專題18.3平行四邊形的性質(zhì)（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．如圖所示，在平行四邊形中，M是的中點，，，，則的長為（）A． B．2 C． D．2．下列說法正確的是（

）A．平行四邊形是軸對稱圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等C．平行四邊形的對角線互相垂直 D．平行四邊形的對角線互相平分3．已知平行四邊形一邊長為10，一條對角線長為6，則另一條對角線的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．如圖，以平行四邊形的邊為斜邊向內(nèi)作等腰直角，使，，且點在平行四邊形內(nèi)部，連接、，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．5．某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇，分別種有紅、黃、藍、白、橙、紫6種顏色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列說法中錯誤的是（）A．紅花，白花種植面積一定相等B．紅花，藍花種植面積一定相等C．藍花，黃花種植面積一定相等D．紫花，橙花種植面積一定相等6．如圖，在中，，，點E、F分別在上，將四邊形沿折疊得四邊形，恰好垂直于，若，則的值為（

）A．3 B． C． D．7．如圖，A為y軸上一點，B點坐標為（1，0），連接AB，分別以OB、AB為邊構(gòu)造等邊和等邊，且點D恰好落在AB上，點P為平面內(nèi)一點，當四邊形PBCD為平行四邊形時，點P坐標為（

）A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在AB邊上，將沿著直線DE翻折得．連結(jié)，若點恰好落在的平分線上，則，C兩點間的距離為（

）A．3或6 B．3或 C． D．69．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上一點，且BC=EC，交AB于點F，P是EB延長線上一點，下列結(jié)論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長度的最小值為（

）A．6 B．8 C． D．二、填空題11．如圖，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分線交AD于E，交CD的延長線于點F，則DF＝__________．12．在平面直角坐標系中，，，，以A，B，C三點為頂點畫平行四邊形，則第4個頂點D的坐標是_____________．13．如圖，的邊在x軸上，點A坐標為，點C坐標為，以點O為圓心，以的長為半徑畫弧，交x軸于點D，分別以點A、D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點E，作射線，交于點F，則的長為___________個單位長度．14．在探索數(shù)學名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖是平行四邊形的對角線，點在上，，，則的大小是______．15．如圖，在直角坐標系中，平行四邊形的邊在x軸上，點，，若直線恰好平分平行四邊形的面積，則點D的坐標是_____________．16．如圖，平行四邊形ABCD中，，，，點E為DC中點，點F為BC上一點，△CEF沿EF折疊，點C恰好落在BD邊上的點G處，則BGF的面積為______．17．如圖，平行四邊形中，＝，°，將沿邊折疊得到，交于，，則點到的距離為______．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，∠DAC＝30°，AC＝8，BC＝3，點P從B點出發(fā)，沿著邊BC運動到點C停止，在點P運動過程中，若△OPC是直角三角形，則BP的長是_____.三、解答題19．如圖所示，已知四邊形ABCD為平行四邊形，BE平分∠ABC交AD于點E.(1)若∠AEB＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)若AE＝5cm，求CD的長度．20．如圖，在□ABCD中，DE⊥AB于點E，BF平分∠ABC交CD于點F，F(xiàn)G⊥BC于點G.（1）找出圖中的一對全等三角形，并加以證明；（2）若□ABCD的面積為20cm2，AB=5cm，求FG的長.21．某同學要證明命題“平行四邊形的對邊相等．”是正確的，他畫出了圖形，并寫出了如下已知和不完整的求證．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．求證：AB=CD，_________（1）補全求證部分；（2）請你寫出證明過程．22．如圖，已知□ABCD中，E為AD的中點，CE的延長線交BA的延長線于點E.（1）試說明線段CD與FA相等的理由；（2）若使∠F＝∠BCF，□ABCD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補上這個條件，并說明你的理由(不要再增添輔助線).23．如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中點，P是BC邊上的一動點（P與B，C不重合），連接PM并延長交AD的延長線于Q．(1)試說明△PCM≌△QDM．(2)當點P在點B、C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說明理由．24．綜合與實踐：下面是一個有關平行四邊形和等邊三角形的小實驗，請根據(jù)實驗解答問題：已知在□ABCD中，∠ABC＝120°，點D又是等邊三角形DEF的一個頂點，DE與AB相交于點M，DF與BC相交于點N(不包括線段的端點)．初步嘗試：如圖①，若AB＝BC，求證：BD＝BM＋BN；探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若BC＝2AB，過點D作DH⊥BC于點H，求證：∠BDC＝90°．參考答案1．D【分析】由是平行四邊形，得到，，然后由等腰三角形的性質(zhì)可得，，得到，即可用勾股定理求得的長解：∵在平行四邊形中，M是的中點，，∴，∴，，∴，∴，∴，即為直角三角形，∵，，∴．故選：D【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關鍵2．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，逐一判斷各個選項，即可得到答案．解：A.平行四邊形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形，故該選項錯誤，B.平行四邊形的鄰邊不一定相等，故該選項錯誤，C.平行四邊形的對角線互相平分，故該選項錯誤，D.平行四邊形的對角線互相平分，故該選項正確．故選D．【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關鍵．3．B【分析】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，以及三角形的三邊關系，進行求解即可．解：如圖，四邊形為平行四邊形，，，，則：，∵，∴，即：；故選B．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關系．熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，是解題的關鍵．4．B【分析】先證明，得出，，設，，求出，，由平行四邊形的對角相等得出方程，求出，即可得出結(jié)果．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，設，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴；故選：B．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)(對邊平行且相等，對角相等)，等腰三角形的性質(zhì)(兩底角相等)，解題的關鍵是找到和之間的關系．5．B【分析】由題意得出四邊形ABCD、四邊形DEOH、四邊形BGOF、四邊形AGOE、四邊形CHOF是平行四邊形，得出△ABD的面積＝△CBD的面積，△DOE的面積＝△DOH的面積，△BOG的面積＝△BOF的面積，得出四邊形AGOE的面積＝四邊形CHOF的面積，即可得出結(jié)論．解：如圖所示：∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，∴四邊形ABCD、四邊形DEOH、四邊形BGOF、四邊形AGOE、四邊形CHOF是平行四邊形，∴△ABD的面積＝△CBD的面積，△DOE的面積＝△DOH的面積，△BOG的面積＝△BOF的面積，∴四邊形AGOE的面積＝四邊形CHOF的面積，∴A、C、D正確，B不正確；故選：B．【點撥】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形性質(zhì)比較三角形面積大小，結(jié)合圖形解題較為簡便．6．C【分析】延長交于點H，根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)得到，，在中，得到，，由折疊的性質(zhì)得到是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．解：延長交于點H，∵恰好垂直于，且四邊形是平行四邊形，∴也垂直于，由折疊的性質(zhì)得，，，，∴，∴，，在中，，，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：C．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，證明是等腰直角三角形是解題的關鍵．7．B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得點D和C的坐標，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得P的坐標．解：如圖，以OB、AB為邊構(gòu)造等邊△OBD和等邊△ABC，∴∠ODB=∠OBD=60，OB=1，∠CAB=60°，∴∠OAB=30°，∴∠OAD=∠DOA=30°，∴OD=AD=1，∵點D為AB的中點，∴AB=2，AO=，∴，∴∠CAO=90°，∴，∵四邊形PBCD是平行四邊形，∴DPBC，DP=BC，由平移可知，故選：B．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，利用平移的性質(zhì)得出點P的坐標是解題的關鍵．8．A【分析】過點A′作A′F⊥CD于D，由平行四邊形ABCD，得∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，A′D=AD=3，根據(jù)點恰好落在的平分線上，所以∠A′CF=30°，所以CA′=2A′F，設A′F=x，則CA′=2x，CF=x，所以DF=3-x,在Rt△DA′F中,由勾股定理，得32=（3-x）2+x2，求解即可得出x，從而求出CA′的長．解：：如圖，過點A′作A′F⊥CD于D，∵平行四邊形ABCD，∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，由翻折可得，A′D=AD=3，∵點恰好落在的平分線上，∴CA′平分∠BCD，∴∠A′CF=30°，∵A′F⊥CD，∴CA′=2A′F，設A′F=x，則CA′=2x，由勾股定理，得CF=x，∴DF=3-x,在Rt△DA′F中,由勾股定理，得32=（3-x）2+x2，

解得：x1=，x2=3，∴CA′=2x=3或6，故選：A．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，翻折性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，作輔助線A′F⊥CD于D，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)求解是解題的關鍵．9．D【分析】分別利用平行線的性質(zhì)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)分別判斷得出答案．解：證明：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DCAB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正確；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正確；∵DCAB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正確；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B點一定在FC的垂直平分線上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正確．綜上，四個選項均正確，故選：D．【點撥】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確應用等腰三角形的性質(zhì)是解題關鍵．10．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，可以得到當CP⊥AB時，CP取得最小值，此時CP的值就是AQ的最小值，從而可以解答本題．解：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，∴當CP⊥AB時，CP取得最小值，∵∠BAC＝45°，，設，在Rt△APC中，AB＝AC＝8，則，即，解得，故選：D．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11．2【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等且平行和利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的基本性質(zhì)求解即可．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∴∠ABE＝∠CFE，∵∠ABC的平分線交AD于點E，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝CB＝5，∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，故答案為：2．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．12．，，【分析】當是時，，利用點的平移可求D的坐標，同理可以求出當是和時點D的坐標．解：當時，第4個頂點D的坐標是或，當時，第4個頂點D的坐標是．故答案為：，，．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，主要利用了平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)，運用平移的方法來判斷第三個點的坐標．13．（）【分析】過點A作軸于M，過點B作于N，證明，得到，求出由題意得平分，推出，勾股定理求出即可．解：過點A作軸于M，過點B作于N，∴，∵中，，，∴，∴∴∵點A坐標為，點C坐標為，∴由題意得平分，∴∵∴∴∴，∵∴∴，故答案為：（）．【點撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊證明邊相等，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理是解題的關鍵．14．##108度【分析】根據(jù)條件得到，結(jié)合外角性質(zhì)得到，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及題中條件得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到，從而即可解決問題．解：，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，在中，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查平行四邊形背景下求角度問題，涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握幾何知識點并靈活運用是解決問題的關鍵．15．【分析】連接，設，的中點為T，求出點T的坐標，利用的待定系數(shù)法，可得結(jié)論．解：連接，設，的中點為T，，，直線平分平行四邊形的面積，直線經(jīng)過點T，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和求點的坐標，解決本題的關鍵是連接，找到的中點坐標．16．15【分析】連接CG，過點D作DH⊥BC于點H，利用等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折疊的性質(zhì)求得CG⊥BD，點F為BC中點，利用面積法求得CG=6，據(jù)此求解即可得到BGF的面積．解：連接CG，過點D作DH⊥BC于點H，∵平行四邊形ABCD中，∠A=45°，∴∠DCB=∠A=45°，∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，∴DH=HC，由勾股定理得DH=HC=，∵BC=10，∴BH=10-=，由勾股定理得BD=5，

由折疊的性質(zhì)得EG=EC，F(xiàn)G=FC，∵點E為DC中點，∴EG=EC=DE，∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，∴∠EGC+∠EGD=90°，∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，∵FG=FC，∴∠FCG=∠FGC，

∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，∴∠FGB=∠FBG，∴FG=FB，∴FG=FB=FC，即點F為BC中點，∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，∴CG=6，∴BG=2，∵點F為BC中點，∴==××2×6=15．故答案為：15．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，證明CG⊥BD是解題的關鍵．17．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)得到，在利用勾股定理分別求出和，即可完成求解．解：由折疊知：，，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∠，∴，∴，過點作，垂足為F，∴，∵，∴，∴，中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵,∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，涉及等腰三角形的判定、勾股定理等知識，解題關鍵是利用勾股定理建立方程求出和．18．或【分析】分兩種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)可求的長，即可求解．解：四邊形是平行四邊形，，，，如圖，當時，，，，，，；當時，，，，，綜上所述：的長是或，故答案為：或．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．19．（1）130°；（2）5.【分析】（1）由ABCD是平行四邊形及BE是∠ABC的角平分線易得∠A=∠C，∠AEB＝∠EBC＝25°，則∠A＝∠C=180°－∠ABE－∠AEB=180°-50°=130°；（2）由上問可知∠AEB＝∠EBC＝25°，則AB＝AE；又由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB＝CD=AE=5cm.解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠AEB＝∠EBC＝25°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝180°-50°=130°，∴∠C＝∠A＝130°.(2)∵∠AEB＝∠ABE＝25°，∴AB＝AE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD.又∵AE＝5cm，∴CD＝AB＝AE＝5cm.【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，由角平分線得到等腰三角形是解題關鍵.20．（1）△ADE≌△CFG，證明見分析；（2）FG=4cm.試題分析：(1)首先利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠CFB=∠CBF,進而利用AAS得出△AED≌△CGF,(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:DE=FG,再根據(jù)平行四邊形的面積和AB的長即可求出DE,即可求出FG.解：（1）△ADE≌△CFG,因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以∠A=∠C,AD=BC,CD∥AB,所以∠CFB=∠ABF,因為BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBF,所以∠CBF=∠CFB,所以CB=CF,所以AD=CF,因為DE⊥AB,FG⊥BC,所以∠AED=∠CGF=90o,所以△ADE≌△CFG.（2）因為□ABCD的面積=DE·AB,AB=4,所以5DE=20.所以DE=4cm,因為△ADE≌△CFG,所以FG=DE=4cm.21．（1）BC=DA；（2）證明過程見分析【分析】（1）根據(jù)題意容易得出結(jié)論；（2）連接AC，與平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，證出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，由ASA證明△ABC≌△CDA，得出對應邊相等即可．解：（1）BC=DA；（2）連接AC，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA；考點：平行四邊形的性質(zhì)【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形對邊平行的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．22．見分析試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，-就可證明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即證△CDE≌△AEF，所以CD=AF．（2）在第（1）問的基礎上，若使∠F=∠BCF，逆推就必須BC=BF，繼而推出BC=2BA，即為所求．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB．又∵CE的延長線交BA的延長線于點F，∴∠CDA=∠DAF．∵E是AD中點，∴DE=AE．∵∠CED=∠AEF，∴△CDE≌△AEF．∴CD=AF．（2）要