2023年廣東省深圳市南山外國語集團(tuán)聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共9小題，共27.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列運(yùn)算正確的是（）

A.B.Q，

C.（0+4=〃+/D.J（-5）2=5

2.地球上陸地面積約為149000000km2,數(shù)字149000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.49X107B.1.49X108C.1.49xl09D.1.49xlO10

3.“成語”是中華文化的瑰寶，是中華文化的微縮景觀.下列成語：①“水中撈月”，②“守株待兔”，

③“百步穿楊”，④“甕中捉鱉”描述的事件是不可能事件的是（）

A.①B.②C.③D.@

4.圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，S主=/+3x,S左=_?+羽則5俯=（）

主視圖左視圖

C.x2+4x+3D.2X2+4X

5.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括

開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就.《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有善

行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相

同時間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步.若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少

步才能追上？（注：步為長度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是

（）

60100…

A.x=100---%B.X—100H---Xc.W2%=ioo+xD.---x=100—x

1001006060

6.五名同學(xué)捐款數(shù)分別是5,3,6,5,10（單位：元），捐10元的同學(xué)后來又追加了10元.追加后的5

個數(shù)據(jù)與之前的5個數(shù)據(jù)相比，集中趨勢相同的是（）

A.只有平均數(shù)B.只有中位數(shù)C.只有眾數(shù)D.中位數(shù)和眾數(shù)

7.小王同學(xué)從家出發(fā)，步行到離家。米的公園晨練，4分鐘后爸爸也從家出發(fā)沿著同一路線騎自行車到公

園晨練，爸爸到達(dá)公園后立即以原速折返回到家中，兩人離家的距離y（單位：米）與出發(fā)時間x（單位:

分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則兩人先后兩次相遇的時間間隔為（）

C.3分鐘D.3.2分鐘

8.如圖，AB是。的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到AD,此時點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)。落在AB

上，延長CD,交：。于點(diǎn)E，若CE=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.2?B.2-41C.2?-4D.2萬-2后

9.如圖，四邊形A3CD是邊長為4的菱形，對角線AC、的長度分別是一元二次方程

V—見x—x+2〃z=0的兩實(shí)數(shù)根，是AB邊上的高，則值為（）

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

10.因式分解：213-4X2+2X=.

n.“幻方”最早源于我國，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對角線上的三個數(shù)字

之和均相等，則圖中。的值為

12.如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形A3CD,43,8。長為6米，坡角少為45°,

AD的坡角a為30°,則AD的長為米（結(jié)果保留根號）

13.如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=K（左＞0）的圖象交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)/在以C（4,0）為圓心,

己知ON長的最大值為3,則上的值是

14.如圖，在RtZkABC中，ZBAC=9Q°,AB=2垃,AC=6,點(diǎn)E在線段AC上，且AE=1，D

是線段上的一點(diǎn)，連接。E,將四邊形ABDE沿直線OE翻折，得到四邊形歹GDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落

在線段AC上時，AF=

三、解答題（本大題共6小題，共50.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.計(jì)算：（71-1）°+4sin45-V8+|-3|.

16.某校為落實(shí)“雙減”工作，增強(qiáng)課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時間，為學(xué)有余力的學(xué)生拓展

學(xué)習(xí)空間，成立了5個活動小組（每位學(xué)生只能參加一個活動小組）：A.音樂；B.體育；C.美術(shù)；

D.閱讀；E.人工智能.為了解學(xué)生對以上活動的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)

統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

?人數(shù)

80

70

60

50

40

30B

2025%

10

-----------1_1---------------------------L_i------------------------------------>~~~

ABCDE活動小組

根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生；

②補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；

③扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角。=________度；

（2）若該校有3200名學(xué)生，估計(jì)該校參加D組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)；

（3）劉老師計(jì)劃從E組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年機(jī)器人競

賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率.

17.如圖，3。是矩形A2C。的對角線.

（1）求作。4使得。A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)8。與。A相切于點(diǎn)E,CFLBD,垂足為足若直線CF與。A相切于點(diǎn)G,

求tan/ADB的值.

18.某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的

周銷售量y（件）是關(guān)于售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，下表僅列出了該商品的售價(jià)x,周銷售量y,周銷售

利潤W（元）的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù).

X407090

y1809030

W360045002100

（1）求y關(guān)于x函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）若該商品進(jìn)價(jià)。（元/件），售價(jià)X為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；

（3）因疫情期間，該商品進(jìn)價(jià)提高了加（元/件）（相>0）,公司為回饋消費(fèi)者，規(guī)定該商品售價(jià)x不得

超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大

利潤是4050元，求機(jī)的值.

19.如圖1,在等腰三角形ABC中，/4=120°,43=4。,點(diǎn)￡）、E分別在邊AB、AC上，=連

接3E,點(diǎn)〃、N、P分別為DE、BE、BC中點(diǎn).

（1）觀察猜想

圖1中，線段MW、NP的數(shù)量關(guān)系是一，NMVP的大小為

（2）探究證明

把VADE繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE,判斷△MNP的形狀，并說

明理由；

（3）拓展延伸

把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AQ=1,A3=3,請求出△MNP面積的最大值.

20.已知一次函數(shù)丁=去+6（左。0）的圖象與二次函數(shù)y=；（x+2>—2的圖象相交于點(diǎn)A（l,m）,

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式"+匕＜](x+2)2-2的解集；

(3)當(dāng)—時，拋物線y=](x+2)2—2與直線y="只有一個交點(diǎn)，求〃的取值范圍；

(4)把二次函數(shù)y=5(x+2)2—2的圖象左右平移得到拋物線G：y=-(x-m)2-2,直接寫出當(dāng)拋物

線G與線段AB只有一個交點(diǎn)時機(jī)的取值范圍.

2023年廣東省深圳市南山外國語集團(tuán)聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試

卷

一、選擇題(本大題共9小題，共27.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合

題目的一項(xiàng))

1.下列運(yùn)算正確的是()

32562

A.a+a-aB.a=a

C.(^a+by=a2+b2D.J(-5)2=5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)暴的除法法則，完全平方公式以及二次根式的計(jì)算法則

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】A.Y+Y不能合并，故A錯誤；

Ba6^a3=a3,故B錯誤；

C.(?+Z?)2=a2+2ab+b2,故C錯誤；

D.J(_5)2=5,故D正確；

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)暴的除法法則、完全平方公式以及二次根式的計(jì)

算法則等知識.掌握合并同類項(xiàng)、同底數(shù)累的除法法則、完全平方公式以及二次根式的計(jì)

算法則是解答本題的關(guān)鍵.

2.地球上的陸地面積約為149000000km2,數(shù)字149000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.1.49xl07B.1.49xl08C.1.49xl09D.

1.49xlO10

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4x2。八，其中24,卜2。，八為整數(shù).確定八的值時，

要看原數(shù)變成4時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)的絕對值

大于或等于10時，八為正整數(shù).

【詳解】將149000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.49X108.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，正確確定八的值是解本題的關(guān)鍵.

3.“成語”是中華文化的瑰寶，是中華文化的微縮景觀.下列成語：①“水中撈月”，

②“守株待兔”，③“百步穿楊”，④“甕中捉鱉”描述的事件是不可能事件的是

()

A.①B.②C.③D.@

【答案】A

【解析】

【分析】不可能事件是一定不會發(fā)生的事件，根據(jù)定義即可判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，水中撈月，一定不會發(fā)生，是不可能事件，符合題意；

B選項(xiàng)，守株待兔，可能會發(fā)生，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C選項(xiàng)，百步傳楊，可能會發(fā)生，是隨機(jī)事件，不符合題意；

D選項(xiàng)，甕中捉鱉，一定會發(fā)生，是必然事件，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件

的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指一定條件下，一定不

發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

4.圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，S主=_?+3x,S左=爐+羽則5俯=

()

主視圖左視圖

圖1圖2

A.x2+3x+2B.%2+2x+lC.%2+4x+3D.

2x2+4%

【答案】C

【解析】

【分析】由主視圖和左視圖的寬為c,結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答

案.

【詳解】解：：S主=爐+3x=x(x+3),S左+x=x(x+l),

:.俯視圖的長為(無+3),寬為(x+1),

S俯=^x+3^x+l^=x2+4x+3.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，整式乘法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視

圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、

高.

5.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它的代

數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就.《九章算術(shù)》

中有這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百

步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢

的人只走60步.若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為

長度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（）

A.x=100-------xB.%=100H------xC.------x—100+xD.

10010060

100…

-----x=100—x

60

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先令在相同時間/內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從

而得到走路快的人的速度u犯

，走路慢的人的速度一，再根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列方程即

t

可

【詳解】解：令在相同時間/內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走

路快的人的速度圖

走路慢的人的速度一，

t

設(shè)走路快的人要走尤步才能追上，根據(jù)題意可得x=loo+Txioo,

...根據(jù)題意可列出的方程是x=100+—x,

100

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用一元一次方程解決數(shù)學(xué)史問題，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是

解決問題的關(guān)鍵.

6.五名同學(xué)捐款數(shù)分別是5,3,6,5,10（單位：元），捐10元的同學(xué)后來又追加了10

元.追加后的5個數(shù)據(jù)與之前的5個數(shù)據(jù)相比，集中趨勢相同的是（)

A.只有平均數(shù)B.只有中位數(shù)C.只有眾數(shù)D.中位數(shù)

和眾數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】分別計(jì)算前后數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，比較即可得出答案.

【詳解】解：追加前的平均數(shù)為：（（5+3+6+5+10）=53；

從小到大排列為3,5,5,6,10,則中位數(shù)為5；

5出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為5；

追加后的平均數(shù)為：g（5+3+6+5+20）=78

從小到大排列為3,5,5,6,20,則中位數(shù)為5；

5出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為5；

綜上，中位數(shù)和眾數(shù)都沒有改變，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題為統(tǒng)計(jì)題，考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大

（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù).眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個.

7.小王同學(xué)從家出發(fā)，步行到離家。米的公園晨練，4分鐘后爸爸也從家出發(fā)沿著同一路

線騎自行車到公園晨練，爸爸到達(dá)公園后立即以原速折返回到家中，兩人離家的距離y

（單位：米）與出發(fā)時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則兩人先后兩次相遇的

時間間隔為（）

A.2.7分鐘B.2.8分鐘C.3分鐘D.3.2分鐘

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)題意求得A、D、E、尸的坐標(biāo)，然后再運(yùn)用待定系數(shù)法分別確定AE、

AF,的解析式，再分別聯(lián)立。。與AE和AF求得兩次相遇的時間，最后作差即可.

【詳解】解：如圖：根據(jù)題意可得A(8,a),￡)(12,a),E(4,0),F(12,0)

fO=4k+bk=-

設(shè)然解析式為yW,則I-解得《4

b=-a

???直線AE的解析式為盧什

/7n

同理：直線A尸的解析式為：產(chǎn)--x+3〃,直線OD的解析式為：戶一元

412

a

y--xx=6

12

聯(lián)立《,解得《a

ay=—

y=-x-a2

4

a

y=一xx=9

12

聯(lián)立，解得3a

y=—x+3ay=

-4T

故答案為C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、求出直線的解析

式成為解答本題的關(guān)鍵.

8.如圖，AB是。的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到AD,此時點(diǎn)。的對應(yīng)

點(diǎn)。落在A3上，延長CD,交(。于點(diǎn)E，若CE=4,則圖中陰影部分的面積為

()

A

B

A.2乃B.2A/2C.2?一4D.

2兀-2,^2

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，連接OE,OC,過點(diǎn)。作。尸，CE于點(diǎn)凡由旋轉(zhuǎn)得A￡>=AC,可求出

ZADC=ZACD=75°，由圓周角定理得NAOE=150°,得ZEOD=3。。,由三角形外

角的性質(zhì)得NOEC=45°,ZFOC=90°,由垂徑定理得EP=2,根據(jù)勾股定理得

OE=2直，根據(jù)5陰影=S扇形EOF-S&EOF求解即可.

【詳解】解：如圖，連接OE,OC,過點(diǎn)。作。尸，CE于點(diǎn)孔

則跖=LCE=,X4=2,

22

由旋轉(zhuǎn)得，AC=AD,

：.ZADC=ZACD,

-：ZA=30°,

：.ZADC=ZACD=；x(180?！?0°)=75°,

--.ZAOE=2ZACD=150°

/EOD=30,

又ZOED+NEOD=NODC=75°,

ZOED=75°-ZEOD=75°-30°=45°,

：.ZEOF=ZOEF=45°,

：.OF=EF=2

OE=V<9F2+EF2=@+22=2V2,

■:OE=OC

OEC=/OFE=45°

，NEOC=90°

90?乃（2偽2I

v

S陰影=S扇形EOF—S莊OF---------x4x2=2?—4.

-3602

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等

知識，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，四邊形A3CD是邊長為4的菱形，對角線AC、8。的長度分別是一元二次方程

x2-—x+2〃z=0的兩實(shí)數(shù)根，DH是AB邊上的高，則值為（）

91111

A.-B.—C.—D.3

445

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到A3=4，AC1BD,AC=2AO,BD=2BO,利用勾

股定理得到AO2+BO2AB2^16，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出

AO2+BO2=AB2=42=16,再根據(jù)完全平方公式的變形求出機(jī)=9,得到AC-8D=18,

再根據(jù)菱形面積公式求出DH的長即可.

【詳解】解：四邊形ABCD是菱形,

：.AB=4,AC1BD,AC=2AO,BD=2BO,

=90°,

AO2+BO"=AB-=42=16，

對角線AC,8。的長度分別是一元二次方程m+l）x+2〃z=0的兩實(shí)數(shù)根,

:.2AO+2BO=m+l,2AO-2BO=2m,

AO+BO=^(m+1),AO-BO=,

AO2+BO2=(AO+BO)?-2AOx50=16,

1

—(zn+1)9-m=16,

解得：叫=9,乃=-7,

二當(dāng)機(jī)=-7時，AO-BO=-3.5<0,不符合題意，舍去，

m=9,

：.AO-BO=4.5,

/.ACBD=2AO-2BO=4AOBO=18,

DH是AB邊上的高，

S菱形配口=ABDH=—AC-BD,

.-.4DH=-xl8,

2

9

DH=-.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共5小題，共15.0分)

10.因式分解：2尤3-4砂+2%=.

【答案】2尤(X-1)2

【解析】

【分析】先提取公因式2無，再對余下多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解.

【詳解】2尤3-4X2+2X

=2x(x2-2+尤1)

=2x(x-1)2.

故答案為：2x(x-1)2.

【點(diǎn)睛】考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用完全平方公式因式

分解.

11.“幻方”最早源于我國，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對角

線上的三個數(shù)字之和均相等，則圖中。的值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】先計(jì)算出行的和，得各行各列以及對角線上的三個數(shù)字之和均為-6,則

—7+a+3=—6,即可得.

【詳解】解：???()+(—1)+(—5)=-6,

—7+a+3=—6,

解得：a=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減，解題的關(guān)鍵是理解題意和掌握有理數(shù)加減運(yùn)算的法

則.

12.如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形A3CD,長為6米，坡

角少為45°,AD的坡角戊為30°,則的長為米(結(jié)果保留根號)

【答案】6A/2

【解析】

【分析】過C作CE_LAB于E,DF_LAB于F,分別在RtACEB與RtADFA中使用三角函

數(shù)即可求解.

【詳解】解：過C作CE±AB于E,DF±AB于F,可得矩形CEFD和RtACEB與

RtADFA,

VBC=6,

???CE=BCsin45°=6x—=3五，

2

DF=CE=3^/2，

DFr-

：.AD=----------=6V2,

sin30°

故答案為：672.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)

造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義.

k

13.如圖，一次函數(shù)y=2無與反比例函數(shù)y=—（左＞0）的圖象交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以

X

。（4,0）為圓心，半徑為2的;。上，N是線段的中點(diǎn)，已知QV長的最大值為3,則

k的值是.

【解析】

【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可以得到A與3關(guān)于原點(diǎn)。對稱，所以。是線段AB的中點(diǎn)，

又N是線段的中點(diǎn)，所以QV是二的中位線，當(dāng)QV取最大值時，A"也取得最

大值，由于/在上運(yùn)動，所以當(dāng)A,C,M三點(diǎn)共線時，40最大，此時AC=4,

根據(jù)AC=4列出方程求解即可.

k

【詳解】解：聯(lián)立，X,

°=2x

2

.?.A與B關(guān)于原點(diǎn)。對稱,

二。是線段A5的中點(diǎn)，

QN是線段3M的中點(diǎn)，

連接AM，則ON〃AM,且。N=」AM,

2

ON的最大值為3,

AM的最大值為6,

加在（C上運(yùn)動，

???當(dāng)A,C,M三點(diǎn)共線時，AM最大,

止匕時AC=AM—Of=4,

k>3

7128

k----,

25

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角形的中位線、圓，研究動點(diǎn)問題中線段最

大值問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)中位線的性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化思想，研究AM取最大值時左的

值.

14.如圖，在RtzXABC中，NB4c=90。，AB=2梃,AC=6,點(diǎn)E在線段AC

上，且AE=1,。是線段上的一點(diǎn)，連接0E,將四邊形ABDE沿直線DE翻折，

得到四邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時，AF=.

B

【答案】|V6

【解析】

【分析】過點(diǎn)尸作歹于點(diǎn)由折疊的性質(zhì)得PG=AB=2應(yīng)，/EFG=

i2

ZBAC=90°,EF=AE=1,再證明aWMEs二GEE,得EM=—，MF=—應(yīng),進(jìn)而即

33

可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)/作于點(diǎn)M,

.將四邊形A5DE沿直線OE翻折，得到四邊形RGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上,

:.FG=AB=2也,NEFG=/BAC=90°,EF=AE=1,

22

.,.EG=^1+（2A/2）=3，

:NFEM=/GEF,ZFME=ZGFE=90°,

:.uFMEs_GFE,

.EM_EFMF

"EF~EG~FG_3'

：.EM=-EF=-,MF=-FG=-y/2,

3333

4

：.AM=AE+EM=-,

3

AF=y]AM2+MF2=+]|0]=|^6.

故答案是：一

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)

造”母子相似三角形“是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共6小題，共50.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟）

15.計(jì)算：（兀一lY+4sin45—&+卜4

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)零次鼎、特殊角的正弦值、二次根式和去絕對值即可求解.

【詳解】解：（71-1）°+4sin45-V8+|-3|.

=l+4x--2A/2+3

2

=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握零次嘉、特殊角的正弦值、二次根式的化簡及

去絕對值是解題的關(guān)鍵.

16.某校為落實(shí)“雙減”工作，增強(qiáng)課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時間，為學(xué)有

余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，成立了5個活動小組（每位學(xué)生只能參加一個活動小組）：

A.音樂；B.體育；C.美術(shù)；D.閱讀；E.人工智能.為了解學(xué)生對以上活動的參與情

況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整

（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生;

②補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）;

③扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角a=_______度；

（2）若該校有3200名學(xué)生，估計(jì)該校參加D組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)；

（3）劉老師計(jì)劃從E組（人工智能）甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加市

青少年機(jī)器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率.

【答案】（1）①200；②見解析；③54

（2）1120（3）-

6

【解析】

【分析】（1）①由8組的人數(shù)及其所占百分比可得樣本容量；②由總?cè)藬?shù)減去除C組的人

數(shù)即可得到C組的人數(shù)；③用360°乘以C組人數(shù)所占比例即可；

（2）用3200乘以。組人數(shù)所占比例即可；

（3）根據(jù)題意列出樹狀圖即可求解

【小問1詳解】

解：（1）①50+25%=200；

@C組人數(shù)=200—30—50—70—20=30,

【小問2詳解】

70

解：3200x—=1120；

200

【小問3詳解】

解：畫樹狀圖如下:

從甲、乙、丙、四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人共有12種等可能性的結(jié)果，恰好抽中甲、乙兩人

的所有等可能性結(jié)果有2種，

21

因此，P（恰好抽中甲、乙兩人）=一=-.

126

【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明

確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

17.如圖，8。是矩形A8CD的對角線.

（1）求作。4使得。A與2。相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設(shè)8。與。A相切于點(diǎn)E,CF1BD,垂足為尸.若直線CF與。A

相切于點(diǎn)G,求tan/ADB的值.

【答案】（1）作圖見解析

⑵

2

【解析】

【分析】（1）先過點(diǎn)A作3Q的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形；

（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)NADB=a,OA的半徑為r,先判斷出進(jìn)而得

出四邊形AE/G是正方形，然后在放AABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解

BE=rtana,再判定△ABE1=Z\CDF,根據(jù)BE=DF=rtana,

DE=DF+EF=rtancif+r,在口△ADE中，利用tanNADE=---,得到

DE

tan2a+tana—l=0，求解得到tanNADS的值為好~.

【小問1詳解】

解：如圖所示，OA即為所求作:

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，作出圖形如下:

設(shè)NADB=cr,0A的半徑為廠，

：2D與。A相切于點(diǎn)E,CP與。A相切于點(diǎn)G,

：.AE_LBD,AG±CG,即NAGP=90°,

'JCFLBD,

：.ZEFG=90°,

四邊形AEFG是矩形，

又AE=AG=r,

.??四邊形AEFG是正方形，

EF=AE=r>

在RtAAEB和Rt/\DAB中，ZBAE+ZABD=90°,ZADB+ZABD^9Q0,

ZBAE-XADB=oc,

BE

在△△ABE中，tanNR4E=——，

AE

BE=rtana,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.ZABE=ZCDF,又ZAEB=NCFD=90。,

：.AABEmACDF,

BE=DF=rtana,

:.DE=DF+EF—rtancif+r,

AE

在R/ZVIDE中，tanZADE=----,即D石1tan6/=AE,

DE

（rtan?+r）tan?=r,即tan2a+tana—l=0，

*.*tana>0,

/.tana=近4，即tanZADB的值為或二1.

22

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)

得出線段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵.

18.某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，下表僅列出了該商

品的售價(jià)x,周銷售量y,周銷售利潤W（元）的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù).

X407090

y1809030

W360045002100

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）若該商品進(jìn)價(jià)a（元/件），售價(jià)x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大

利潤；

（3）因疫情期間，該商品進(jìn)價(jià)提高了根（元/件）（加>0）,公司為回饋消費(fèi)者，規(guī)定該

商品售價(jià)x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍滿足

（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤是4050元，求機(jī)的值.

【答案】（1）y=-3X+300；（2）售價(jià)60元時，周銷售利潤最大為4800元；（3）m=5

【解析】

【分析】（1）①依題意設(shè)y=kx+b,解方程組即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意得W=（—3x+300）（x—a）,再由表格數(shù)據(jù)求出a=20,得到

W=（—3x+300）（x—20）=—3（x—60）2+4800,根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求出最值即

可；

（3）根據(jù)題意得W=—3（x—100）（%—20—機(jī)）（茗,55）,由于對稱軸是直線

m

X=60+—>60,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

2

【詳解】解：（1）T^y=kx+b,由題意有

‘40k+b=180\k=-3

\,解得\,

\y0k+b=90[b=300

所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-3x+300；

(2)由(1)W=(—3x+300)(九一。)，又由表可得：

3600=(—3x40+300)(40—a),a=20>

W=(-3%+300)(%-20)=-3x2+360x-6000=-3(x-60)2+4800.

所以售價(jià)x=60時，周銷售利潤W最大，最大利潤為4800；

(3)由題意W=—3(九一100)(九一20—根)(茗，55),

m

其對稱軸X=60+—>60,二0<X,55時上述函數(shù)單調(diào)遞增，

2

所以只有x=55時周銷售利潤最大，.??4050=—3(55—100)(55—20—㈤.

;.m=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，重點(diǎn)是掌握求最值的問題.注意：數(shù)

學(xué)應(yīng)用題來源于實(shí)踐，用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會市場經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價(jià)

格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數(shù)求最值.

19.如圖1,在等腰三角形ABC中，/4=120°,43=4。,點(diǎn)。、E分別在邊AS、AC

上，4。=4￡,連接52點(diǎn)"、N、P分別為DE、BE、8C的中點(diǎn).

(1)觀察猜想

圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是一，NWP的大小為；

(2)探究證明

把VADE繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MRBD、CE,判斷

△MNP的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸

把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1,A3=3,請求出△MNP面積的最大值.

【答案】(1)相等，60;(2)△MNP是等邊三角形,理由見解析；(3)△ACVP面積的最

大值為A/3.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)"NA=120°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)"、N、P分別為

DE、BE、8c的中點(diǎn)"，可得MN〃:BD,NP//CE,根據(jù)三角形外角和定理，等量代換

求出4W.

(2)先求出△ABD名/XACE,得出NABD=NACE,根據(jù)MN〃:BD,NP//CE,和

三角形外角和定理，可知MN=PN,再等量代換求出NMZVP,即可求解.

(3)根據(jù)NDWAB+A。，可知BD最大值，繼而求出△肱VP面積的最大值.

【詳解】(1)由題意知：AB=AC,AD=AE,且點(diǎn)V、N、P分別為DE、BE、3C的中

點(diǎn)，

；.BD=CE,MN//BD,NP//CE,MN=；BD,NP=；EC

；.MN=NP

又：MN〃BD,NP//CE,NA=120°,AB=AC,

AZMNE=ZDBE,NNPB=NC,ZABC=ZC=30°

根據(jù)三角形外角和定理，

得ZENP=ZNBP+ZNPB

??ZMNP=ZMNE+ZENP,ZENP=ZNBP+ZNPB,

ZNPB=ZC,ZMNE=ZDBE,

ZMNP=ZDBE+ZNBP+ZC

=ZABC+ZC=60.

(2)VMNq是等邊三角形.

理由如下：

如圖，由旋轉(zhuǎn)可得=

在.ABD和aACE中

AB=AC

<NBAD=NCAE

AD=AE

ABD^.ACE(SAS)

:.BD=CE,ZABD=ZACE.

「點(diǎn)M、N分別為DE、5E的中點(diǎn)，

:.MN是AEBD的中位線，

:.MN=LBD豆MN/IBD

2

同理可證PN、CE且PN//CE

2

MN=PN,Z,MNE=ZDBE,ZNPB=ZECB

QZMNE=ZDBE=ZABD+ZABE=ZACE+ZABE

ZENP=ZEBP+ZNPB=ZEBP+ZECB

:.ZMNP=ZMNE+Z.ENP=ZACE+ZABE+ZEBP+ZECB

=ZABC+ZACB=60°.

在△MNP中

VZMNP=60°,MN=PN

兒WP是等邊三角形.

（3）根據(jù)題意得：應(yīng)）＜AB+AD

即從而MNW2

△MNP的面積=工MN?且MN=無MN~.

224

AAWP面積的最大值為百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理

以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識；正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形

旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

20.已知一次函數(shù)丁=米+6（左。0）的圖象與二次函數(shù)y=；（x+2）2—2的圖象相交于點(diǎn)

A（l,m）,B（-2,n）.

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；

1

（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式"+匕＜5（%+2）92-2的解集；

1

（3）當(dāng)—34光＜1時，拋物線y=5（%+2）92-2與直線y=〃只有一個交點(diǎn)，求〃的取值

范圍;

11,

(4)把二次函數(shù)y=](x+2)29—2的圖象左右平移得到拋物線G：y二萬5―/)2—2,

直接寫出當(dāng)拋物線G與線段A3只有一個交點(diǎn)時加的取值范圍.

3

【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=]X+l