大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

一、填空：(本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。)

1.V*4-X2+x—1+x+l

1.lim----=^=^=---3

xx°yix1+siiu

2.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程尸寸=ea3a嚀所確定，則曲線y=y(x)在點(diǎn)(1,0)處的法線方程為

x+y—1=0o

3.設(shè)函數(shù)/(X)連續(xù)，則—「丁(—-2)由=獷(％2)。

dxJo------

4.設(shè)函數(shù)/和g都可微，u-f(x,xy),v=g(x+xy),則四.史?=Q+y/力+)/2V"0

dxdx\J

/sinx+xarcsinx,,J3

2

5.,-----,----dx=■兀o

J-lA7T6

二、選擇題：(本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項(xiàng)中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確

選項(xiàng)”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。)

1.函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［1,2］上具有二階導(dǎo)數(shù)，/(I)=/(2)=0,.(無)=(x—l)2於),則尸(x)在

開區(qū)間(1⑵內(nèi)(B)

(A)沒有零點(diǎn)；(B)至少有一個零點(diǎn)；

(C)恰有兩個零點(diǎn)；(D)有且僅有一個零點(diǎn)。

2.設(shè)函數(shù)/(x)與g(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，考慮如下的兩個命題，

⑴若〃x)〉g(x),則廣(x)>g'(x)；

⑵若y'(x)〉g'(x),則y(x)>g(x)。

則(A)

(A)兩個命題均不正確；(B)兩個命題均正確；

(C)命題⑴正確，命題⑵不正確；(D)命題⑴不正確，命題⑵正確。

3.設(shè)常數(shù)3〉0,在開區(qū)間(—3,3)內(nèi)，恒有|/(刈<%2,/〃(乃〉0,記/=二/(%)口，則

(C)

(A)/<0；(B)/=0；(C)/>0；(D)/非零，且其符號不確定。

4.lim/?)二個)=-1,則“X)在x=a處(D)

3(x-a)

(A)導(dǎo)數(shù)存在，且/'(a)w0；(B)導(dǎo)數(shù)不存在;

（C）取得極小值；（D）取得極大值。

冗cosS

5.累次積分gdSj/（rcosS/sinS>d廠可以寫成（D）

⑴）/（蒼標(biāo)；（B）￡dy/，'/（蒼枷；

。￡甸"（x,y）dy；（D）工町/「母。

四、設(shè)/（x）在[0,+oo）上可導(dǎo)，/（0）=0,其反函數(shù)為g（?

若「⑴

g（t-x如=x2ln^+x）,求：/（x）o（本題6分）

解：命/一%="，則d/=dM,于是

2

『“，（/-X%=.，（〃加=xln（l+x）o

將等式10%1>1a=/111。+%）兩邊同時對彳求導(dǎo)，同時注意到g（#幻）=x,于是有

2

xfr(x)=2xln(l+x)+----,

1+x

當(dāng)xw0時，有

1(x)=21nQ+x)+^—o

1+x

對上式兩端積分，得到

f(x)=J21n(l+x)+—dx=2|ln(l+x)+xln(l+x)-x]+x-ln(l+x)+C

1+x

=ln(l+x)+2xln(l+x)-x+C

由/(x)在x=0處連續(xù)，可知lim/(x)=C；又/(0)=0,解得C=0,于是

x->+0

/(x)=InQ+x)+2xlnQ+x)-x。

力[、Vh「>/sinx-sin2xdxo（本題6分）

解：方法一

n______________

x.x,

12sin--cos—cos--sin—dx=2斤y!(cost+sin%)2-1.|cos^-sin小1

V2222

71

=4^yi(cost+sinZ)2-1-d(cos^+sin

=2v/2-21n(+v'2)

方法二

r------.cbcosxJsinx—sirPx,.<'sinx-sin2x,z.、Ju-u2.

Vsin%-sinxdx=22-----------------cu=22——,—d（sinx）=2.dw

IoJocosxJoJl—si/xJo

_cfl&A

—21-d〃-4

JoJT+I7

Ly]l+t2+lln1

=4

,220

[行—ln《+⑸|

=2

六、設(shè)閉區(qū)域D：X2+y2<y,x>0o/(x,y)為D上的連

續(xù)函數(shù)，且

f（x,y）=yjl-x2-y2，

兀D

求:f（x，y）°（本題7分）

--------w

解：設(shè)JJ/R，v?"dv=A,于是有f(x,y)=-x2-y2--A,等式兩邊計(jì)算區(qū)域D上的二重

71

D

積分，得

JJf（x,y）dxdy=JJJf-x2-y2dxdy-

71

DDD

2271

即A=JJv,l-x-ydxdy--

D兀

3712

于是2A=ffJl-y2dx心=gdS『'Erdr=lj^-cos9）19=1

2~3

所以A=1兀2

62~3

故仆）=\i_y2

九、證明戶2戶=小（本題8分）

Jol+xJol+x-

證明：方法一（利用積分估值定理）

71兀.7U

人丁r-sinx-cosxirsinx-cosx,r-sinx-cosx,

4T

命/=2------------------------dx=------,—dx+P-------—dx,

Jo1+x2J。1+x2與1+x52

7T

對上式右端的第二個積分，取變換［=_-%,則（k=-由，于是

2

sinx-cosxsinx-cosx

dx+

1+%2-1+人-

dx

IT

注意到：被積函數(shù)的兩個因子在區(qū)間0,—上異號（sinx-cosx?0,

4

由積分估值定理得知必有/W0,即知原不等式成立。

方法二（利用積分中值定理）

-7Csi?nx-cosxirK-s,inx-cosx,r兀^s.inx-cosx,

2---------.—ck=4--------5—dx+L2---------5—ck,

31+X2J。1+X2與1+X2

'll'll

由積分中值定理，并在區(qū)間上取變換"二x,同時注意到得

兀

=—二"尸(sinx-cosx)ix+——二"尸(cost-sin=—二"--二^「(cosx-sinx)ix<0

1+戶1+虞戶［1+0i+片

十、設(shè)正值函數(shù)/⑶在閉區(qū)間也切上連續(xù),

Cf(x)dx=A,

Ja證明：

f/(x)e/(x)dxf-i—dx>(b-a)(b-a+A)o

JaJa"1)

(本題8分)

證明：化為二重積分證明。記。={x,y)kV%VyWb},則原式

左邊

JaJafM

劉甯二曲叫2獷乎5愿的竽眄

=(b-a)2+fdyff(x)dx=(b-a)(b-a-^-A)

利用了e#>=l+X（由e#的累級數(shù)展開

式可得）

十一、設(shè)函數(shù)/⑴在閉區(qū)間以/］上具有連續(xù)

的二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在之￡（〃/）,使得

—2/［早卜/⑶卜小。

（本題7分）

證明:將函數(shù)小）在點(diǎn).竽處作泰勒展開，并分別取

x—a和b,得至U

/“/匕、(__|_，匕

—Q+41a+bj\，其r中當(dāng)'a+b

I2

(a+b.

竽卜療色其中1e丁力

兩式相加得到

/⑷—2/1號:/3)=如%)+/"62)

由于八X)連續(xù)，由介值定理知，存在使得

廣也)=r’&)；，”自),從而得

/⑷—2/￥*心(…/3

十二、設(shè)函數(shù)小)在閉區(qū)間［-2,2］上具有二

階導(dǎo)數(shù)，|/?|<i，且［/(o)T+/⑼了=4，證明：存在一

點(diǎn)自￡(-2,2),使得7(1)+/〃《)=0。(本題8分)

證明：在區(qū)間［-2,0］和［0,2］上分別對函數(shù)〃x)應(yīng)用拉格朗日中值定理

3r|ie(-2,0)W，(Hi)=/⑼丁一0；

3r|2e(0,2)磔伍)=,⑵］⑼。

f

注意到：/(x)|<b因此|尸(7)=)(°)?(—2)《1,|/(r|2)|<lo

命：F(x)=［f(x)］+［f'(x)］,則歹(x)在區(qū)間［-2,2］上可導(dǎo)，且構(gòu)造新函數(shù)

,

^(n1)=l/(n1)T+［7(n1)r^2;

砥%xIM)］2+［/(%)/<2；

F(0)=4。

故歹(x)在閉區(qū)間瓦,%］上的最大值/《)=￥瞅、｛/(%)｝之4，且。e(%,%)。由弗

一聞叱)

馬定理知產(chǎn)《)=0。而/(x)=2/(x)/'(x)+2/W"(x),

故尸《）=2尸@/《）+/〃6）]=0。

由于尸@=[M）T+[r（j24,所以/化）wo,從而/@+/《）=0。

2006年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

一、填空：（本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）

1-QSinX

/、-------，工〉0,/、

1.若/（x）=彳arctan今是（■8,內(nèi)）上的連續(xù)函數(shù)，則〃=—1

Qe?"-1,xV0,

JT27T

2.函數(shù)y=x+2sinx在區(qū)間一，兀上的最大值為——+J3。

23

3.J2^1+X〉"&=2-6匕-2o

4.由曲線/廠+2廠=12繞>軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)6J，,”）處的指向外側(cè)的單位法向

2=0

量為—=￡在⑸K

V5

5.設(shè)函數(shù)z=z（x,y）由方程z—y—x+xeCT=7屹所確定，則dz=1^_一dx+dy。

1+xe''

二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項(xiàng)中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確

選項(xiàng)”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。）

6.設(shè)函數(shù)“無）可導(dǎo)，并且/（%）=5,則當(dāng)Acf0時，該函數(shù)在點(diǎn)與處微分dy是與的（A）

（A）等價無窮小；（B）同階但不等價的無窮小；

（C）高階無窮小；（D）低階無窮小。

7.設(shè)函數(shù)/（無）在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則|/G）在點(diǎn)無=。處不可導(dǎo)的充要條件是（C）

（A）f（a）=O,且廣（a）=0；（B）/（a）W0,但/Q）=0；

(C)y(a)=O,且/Q)wO；(D)/(a)#0,且/(a)/0。

8.曲線y=x+Jx2-x+1（B）

（A）沒有漸近線；（B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；

（C）有一條鉛直漸近線；（D）有兩條水平漸近線。

9.設(shè)/（x,y后（p（x,y）均為可微函數(shù)，且（p；（x,y）wO。已知（項(xiàng)）,外）是/（x,y）在約束條件（p（x,y）=0

下的一個極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)中的正確者為（D

（A）若，'&,孔）=0，則火（%。，汽）=°；（B）若/：&,汽）=°，則/；（/，汽）70；

（C）若/&,汽）/0,則/；（%,汽）=0；（D）若/;（woH。，則0。

10.設(shè)曲面Z=G，y,z卜2+產(chǎn)+22=r,zNokj上側(cè)，則下述曲面積分不為零的是（B）

（A）jjx2dydz;（B）jjxdydz;

（C）jjzdzdx；（D）jjydxdy。

三、設(shè)函數(shù)/（%）具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且

叫幽=0，/'（0）=4,求14+念（本題6分）

10xxJ

解：由題設(shè)可推知/（0）=0,r（o）=o，于是有

11mg=11mKL11m生）=2。

x-?o/x-?o2x].。2

故

五、設(shè)〃為自然數(shù)，計(jì)算積分/小（本

J°S1DX

題7分）

解:注意到：對于每個固定的〃，總有

lima3+1]=2〃+1,無窮小代換

%f。sinx

所以被積函數(shù)在x=0點(diǎn)處有界（x=0不是被積函數(shù)的奇點(diǎn)）。

又

sin（2〃+1卜-sin（2〃-l）x=2cos2nxsinx

于是有

-Zn!=f"sinQ"+1b-sin⑵-1卜口=2Fcos2Hxeh=-sin2"x~=0,

n"TJ。sinxJ。n0

上面的等式對于一切大于1的自然數(shù)均成立，故有/〃=/一]=A=/]。所以

,『」2sin3xi尚cos2xsinx+sin2xcosx,￡八1八昌22,兀

/=/,=----dx=產(chǎn)---------------dx=2cos2xdx+2cosxdx=—。

sinxsinx2

六、設(shè)/(x)是除X=0點(diǎn)外處處連續(xù)的奇函

數(shù)，x=0為其第一類跳躍間斷點(diǎn)，證明門(,如是

連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點(diǎn)處不可導(dǎo)。(本題

7分)

證明：因?yàn)閄=0是/(%)的第一類跳躍間斷點(diǎn)，所以存在，設(shè)為4,

%―。+

則4W0;又因/(%)為奇函數(shù)，所以lim/(x)=-A。

xf0一

命：

/(Y)-Afx>0;

cp(x)=<0,x=0;

J(X)+A，x<0.構(gòu)造連續(xù)函數(shù)

則(p(x)在X=0點(diǎn)處連續(xù)，從而(p(r)在(-8,+oo)上處處連續(xù)，且(p(x)是奇函數(shù)：

當(dāng)x>0,則一1<0,甲(-X)=/(-X)+A=-/(%)+A=-[/(%)-A]=-(p(x)；

當(dāng)x<0,貝(p^x)-/(-x)-A=-/(%)-A=-[/(%)+A]--<p(x),

即(p(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，于是是連續(xù)的偶函數(shù)，且在x=0點(diǎn)處可導(dǎo)。又

辟(/如=二北如-44

即「心如=「西如+4卜|,

所以工是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點(diǎn)處不可導(dǎo)。

/=J1

九、計(jì)算iL謂±哼，其中L為卜|+/+小正向一

|x|+\x+y\111

周。（本題7分）

解：因?yàn)橐覟殁?|x+y|=l,故

I=￡-ydx+xdy格曾為[1—GDJky=2j]do

DD

其中。為L所圍區(qū)域，故口d。為。的面積。為此我們對L加以討論，用以搞清。的面積。

D

當(dāng)％2。且x+y20時,卜|+卜+y|_l=2x+y-1=0；

當(dāng)％2。且x+y?0時,|x|+|x+y-l=-y-l=O；

當(dāng)x?。且x+y20時,忖+k+y|_]=y_]=0；

當(dāng)無?。且x+y?0時,卜|+k+y|_l=-2x-y-1=0,

故D的面積為2X1=2。從而/=f::近+叫=4。

JL|X|+|X+y\

十、⑴證明：當(dāng)k充分小時，不等式0—4

1［、4、▲

成乂。

⑵設(shè)求一―（本題8分）

k=lJ〃+左,-00

tan2'x-x2tanx-xtanx+xsec2x-ltan2x2

證明：⑴因?yàn)閘im二lim?lim=2lim=-lim

%—0x4x->0X3x-0Xx-03x23x23

又注意到當(dāng)M充分小時，tanxNx,所以成立不等式OWtar^x——。

(2)由⑴知，當(dāng)〃充分大時有，-----<tan2,1<-L-+1,故

n+kyi'n+kn+k(n+k)

n1nln1

V____<%<V_____+V_______/守11

T^n+kn￡n+k^(n+kj

而之11n1

于是

k=ln+k

n

r<1r1<1f11i°

lim>----=lim—>---=----dx=m2,為微積分方法

Mn+k00〃M1krJo1+x

n

由夾逼定理知limxn=ln2o

n—>oo

十二、設(shè)勻質(zhì)半球殼的半徑為K,密度為口，在

球殼的對稱軸上，有一條長為Z的均勻細(xì)棒，其密

度為P。若棒的近殼一端與球心的距離為a,a>

R,求此半球殼對棒的引力。（本題7分）

解：設(shè)球心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，半球殼為上半球面，細(xì)棒位于正z軸上，則由于對稱性，所求引力在X軸

與y軸上的投影工及工均為零。

設(shè)左為引力常數(shù)，則半球殼對細(xì)棒引力在z軸方向的分量為：

Z-Z]

2+/+Q-哥打

2

=左「2+y2+（z-。卜_卜+y2+.-o）下>ds

2、

記M=27iR\,M2=lp。在球坐標(biāo)下計(jì)算工，得到

F_=27ifcpp7?2￡t<+Q+/1—27?Q+/，os9]，-\R2+a1-2acosS]~5sinS>d9

_kM[M?J-2+/+R+jR+Q+/y—R

RIaa+1

若半球殼仍為上半球面，但細(xì)棒位于負(fù)z軸上，則

_GM,MW+（a+lj-RJR2+42_R

F=----2——

"RIaa+1

2007年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

二、填空：(本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。)

1.設(shè)函數(shù)/(%)=10sin,g(x)=x3+x4,且當(dāng)xf。時，/(x)與g(x)為等價無窮

小，則〃=3o

2.設(shè)函數(shù)y=在x=點(diǎn)處取得極小值，貝IJ/=—3-。

ln2

l-ln2o

3x2+2y2-2z-l-0x—1y—17—2

4.曲線L:./.在點(diǎn)(1,1,2)處的切線方程為上「=2_」==

/+y2+22_4y?2z+2=01-4—5

,dx孫dy=

0*r___

二、選擇題：(本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項(xiàng)中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確

選項(xiàng)”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。)

1.設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是(A)

(A)￡?[/(0+/(一)”；(B)/(-0]d^；

(C)；⑴)o

2.設(shè)函數(shù)/(x)具有一階導(dǎo)數(shù)，下述結(jié)論中正確的是(D)

(A)若/G)只有一個零點(diǎn)，則尸(x)必至少有兩個零點(diǎn)；

(B)若尸(X)至少有一個零點(diǎn)，則/6)必至少有兩個零點(diǎn)；

(C)若/(x)沒有零點(diǎn)，則廣(x)至少有一個零點(diǎn)；

(D)若尸(x)沒有零點(diǎn)，則至多有一個零點(diǎn)。

3.設(shè)函數(shù)/&)在區(qū)間?，討)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，滿足/0)=0,/"(%)<0,又0<。<8,則當(dāng)

時恒有(B)

(A)4(X)〉J/Q)；(B)bf(x^)>xf(b｝；

(C)J/(X)>/0)；(D)J/(X)>qf(a)o

4.考慮二元函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)鼠,y0)處的下面四條性質(zhì):

①連續(xù);②可微;

③/：(%0，汽)與/；(/，九)存在；④/=G，y)與火(沙)連續(xù)。

若用“PnQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(B)

(A)②=>③=①；(B)④0②=>①；

(C)②n④n①;(D)④=③=>②。

5.設(shè)二元函數(shù)/(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線L：/(x,y)=l過第二象限內(nèi)的點(diǎn)M和第四象限內(nèi)的

點(diǎn)N,「為L上從點(diǎn)”到點(diǎn)N的一段弧，則下列積分值為負(fù)的是(C)

(A)ff(x,y)d5；(B)ff(x,y)ix；

*T*T

(C)；(D)￡f'x(x,y+/；(x,y)dy?

四、證明：當(dāng)%>~2時，(x―2〉二―—+獷4。(本

題7分)

x-2

證明：設(shè)(p(x)=(、-2，2-xex+2e-2,(x>-2),

-2-2

(p(-2)=(-2-2>--(r2>-2+2e-2=-4e-2+2e-2+2e-2=0,

x-20x—2

(p'(x)=e2+-2e2_&+xe")

uu

又設(shè)：/(M)=e+ue,貝

由拉格朗日中值定理知，存在之

(PM)=/售■售)小、

而尸也)=e12+1),又2+&>?+2=等〉0,故尸也)〉0。從而，當(dāng)x>2時，

q/(x)=-/'隹)彳<0,

即(p(x)單調(diào)減少，從而(p(x)<0。命題得證。

力〕、設(shè)f(x)=x2sin2x,求嚴(yán)(0)「3)。(本題7分)

解：利用牛頓―萊布尼茲公式：

U)=M(")V+C"，("T)M+A+C)("4)網(wǎng)+A+wv(n)o

設(shè)〃=x,v=sin2x，

注意到：/=2%,，=2,小)=0(j>3)；

v(")=GinZxJ")=2"sinj2x+竺],

v("-i)=gin2x)("T)=2"-1sin^2%+-

v("-2)=Gin2x)("-2)=2〃-2sin12x+

故

/2?0\")

\xsin2xj2n^2sin2x+-1-+〃2〃xsin2x+

于是有‘(")0)=^-l>n-2sin^-2^=f1—1)2Tsin?(n>3).

六、設(shè)當(dāng)O?x<l時,/(x)=x(-元之),f(x+1)=af(x)9

定常數(shù)〃的值，使向在x=0點(diǎn)處可導(dǎo)，并求此導(dǎo)

數(shù)。（本題7分）

解：首先寫出/G）在x<0附近的表達(dá)式：當(dāng)—"x<0時，O?X+1<1。由/（x+l）=4（x）知，

/(%)=1/(X+i)=1(%+1%-(x+i)2]=_1%G+i)G+2),

--x(x+l)(v+2),-1<x<0,

xQ-x)Q+x),0<x<1.

顯然，fG）在點(diǎn)x=o處連續(xù)，且f（o）=o,

--x(x+1)G+2)-0

/，(o)=lim

y；（p）=limxQ.x-tj）-0=］一

xf（）+X-

a「G）在x=o點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件為：f_?）=/；（o）,即

——=1,d!=—2,

a

且/(0)=1。

七、設(shè)函數(shù)制)在區(qū)間(.8,轉(zhuǎn))內(nèi)連續(xù)，且滿足

丁7+1/(/加=4/+處2+12沖_2,

⑴求川)；

⑵計(jì)算廠Lf(2x+3y+l)(2dx+3dy),其中L是從原點(diǎn)

。到點(diǎn)M(1,3)的任意一條光滑弧。(本題7分)

解：(1)將原等式兩邊對X求導(dǎo)，得到

2/(2x+3y+1)=8x+12y,

所以/(2x+3y+l)=2(2x+3y)。

命：2x+3y+l=%,于是有/?)=2〃一1)。

⑵因?yàn)镻(x,y)=2/(2x+3y+1)Q(xfy)=3/(2x+3y+1),

所以空=6/'(2x+3y+l)=^。

dydx

于是可知/與積分路徑無關(guān)，從而

I=[/(2x+3y+l)(2dx+3dy)=[：：)(2x+3y+l)(2dx+3dy),

命：2x+3y+l=%,當(dāng)x=0,y=0時，t=1；x=l,y=3時，t=12o

故I=『=02(t-l)dr=(t2-=121o

九、設(shè)f(x,y)=Max{c,y}D={x,y)0<x<1,0<y<1},計(jì)算

/=721da。(本題7分)

解：將區(qū)域D分成三塊：

D]-{x,y)0<x<l,x<y<1}

2

D2=<x<l,x<y<x

2

D3={x,yj0<x<1,0<y<x

于是

y(y-x2)lo+j][_%2)10+jjI*x(x2-y)d(5

D,D2D3

=-yx2>:Xdxj；G一一■+

y+xdx

o；G-yyy

23?4、(35、

1?1

1XXX4XJo』d"

f―dx+■—X+-dx+

Jo3232)°V22)

11

40~

十、設(shè)函數(shù)/(x,y)=卜一y|(p(x,y),其中cp(x,y)在點(diǎn)(0,0)的一個鄰域內(nèi)連續(xù)，證明：在點(diǎn)(0,0)

處可微的充要條件是(p0,0)=0。(本題8分)

證明：充分性

己知甲0,0)=0,欲證/(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，只需證

\x-y[p(xfy)_

limo

次----+—/-U

y-0

一

注意到:

,%2+.y2J/%2+.y2

所以v2m(x,y]。

JIx2+y2

,由夾逼定理知lim仁把”=0。

又lim(p(x,y)=0

x->022

y->0+y

從而/(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，并且4f(x,y)=0。

必要性

已知/(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，故f；(o,o)與火(°，°)都存在。而

了;(o,o)=/1幗°)一0cpM)=±<P(O,。),

zOX

其中當(dāng)xfo+時，＜(o,o)=(p(o,o)；當(dāng)％fo—時，f；(0,0)=―甲(0,0)。由于力(0,0)存在，故

(p0,O)=0o

H^一、計(jì)算/=JJb(x，%z)+xjlydz+\2f(x,y,z)+yjlzdx+[f(x,y,z)+zjlxdy,其中/(x,y,z)為一

連續(xù)函數(shù)，2是平面x-y+z=l在第四卦限部分的上側(cè)。(本題7分)

.1

解：化為第一類曲面積分求解。設(shè)2的單位法向量九°=《osa,cosB，cosY)=^Q,-1,1),則

/=jjV(x,y,z)+xjosa+\2f(x,y,z)+yjos3+\f(x,y,z)+zjosy]dS

f(x,y,z)-^=f(x,y,z)+-^=f(x,y,z)dS+

3+

心-y+1-％+y)?Jl+1+Ida

D》y

其中={x，y和<x<l,x-l<y<o}o

故/=JJdxdy=—o

%2

十二、設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間[〃⑸上連續(xù)，在開區(qū)間QA)內(nèi)可導(dǎo)，且有Be"“)arctanxdx=—

Jo2

/(1)=0,則至少存在一點(diǎn)匕e(0,1),使得《+12]rctanj/q)=-l。(本題6分)

證明：由積分中值定理知，存在使

尸(n)117c

e八"arctanq=—?—=—o

兀

又e"i)arctanl=三，故若設(shè)cp(x)=e"")arctanx,xGf],l]cz[d,l],顯然(p(x)滿足羅爾定理的各個

條件，從而至少存在一點(diǎn)己￡。,l)u0,l)使(p'&)=0。而

,、/fe)

(p4)=/⑹/也>rctan&+五p年

從而有(+&2)irctan&?尸田)=-1。

2008年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

一、填空：(本題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。)

1.設(shè)八0)>0,1。同工⑴

2.設(shè)(%,九)為光滑曲線y=/(X)上一點(diǎn)，在該點(diǎn)處曲線的一個法向量為{5,-1},則割=三

切(破。)

ri2x2+xcosx,,日一c、

3.-----.dx=4—7to工(3)

L11+<1-X2-----

4.設(shè)其中/具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則2±=2#+2%3/力'+戶力'

Jodxdy\

5.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程z+e"+2盯=5,則dz]1，0)=—2dx—dy。

二、選擇題：(本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項(xiàng)中僅有一個是正確的，把你認(rèn)為“正確

選項(xiàng)”前的字母填在括號內(nèi)。選對得分；選錯、不選或選出的答案多于一個，不得分。)

11.設(shè)當(dāng)x.0時，伍3―l)ln《+x2)是比ln(+x")高階的無窮小，而ln(+x")是比

Incosx高階的無窮小，則〃等于(D)同工⑴

(A)4；(B)3；(C)2；(D)lo

12.設(shè)lim/?)—/?)=1,則函數(shù)/(X)在點(diǎn).處必(D)同工⑶

%faz

yx-a/

(A)取極大值；(B)取極小值；

(C)可導(dǎo)；(D)不可導(dǎo)。

13.設(shè)函數(shù)力g均可微，z=fxy,Inx+g&y)],則x三-y/=(B)

I)oxdy

(力'；