方程的定義可知k2?4=0k+2≠0所以k＝2時(shí)，方程為二元一次方程．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是熟知一元一次方程與二元一次方程的定義．題型二二元一次方程組的概念題型二二元一次方程組的概念【例題2】（2022春?上蔡縣期中）下列方程組中，表示二元一次方程組的是（）A．x+y=3z+x=5 B．x+y=5C．x+y=5x2+y=12【分析】根據(jù)二元一次方程組的基本形式及特點(diǎn)解答．二元一次方程組的基本形式及特點(diǎn)：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程；②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)；③每個(gè)方程都是一次方程．【解答】解：A、該方程組有三個(gè)未知數(shù)，不符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該方程組中的第二個(gè)方程分母含有未知數(shù)，不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；C、該方程組中的第二個(gè)方程的最高次數(shù)2，不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；D、該方程組符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程組的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的基本形式及特點(diǎn)．解題技巧提煉本題運(yùn)用定義法解題，在識(shí)別二元一次方程組時(shí)，首先看是否有兩個(gè)未知數(shù)，其次看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是否是1，另外還要注意方程是不是整式方程.【變式2-1】（2023?金水區(qū)開學(xué)）下列方程組中是二元一次方程組的是（）A．x2+3y=12x?y=4 C．m+3n=105m?2n=1 D．【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【解答】解：A．該方程組中第一個(gè)方程的未知數(shù)x的次數(shù)是2次，故不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；B．方程xy＝2是二元二次方程，故不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；C．該方程組是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；D．該方程組含有三個(gè)未知數(shù)，故不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的定義，掌握“共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫二元一次方程組”是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022春?寧遠(yuǎn)縣月考）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（）A．y=3xxy=5 B．3x+2y=8C．x+5y=105x=1y【分析】組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．【解答】解：A．方程xy＝5，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是2次，故方程組不屬于二元一次方程組，故本選項(xiàng)不合題意；B．該方程組屬于二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；C．5x=1D．方程組含有三個(gè)未知數(shù)，故方程組不屬于二元一次方程組，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的定義，解題時(shí)需要掌握二元一次方程組滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程．【變式2-3】（2022春?安新縣期末）下列方程組是二元一次方程組的是（）A．4x?y=?1y=2x+3 B．1C．x?y=1xy=2 D．【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．【解答】解：A．是二元一次方程組，故此選項(xiàng)符合題意；B．有一個(gè)方程含有分式，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；C．有一個(gè)方程的次數(shù)是2，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；D．有一個(gè)方程的次數(shù)是2，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的定義．解題時(shí)一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組”．【變式2-4】（2022春?永年區(qū)校級(jí)期末）下列方程組是二元一次方程組的有（）①5x=yx+y=4；②5x?6y=52x?y=8；③3x+y=51z?6=41A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．【解答】解：經(jīng)過觀察可發(fā)現(xiàn)方程組③有三個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程組，方程組①②④都是二元一次方程組，共有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組，利用二元一次方程組的定義是解題關(guān)鍵．二元一次方程組的定義：由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．【變式2-5】觀察下列方程組：①x?y=22x+y=1；②x?2y=63x+2y=2；③x?3y=124x+3y=3；…若第④方程組滿足上述方程組的數(shù)字規(guī)律，則第④【分析】根據(jù)①②③方程組，找出系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)存在的規(guī)律，依此類推，即可得到答案．【解答】解：第二個(gè)方程：①2x+y＝1，②3x+2y＝2，③4x+3y＝3，根據(jù)規(guī)律得：x的系數(shù)加一，y的系數(shù)加一，常數(shù)項(xiàng)加一，即第④個(gè)方程組的第二個(gè)方程為：5x+4y＝4，根據(jù)題意得：第一個(gè)方程x的系數(shù)為1，y的系數(shù)為第二個(gè)方程y的系數(shù)的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是第二個(gè)方程常數(shù)項(xiàng)的序號(hào)加一倍，即第④個(gè)方程組的第一個(gè)方程為：x﹣4y＝20，故答案為：x?4y=205x+4y=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的定義，正確掌握猜想歸納思想是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2021春?平?jīng)銎谀┓匠探My?(a?1)x=5y|a|+(b?5)xy=3是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則ab【分析】利用二元一次方程組的定義確定出a與b的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，b＝5，則原式＝（﹣1）5＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關(guān)鍵．題型三二元一次方程（組）的解題型三二元一次方程（組）的解【例題3】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x、y的方程ax+y＝2的一組解是x=3y=?1，則a為（）A．1 B．﹣1 C．13 【分析】將x=3y=?1代入原方程，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a【解答】解：將x=3y=?1代入原方程得3a解得：a＝1，∴a的值為1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，牢記“一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解”是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、二元一次方程的解的定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．2、二元一次方程組的解的定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．3、一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程（組）的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．【變式3-1】（2022秋?扶風(fēng)縣期末）若x=1y=?2是關(guān)于x和y的二元一次方程ax+y＝2的解，則aA．0 B．1 C．2 D．4【分析】【分析】將方程的解代入方程得到關(guān)于a的方程，從而可求得a的值．【解答】解：將x=1y=?2代入方程ax+ya﹣2＝2，解得：a＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二元一次方程的解，掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春?大連期中）在3x+4y＝10中，已知y＝1，則x的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用二元方程的解，代入變成一元一次方程，解一元一次方程求出另一未知數(shù)．【解答】解：∵3x+4y＝10中，y＝1，∴3x+4＝10，∴3x＝6，x＝2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，做題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程的解的意義，解一元一次方程．【變式3-3】（2022秋?榆次區(qū)校級(jí)期末）二元一次方程x+2y＝6的一個(gè)解是（）A．x=2y=2 B．x=2y=3 C．x=2y=4【分析】分別將選項(xiàng)中的解代入方程，使等式成立的即是它的解．【解答】解：A、2+4＝6，能使方程成立，故該選項(xiàng)正確，符合題意；B、2+6＝8，不能使方程成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C、2+8＝10，不能使方程成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D、2+12＝14，不能使方程成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二元一次方程的解，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．【變式3-4】（2022春?建華區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整數(shù)解有（）組．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】將y看作已知數(shù)，求出x，即可確定出方程的正整數(shù)解．【解答】解：2x+3y＝20，x=1當(dāng)y＝2時(shí)，x＝7；當(dāng)y＝4時(shí)，x＝4；當(dāng)y＝6時(shí)，x＝1，則方程的正整數(shù)解有3對(duì)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將y看作已知數(shù)，表示出x．【變式3-5】（2022春?海安市月考）若x=1y=4是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by=3的解，那么A．7 B．73 C．63 【分析】把方程的解代入方程，則得到a+4b=3【解答】解：∵x=1y=4是二元一次方程ax+by=∴a+4b=3∴73故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程的解，解答的關(guān)鍵是把方程的解代入得到a+4b=3【變式3-6】（2022秋?歷下區(qū)期中）x=2y=4是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，求a與b【分析】根據(jù)二元一次方程的解的概念解答即可．【解答】解：∵x=2y=4是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b所以2a?12=24+4=b解得a=7b=8即a的值是7，b的值是8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解，要注意：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．【變式3-7】（2022?南京模擬）已知x=2y=m和x=2ny=4都是關(guān)于x，y的二元一次方程y＝x+（1）請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示m；（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．【分析】（1）x=2y=m和x=2ny=4都是關(guān)于x，y的二元一次方程y＝x+（2）由（1）m﹣2n＝2b﹣2，結(jié)合m﹣2n＝b2+2b﹣7可得b2+2b﹣7＝2b﹣2，解一元二次方程即可求解．【解答】解：（1）將x=2y=m和x=2nm=2+b4=2n+b即4＝2n+m﹣2，即m＝6﹣2n，∴n的代數(shù)式表示m為m＝6﹣2n．（2）由（1）可得，m=2+b4=2n+b則m﹣2n＝2b﹣2，則m﹣2n＝b2+2b﹣7＝2b﹣2，整理得b2＝5，解得b=±5∴b的值為±5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程及一元二次方程，熟練掌握方程的解與方程的關(guān)系是解題的關(guān)系．【變式3-8】（2022秋?鹽田區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程x+y＝k，x=1y=m+2和x=2m（1）求m的值；（2）若x=ny=n也是該方程的解，求n【分析】（1）將x=1y=m+2，x=2my=1代入原方程，可得出關(guān)于m，k的二元一次方程組，解之即可得出m，（2）將將x=ny=n代入x+y＝5，可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可求出n【解答】解：（1）將x=1y=m+2，x=2my=1代入原方程得：解得：m=2k=5∴m的值為2；（2）將x=ny=n代入x+y＝5得：n+n解得：n=5∴n的值為52【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解以及二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是：（1）將給定的兩組方程的解代入原方程，找出關(guān)于m，k的二元一次方程組；（2）利用二元一次方程的解，找出關(guān)于n的一元一次方程．題型四用代入法解二元一次方程題型四用代入法解二元一次方程【例題4】用代入法解方程組2x+3y=8①3x?5y=5②A．由①得x=8?3y2B．把③代入②得3×8?3y2?5C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5 D．解得y＝1，再由③得x＝2.5【分析】利用代入消元法求出方程組的解，即可作出判斷．【解答】解：方程組2x+3y=8①3x?5y=5②由①得：x=8?3y2把③代入②得：3×8?3y2?去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，解得：y=14再由③得：x=55則錯(cuò)誤的一步為去分母．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．解題技巧提煉用代入法解方程組時(shí)，選擇方程用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)是關(guān)鍵，它影響著解題的繁簡(jiǎn)成對(duì)，應(yīng)盡量選取系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程.【變式4-1】（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）已知方程組4y=x+4，①5y=4x+3，②是（）A．利用①，用含x的式子表示y，再代入② B．利用①，用含y的式子表示x，再代入② C．利用②，用含x的式子表示y，再代入① D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①【分析】觀察方程組特點(diǎn)，表示出系數(shù)為1的那個(gè)未知數(shù)，再代入比較簡(jiǎn)潔．【解答】解：觀察方程組，①中x的系數(shù)為1，∴利用①，用含y的式子表示x，再代入②比較簡(jiǎn)潔，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握代入消元的方法．【變式4-2】（2022秋?蒲城縣期末）二元一次方程組y=2?x3x=1+2yA．x=?1y=?1 B．x=1y=1 C．x=1y=?1【分析】利用代入法進(jìn)行求解即可．【解答】解：y=2?x①3x=1+2y②把①代入②得：3x＝1+2（2﹣x），解得x＝1，把x＝1代入①得：y＝2﹣1＝1，故原方程組的解是：x=1y=1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．【變式4-3】（2022?平泉市二模）用代入法解方程組2x+3y=8①3x?5y=5②是（）（1）由①得x=8?3y2（2）把③代入②得3×8?3y2?（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【分析】出錯(cuò)一步為（3），理由去分母時(shí)兩邊都乘以2，寫出正確的解法即可．【解答】解：其中錯(cuò)誤的一步為（3），正確解法為：去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，移項(xiàng)合并得：﹣19y＝﹣14，解得：y=14故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式4-4】用代入法解方程組2x+4y=7，x?3y=8時(shí)，最好是先把變形為，再代入方程，求出的值，然后再求出【分析】首先，把方程組中第二個(gè)方程變形為x＝8+3y，再代入第一個(gè)方程消去x求出y的值；然后求出x的值，寫出方程組的解即可．【解答】解：用代入法解方程組2x+4y=7，x?3y=8時(shí)，最好是先把x﹣3y＝8變形為x＝8+3y，再代入方程2x+4y＝7，求出y的值，然后再求出x故答案為：x﹣3y＝8；x＝8+3y；2x+4y＝7；y；x．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握代入法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-5】用代入法解下列方程組：（1）2x+3y=?1y=4x?5（2）（3）x?12?y【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程組即可；（2）用代入消元法解二元一次方程組即可；（3）用代入消元法解二元一次方程組即可；（4）用代入消元法解二元一次方程組即可．【解答】解：（1）2x+3y=?1①y=4x?5②將②代入①得，x＝1，將x＝1代入②，得y＝﹣1，∴方程組的解為x=1y=?1（2）2x+3y=7①4x?y=1②由②得，y＝4x﹣1③，將③代入①得，x=5將x=57代入③得，y∴方程組的解為x=5（3）x?12由②得，y＝5﹣3x③，將③代入①得，x=19將x=199代入③，得y∴方程組的解為x=19（4）3(x?1)=y+5①5(y?1)=3(x+5)②由①得，y＝3x﹣8③，將③代入②得，x＝5，將x＝5代入③得，y＝7，∴方程組的解為x=5y=7【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】用代入法解下列方程組：（1）x?5y=?4，①3x?2y=1；②（2）【分析】（1）首先將①變形為x＝5y﹣4③，并將③代入②，消去x，求得y的值；然后將y＝1代入③，求得x的值；（2）首先將原方程組，去分母、去括號(hào)，轉(zhuǎn)化為化為為4x+3y=72③5x?4y=28④然后將③變形為x＝18?34y⑤，并將⑤代入④，消去x，求得y的值；再將y【解答】解：（1）x?5y=?4，①由①得，x＝5y﹣4③，將③代入②得，3（5y﹣4）﹣2y＝1，解得y＝1．將y＝1代入③得，x＝5×1﹣4＝1．所以原方程組的解是x=1y=1（2）x原方程可化為4x+3y=72由③得，x＝18?34將⑤代入④得，5（18?34y）﹣4解得y＝8．將y＝8代入⑤得，x＝12．所以原方程組的解是x=12y=8【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用代入法解二元一次方程組，能夠熟知用代入法解二元一次方程組的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【變式4-7】（2022春?安溪縣期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組2x+5y=3①4x+11y=5②解：將方程②變形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為x=4y=?1請(qǐng)你模仿小軍的“整體代入”法解方程組3x+2y?2=03x+2y+1【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整體代入3x+2y+15?x=?2【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．把①代入3x+2y+15?x=?2∴x＝1．把x＝1代入①，得3+2y＝2．∴y=?1∴方程組的解為x=1，y=?【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解二元一次方程，熟練掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．題型五用加減法解二元一次方程題型五用加減法解二元一次方程【例題5】（2022秋?惠來縣期末）對(duì)于方程組4x?7y=?17①4x+4y=15②，用加減法消去xA．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2【分析】根據(jù)加減消元法，將方程①﹣方程②即可．【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，掌握加減消元法是正確解答的前提．解題技巧提煉用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，一般有三種情況:(1)方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等,則直接利用加減法求解;(2)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值都不相等,但某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值成倍數(shù)關(guān)系,則將其中一個(gè)方程乘這個(gè)倍數(shù)后再利用加我法求解;(3)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值既不相等,也不成倍數(shù)關(guān)系,可利用最小公倍數(shù)的知識(shí),把兩個(gè)方程都適當(dāng)?shù)爻艘粋€(gè)數(shù)，使某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等,然后再利用加減法求解.【變式5-1】（2023?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)開學(xué)）用加減法解方程組3x?5y=15①3x?10y=13②時(shí)，①﹣②A．﹣5y＝2 B．5y＝2 C．﹣11y＝28 D．11y＝28【分析】把方程組3x?5y=15①3x?10y=13②的兩個(gè)方程的左右兩邊分別相減，求出①﹣②【解答】解：用加減法解方程組3x?5y=15①3x?10y=13②時(shí)，①﹣②得：5y故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用．【變式5-2】（2022春?宛城區(qū)期中）用加減消元法解方程組x+3y=4①2x?y=1②A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3【分析】方程組利用加減消元法判斷即可．【解答】解：用加減消元法解方程組x+3y=4①2x?y=1②時(shí)，①×2﹣②或①×（﹣2）+②消去x，②×（﹣3）﹣①或①+②×3消去y故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式5-3】用加減法解方程組3x+2y=7①x+2y=?3②具體步驟如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y=12A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）【分析】第（1）步兩方程相減時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤．【解答】解：用加減消元法解方程組：3x+2y=7①x+2y=?3②．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以這個(gè)方程組得解為x=5最先出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是（1），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式5-4】（2022秋?小店區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x、y的二元一次方程組6x?5y=3①3x+y=?15②，小華用加減消元法消去未知數(shù)x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是【分析】利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：解二元一次方程組6x?5y=3①3x+y=?15②時(shí)，小華用加減消元法消去未知數(shù)x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是：7y故答案為：7y＝﹣33．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】已知二元一次方程組0.8x+0.7y=3?8x?2y=7，用加減法解該方程組時(shí)，將方程①以，再將得到的方程與方程②兩邊相，即可消去．【分析】解決本題關(guān)鍵是尋找式子間的關(guān)系，尋找方法降元，可把x的系數(shù)化為相同，然后用加法化去，達(dá)到消元的目的．【解答】解：0.8x+0.7y=3①把①式兩邊同時(shí)乘以10，得：8x+7y＝30③，②+③得：5y＝37即可消去x，解得：y=37把y＝5代入①或②可求解x．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了加減消元法的步驟，使方程組中兩個(gè)方程中的某一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)的絕對(duì)值相等，然后把兩個(gè)方程相加或相減，以消去這個(gè)未知數(shù)，使方程只含有一個(gè)未知數(shù)而得以求解．【變式5-6】（2022秋?徐州期末）若ab=25，且2a+b＝18，則【分析】已知等式整理后，聯(lián)立即可求出a的值．【解答】解：由ab=25，得到5聯(lián)立得：5a=2b①2a+b=18②由②得：b＝﹣2a+18③，把③代入①得：5a＝﹣4a+36，解得：a＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-7】用加減法解下列方程組：（1）3x+7y=9，4x?7y=5；（2）【分析】（1）利用①+②消去y得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x＝2，將x＝2代入①求出y的值，即可得出方程組的解；（2）把原方程組化為x?2y=0①2x+y=10②，利用①+②×2消去y得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程求出x＝4，將x＝4代入②求出y【解答】解：（1）3x+7y=9①4x?7y=5②①+②得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：6+7y＝9，解得：y=3∴原方程組的解為x=2y=（2）原方程組可化為x?2y=0①2x+y=10②①+②×2得：5x＝20，解得：x＝4，把x＝4代入②得：8+y＝10，解得：y＝2，∴原方程組的解為x=4y=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，掌握加減消元法解二元一次方程組是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-8】用加減法解下列方程組：（1）x+y=5x?y=3；（2）x?3y=5（3）8y+5x=24y?3x=?10；（4）x【分析】（1）用①+②消去未知數(shù)y，即可求出未知數(shù)x，再把x的值代入其中一個(gè)方程求出y的值即可；（2）用②﹣①消去未知數(shù)y，即可求出未知數(shù)x，再把x的值代入其中一個(gè)方程求出y的值即可；（3）用①﹣②×2消去未知數(shù)y，即可求出未知數(shù)x，再把x的值代入其中一個(gè)方程求出y的值即可；（4）原方程組整理，得4x+3y=6①3x?2y=?21②，用①×2+②×3消去未知數(shù)y，即可求出未知數(shù)x，再把x的值代入其中一個(gè)方程求出y【解答】解：（1）x+y=5①x?y=3②①+②，得2x＝8，解得x＝4，把x＝4代入①，得y＝1，故原方程組的解為x=4y=1（2）x?3y=5①4x?3y=2②②﹣①，得3x＝﹣3，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入①，得y＝﹣2，故原方程組的解為x=?1y=?2（3）8y+5x=2①4y?3x=?10②①﹣②×2，得11x＝22，解得x＝2，把x＝2代入①，得y＝﹣1，故原方程組的解為x=2y=?1（4）原方程組整理，得4x+3y=6①3x?2y=?21②①×2+②×3，得17x＝﹣51，解得x＝﹣3，把x＝﹣3代入①，得y＝6，故原方程組的解為x=?3y=6【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．題型六二元一次方程組的解的應(yīng)用題型六二元一次方程組的解的應(yīng)用【例題6】（2022秋?南海區(qū)期末）已知x、y是二元一次方程組3x?y=10x?3y=?2的解，那么x﹣y是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】將方程兩式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：將方程兩式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉求二元一次方程組中的字母參數(shù)的一般步驟：①把字母參數(shù)看作已知數(shù)并解方程組；②根據(jù)方程組解的特點(diǎn)，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程；③解方程組求得字母參數(shù).【變式6-1】（2022秋?蓮池區(qū)期末）小亮求得方程組2x+y=?2x?y=12的解為x=5A．5，2 B．﹣8，2 C．8，﹣2 D．5，4【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝5代入2x﹣y＝12，求得y的值，進(jìn)而求出●的值，即可得到答案．【解答】解：把x＝5代入2x﹣y＝12，可得10﹣y＝12，解得y＝﹣2，把x＝5，y＝﹣2代入可得2x+y＝10﹣2＝8，則“●”“★”表示的數(shù)分別為8，﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解能夠滿足各個(gè)方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）已知方程組2x+5y=?k+37x+4y=3k?1的解滿足5x﹣y＝4，則k是（）