實(shí)變函數(shù)論課后答案第三章3第三章第三節(jié)習(xí)題1.證明集合的測(cè)度為零，并在上作一測(cè)度大于零的無處稠密的完備集，進(jìn)而證明存在開集，使.證明：回憶集的產(chǎn)生過程：先從中刪除中間的開區(qū)間，剩下兩個(gè)閉區(qū)間，再刪除這兩個(gè)區(qū)間的中間的，第一次刪去一個(gè)開區(qū)間，其長(zhǎng)度為；第二次刪去二個(gè)開區(qū)間，其長(zhǎng)度為；第三次刪去四個(gè)開區(qū)間，其長(zhǎng)度為；故集是由刪去了可列個(gè)開區(qū)間之并而成，刪去的區(qū)間都互不相交，總長(zhǎng)度設(shè)這可列個(gè)開區(qū)間之并為，則則.故由定理1知，為可測(cè)集.用下面的方法在閉區(qū)間上作集：已給正數(shù)的降序列，，使，從中去掉中心在閉區(qū)間中點(diǎn)，而長(zhǎng)為的開區(qū)間；其次，從剩下的兩個(gè)閉區(qū)間中去掉中心在這些閉區(qū)間中點(diǎn)，而長(zhǎng)為的開區(qū)間；再其次從剩下的四個(gè)閉區(qū)間中去掉中心在這些閉區(qū)間中點(diǎn)，而長(zhǎng)為的開區(qū)間，如此作可數(shù)多次之后，剩下的集記為，則為閉集，這里為去掉那些互不相交的開區(qū)間，如何證明集是完備的無處稠密集一樣，可證是完備的無處稠密集.是自密的，這個(gè)證明與證明集是自密的是一致的，只需注意以下的關(guān)鍵：第一次刪去一個(gè)長(zhǎng)為的開區(qū)間后，剩下兩個(gè)閉區(qū)間，總長(zhǎng)度為，每個(gè)長(zhǎng)度為，設(shè)為；第二步在中刪去兩個(gè)長(zhǎng)為的開區(qū)間后，剩下四個(gè)閉區(qū)間，每個(gè)長(zhǎng)度為；第步后剩下每個(gè)長(zhǎng)度為的個(gè)閉區(qū)間.現(xiàn)設(shè)包含的任一開區(qū)間，令，則，故（這可不用有界，或）則由的任意性，知（1）成立，即現(xiàn)設(shè)（1）成立和有界，我們來證明必可測(cè)若（1）成立，則從閉，開，有故易知，就可以推出可測(cè)，開集，因有界，則（3）且存在閉集，使，（4）（3）+（4）推出令，則（）則（，）令知，（，）即則P60,TH1推出可測(cè)，從而也可測(cè)（，作為可測(cè)集的交仍可測(cè)）證畢.注：必要性的證明不需要有界.4．證明有界集合可測(cè)的充要條件是對(duì)任意，都有可測(cè)集，使，證明：必要性是顯然的，取即可.（從本節(jié)習(xí)題2知，不用有界，甚至可取為閉集，為開集）.下證充分性，，可測(cè)集，，，令，，則，都可測(cè)，且，如同上題（本節(jié)習(xí)題3）一樣，，（）則，令，得由P60,TH1得可測(cè)，從而可測(cè)注：有界的條件是多余的5．證明：對(duì)于中任意一串點(diǎn)集，只需，使有（注意：本題結(jié)論不同于P64Th5,這里不要求可測(cè)）證明：由P69,Th3,,型集合使得，令，則可測(cè)且，且，這是因?yàn)椋ǎ?，則，，，且（，又，），（由P64,Th5于可測(cè)的情形）另一方面，顯然故6．證明：若是中的可測(cè)點(diǎn)集，，則也是可測(cè)的，并且證明：P55習(xí)題5已證，，故只用證可測(cè)時(shí)，，也可測(cè)即可.先證明對(duì)任取，，有（i）（ii）(iii)證明（i）,且，則，使，因，則，，則反過來，，使，則，，（ii），則,,由于，是上的同構(gòu)（）則使，顯然，否則矛盾于，則，從而反過來，，，使若，則使，又，矛盾則（iii）,,反過來，使，使得則證畢下證可測(cè)推出可測(cè)（）已知（），，可測(cè)這說明可測(cè)，證畢則若，可測(cè)，則可測(cè).7．證明：如已知開集都是可測(cè)的，則從外測(cè)度的基本性質(zhì)（i）（ii）（iii）可推出基本性質(zhì)（iv）,這說明什么？證明：這個(gè)題目的意思是：若的非負(fù)函數(shù)滿足（i）（ii）若，則（iii）且對(duì)任意中開集和任意集合有（此即開集可測(cè)的意思?。﹦t必有（iv）若和的距離則下面我們就來證明這個(gè)結(jié)論：證明：，且，則，使得（事實(shí)上，，即有），為開集，且，從而有則由為開集從而可測(cè)知故性質(zhì)（iv）的確成立.注意到在定義了外測(cè)度后，只是用了外測(cè)度的性質(zhì)（i）（ii）（iii）就證明了測(cè)度的所有性質(zhì)，而性質(zhì)（iv）僅用在證明“區(qū)間”的可測(cè)性（P67,Th1證明），區(qū)間的可測(cè)性加上P68引理開集的可測(cè)性，上述結(jié)論說明：性質(zhì)（iv）與“開集可測(cè)”這一條件是等價(jià)的，也就是說，若一個(gè)集合函數(shù)滿足性質(zhì)（i）--(iii),加上對(duì)開集有則就是一個(gè)外測(cè)度，這一想法對(duì)學(xué)習(xí)抽象測(cè)度理論有用.8．證明：，即中全體可測(cè)子集的類和中全體子集的基數(shù)相同.證明：可測(cè)集，令，這顯然是到的一個(gè)1—1對(duì)應(yīng)。故另一方面，[0，1]區(qū)間上的集滿足,故（）是中滿足的集合，從而可測(cè)，，故是中的可測(cè)集（P60Th1）~~則~~故一個(gè)子集構(gòu)成的類與的全體子集構(gòu)成的類對(duì)等，故，前已知，故由定理，.9．證明對(duì)于任何閉集，都可作一完備集，使（提示：考慮，證明）證明：令，想證，，使為至多可數(shù)集，故為的一族開覆蓋，由定理（見P38習(xí)題5）,開集至多可數(shù)個(gè)使得則從，是至多可數(shù)集，從而知也是至多可數(shù)集，從而有（P54習(xí)題2）（，，）令，我們來證明是完備集1）是閉集：，存在，則，推出，若，則，，為至多可數(shù)集，，充分大時(shí)，，（）則而，故為不可數(shù)無窮集，這就得出矛盾則，即，故為閉集2）為自密集，即，必有，則，則，為不可數(shù)無窮集.若中全是中的點(diǎn)，則由于前已證是可數(shù)集，就會(huì)得出矛盾，故從，知中必至少有不可數(shù)無窮個(gè)中的點(diǎn)，否則，從可數(shù)，知為可數(shù)集，得矛盾！由此可知即是完備集，，得證?。ǎ?0．設(shè)，是中的兩個(gè)有界閉集，，，，,,證明：此處，“+”表示兩個(gè)點(diǎn)集的向量和（參考第二章§2習(xí)題14）證明：由第二章§2習(xí)題14（P38）的結(jié)論：，有界閉，則也是有界閉集，從而可測(cè)，顯然故由本節(jié)習(xí)題6，也可測(cè)顯然，，，，是有界閉集，故同理知，都是可測(cè)集.（第二章§2習(xí)題14已知若，無界，則不一定閉，故不能保證其可測(cè)性！）下證：事實(shí)上，，（），則存在，使得，，則注意：若，則，，，使，注意由，，，的定義，知，，，，則，這說明，即要么或，故總有（注意單點(diǎn)集是可測(cè)，且測(cè)度為0）問題：若，可測(cè)，是否一定可測(cè)？本題實(shí)際上證明了：若，，，，，是有界閉集，則；，則11．證明：若和都是中有限多個(gè)相互沒有公共內(nèi)點(diǎn)的有界閉區(qū)間的并，則（提示：對(duì)于區(qū)間的個(gè)數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法，并注意從上題知！?。┳C明：事實(shí)上，只要是任意兩個(gè)上的非空有界閉集，就有（若有一個(gè)是空集，結(jié)論也顯然對(duì)?。┳C：有界，故,則從閉知，且從，的定義知，，令，，，則由本節(jié)第10題的結(jié)果，知事實(shí)上，從第10題，第11題證明過程可知：若=1\*GB3①有上界，有下界，且都是閉集，=2\*GB3②且可測(cè)（一般要求有界才能保證），則12．設(shè)都是中的有界閉集，證明對(duì)，有（記號(hào)的意義見習(xí)題6及上題，提示：先證明任何有界閉集可表