八年級初二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)勾股定理試題及答案

一、選擇題

1.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為15cm,在容器內(nèi)壁離容器

底部3cm的點(diǎn)8處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿3cm的

點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為25cm,則該圓柱底面周長為（）

A.20cmB.18cmC.25cmD.40cm

2.如圖，在△ABC和ZX/WE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C,D,E在同一

條直線上，連接B,。和8,E.下列四個(gè)結(jié)論：

①BD=CE,

②BO_LCE,

③/ACE+/DBC=30。，

@BE2=2（AD2+AB2）.

其中，正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.AABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則AABC的周長為（）

A.42B.32C.42或32D.37或33

4.如圖，已知NMON=45］，點(diǎn)AB在邊QV上，04=3,點(diǎn)C是邊。河上一個(gè)動點(diǎn),

若AABC周長的最小值是6,則A3的長是（）

D.1

5.如圖，在長方形紙片ABC。中，AB^Scm,AD=6cm.把長方形紙片沿直線AC折

疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F,則AF的長為()

6.如果正整數(shù)。、b、c滿足等式/+。2=°2,那么正整數(shù)。、b、c叫做勾股數(shù).某同學(xué)將

自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知犬+丁的值為()

3

810

1517

2426

65

A.47B.62C.79D.98

7.如圖，在△ABC中，4BC=45°,CO_LAB于。，BE平分4BC,且BE_LAC于E,與

CD相交于點(diǎn)F,"是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)。H、BE與相交于點(diǎn)G,以下結(jié)論中正確的結(jié)論有

()

(1)Z\4BC是等腰三角形；(2)BF=AC；(3)BH；BD：BC=1：JI：力；(4)

GE2+CE2=BG2.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.已知X,y為正數(shù)，且卜2-4|+(y2—3)=0,如果以x,》的長為直角邊作一個(gè)直角

三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為()

A.5B.25C.7D.15

9.如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如果小明站在

南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為()

環(huán)城路

A.200mB.300mC.400mD.500m

10.已知三組數(shù)據(jù)：①2,3,4；②3,4,5；③1,2,、后，分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)

為三角形的三邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.②B.①②C.①③D.②③

二、填空題

11.如圖，現(xiàn)有一長方體的實(shí)心木塊，有一螞蟻從A處出發(fā)沿長方體表面爬行到C'處,

若長方體的長=4cm,寬BC=2cm,高=則螞蟻爬行的最短路徑長是

D'C'

AR

12.等腰三角形的腰長為5,一腰上的高為3,則這個(gè)等腰三角形底邊的長為

13.如圖，四邊形ABDC中，ZABD=120°,AB±AC,BD1CD,AB=4,CD=4的，則該

四邊形的面積是

14.在R3A8C中，直角邊的長分別為a,b,斜邊長c,且a+b=3，J,c=5,則ab的值為

15.如圖，在R7VLBC中，ZABC=901.DE垂直平分AC，垂足為R，AD//BC,

且AB=3,BC=4,則的長為.

16.如圖，在銳角AABC中，A5=2,ZBAC=60（|，/胡C的平分線交6C于點(diǎn)。,

M,N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+ACV的最小值是.

17.如圖，長方形A8C0中，乙4=NABC=NBCD=NO=90。，A7=CD=6,AD=BC=10,點(diǎn)E為射線

AO上的一個(gè)動點(diǎn)，若AABE與BE關(guān)于直線BE對稱，當(dāng)BC為直角三角形時(shí)，AE

的長為.

18.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在AABC外

作ABQC之ABPA,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有（填序號）

①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③/APB=150°?ZAPC=135°

19.如圖，RtAABC中，NC=90°,AB=5,BC=4,斜邊AB的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)

20.在AABC中，ZA=30°,ZB=90°,AC=8,點(diǎn)D在邊AB,且BD=01，點(diǎn)P是4ABC

邊上的一個(gè)動點(diǎn)，若AP=2PD時(shí)，則PD的長是.

三、解答題

21.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，。點(diǎn)在邊上運(yùn)動（不與8,C重

合），點(diǎn)E在邊A3的延長線上，點(diǎn)/在邊AC的延長線上，AD=DE=DF.

（1）若/AED=30。，則NAD3=.

(2)求證：&BED空ACDF.

(3)試說明點(diǎn)。在邊上從點(diǎn)3至點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，(曲的周長/是否發(fā)生變

化？若不變，請求出/的值，若變，請求出/的取值范圍.

(1)如圖1,D,E是等腰RtAABC斜邊BC上兩動點(diǎn)，且NOAE=45。，將AABE繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到AAFC,連接OF

①求證：AAED^^AFD；

②當(dāng)BE=3,CE=7時(shí)，求DE的長；

(2)如圖2,點(diǎn)。是等腰RSABC斜邊BC所在直線上的一動點(diǎn)，連接A。，以點(diǎn)4為直角

頂點(diǎn)作等腰RtAADE,當(dāng)BD=3,BC=9時(shí)，求0E的長.

23.已知。，b,c滿足J8-a+x/"8=|c-171+b2-306+225,

(1)求a,b,c的值；

(2)試問以a,b,c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出三角形的周長和面積；

若不能構(gòu)成三角形，請說明理由.

24.已知AABC中，如果過項(xiàng)點(diǎn)3的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)

為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為AA5c的關(guān)于點(diǎn)8的二分割線.例

如：如圖1,向AABC中，NA=90°，NC=20°,若過頂點(diǎn)8的一條直線3。交AC于

點(diǎn)。，若NDBC=20°，顯然直線5。是AABC的關(guān)于點(diǎn)8的二分割線.

(1)在圖2的AABC中，ZC=20°-ZABC=110°.請?jiān)趫D2中畫出A45c關(guān)于點(diǎn)8

的二分割線，且/DBC角度是；

(2)已知NC=20°，在圖3中畫出不同于圖1,圖2的AABC,所畫A4BC同時(shí)滿

足:①/C為最小角；②存在關(guān)于點(diǎn)8的二分割線.2班C的度數(shù)是；

圖3*?

(3)已知NC=a,AABC同時(shí)滿足：①/C為最小角；②存在關(guān)于點(diǎn)8的二分割

線.請求出/班C的度數(shù)(用a表示).

25.如果一個(gè)三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個(gè)三角形是“優(yōu)三角形"，這兩

條邊的比稱為"優(yōu)比"(若這兩邊不等，則優(yōu)比為較大邊與較小邊的比)，記為七

(1)命題：“等邊三角形為優(yōu)三角形，其優(yōu)比為1”,是真命題還是假命題？

(2)已知上A5c為優(yōu)三角形，AB^c,AC=b,BC=a,

圖1圄2

①如圖1,若NACB=90°,b>a,b=6,求。的值.

②如圖2,若cNbNa,求優(yōu)比上的取值范圍.

(3)已知'ABC是優(yōu)三角形，且NABC=120。，BC=4,求的。的面積.

26.(1)如圖1,在RM4BC中，ZACB=90°,44=60°,CZ)平分/ACB.

圖1

小明為解決上面的問題作了如下思考：

作AADC關(guān)于直線CD的對稱圖形AA'DC,；CD平分ZACB,：.A點(diǎn)落在C6上，且

CA'=CA,AD=AD.因此，要證的問題轉(zhuǎn)化為只要證出4。=43即可.

請根據(jù)小明的思考，寫出該問題完整的證明過程.

圖2

(2)參照(1)中小明的思考方法，解答下列問題：

如圖3,在四邊形ABC。中，AC平分/B4D,BC=CD=10,AC=17,AD=9,

求AB的長.

27.定義：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,若a,b,c滿足"+。2=〃，則稱這個(gè)

(2)如圖1,若等腰三角形ABC是"類勾股三角形"，其中A8=BC,AC>AB,請求的

度數(shù)；

(3)如圖2,在△ABC中，ZB=2ZA,且

①當(dāng)/A=32。時(shí)，你能把這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？若能，請?jiān)趫D2中畫出分割

線，并標(biāo)注被分割后的兩個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)；若不能，請說明理由；

②請證明aABC為"類勾股三角形”.

28.已知〃組正整數(shù)：第一組：3,4,5；第二組：8,6,10；第三組：15,8,17；第四

組：24,10,26；第五組：35,12,37；第六組：48,14,50；…

(1)是否存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個(gè)數(shù)為71?若存在，請寫出這組數(shù)；

若不存在，請說明理由；

(2)以任意一個(gè)大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，是否一定可以畫出一個(gè)直角三角形，使

得該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)？若可以，請說明理由；若不可以，請舉出反

例.

29.如圖1,點(diǎn)E是正方形ABC。邊CD上任意一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG,連

接3P，點(diǎn)又是線段BF中點(diǎn)，射線EM與3C交于點(diǎn)〃，連接C/0.

(1)請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

(2)把圖1中的正方形。EFG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，此時(shí)點(diǎn)歹恰好落在線段CD上，

如圖2,其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立，請說明理由.

(3)把圖1中的正方形0EFG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，此時(shí)點(diǎn)E、G恰好分別落在線段

AD，CD上，連接CE,如圖3,其他條件不變，若。G=2,AB=6,直接寫出CM

的長度.

30.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,4),B(m,0)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C,。關(guān)于直線AB

對稱，點(diǎn)。在線段AB上.

(1)如圖1,若m=8,求AB的長；

(2)如圖2,若m=4,連接。。，在y軸上取一點(diǎn)E,使。。=。￡,求證：CE=JIDE；

(3)如圖3,若m=4jT，在射線AO上裁取AF,使AF=BD,當(dāng)CD+CF的值最小時(shí)，請

在圖中畫出點(diǎn)。的位置，并直接寫出這個(gè)最小值.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EG的對稱點(diǎn)A,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A'B的長度即

為最短路徑，由勾股定理求出AD即圓柱底面周長的一半，由此即可解題.

【詳解】

解：如圖，將圓柱展開，EG為上底面圓周長的一半，

作A關(guān)于E的對稱點(diǎn)A',連接A'B交EG于F,

則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+M的長，

即+46=25cm,

延長BG,過4作ADLBG于。，

“AE=4E=3cm,BDBG+DG=BG+AE=15-3+3=15cm,

.,.□△A'OB中，由勾股定理得：A'D=^A'B2-BD2=>/252-152=20cm-

，該圓柱底面周長為：20x2=40cm,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面展開一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)

算是解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

2.B

解析：B

【分析】

①由AB=AC,AD=AE,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形

ACE全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=CE；

②由三角形ABD與三角形ACE全等，得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等

量代換得到BD垂直于CE；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到/ABD+/DBC=45。，等量代換得到/ACE+/DBC=45。；

④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出

判斷.

【詳解】

AZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即/BAD=/CAE,

V^ABAD^ACAE中,

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.,.△BAD^ACAE(SAS),

；.BD=CE,

故①正確；

②;△BAD也ZXCAE,

.\ZABD=ZACE,

VZABD+ZDBC=45°,

；./ACE+/DBC=45°,

...NDBC+NDCB=NDBC+NACE+NACB=45°+45°=90°,

.\ZBDC=90°,

；.BD_LCE,

故②正確；

③???△ABC為等腰直角三角形，

.?.ZABC=ZACB=45°,

.\ZABD+ZDBC=45°,

VZABD=ZACE

；./ACE+/DBC=45°,

故③錯(cuò)誤；

@VBD±CE,

...在RtABDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2,

「△ADE為等腰直角三角形,

；.AE=AD,

.,.DE2=2AD2,

BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2,

在RtZ\BDC中，BD<BC,

而BC2=2AB2,

.?.BD2<2AB2,

BE-<2(AD-+AB2^

故④錯(cuò)誤，

綜上，正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握

全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3.C

解析：C

【分析】

存在2種情況，4ABC是銳角三角形和鈍角三角形時(shí)，高AD分別在4ABC的內(nèi)部和外部

【詳解】

情況一：如下圖，AABC是銳角三角形

.?.在RtZkABD中,BD=9

VAC=13,AD=12

.?.在RtZkACD中，DC=5

」.△ABC的周長為：15+12+9+5=42

情況二：如下圖，4ABC是鈍角三角形

在RtZ\ABD中，AD=12,AB=15,；.DB=9

；.BC=4

.?.△ABC的周長為：15+13+4=32

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是多解，注意當(dāng)幾何題型題干未提供圖形時(shí)，往往存在多解

情況.

4.D

解析：D

【分析】

作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)E,AE交OM于點(diǎn)D,連接BE、OE,BE交OM于點(diǎn)C,此時(shí)

△ABC周長最小，根據(jù)題意及作圖可得出AOAD是等腰直角三角形，OA=OE=3,,所以

NOAE=NOEA=45。，從而證明aBOE是直角三角形，然后設(shè)AB=x,則OB=3+x,根據(jù)周長最

小值可表示出BE=6—X,最后在Rt/XOBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】

解：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)E,AE交0M于點(diǎn)D,連接BE、OE,BE交0M于點(diǎn)C,

此時(shí)4ABC周長最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE,

「△ABC周長的最小值是6,

；.AB+BE=6,

VZMON=45°,AD_LOM,

...△OAD是等腰直角三角形，ZOAD=45°,

由作圖可知0M垂直平分AE,

AOA=OE=3,

.\ZOAE=ZOEA=45",

.\ZAOE=90°,

ABOE是直角三角形，

設(shè)AB=x,則OB=3+x,BE=6-X,

在RtAOBE中，32+（3+X）2=（6-X）2,

解得：x=l,

.,.AB=1,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用軸對稱求最值，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握作圖

技巧，正確利用勾股定理建立出方程是解題的關(guān)鍵.

5.A

解析：A

【分析】

由已知條件可證ACFE絲△AFD,得到DF=EF,利用折疊知AE=AB=8cm,設(shè)AF=xcm,則DF=（8-

x）cm,在RtAAFD中，利用勾股定理即可求得x的值.

【詳解】

:四邊形ABCD是長方形，

/.ZB=ZD=90°,BC=AD,

由翻折得AE=AB=8m,NE=NB=90°,CE=BC=AD

又：NCFE=NAFD

.?.△CFE^AAFD

；.EF=DF

設(shè)AF=xcm,則DF=(8-x)cm

在RtAAFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm,

x2=(8-X)2+62

25

x=—cm

4

故選擇A.

【點(diǎn)睛】

此題是翻折問題，利用勾股定理求線段的長度.

6.C

解析:c

【分析】

依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a=〃2—1]=/,。=〃2+1,進(jìn)而得出x+y的值.

【詳解】

解：由題可得：3=22—1,4=22,5=22+1……

a=n2—l,b=n2,c=n2+1

當(dāng)c=/+i=65時(shí)，n=8

.'.x=63,y=16

x+y=79

故選c

【點(diǎn)睛】

本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

7.C

解析：C

【分析】

(1)根據(jù)角平分線的定義可得/ABE=/CBE,根據(jù)等角的余角相等求出/A=/BCA,再

根據(jù)等角對等邊可得AB=BC,從而得證；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NA=NDFB,推出BD=OC,根據(jù)AAS證出

△BDF咨ACDA即可；

(3)根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行解答；

(4)由(2)得出BF=AC,再由BF平分/OBC和BE_L4C通過ASA證得△ABE會ZXCBE,

即得CE=AE=-AC,連接CG,由“是BC邊的中點(diǎn)和等腰直角三角形得出BG=

2

CG,再由直角△CEG得出CG2=C￡2+GE2,從而得出CE,GE,BG的關(guān)系.

【詳解】

解：(1)平分NABC,

ZABE=ZCBE,

'：CD±AB,

：.ZABE+ZA=9Q°,ZCBE+ZACB=90°,

：.ZA=ZBCA,

：.AB=BC,

A-ABC是等腰三角形；

故(1)正確；

(2)'."CDLAB,BE±AC,

：.ZBDC=ZADC=ZAEB=90°,

：.ZA+ZABE=90°,ZABE+ZDFB=90°,

：.ZA=ZDFB,

VZABC=45°,ZBDC=90°,

：.ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,

:.BD=DC,

在△BOF和△CDA中

ZBDF=ZCDA

<ZA=ZDFB,

BD=CD

.?.△BO儂△COA(A4S),

BF=AC；

故(2)正確；

(3)?.?在△BCD中，ZCDB=90",ZDBC=45°,

.?.ZDCS=45°,

/.BD=CD,BC=^BD.

由點(diǎn)，是BC的中點(diǎn)，

1

DH=BH=CH=-BC,

2

:.BD=OBH,

：.BH；BD：BC=BH：@BH：2BH=1：點(diǎn):2.

故(3)錯(cuò)誤；

(4)由(2)知：BF=AC,

BF平分/DBC,

ZABE=ZCBE,

又；BE±AC,

：.ZAEB=ZCEB,

在AABE與ACBE中，

ZABE=NCBE

<ZAEB=ZCEB,

BE=BE

:.AABE”ACBE(AAS),

1

：.CE=AE=-AC,

2

11

：.CE=-AC=—BF；

22

連接CG.

?：BD=CD,H是BC邊的中點(diǎn)，

OH是BC的中垂線，

BG=CG,

在RtACGE中有：CG2=CE2+GE2,

:.CE2+GE2=BG2.

故(4)正確.

綜上所述，正確的結(jié)論由3個(gè).

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理,熟練掌握三角形全等的判定方法并

作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

8.C

解析：C

【分析】

本題可根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0,則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0解出x、y的值，然后運(yùn)用

勾股定理求出斜邊的長.斜邊長的平方即為正方形的面積.

【詳解】

依題意得：%2-4=0,/-3=0,

x=2,y=1,

斜邊長=J4+3=xfT，

所以正方形的面積=(")2=7.

故選C.

考點(diǎn)：本題綜合考查了勾股定理與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評：解這類題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系.

9.D

解析：D

【分析】

由于BC〃AD,那么有/DAE=/ACB,由題意可知/ABC=/DEA=90°,BA=ED,利用AAS可

證△ABC之ADEA,于是AE=BC=300,再利用勾股定理可求AC,即可求CE,根據(jù)圖可知從

B到E的走法有兩種，分別計(jì)算比較即可.

【詳解】

解：如圖所示，

VBC//AD,

/.ZDAE=ZACB,

又：BC_LAB,DE±AC,

AZABC=ZDEA-90°,

又?.,AB=DE=400m,

.,.△ABC^ADEA,

.*.EA=BC=300m,

在RtZ\ABC中，AC=《AB?+BC?=500M

.".CE=AC-AE=200,

從B到E有兩種走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m,

...最近的路程是500m.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.解題的關(guān)鍵是證明

△ABC^ADEA,并能比較從B到E有兩種走法.

10.D

解析：D

【分析】

根據(jù)三角形勾股定理的逆定理符合/+/=°2即為直角三角形,所以將數(shù)據(jù)分別代入，

符合即為能構(gòu)成直角三角形.

【詳解】

由題意得：

①2?+32=13W42；②3z+4?=25=5?；③V+22=5=S],

所以能構(gòu)成直角三角形的是②③.

故選D.

【點(diǎn)睛】

考查直角三角形的構(gòu)成，學(xué)生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本題解題的關(guān)鍵，利用勾股定

理的逆定理判斷是否能夠成直角三角形.

二、填空題

11.5cm

【分析】

連接AU,分三種情況進(jìn)行討論：畫出圖形，用勾股定理計(jì)算出AC，長，再比較大小即

可得出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖

D'

A'

A

圖3

展開成平面圖，連接AU,分三種情況討論：

如圖1,AB=4,BC'=1+2=3,

...在Rt^ABC'中，由勾股定理得AC'=J42+32=5(cm),

如圖2,AC=4+2=6,CC'=1

.?.在Rt^ACU中，由勾股定理得AC'=^62+12=>/37(cm),

如圖3,AD=2,DC'=1+4=5,

.,.在Rt^ADC'中，由勾股定理得AU=722+52=V29(cm)

V5<729<>/37>

螞蟻爬行的最短路徑長是5cm,

故答案為：5cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面展開-最短路線問題和勾股定理，本題具有一定的代表性，是一道好題，注意

要分類討論.

12.3y證或加

【詳解】

分兩種情況：

（1）頂角是鈍角時(shí)，如圖1所示：

，A0=4,

OB=AB+AO=5+4=9,

在RtZ\BCO中，由勾股定理,得BC2=OB2+OC2=92+32=90,

/.BC=3回；

（2）頂角是銳角時(shí)，如圖2所示：

；.AD=4,

DB=AB-AD=5-4=1.

在RtZXBCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=IO,

BC=X/To；

綜上可知，這個(gè)等腰三角形的底的長度為3加或加.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中，分情況討論是解題的關(guān)鍵.

13.1673.

【分析】

延長C4、DB交于點(diǎn)、E,則/C=60°,ZE=30°,在RtAABE中,利用含30n角的直

角三角形的性質(zhì)求出3E=2AB=8,根據(jù)勾股定理求出AE=同理，在RAOEC中

求出CE=2CD=8。，DE=^CE2-CD2=12，然后根據(jù)S四邊形的。=SkCDE-^^ABE，計(jì)算

即可求解.

【詳解】

解：如圖，延長C4、DB交于點(diǎn)、E,

?..四邊形ABDC中，ZABD=120°,AB±AC,BD±CD,

：.ZC=60°,

??,ZE=30°,

在七AABE中，MA6=4,ZE=30°,

，BE=2AB=8,

AE=yjBE2-AB2=4小■

在及ADEC中，“NE=30°,CD=473，

CE=2CD=8/，

DE=yJCE2-CD2=12>

=2XX44=8。,

5=94諄12=243

S四邊形ABOC=SACDE-5AABE=2473一8邛=16點(diǎn).

故答案為：165/T.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，含30n角的直角三角形的性質(zhì)，圖形的面積，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造

直角三角形是解題的關(guān)鍵.

14.10

【分析】

先根據(jù)勾股定理得出標(biāo)+〃=?2,利用完全平方公式得到（a+b）2-2ab=c2,再將a+b=

3里,c=5代入即可求出ab的值.

【詳解】

解：?.,在RSABC中，直角邊的長分別為a,b,斜邊長c,

/.a2+b2=c2,

（。+b）2-2ab=c2,

,:a+b=3有,c=5,

（3吁）2-2ab=52,

ab=10.

故答案為10.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理以及完全平方公式，靈活運(yùn)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)DE垂直平分AC得出FA的長，根據(jù)相似三角形的判

定定理得出△AFDS/^CBA,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

【詳解】

?.?Rt/XABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,AC=JAB7+BC?=7?^=5;

；DE垂直平分AC,垂足為F,

15

FA=—AC=-,ZAFD=ZB=90°o,

22

：AD〃BC,/A=/C,

.?.△AFDs/XCBA,

.ADFAAD2.525山林4二25

??——7=>B14Prl=——,解侍AD=—；故答案為—.

ACBC5488

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條

直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

16.3

【分析】

作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B\過點(diǎn)B，作B-NXAB于N交AD于M,根據(jù)軸對稱確定最短路

線問題，BN的長度即為BM+MN的最小值，根據(jù)NBAC=60。判斷出AABB，是等邊三角形，

再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B\

由垂線段最短，過點(diǎn)夕作BNLAB于N交AD于M,BN最短,

由軸對稱性質(zhì)，BM=BZM,

，BM+MN=B'M+MN=B'N,

由軸對稱的性質(zhì)，AD垂直平分BB「

，AB=AB',

VZBAC=60°,

/XABB，是等邊三角形，

VAB=2,

BN=2x逆=J3,

2

即BM+MN的最小值是

故答案為JT.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對稱確定最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，確定出點(diǎn)M、N的位置

是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

17.2或18

【分析】

分兩種情況:點(diǎn)E在AD線段上，點(diǎn)E為AD延長線上的一點(diǎn)，進(jìn)一步分析探討得出答案即可;

【詳解】

AEo

解：①如圖A，

BC

點(diǎn)E在AD線段上,AABE與AABE關(guān)于直線BE對稱,

???/WBE/ZSABE,

???/BA'E=NA=90°,AB=AB

Z

---ZBAC=90%.".EsA,C三點(diǎn)共線,

CD=A'B

在AECD與△CBA，中，｛/D=/B4C,

/DEC=ZECB

：.AECD^ACBA;

CE=BC=10,

在RTACBA'中，A，C=JBC2-BA'2=V102-62=&

AE=A'E=CE-A,C=10-8=2;

AD_E

②如圖?c

點(diǎn)E為AD延長線上，由題意得：

ZA"BC+ZA"CB=ZDCE+ZA"CB=90°

ZA"BC=ZDCE,

ZA''=ZCDE

在△A"BC與4DCE中，｛C￡)=A"3

ZA"BC=ZDCE

：.AA"BC^ADCE,DE=A"C,

在RTAA"BC中，A"C=7BC2-BA"2=7102-62=8,

AE=AD+DE=AD+A"C=10+8=18;

綜上所知,AE=2或18.

故答案為：2或18.

【點(diǎn)睛】

此題考查翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，分類探討的思想

方法是解決問題的關(guān)鍵.

18.①②③

【解析】

【詳解】

解：?.?△ABC是等邊三角形，

ZABC=601,

VASQC^ABRA,

：.ZBPA=ZBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=ZQBC,

ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60',

...△BPQ是等邊三角形，①正確.

PQ=BP=4,

HP22+eC2=42+32=25,PC2=52=25,

PQ2+QC2^PC2,

.?.4?。。=90：,即4。。。是直角三角形，②正確.

VASPQ是等邊三角形，

ZPBQ=ZBQP=60-',

:△BQ0ABPA,

：.ZAPB=ZBQC,

NBPA=ZBQC=60'+901'=150',③正確.

ZAPC=360j-150'-601'-ZQPC=150；-ZQPC,

“/PQC=90'1，PQMQC,

ZQPC^45!,

即ZAPC*135b④錯(cuò)誤.

故答案為①②③.

7

19.--

8

【解析】

ZC=90°,AB=5,BC=4，.=AC=J52_42=3.

AB的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D，.二BD=AD.

7

設(shè)CD=x,貝ljAD=BD=4-x,在RtAACD中，3?+f=(4一彳/，解得：x=_.故答案為:

8

7

8-

20.3或或而’

【分析】

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC,勾股定理求出AB,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即

可.

【詳解】

11

BC=—AC=—x8=4,

22

由勾股定理得，AB=7AC2-BC2=價(jià)-42=46

..A。=4--褥=3/

當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，ZA=30°,AP=2PD,

.\ZADP=90°,

貝I」AD?+PD2=AP2,即（3。）2=（2PD）2-PD2,

解得，PD=3,

當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，AP=2PD,AD=3，T，

R.PD=3

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，AP=2PD,

設(shè)PD=x,則AP=2x,

由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=X2-3,

（2x）2—3國=X2-3

解得，x=jr?

故答案為：3或?；蚣覾

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,

b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

三、解答題

21.(1)90。；(2)證明見解析；(3)變化，2+追〈/<4.

【分析】

(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得/ABC=NACB=60。，由等腰三角形的性質(zhì)可求

DAE=/DEA=30。，由三角形內(nèi)角和定理可求解；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可證得NCDF=NDEA和NEDB=NDFA,由此可利用"ASA”證

明全等；

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/=2+AD,根據(jù)AD的取值范圍即可得出/的取值范圍.

【詳解】

解：(1);△ABC是等邊三角形，

；.AB=AC=BC=2,ZABC=ZACB=60°,

VAD=DE

.\ZDAE=ZDEA=30°,

ZADB=180°-ZBAD-ZABD=90",

故答案為：90°；

(2)VAD=DE=DF,

.\ZDAE=ZDEA,NDAF=NDFA,

VZDAE+ZDAF=ZBAC=60°,

.\ZDEA+ZDFA=60°,

ZABC=ZDEA+ZEDB=60°,

；.NEDB=/DFA,

ZACB=ZDFA+ZCDF=60°,

.\ZCDF=ZDEA,

在ABDE和ACFD中

ZCDF=ZDEA

JDE=DF,

ZEDB=ZDFA

/.△BDE^ACFD(ASA)

(3)VABDE^ACFD,

；.BE=CD,

/=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD,

當(dāng)D點(diǎn)在C或B點(diǎn)時(shí)，

AD=AC=AB=2,

此時(shí)B、D、E三點(diǎn)在同一條直線上不構(gòu)成三角形，2+AD=4；

當(dāng)D點(diǎn)在BC的中點(diǎn)時(shí)，

VAB=AC,

.,,BD=|BC=I,AD7AB2-BD'=3

止匕時(shí)/=2+A￡)=2+0

綜上可知2+/w/<4.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

三角形內(nèi)角和定理.(1)掌握等腰三角形等邊對等角是解決此間的關(guān)鍵；(2)中注意角

之間的轉(zhuǎn)換；(3)中注意臨界點(diǎn)是否可取.

29

22.(1)①見解析；②DE=?。虎艱E的值為36或3g

【分析】

(1)①先證明NDAE=NDAF,結(jié)合加=DA,AE^AF,即可證明；②如圖1中，設(shè)DE=

22

X,貝l]C0=7-x.在RtADCF中，由OF2=CO2+CF2,CF=BE=3,可得X2=(7-X)+3,

解方程即可；

(2)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖2中，連接BE.由推出

ZABE=ZC=ZABC=45°,EB=CD=5,推出/EBO=90°,推出DE2=BE2+BD2=62+32=

45,即可解決問題；②當(dāng)點(diǎn)。在CB的延長線上時(shí)，如圖3中，同法可得OE2=i53.

【詳解】

(1)①如圖1中，

?.?將"BE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到AAFC,

:.△BAE"ACAF,

：.AE=AF,ZBAE=ZCAF,

?.?/a4C=90°,NE4O=45°,

：.ZCAD+ZBAE=ZCAD+ZCAF=^5°,

：.ZDAE=ZDAF,

"：DA=DA,AE=AF,

.?.△AED0AAFD(SAS)；

②如圖1中，設(shè)。E=x,則C0=7-x.

\'AB=AC,/BAC=90°,

：.ZB=ZACB=^5°,

'：ZABE=ZACF^^°,

：.ZDCF=90°,

；AAED咨AAFD(SAS),

：.DE=DF=x,

?..在RtAOCF中，DF2=CD2+CF2,CF=BE=3,

.\x2=(7-x)2+32,

29

；.x=——,

7

(2)VBD=3,BC=9,

，分兩種情況如下：

①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖2中，連接BE.

,：ZBAC=ZEAD=90°,

：.ZEAB=ZDAC,

"：AE=AD,AB=AC,

.,.△EAB汜ADAC(SAS),

：./ABE=/C=ZABC=45°,EB=CD=9-3=6,

：.ZEBD=90°,

：.DE2=BE2+BD2=62+32=45,

：.DE=3yj5;

②當(dāng)點(diǎn)。在CB的延長線上時(shí)，如圖3中，連接BE.

同理可證ADBE是直角三角形，EB=CD=3+9=12,。8=3,

DE2=EB2+BD2=144+9=153,

.,.DE=3VT7,

綜上所述，DE的值為3/或3JT7.

E

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理，添加輔助線，構(gòu)

造旋轉(zhuǎn)全等模型，是解題的關(guān)鍵.

23.(1)a=8,b=15,c=17；(2)能，60

【分析】

(1)根據(jù)算術(shù)平方根，絕對值，平方的非負(fù)性即可求出a、b、c的值；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面積和周長

【詳解】

解：(1)Va,b,c滿足內(nèi)=+6^?=|。-17|+按-30加225,

?*?，8-a+y]a-8=Ic-17I+(Z?—15)2,

.?.a-8=0,b-15=0,c-17=0,

...o=8,b=15,c=17；

⑵能.

由(1)知a=8,b=15,c=17,

.,.82+152=172.

/.a2+c2—b2,

此三角形是直角三角形，

三角形的周長=8+15+17=40；

三角形的面積=1x8x15=60.

2

【點(diǎn)睛】

此題考查算術(shù)平方根，絕對值，平方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀.

24.(1)作圖見解析，ZDBC=20°；(2)作圖見解析，ABAC=35°；(3)/A=45。

或90°或90°—2a或45°—La,或a=45°時(shí)45°</BAC<90°.

2

【分析】

(1)根據(jù)二分割線的定義，只要把/ABC分成90。角和20。角即可；

(2)可以畫出/A=35。的三角形；

(3)設(shè)B。為AABC的二分割線，分以下兩種情況.第一種情況：ABDC是等腰三角形，

△A3。是直角三角形；第二種情況：ABDC是直角三角形，AABO是等腰三角形分別利用直

角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】

解：(1)AABC關(guān)于點(diǎn)8的二分割線B。如圖4所示，/DBC=20°；

故答案為：20°；

BC

（3）設(shè)B。為△ABC的二分割線，分以下兩種情況.

第一種情況：△BDC是等腰三角形，△AB。是直角三角形，易知/C和/DBC必為底角,

：.ZDBC=ZC=a.

當(dāng)NA=90°時(shí)，△ABC存在二分分割線；

當(dāng)/ABD=90°時(shí)，ZkABC存在二分分割線，此時(shí)/A=90。-2a；

當(dāng)/ADB=90°時(shí)，△ABC存在二分割線，此時(shí)a=45°且45。</人<90。；

第二種情況：△BOC是直角三角形，△AB。是等腰三角形，

當(dāng)/DBC=90°時(shí)，若BD=AD,則△ABC存在二分割線，此時(shí)

1800-90°-a/。1

ZA=-----------------=45°--a；

22

當(dāng)/BDC=90。時(shí)，若BO=A。，則△ABC存在二分割線，此時(shí)/4=45。，

綜上，/A=45°或90°或90。一2a或45°—1a,或a=45。時(shí)，45。＜/BACV90。.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二分割線的理解與作圖，屬于新定義題型，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、

直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理等知識，正確理解二分割線的定義、熟練掌握等

腰三角形和直角三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

9

25.（1）該命題是真命題，理由見解析；（2）①a的值為一；②k的取值范圍為

2

l<k<3；（3）AA6C的面積為竺且或吆目.

35

【分析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、優(yōu)三角形和優(yōu)比的定義即可判斷；

（2）①先利用勾股定理求出c的值，再根據(jù)優(yōu)三角形的定義列出a,Ac的等式，然后求解

即可；

②類似①分三種情況分析，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出每種情況下a力，。之間的關(guān)

系，然后根據(jù)優(yōu)比的定義求解即可；

（3）如圖（見解析），設(shè)M=x,先利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求出AC、AB的

長及AA5c面積的表達(dá)式，再類似（2）,根據(jù)優(yōu)三角形的定義分三種情況分別列出等

式，然后解出X的值，即可得出AA5c的面積.

【詳解】

（1）該命題是真命題，理由如下：

設(shè)等邊三角形的三邊邊長為a

則其中兩條邊的和為2a,恰好是第三邊a的2倍，滿足優(yōu)三角形的定義，即等邊三角形為

優(yōu)三角形

又因該兩條邊相等，則這兩條邊的比為1,即其優(yōu)比為1

故該命題是真命題；

（2）①“/ACB=90。*=6

c-Ji?+/—yja?+36

根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：

當(dāng)”+b=2c時(shí)，4+6=2，片+36，整理得〃2—4〃+36=0,止匕方程沒有實(shí)數(shù)根

._____9

當(dāng)〃+c=2b時(shí)，〃+Qa2+36=12，解得〃=]

當(dāng)b+c=2a時(shí)，6+JQ2"36=2a，解得〃=8>6,不符題意，舍去

9

綜上，a的值為一；

2

②由題意得：。，瓦。均為正數(shù)

根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：QcNbNa)

b

當(dāng)〃+b=2c時(shí)，則上=一21

a

由三角形的三邊關(guān)系定理得匕一。<c<a+b

a+bh

則b—〃<―-<a+b,解得b<3i,即左二—<3

2a

故此時(shí)k的取值范圍為1〈人<3

當(dāng)〃+c=2b時(shí)，則左二￡21

a

由三角形的三邊關(guān)系定理得c-4<b<〃+c

〃+「C

則c