巴中市普通高中2021級“一診”考試

數(shù)學(xué)（理科）

（滿分150分120分鐘完卷）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置.

2.答選擇題時請使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題答題時必須用0.5

毫米黑色墨跡簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置，在規(guī)定的答題區(qū)城以外答題無效，在

試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合A={x|x<l,或尤>3},8={%|/-6%+8<。},則集合（"A）c3=（）

A.{x|3<x<4}B.[x\2<x<3}C.{x|2<x,,3}D.0

3.已知a=5+2C,c=5—2?,若a/,c三個數(shù)成等比數(shù)列，則〃=（）

A.5B.lC.-lD.-l,或1

4.已知。力是實數(shù)，則“a>6”是“片>〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知向量a1滿足|。|=1,|Z?|=2夜a+Z?|=|a—人|,則cos〈。/一。〉=（）

A_1R1,2&口20

3333

6.已知直線辦“與平面名下列命題中正確的是（）

A.若acy=m,0cy=n,貝!]m"

B.若〃z〃，則。_L〃

C.若a〃dmLa,。,則加〃7

D.若a10,ac0=n,mLn,則m±a

LA

7.ABC中，角ABC的對邊分別為。，仇c,若J3a?I1。=2（:-052—.則A=（）

2

57r2兀7tit

A.—B.—C.—D.一

6336

8.從0,1,2,3四個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中任取一個數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（）

2511

A.一B.一C.一D.一

3923

9.已知拋物線C:/=4%的焦點為尸，過點（2,0）的直線交拋物線C于A3兩點，點Q在直線上且

OQLAB（。為坐標(biāo)原點），則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.|F2|=1

B.OAOB=-4

C.|E4|+|EB|的最小值為6

D.Q4B的面積的最小值為8后

10.在三棱錐P—ABC中，側(cè)面K43是等邊三角形，平面上43,平面ABCABLBC且AB=6C=2,則

三棱錐尸-ABC外接球的表面積為（)

1372兀196兀28兀7兀

A.---------B.-------C.------D.——

81933

11.若函數(shù)/（%）=2?%2+3兀-1在區(qū)間（-1,1）內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)。的取值集合為（）

A.{d-1<a<2]

9

B.{a\a-——,或—1v〃V2}

8

C.{a|—啜收2}

9

D.{〃|〃=—,或一1張必2}

8

若/(%)”/[]/]1一%]=一/(》)，且/(%)在

12.已知函數(shù)/■(力=sin(ox+9)a>>0,\(p\<^\,

715兀

上單調(diào)，則①的取值可以是（

1912

A.3B.5C.7D.9

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上.

131x+4j的展開式中的常數(shù)項等于.（用數(shù)字作答）

2%+y..0,

14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件12%+3y-4,,0;則3%-2y的最小值為.

2x-y-4?0

15.已知奇函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)為若當(dāng)X<0時;?（%）=V,且r（-l）=0.則/（%）的單調(diào)增區(qū)

間為.

22

16.己知雙曲線土—上=1的左，右焦點分別為K,心，點P在直線x—2y+6=0上.當(dāng)一月尸鳥取最大值

124

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試

題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答

（一）必考題：共60分

17.（12分）

已知數(shù)列｛??｝的前n項和為Sn,且乙是S”與2的等差中項.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

]

（2）設(shè)〃=k>g24，求數(shù)列<>的前幾項和

bn(2+2)

18.(12分)

如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，A41=AB=AC=2,M,N分別是8C,CG的中點，AB.LMN.

（1）證明：平面；

（2）求MN與平面A3]N所成角的正弦值.

19.（12分）

下圖是某市2016年至2022年生活垃圾無害化處理量?。▎挝唬喝f噸）與年份/的散點圖.

y

1.80....................................................................*.....

1.60.........................................................................

1.40......................................*........??…二......

1.20...............節(jié)??…?*........................

1.00…...............................................................

0,801234567/

注：橫軸為年份代碼1,1-7分別對應(yīng)2016-2022,

蟻軸為年生活垃圾無害化處理量y

（1）根據(jù)散點圖推斷變量y與/是否線性相關(guān)，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）建立y關(guān)于1的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測2024年該市生活垃圾無害化處理量.

777

參考數(shù)據(jù)：=9.06,￡行產(chǎn)39.33,2（丫-9『=036,療。2.646.

z=li=lz=l

n?_

2?/一"7,歹_￡&一『）（以一》）

參考公式：b=^----------,d=y-bT.相關(guān)系數(shù)廠汩.

1Vi=i/=i

20.（12分）

己知橢圓C:￡+，=l（a〉0〉0）的離心率為弓，左頂點分別為A&G為C的上頂點，且..A3G的面

積為2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點（4,0）的動直線與C交于M,N兩點.證明：直線A"與BN的交點在一條定直線上.

21.（12分）.

x

已知函數(shù)/（%）=-e---ax+a\nx.

x

⑴設(shè)g（x）=4（x），證明：當(dāng)q,e時，過原點。有且僅有一條直線與曲線y=g（無）相切；

（2）若函數(shù)/（X）有兩個零點，求。的取值范圍.

（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計分.

22.（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在直角坐標(biāo)系xQy中，已知曲線G：1C（4為參數(shù)）和圓C2：%2+y2—4x=o.以坐標(biāo)原點。

[y=2+2sin/7

為極點，以％軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線G和圓。2的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)過點。傾斜角為a0<a<：的直線/分別與曲線G和圓02交于點A3(異于原點。),求

A5C2的面積的最大值.

23.(10分)【選修4-5：不等式選講】

已知函數(shù)/(%)=2卜+1卜|%—1|.

(1)解不等式〃x)>2x+l；

(2)若不等式"￡)<*2-1+加恒成立，求機的取值范圍.

巴中市普通高中2021級“一診”考試

數(shù)學(xué)參考答案（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

題號123456789101112

答案BCDDABCBDCDA

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.6014.-715.（-1,0）,（0,1）wg

三、解答題：共70分

17.（12分）

解:（1）方法1

由題意，得2a,=S“+2

*'-2%+i=S^+i+2

兩式相減得2〃〃+1-2an=Sn+i—Sn=an+i,化簡得an+i=2an

取〃=1得2q=%+2,解得％=2

?.?｛%｝是以2為首相，2為公比的等比數(shù)列

「?2=2"?

方法2

由題意，得2%=S〃+2

取〃=1得2%=%+2,解得％=2

當(dāng)九.2時，2（Sn-Sn_｝）=Sn+2,整理得S,=2Sa+2

Sn+2=20_]+2）,5]+2=4+2=4

???｛S“+2｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列

S?+2=4-2,,-1=2"+1

?a_S:+2_

2

(2)由(1)得：bn=log2a?=log22"=n,故么+2="+2

11111

?〃(〃+2)M"+2)2nn+2

3n~+5n

故雹=-5----------------

4/+12〃+8

18.（12分）

解：（1）證法1

由AB=AC且.5河=QW得AM，BC

由直梭柱的性質(zhì)知BBl±平面ABC.

又AMu平面ABC

BBl±AM

BB[CBC=B,BBi,BCu平面BCC^

.?.AM,平面3CC1用

肱Vu平面BCC14

:.AM±MN

'■AB】_LMN,AMnABX=A,AM,AB；u平面ABXM

.?.ACV，平面A4M.

證法2

由AB=AC其9=QI/得AM

出直棱柱的性質(zhì)知，平面8CG4，平面ABC

又AMu平面ABC，峋BCGBIC平面ABC=BC

.?.AM，平面BCG用

MNu平面3。。1片

:.AM±MN

AB]_LMN,AMnAB{=A,AM,ABXu平面ABXM

.?.ACV，平面A4M.

（2）方法1

由（1）知MN，平面陰M,又與Mu平面

MN1BXM,故/B[MB=NMNC

又tan/B^MB=%,tanNMNC=里，BB]=2,CN=-CC,=1,BM=CM

1BMCN121

:.BM2=2-

BC2=4BM~=S=AB-+AC2

故ABLAC,從而A5,AC,M兩兩垂直

以A為原點，AB,AC,A4,分別為羽％z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z

出題意得,A(O,O,O),M(1,1,0),5；(2,0,2),7V(O,2,1)

ABX=(2,0,2),AN=(0,2,1),MN=(-1,1,1)

設(shè)平面ABM的一個法向量為u=（尤,y,z）

u-AB,=0,f2x+2z=0,

1得〈取z=-2得”=(2,1，-2)

u-AN=0[2y+z=0

設(shè)"N與平面A31N所成角為氏則

_|—2><：1+1><：1+1*(-2)|_百

sin0=|cos〈u,MN〉|=

\u\-\MN\~3x73-3

MN與平面AB[N所成角的正弦值為

3

方法2

由（1）知MV，平面A4”,又4"U平面A4M

MN±BXM,故NB[MB=NMNC

又tan/4Ms=外,tan/MNC=—,BB,=2,CN=-CC.=1,BM=CM

1BMCN121

BM2=2)故BM=4i=CM

BC2=8=AB2+AC2,MN=^CM2+CN2=6,B1M=+BB；=瓜

..AB.LAC,故

二匕,,MN=-X-XAMXMNXB.M=1

A-Z5J/KZ2V32]

又ABX=qBBi+AB?=272,同理可得AN=y/5,B1N=3

AB：+BN-AN。行4.72

..cos/AB]N=-----------------------=,故sin/AB,N-

12AB[XB\N212

:.S.=-AB.xB.Nsin^AB,N=-x2yf2x3x—=3

AR"TNV211122

設(shè)點M到平面ABM的距離為d,MN與平面AB】N所成角為6

3%-AB]N

則」=

uAB]N3

sin。="-=W,即MN與平面AB[N所成角的正弦值為B

MN33

19.(12分)

、_1+2+3+4+5+6+728/

解:(1)t=--------------------------=——=4

77

7

222222

Z,—亍)2=(-3)+(—2)2+(-1)+0+1+2+3=28

i=i

77

￡。-亍)(X-刃=-7號=39.33-4X9.06=3.09

i=li=l

3.09

”0.97

2x2.646x0.6

由y與/的相關(guān)系數(shù)約為0.97表明：y與『的線性相關(guān)程度相當(dāng)高

可用線性同歸模型擬合y與t的關(guān)系.

7

,￡（-）（y三）

⑵由廣手

a1.29及(1)得7

Z(—)2

i=l

a=J-Z，r?1.29-0.11x4?0.85

?■?丫關(guān)于/的回歸方程為y=0.85+0.11?

代2024年對應(yīng)的年份代碼t=9入回歸方程得：y=0.85+0.11x9=1.84

預(yù)測2024年該市生活垃圾無害化處理量將約為1.84萬噸.

20.（12分）

解：（1）由題意得五王=立，化簡得a=23

a2

又SABC=JA5|><QG|=M=2

a=2,b=1

，橢圓。的方程為三+y2=l

4-

（2）方法1：由（1）得4（一2,0）,5（2,0）

設(shè)/a,%)川(為2，%)，直線M4：y=m(x+2),直線NB:y="(x-2)

由m(x+2),得(]+4>)九2+16加光+]6病一4=0

X2+4/-4=0、)

?工16/TZ-4由2-8m4m小

山于-2%=---------—，戰(zhàn)X]=--------K,y=--------K

1+4m21+4m21+4m2

2)'得(l+4/)%2一16/尤+16/-4=0

由,

27

X+4/_4=01

16/—4

由于2%2=

1+4/1+4"'2I+4”2

X.-4Xr,-4

由題設(shè)知」一=一一,代入①②化簡得（4加+1）（3加+〃）=。

%%

1_—4m2rl_m

省4zm+l=0,則加〃=—,此時%一用24機2/一I一%

4m+—

4

故M,N重合，即直線/橢圓C相切，不合題意

/.m=-3n

???點P（x,y）滿足y=m（x+2）且y=-3m（x-2）,聯(lián)立解得x=1

即AM與BN的交點在定直線X=1上.

方法2：由（1）可得4（—2,。）,4（2,0）,設(shè)“（不乂）,"（九2，%）

山題意知，直線MN的斜率不為0,設(shè)其方程為x=7砂+4,且

x=my+4,/

由＜八4/-4=。消去x整則4+小卜2+8沖+12=0

則一=16（療-12）＞0,解得網(wǎng)＞26

—8m12

由根與系數(shù)的關(guān)系得%+%=2

4+根2'-1'24+m

%（）直線的方程為丁=上彳（》-）

直線MA的方程為丁=x+2,2

%1+2九2-2

聯(lián)立直線與直線NB的方程可得:

x+2_y2a+2）_%（⑵i+6）_玫）科+6（%+%）-6%

%-2%（%2-2）乂（冽為+2）/孫％+2%

12,-8m「-36m「

m-----y+o-"一6%

4+根，

IF12m。.

mx----5；+2%------7+2y

4+m4+m2*4

龍+2

由----二-3可得％=1,故AM與3N的交點在定直線x=l上

x-2

方法3：由（1）可得4（-2,0）,4（2,0）,設(shè)加（4%）,"（々,為）

由題意知，直線MN的斜率不為0,設(shè)其方程為％=陽+4,且|時＞26

:如:'消去整理得（）加

由＜x4+W,2+8y+]2=o

x+4y-4=0、7

則△=16^m2—12)>0,解得網(wǎng)>26

-8m12

由根與系數(shù)的關(guān)系得%+%=4+m2'"%4+m2

當(dāng)線論的方程為安栓（、+2），自線NB的方程為“言（、一2）

聯(lián)立得%(馬-2)(x+2)=%(石+2)(x-2)

代入石=myl+4,X2=加%+4得：（歿跖+2乂）（％+2）=（歿跖+6%）（兀一2）

12m-16m12m

-------7"1--------7

4+m4+m4+m2

即Q+M2-%}%+2）=Q+加2+3%}%-2）,化簡得x+2=_3（1_2）

解得x=l,故A"與BN的交點在定直線x=l上.

方法4：設(shè)由題可知MN的斜率一定存在，設(shè)/:丁=加（%—4）

ym^x4）,得（1+4/—32加2%+644一4=0

犬2+4/_4=0'>

V3

(—32〃)—4(1+4/)(64加2-4)=16(1—12后)>0,解得—<m<

6~6

由根與系數(shù)的關(guān)系得石+x,=巫=,X/,=64m2-4

1+4加l+4m2

又腸l:y=T^(x+2),2VB:y%(I)

工2—2

聯(lián)立解得：.=2（…々…x+2%）

%為一%2乂+2乂+2%

2(%/+%%-2%+2%)—(―X%+%%+2%+2%)

5%2—2)+2

=4初10機(玉+九16m=2m[2玉龍-5(%+x2)+8]

.64m2—4_32m2-8(1+W)

=2m2x------------5x---------+8二2m+8=0

1+4m1+4m1+4/772

:.x=l,即AM與BN的交點在定直線x=l上.

方法5：設(shè)加（%,%）川（%,％），由題意知MN的斜率一定存在，設(shè)/:丁=加（九一4）

y,m^x4）,得（]+4療）九2-32/〃2工+8四2_4=0

山＜

x2+4y2-4=017

l-12m2）＞0,解得-叵＜m＜叵

（-32療）—40+4加'2）（64m2-4）=16（

66

由根與系數(shù)的關(guān)系得32A石ZZ2+々=胃64加，2—4

?。?4療-4_128療+16、

加2「玉龍2-4（玉+尤2）+16]Il+4m2l+4m2）3r

??ki^fnkjcrn-T7=7.7.=一

,再九2—2（再+尤2）+464m2-464m24

1+4m21+4m2七

%2yy11

由:+%=i得工73,^^5=_7,即上“B=_z②

由①②得左NB=一34"A

.,.直線MA的方程為y=kMA(x+2),直線NB的方程為y=-3^(x+2)

聯(lián)立直線MA與直線NB的方程解得x=1

AM與BN的交點在定直線x=1上.

方法6：

設(shè)M4與NB交于點尸（0,%）,則AM：y=^—（x+2）,NB:y=上不（》—2）

Xp+ZXp—z

代入+/=1'解得X"=加1I：；；?："

._8君-2（%p-2）__4（馬_2）力

/=（與-2）2+4.=（%―2『+4yJ

-4（”2）%,4（與+2）力

由題設(shè)知

8%-2（Xp-2）~_42國+21-8第4

（%―2）+4次（%+2）+4次

（xP-2）yP(如+2)小

即0

根據(jù)題意知聞<2,故42_4寸_4<0

xp=l,即AM與BN的交點在定直線x=l上.

注：

本題第(2)問的解法1,解法4,解法6是參照2024年版《高考試題分析(數(shù)學(xué))》P225228對2023年高

考新課標(biāo)〃卷第21題的解題思路給出的.

21.(12分)

解：(1)證法1

由題意，g(x)="-or2=-2ar+6z+4zlnx(x>0)

設(shè)過原點的直線與曲線y=g(x)相切于點”,g⑴)，貝|

d—a廠:"In/="一2公+a+aInt">0),變形化簡得(/f(d—成)=0

=ex—ax,則“(%)="-a

若④0,則當(dāng)X〉o時恒有秋無)>0,此時方程①有唯一解『=1

過原點0的有且僅有一條直線y=(e—a)x與曲線y=g(x)相切

^r0<?,,e,則"(x)<0得0<x<ln?,由尤)>0得x>lna

；,(幻皿=^(lna)=a(l-lna)..O,方程①有唯一解f=1

???過原點0有且僅有一條直線與曲線y=g(%)相切.

綜上，當(dāng)《，e時，過點。有且僅有一條直線y=(e—a)x與曲線y=g(x)相切.

證法2

由題意，g(x)=ex—ax2+cuAnx,g'(x)=ex-2ax+a+a\nx{x>0)

設(shè)過原點的直線與曲線y=g(x)相切于點g(。)，貝U

e―或+"=￡—2G+a+aln/?〉0)變形化簡得“一1)一—a=0①

t\t7

設(shè)夕(。=--a(t>0),則=匕(：°

當(dāng)0v%<1時夕'V。,單調(diào)減；當(dāng)方>1時0")>0,單調(diào)增

=^l)=e-a

由④e知a>)而n=0(l)=e—a.O,當(dāng)H.僅當(dāng)f=l取等號

???當(dāng)④e時，關(guān)于f的方程①有唯一解f=l

當(dāng)④e時，過原點。有且僅有一條直線與曲線y=g(x)相切.

(2)方法1

〃x)=y—"L>o

內(nèi)(1)知：當(dāng)6,e時，ex-ax..0

故當(dāng)0<x<l時/'(九)<0,當(dāng)x>l時/''(x)>0

=a.0,此時/'(%)至多一個零點，份題意

當(dāng)a〉e貝"，設(shè)/z(x)=eX-at

由(1)中方法1知例?1n=a(lTna)<0

又入(0)=1>0,"⑴=e-a<0,/z(21na)=a(a-21n?)>0

.,/(x)在(0,1),(1,+8)各有一個零點，設(shè)為％，w(v<4)

.??/'(九)有三個零點和1,々,且0<%<1<%2

當(dāng)0<%<凡，或1<X<%2時，/，(%)<0；當(dāng)不<%<1,線x>%2時，/'(x)>0

二/(%)的極大值為f(l)=e-a<O,f(x)的極小值為/(xj和/(%2)

且/&)<〃1)<0"(%)<〃1)<0

又當(dāng)xf0,或Xf+8時，都有

..?/(x)恰在(0,%)和(％，+。)各有一個零點，符合題意

，。的取值范圍為(e,+“)

方法2

由/(x)=J_ax+alwc變形得/(x)=ex^m-a(x-lav)

X

令JF?)=/—〃/=x—lnx(%>0),則/二1一工

當(dāng)0<x<l時，f<0：當(dāng)x>l時，f>0

?」min=lTnl=l,故

X當(dāng)0<x<l時，有/=x—lrLt>-lrLt,此時?的取值范圍為(L+°°)

當(dāng)X>1時，由直線上升與對數(shù)增長的比較知，/的取值范圍為。,+")

故對任意的/()>1,關(guān)于％的方程x-lnx=fo(/o>1)恒有兩個解

.??/(%)有兩個零點等價于F(t)在(1,+”)有且僅有一個零點

由(1)知，當(dāng)q,e時，尸(。..0在［1,+8)恒成立，當(dāng)巴儀當(dāng)口=0/=1取等號

當(dāng)④e則，八了)至多一個零點，不合題意

當(dāng)a〉e時，由(1)知尸(。而口=F(Ina)=a(1-Intz)<0

又E(l)=e-a<0,且為(21na)=a(a-21na)>0

F(Z)在(1,+oo)有且僅有一個零點

綜上可知，a的取值范圍為(e,+“).

方法3

XXX

由/(%)=----1%+變形得/(%)=----aln—

令G?)=，-aln//=J(%>0)，則，^

%x

當(dāng)0<%<1時，f<0；當(dāng)x>l時，t'>0

e>故f-e

又當(dāng)0<%<1時，有r=J〉上，此時/的取值范圍為(e,+“)

XX

當(dāng)x>l時，由直線上升與指數(shù)爆炸的比較知，f的取值范圍為(e,+8)

故對任意的八>e,關(guān)于％的方程《=%00〉e)恒有兩個解

.??/(X)有兩個零點等價于G(r)=力在3+“)內(nèi)有唯一零點

又G，a)=l一臺小e)

⑴當(dāng)6,e則，G'⑺..0,G(。在(e,+“)足增函數(shù)，止匕則GQ).=e—a.O

當(dāng)且僅當(dāng)。=/=e取等號，故“，e時，/(無)至多一個零點，不合題意

(ii)當(dāng)a〉e時，若e<t<a,則G'(f)<0；若/>a,則G'(/)>0

此時=G(a)=a(l-lna)<0

又G(e)=e-a<0,且G(a2)=q(a-21na)>0

.?.G(。任(e,+。)有且僅有一個零點

綜上可知，。的取值范圍為(3+”).

方法4

^y^x-lwc,貝Uy，=]」

X

當(dāng)Ov%vl時，y<0；當(dāng)%>1時，y'>。

二.(九—InxLn=1-Ini=1,故x—1—Inx.0,且爐—jdnx>0

由/(x)=0得竺—以+ahu=0,變形得丁《-----a=0

xx-x\nx

令H(x)=———a,則/(x)有兩個零點等價于H(x)有兩個零點

x-xlnx

“、ex(x-l-lnx)

〃(刈=1------『一0，當(dāng)且僅當(dāng)X=1時取等號

(x-xlnx)

.??當(dāng)0<x<1時廳(X)<0,H(X)單調(diào)遞減：當(dāng)x>1時〃'(%)>0,H(%)單調(diào)遞增

，H(X)min=用1)=6-。

由8(%)有零點知e-a<0,貝|a〉e

X當(dāng)Ovxvl時，〉1，故“(%)〉1-----

%-xiwc

L1--*r-t?911TT

取x——,〃￡NT,則x—xlnx——--I---

de2nen

[77

X,頭〃一>+8時，有X—>09且九2—xllLV=1----->0

enen

，當(dāng)XfO時〒^------>+8(如下圖)，故“(X)—+。

x-xiwc

當(dāng)尤＞1時，保而當(dāng)兄一+8則，三?f+。

XX

當(dāng)％f+oo是+。

故當(dāng)a＞e時，》（%）在（0,1）和（1,+。）各有一個零點，故"％）有兩個零點

，。的取值范圍為（e,+“）

（-）選考題：共10分.

22.（10分）

x=2cos"x=2cos0,消去參數(shù)p得V+V—4^=0

解:（1）由＜變形得《

y=2+2sin尸y-2=2sin〃

代夕cose=x,psine=y入G和G的普通方程并化簡得：

3:p=4sin。,G：夕=4cos。

「?直線G的極坐標(biāo)方程為P=4sin8,圓C2極坐標(biāo)方程為p=4cosO.

(2)方法1

由題意，設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程為6=a(〃￡R)

代8=a(〃￡R)入夕=4sin6得A(4sin。,。),故|OA|=4sina

代夕=a(〃￡R)入Q=4sinO得5(4€05。,0,故|。因=4cosc

由0<a<：■知cosa>sina,印\OB\>|CH|

由圓C2的方程得|。。2|=2

x

??SABC2~BOC?_SAOC.=-|OC2|x^|OB|-|OA|)sin6if

=4(cosa-sin。)sin。=2sin2a+2cos2a-2

=2缶“2々+：）—2,,2后—2[0<a<；J

7T

當(dāng)且僅當(dāng)a=一時取等號

8

ABC2的面積的最大值為2立—2.

方法2

由題意，設(shè)直線/的極坐標(biāo)方程為。=。（夕eR）

代e=(z(夕wR)切=4sin8得A(4sina,a),故=4sina

代6=a(夕wR)入夕=4sin8得5(4cos(z,a),故|OB|=4cosa

由0<a〈:知，[AB]=|O/?|-|OA|=4(cosa—sine)

由圓。2的方程得|°G|=2

設(shè)。2到直線I的距離為d,則d=\OC2\sina=2sina

=-xt/x|AB|二4(cos-sinor)sina-2sin2o+