《第八章立體幾何初步》

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，半徑為R的半球。的底面圓O在平面a內(nèi)，過點O作平面a的

垂線交半球面于點A,過圓O的直徑CD作平面a成45。角的平面與半

球面相交，所得交線上到平面a的距離最大的點為3,該交線上的一點

P滿足NBQP=60。，則A、P兩點間的球面距離為（）

A./?arccos^-B.C./?arccos—D.冗R

443V

2.若空間中“個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)"的取值（）

A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5

3.如果棱臺的兩底面積分別是S,S',中截面的面積是邑，那么（）

A.25=邪+志B.屈

C.2S0=S+S'D.S；=2S5

4.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2,將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉(zhuǎn)得

到的兩個圓錐的體積之比為（）

A.1B.2C.4D.8

5.正方體48co-ASG2的棱上到異面直線至，CC1的距離相等的點的個數(shù)為（)

A.2B.3C.4D.5

6.紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)△

在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面一|上|東

圖形，則標“△”的面的方位（）

A.南B.北C.

7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它

的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊

長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的

面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的

邊長的比值為（）

Ax/5-l口75-1

42

8.設(shè)A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，AABC為等邊三角形且面積為

9后,則三棱錐ABC體積的最大值為（）

A.1275B.18x/3C.24有D.546

9.若棱長為2道的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12萬B.24%C.36萬D.144萬

10.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且A8//CD,正方體的六個

面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n,那么加+〃=（）

二.填空題（共5小題）

11.已知點A,3在球O的球面上，平面AO8截該球面所得圓上的劣弧AB長為80,

4403=120。，則該球的半徑為.

12.如圖，在三棱錐P—43c的平面展開圖中，AC=i,AB=AD=6ABVAC,ABLAD,

ZCAE=30°,則cosN尸CB=.

13.已知四棱錐的底面是邊長為友的正方形，側(cè)棱長均為石.若圓柱的一個底面的圓周

經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積

為.

14.已知圓錐的側(cè)面積（單位：。川）為2萬，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的

底面半徑（單位：c/n）是.

15.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊

形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5c〃?，則此六角螺帽毛坯的體積是—.

三.解答題（共5小題）

16.某人造衛(wèi)星在地球赤道平面繞地球飛行，甲、乙兩個監(jiān)測點分別位于赤道上東經(jīng)131。和

147°,在某時刻測得甲監(jiān)測點到衛(wèi)星的距離為1537.45千米，乙監(jiān)測點到衛(wèi)星的距離為

887.64千米.假設(shè)地球赤道是一個半徑為6378千米的圓，求此時衛(wèi)星所在位置的高度（結(jié)

果精確到0.01千米）和經(jīng)度（結(jié)果精確到0.01。）.

17.如圖，在三棱錐P—ABC中，AC=BC=2,ZACB=9Q°,AP=BP=AB,PCYAC.

(I)求證：PC±AB；

(II)求二面角B-AP—C的大小.

P

AB

C

18.如圖，正三棱錐S-ABC的側(cè)面是邊長為a的正三角形，。是SA的中點，E是的

中點，求ASDE繞直線SE旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.

19.已知平行六面體48co-A8cQ中，AAJ■平面ABC。，AB=4,AD=2.若BQJLBC,

直線go與平面ABC。所成的角等于30。，求平行六面體ABC。-ABCiA的體積.

20.已知四棱錐P-MCZ),底面ABC￡＞為正方形，邊長為3,PD_L平面ABCE＞.

(1)若PC=5,求四棱錐P—A8C￡＞的體積；

(2)若直線AZ)與族的夾角為60。，求尸￡)的長.

人教A版（2019）必修第二冊《第八章立體幾何初步》真題同

步卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，半徑為R的半球。的底面圓O在平面a內(nèi)，過點O作平面a的垂線交半球面于點

A,過圓O的直徑CD作平面。成45。角的平面與半球面相交，所得交線上到平面a的距離

最大的點為B,該交線上的一點P滿足NBQP=60。，則A、P兩點間的球面距離為（）

A.RarccosC.Rarccos

【分析】由法一：利用三面角公式，轉(zhuǎn)化求解圓心角，然后求解球面距離.

另解：題意求出"的距離，然后求出NAOP,即可求解A、P兩點間的球面距離.

【解答】解：法一：作于例，MNLOP于N,連AN,

記角NAOM、AMON、Z4ON分別為y、z,&-------上二--------/

OMONON

cosx=-----，cosy=------，cosz=------=cosxcosy

OAOMOA

變=變

由題意x=45。y=60°,/.cosz=-x

24

包

故A與P球面距離為：Rarccos

故選：A.

另解:半徑為R的半球O的底面圓O在平面a內(nèi)，過點O作平面a的垂線交半球面于點A,

過圓O的直徑C￡＞作平面。成45。角的平面與半球面相交，所得交線上到平面。的距離最大

的點為3,所以CDJL平面AO8,

因為NBOP=60。，所以△OP3為正三角形，P到30的距離為PE=石為50的中點，

2

AP=j鳥叫后答小亨R，

AP2=OP2+OA2-2QPQACOSZAOP，互冥1R2=R2+R2-2R2cosZAOP,

4

cosZAOP=,ZAOP=arccos，

44

A、尸兩點間的球面距離為Rarccos”，

4

故選：A.

【點評】本題考查反三角函數(shù)的運用，球面距離及相關(guān)計算，三面角公式的應(yīng)用，考查計算

能力以及空間想象能力.

2.若空間中“個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)〃的取值（）

A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5

【分析】先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況

成立，注意運用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷.

【解答】解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；

4個點兩兩距離相等，三個點在圓上，一個點是圓心，圓上的點到圓心的距離都相等，則不

成立；

"大于4,也不成立；

在空間中，4個點兩兩距離相等，構(gòu)成一個正四面體，成立；

若〃>4,由于任三點不共線，當〃=5時，考慮四個點構(gòu)成的正四面體，

第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，

且球的半徑不等于邊長，即有球心與正四面體的底面的中心重合，

但顯然球的半徑不等于棱長，故不成立；

同理不成立.

故選：B.

【點評】本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點的距離相等的情況，注意結(jié)合外接

球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯題.

3.如果棱臺的兩底面積分別是S,S，，中截面的面積是5。，那么()

A.2庖=71+-右B.S°=V^C.250=S+S'D.S；=2S5

【分析】棱臺不妨看作三棱臺，利用相似的性質(zhì)，面積之比是相似比的平方，化簡即可.

【解答】解：不妨設(shè)棱臺為三棱臺，設(shè)棱臺的高為2―，上部三棱錐的高為”，

〃+2r_\fs

(―^r-)2=-

根據(jù)相似比的性質(zhì)可得：a+Zr:,可得：a冊

(')、土〃_瓜

。+r%ax/7

消去，可得2庖=逐+后

故選：A.

【點評】本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)論可作公式應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2,將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉(zhuǎn)得

到的兩個圓錐的體積之比為()

A.1B.2C.4D.8

【分析】直接利用圓錐的體積公式求得兩個圓錐的體積，作比得答案.

【解答】解:如圖，

貝lJh=』;rx22x1=3%,K=-^-xl2x2=—7r,

33233

4

—n

兩個圓錐的體積之比為尹=2.

—71

3

故選：B.

【點評】本題考查圓錐的定義，考查圓錐體積的求法，是基礎(chǔ)題.

5.正方體的棱上到異面直線A3,CQ的距離相等的點的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】畫出正方體，結(jié)合正方體中線面、線線垂直，先找定點、再找棱的中點，找出符合

條件的所有的點.

【解答】解：如圖：正方體A8C￡）-AAGA，E、f分別是BC和AA的中點，連接AF和

FCt,

根據(jù)正方體的性質(zhì)知，BB,1AB,C.CIB.C,,故用到異面直線AB,Cg的距離相等，

同理可得，D到異面直線回，CG的距離相等，

又有ABJ.8C,C,C1BC,故E到異面直線AB,CQ的距離相等，

F為AR的中點，易計算R4=FG,故F到異面直線45,CQ的距離相等，共有4個點.

故選：C.

【點評】本題考查了正方體體的結(jié)構(gòu)特征，考查了線面、線線垂直定理的應(yīng)用，利用異面直

線之間距離的定義進行判斷，考查了觀察能力和空間想象能力.

6.紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方

體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“△”的面的方

位（）

A.南B.北C.西D.下

【分析】本題考查多面體展開圖：正方體的展開圖有多種形式，結(jié)合題目，首先滿足上和東

所在正方體的方位，的面就好確定.

【點評】本題主要考查多面體的展開圖的復(fù)原，屬于基本知識基本能力的考查.

7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐

的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高

與底面正方形的邊長的比值為（）

.x/5-1R75-1CV5+1□x/5+1

4242

【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進而求解結(jié)論.

【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為〃，底面邊長為“，側(cè)面三角形底邊上的高為〃，

h2=-ah'

則依題意有：2,

〃2=〃，2_(92

因此有正一(與=-ah'=>4(-)2-2(-)-1=0=>-=苴土!■(負值一"+1舍去)：

22aaa44

故選：C.

【點評】本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

8.設(shè)A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，AA8C為等邊三角形且面積為

9百，則三棱錐O-ABC體積的最大值為()

A.1273B.18GC.2473D.54#)

【分析】求出，AABC為等邊三角形的邊長，畫出圖形，判斷。的位置，然后求解即可.

【解答】解：AABC為等邊三角形且面積為9百，可得且xAB?=9百，解得AB=6,

4

球心為O,三角形MC的外心為O,顯然。在O。的延長線與球的交點如圖：

O,C=jx^x6=2>/3,00=西-(26『=2,

則三棱錐。-ABC高的最大值為：6,

則三棱錐體積的最大值為：L@x63=186.

34

故選：B.

D

【點評】本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力.

9.若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12萬B.24萬C.367D.144萬

【分析】正方體的對角線就是球的直徑，求出半徑后，即可求出球的表面積.

【解答】解：由題意，正方體的對角線就是球的直徑，

所以2R=GX2G=6,

所以R=3,S=4TTR2=36%.

故選：C.

【點評】本題考查球的表面積，考查學生空間想象能力，球的內(nèi)接體問題，是基礎(chǔ)題.

10.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且A8//CZ）,正方體的六個

面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為機，n,那么加+〃=（）

【分析】判斷CE與成與正方體表面的關(guān)系，即可推出正方體的六個面所在的平面與直線

CE,即相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為〃?，"，求出根+〃的值.

【解答】解：由題意可知直線CE與正方體的上底面平行在正方體的下底面上，與正方體的

四個側(cè)面不平行，所以，〃=4,

直線所與正方體的左右兩個側(cè)面平行，與正方體的上下底面相交，前后側(cè)面相交，所以

H=4>所以m+w=8.

故選：A.

【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，基本知識的應(yīng)用，考查空間想象能力.

填空題（共5小題）

11.已知點A,8在球。的球面上，平面AO8截該球面所得圓上的劣弧AB長為80,

ZA<9?=120°,則該球的半徑為_效_.

兀

【分析】設(shè)該球半徑為，則/=2mx世=80,由此能求出結(jié)果.

360°

【解答】解：設(shè)該球半徑為，

點A,8在球O的球面上，平面AOB截該球面所得圓上的劣弧A3長為80,ZAOB=\20°,

120°

.-.Z=2^rx——=80

360°

解得―電.

71

故答案為：—.

71

【點評】本題考查球半徑的求法，考查球面距離等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解

能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

12.如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=>/3,ABLAC,ABA.AD,

ZCAE=30°,則cosNFCB=--

-4~

尸三點重合，分別求得3C、CF、所即可.

【解答】解：由已知得，BC=2,

因為。、E、尸三點重合，所以AE=AO=BF=BD=y/2AB=-j6,

則在AACE中，由余弦定理可得CE?=AC2+AE2-2AC.AE.cosZCAE=l+3-2&x正=1,

2

所以CfuCFnl,

222

則在ABC尸中，由余弦定理得cos/尸BC+CF~_—BE=-1^—+4-61

2BC.CF2x1x24

故答案為：-

4

【點評】本題考查三棱錐展開圖，涉及余弦定理的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

13.已知四棱錐的底面是邊長為血的正方形，側(cè)棱長均為石.若圓柱的一個底面的圓周

經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為

71

'4~'

【分析】求出正四棱錐的底面對角線長度和正四棱錐的高度，根據(jù)題意得圓柱上底面的直徑

就在相對中點連線，有線段成比例求圓柱的直徑和高，求出答案即可.

【解答】解：由題作圖可知，四棱錐底面正方形的對角線長為2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2,

由于圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于1,即半徑等于1；

2

由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1,

則該圓柱的體積為：v=s/z=;r（g）2xl=（；

故答案為：-

4

【點評】本題考查正四棱錐與圓柱內(nèi)接的情況，考查立體幾何的體積公式，屬基礎(chǔ)題.

14.已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm?）為2萬，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的

底面半徑（單位：C"?）是

【分析】利用圓錐的側(cè)面積，求出母線長，求解底面圓的周長，然后求解底面半徑.

【解答】解：?圓錐側(cè)面展開圖是半圓，面積為2女病,

設(shè)圓錐的母線長為4c加，則一X〃2萬=2），「.。二？。刀,

2

，側(cè)面展開扇形的弧長為2兀an，

設(shè)圓錐的底面半徑OC=%力?，則24r=2］，解得r=1C7%.

故答案為：

【點評】本題考查圓錐的母線長的求法，注意利用圓錐的弧長等于底面周長這個知識點.

15.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊

形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是_12百-1^_c,/.

【分析】通過棱柱的體積減去圓柱的體積，即可推出結(jié)果.

【解答】解：六棱柱的體積為：6xlx2x2xsin60°x2=12^,

2

圓柱的體積為：^-x（0.5）2x2=y,

所以此六角螺帽毛坯的體積是：（12g-1）c>,

故答案為：12百-三.

2

【點評】本題考查柱體體積公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基本知識的考查.

三.解答題（共5小題）

16.某人造衛(wèi)星在地球赤道平面繞地球飛行，甲、乙兩個監(jiān)測點分別位于赤道上東經(jīng)131。和

147。，在某時刻測得甲監(jiān)測點到衛(wèi)星的距離為1537.45千米，乙監(jiān)測點到衛(wèi)星的距離為

887.64千米.假設(shè)地球赤道是一個半徑為6378千米的圓，求此時衛(wèi)星所在位置的高度（結(jié)

果精確到0.01千米）和經(jīng)度（結(jié)果精確到0.01。）.

【分析】設(shè)地球球心為O,甲、乙兩個監(jiān)測點分別為A,B,衛(wèi)星位置為C,則O,4,B,

C四點均在赤道面上，進而利用余弦定理解AOR,AABC,AOAC可得答案.

【解答】解：設(shè)地球球心為O,甲、乙兩個監(jiān)測點分別為A,B,衛(wèi)星位置為C,

則O,A,B,C四點均在赤道面上，如下圖所示：

AB

故OA=O8=6378,AC=1537.45,8c=887.64,

在AOAB中，ZAOfi=147°-131°=16°,

故NO4B=NC?4=82°,

故4B=V63782+63782-2.63782.COS16°‘1775.29,

1537.452+1775.292-887.642

在AABC中,cosZCAB=a0.482,

2x1537.45x1775.29

故NOW=61.18°,

在AAOC中，ZC4O=110°,

故0C=V63782+1537.452-2-6378.1537.45.cosl10°=7098.61,

7098.61-6378=720.61,

故衛(wèi)星所在位置的高度約為720.61千米;

63782+71098.612-1537.452

cosZAOC=a0.9796,

2x6378x71098.61

.-.ZAOC?11.6°,

由1310+116=142.6°,

故衛(wèi)星所在位置的經(jīng)度約為142.6°.

【點評】本題考查的知識點余弦定理，但本題所涉及的數(shù)據(jù)計算起來太復(fù)雜，故不建議運算,

只了解運算思路即可.

17.如圖，在三棱錐P—A8C中，AC=BC=2,ZACB=90°,AP=BP=AB,PCVAC.

(I)求證：PC±AB；

(II)求二面角3-AP-C的大小.

p

c

【分析】法一(I)要證：PCrAB,構(gòu)造過PC的平面PC。，使得A3J_平面PC".

(II)取針中點E.連接3E,CE-,說明NBEC是二面角3-AP-C的平面角，再求二

面角3-AP-C的大小.

法二(I)證明PC_L平面A8C.即可.

(H)建立空間直角坐標系，通過數(shù)量積求其二面角B-AP-C的大小的余弦值，再求二面

角的大小.

【解答】解：法一：

(1)取48中點。，連接PD,CD.

AP=BP,

：.PDA.AB.

AC=BC,

:.CDVAB.

PD[)CD=D,

平面PC￡).

PCu平面PCD,

:.PCA.AB.

(II)AC=BC,AP=BP,

:.^APC^\BPC.

又PC_LAC,

..PC.LBC.

又ZACB=90°,即ACJL8C,且AC]PC=C,

.?.8C_L平面上4c.

取釬中點E.連接BE,CE.

AB=BP,

:.BE1AP.

EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

:.CE±AP.

r.NBEC是二面角8-AP-C的平面角.

在ABCE中，ZBCE=90°,BC=2,BE=^AB=屈,

2

..-BC_R

..sin/BEC==—.

BE3

二面角B-AP-C的大小為arcsin直.

3

解法二：

(I)AC=BC,AP=BP,

.-.AAPC^ABPC.

又PC_LAC,

:.PCA.BC.

ACfBC=C,

.?.PC_L平面ABC.

ABu平面ABC,

.-.PCrAB.

(H)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-肛z.

則C(0,0,0),A(0,2,0),8(2,0,0).

設(shè)P(0,0,t).

|陽=|AB|=20,

:.t=2,P(0,0,2).

取AP中點E,連接BE,CE.

IACHPCI,|AB|=|BP|,

.\CE±AP,BE±AP.

.?.N8￡C是二面角8—AP—C的平面角.

E(0,1,1),EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),

ECEB2=B

/.cosZ.BEC=

\EC\\EB\yf2-y/b3

【點評】本題考查直線與直線的垂直，二面角，容易出錯點：二面角的平面角找不到，計算

不正確.

18.如圖，正三棱錐S-A8C的側(cè)面是邊長為。的正三角形，。是SA的中點，E是8c的

中點，求AS0E繞直線SE旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.

S

p//\\

C

R

【分析】連接AE,說明￡?J_S4,作￡>F_LSE,交SE于點、F.所求的旋轉(zhuǎn)體的體積是以叱

為底面半徑，分別以防和EF為高的兩個圓錐的體積的和，求出止，然后求出幾何體的

體積.

【解答】解：連接他，因為ASBC和AABC都是邊長為a的正三角形，并且SE和/1E分別

是它們的中線，

所以SE=AE,從而ASEA為等腰三角形，由于。是SA的中點,

所以￡D_LSA.作。尸_LSE,交SE于點、F.考慮直角ASDE的面積，得到

-SEDF=-SDDE所以

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易知

DF=SDDE=2----------,SE=JSB?-BE?==血4,

SESE]/\2)2