專題18.1平行四邊形的性質(zhì)與判定【十一大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求解】 2【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)證明】 5【題型3平行四邊形的性質(zhì)的其他應(yīng)用】 12【題型4判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 17【題型5添一個(gè)條件成為四邊形】 20【題型6數(shù)圖形中四邊形的個(gè)數(shù)】 23【題型7求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 26【題型8證明四邊形是平行四邊形】 32【題型9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】 40【題型10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】 49【題型11平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】 56【知識(shí)點(diǎn)1平行四邊形的性質(zhì)】性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖示邊平行四邊形的對(duì)邊相等四邊形ABCD是平行四邊形，角平行四邊形的對(duì)角相等四邊形是平行四邊形，對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形ABCD是平行四邊形，【拓展延伸】（1）證明平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，一般通過(guò)作對(duì)角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解答.（2）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了理論依據(jù).（3）平行四邊形的每條對(duì)角線都將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形.（4）平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的面積相等，每個(gè)小三角形的面積都等于平行四邊形面積的14；相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差的絕對(duì)值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對(duì)值【規(guī)律方法】（1）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)；（2）若一條直線經(jīng)過(guò)平行四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則該直線平分平行四邊形的周長(zhǎng)和面積.【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求解】【例1】（2023上·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AD，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別是OC、AB的中點(diǎn)，連接BE、GE，若∠ABE=42°，則∠AEG的度數(shù)為（

）A．42° B．45° C．46° D．48°【答案】D【分析】本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)點(diǎn)，熟悉這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件可以得到△BCO是等腰三角形，再根據(jù)三線合一得到BE⊥OC，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AG【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形；∴BC=AD，∵BD=2∴BD=2∴BC=∴△BCO∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)；∴BE⊥∴△BEA∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)；∴EG=12∴AG=∴∠AEG∵∠ABE∴∠AEG故選：D．【變式1-1】（2024上·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)O是□ABCD的對(duì)稱中心，AD>AB，E，F(xiàn)是AB邊的三等分點(diǎn)；G，H是BC邊的三等分點(diǎn)．若S1，S2分別表示△EOF和△GOH【答案】S1【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)三等分點(diǎn)可得S1=13S△ABO，S2=13【詳解】解：連接AC、OB，則AC必過(guò)點(diǎn)∵E，F(xiàn)是AB邊的三等分點(diǎn)，∴S1=∵G，H是BC邊的三等分點(diǎn)，∴S2=∵點(diǎn)O是□ABCD∴S△ABO∴S1故答案為：S1【變式1-2】（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC，AB=10，

A．73 B．6 C．7 D．58【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OC=12AC，再利用勾股定理求出【詳解】解：∵AC⊥BC，AB=10∴AC=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OC=12∴OB=∴OD=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分．【變式1-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-2,3)，B(-3,0)，C(3,0)，將平行四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)【答案】(-3,4)或(3,-4)【分析】本題考查平行四邊形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意旋轉(zhuǎn)的方向未確定，所以要分兩種情況討論，再結(jié)合平面坐標(biāo)系中點(diǎn)的確定，可連接OD建立直角三角形，即可解題．【詳解】解：∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AD=BC∵B(-3,0)，C∴AD∵A(-2,3)∴D的橫坐標(biāo)為6-2=4，縱坐標(biāo)為3，則D連接OD，作DF⊥x軸于點(diǎn)F，則OF=4∵平行四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，可看作△FOD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)則D可旋轉(zhuǎn)到D'和D″的位置處，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，OF'=4，D'F'=3故答案為：-3,4或3,-4【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)證明】【例2】（2023下·安徽宿州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，平行四邊形ABCD中，CG⊥AB于點(diǎn)G,∠ABF=45°，點(diǎn)F在CD上，BF

(1)若BG=1,BC=(2)求證：△BCG(3)求證：CD-【答案】(1)2(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出CG，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)解答即可；（2）延長(zhǎng)AE交BC于H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AHB=∠HAD（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=【詳解】（1）解：∵CG∴∠AGC∵BG=1，∴CG=∵∠ABF∴BG∴EC∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∴∠GCD=∠BGC∴CF∴EF=（2）證明：如圖，延長(zhǎng)AE交BC于H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∵AE∴∠AHB∴∠BAH∴∠GAE在△BCG與△∠AGE∴△BCG（3）證明：∵△BCG∴∵∠∴∴∴CE+∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明△BCG【變式2-1】（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O

(1)△AEO(2)BE=【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及垂直的定義，由AAS，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=∵AE⊥∴∠AEO在△AEO和△∠AEO∴△AEO（2）證明：∵△AEO∴OE=∵在?ABCD中，BO∴BO-OE=【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023下·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，AD=2AB,F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB于點(diǎn)E①∠DFC②∠DFE③CF=④S【答案】①②③【分析】先證明∠BCD=∠A=2∠DCF，延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，證明△AEF≌△DMFASA，則FE=MF，由直角三角形的斜邊上中線的性質(zhì)即可判斷③；利用角之間的關(guān)系得到∠AEF=∠DCF，∠DFC+∠FEC=90°，即可判斷【詳解】解：∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=∵在?ABCD中，AD∴AF=∴∠DFC∵AD∥∴∠DFC∴∠DCF∴∠BCD延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∴∠A∵F為AD中點(diǎn)，∴AF=在△AEF和△∠A∴△AEF∴FE=MF∵CE⊥∴∠AEC∴∠AEC∵FM=∴CF=故③成立；∴∠FEC∵∠DCF+∠FEC∴∠AEF=∠DCF故①成立；∵∠BCD∴∠BCD∴∠DFE即∠DFE=3∠AEF∵S△S△∴S△∵S△∴S△故④不成立，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證出△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE、BF，若∠ADE與∠CBF的平分線DG、BG交于AC上一點(diǎn)G，連接EG．（1）如圖1，點(diǎn)B、G、D在同一直線上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求證：AD＝BF+DE．【答案】（1）CE=1；（2【分析】（1）由題意，先證明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，即可求出答案；（2）在AD上取一點(diǎn)M，使得DM=DE，連接MG，然后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得到AM=BF，即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)B、G、D在同一直線上，∵DG、BG分別是∠ADE與∠CBF的角平分線，且∠CBF＝90°，∴∠CBD=45°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=45°，∴∠BDE=∠ADB=45°，∴∠BED=180°-45°-45°=90°，∴三角形BDE是等腰直角三角形，∠CED在平行四邊形ABCD中，則BD=DG，∴線段EG是等腰直角三角形BDE的中線，∴EG⊥BD，∵EG=2∴DE=在直角三角形CDE中，由勾股定理得CE=（2）如圖，在AD上取一點(diǎn)M，使得DM=DE，連接MG，在△DMG和△DEG中，有{DM∴△DMG≌△DEG，∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，∵∠BCD=∠BAD，∴∠DMG=∠BAD，∴MG∥AB，∴∠BAF=∠AGM，∵AG＝AB，∴∠AGB=∠ABG，∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，又∵∠FBG=∠GBC，∴∠ABF=∠BCG，∵AD∥BC，∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，在△AMG和△BFA中，有∴{∠∴△AMG≌△BFA，∴AM=BF，∴AD=AM+MD=BF+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．【題型3平行四邊形的性質(zhì)的其他應(yīng)用】【例3】（2023下·廣東廣州·八年級(jí)執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┤鐖D，王老師用四根木棒搭成了平行四邊形的框架，量得AB=10cm，AD=8cm，固定AB．逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)AD，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，關(guān)于平行四邊形

A．甲說(shuō)的對(duì) B．乙說(shuō)的對(duì) C．甲、乙說(shuō)的都對(duì) D．甲、乙說(shuō)的都不對(duì)【答案】C【分析】如圖，作DM⊥AB于點(diǎn)M，則平行四邊形ABCD的面積=AB×DM=10DM，可得【詳解】解：如圖，作DM⊥AB于點(diǎn)則平行四邊形ABCD的面積=AB∵DM≤AD，∴DM≤8cm，即平行四邊形的高DM的最大值是∴在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，平行四邊形ABCD的面積有最大值，最大值是80cm在逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)AD過(guò)程中，DM先逐漸變大，到與AD相等時(shí)，取得最大值，然后又逐漸變小，所以平行四邊形ABCD的面積先變大，后變??；故甲的說(shuō)法正確；所以甲乙的說(shuō)法都是正確的，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的面積，正確理解題意、得出平行四邊形高的變化情況是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩點(diǎn)被大山阻隔，為了改善山區(qū)的交通，現(xiàn)擬開(kāi)鑿一個(gè)貫穿A，B的隧道，修建一條高速公路．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一個(gè)方案，利用平移的有關(guān)知識(shí)測(cè)量出A，B之間的距離和隧道開(kāi)鑿的方向．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)把AB移出來(lái)再測(cè)量即可．【詳解】解：可以設(shè)法將線段AB“平移”出來(lái)，便于測(cè)量．如圖，分別沿A，B兩點(diǎn)向同一個(gè)方向行走相同距離得到A',B【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解平行四邊形的性質(zhì)是本題解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法）．【答案】見(jiàn)解析【分析】將不規(guī)則圖形面積分為面積相等的兩部分，將圖形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)中心對(duì)稱圖形（如果原圖形本身就是中心對(duì)稱圖形，則直接過(guò)對(duì)稱中心作直線即可），再由兩點(diǎn)確定一條直線，過(guò)兩個(gè)對(duì)稱中心畫直線即滿足條件．【詳解】解：（1）如圖所示，將圖形分成兩個(gè)平行四邊形，分別連接兩個(gè)平行四邊形的對(duì)角線，產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，將兩個(gè)交點(diǎn)連接即可得；（2）如圖所示，將圖形分成兩個(gè)平行四邊形，分別連接兩個(gè)平行四邊形的對(duì)角線，產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，將兩個(gè)交點(diǎn)連接即可得；（3）如圖所示，將不規(guī)則圖形補(bǔ)全，然后按照（1）（2）方法，分別連接兩個(gè)平行四邊形的對(duì)角線，產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，將兩個(gè)交點(diǎn)連接即可得；【點(diǎn)睛】題目主要考查中心對(duì)稱圖形的應(yīng)用及平行四邊形的性質(zhì)，理解題意，掌握中心對(duì)稱圖形的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在所給的9×9方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，按要求畫平行四邊形，使它的四個(gè)頂點(diǎn)以及對(duì)角線交點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上．（1）在圖甲中畫一個(gè)平行四邊形，使它的周長(zhǎng)是整數(shù)．（2）在圖乙中畫一個(gè)平行四邊形，使它的周長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）作邊長(zhǎng)為3，5的平行四邊形即可；（2）作邊長(zhǎng)為25，6【詳解】解（1）根據(jù)網(wǎng)格作出邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形，再以4為公共邊作邊長(zhǎng)為3，4，5的直角三角形，如下圖：（2）借助網(wǎng)格，作邊長(zhǎng)為25、6、42的三角形，再以42為公共邊作邊長(zhǎng)為25、【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及勾股定理和平行四邊形的判定，正確借助網(wǎng)格是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)1平行四邊形的判定】判定方法數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形邊兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義）四邊形ABCD是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形.角兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.，四邊形ABCD是平行四邊形.對(duì)角線對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形.【題型4判斷能否構(gòu)成平行四邊形】【例4】（2023下·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┰谒倪呅蜛BCD中，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，給出五組條件：?①AB=DC，AD②AB=CD，AB∥③AB∥CD，AD∥④OA=OC，OB=⑤AB=CD，AD能判定此四邊形是平行四邊形的有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；?②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【詳解】解：①由AB=DC，AD∥BC②由AB=CD，AB∥CD③由AB∥CD，AD∥BC④由OA=OC，OB=OD⑤由AB=CD，AD=BC?綜上分析可知，能判定此四邊形是平行四邊形的有4組．故選：D．??

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023下·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四邊形中分別標(biāo)注了部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，則不能判斷該四邊形是平行四邊形的是（

）A．

B．

C．

D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可【詳解】A、對(duì)角線互相平分能判斷四邊形是平行四邊形，故不符合題意;B、兩組對(duì)邊相等能判斷四邊形是平行四邊形，故不符合題意;C、根據(jù)圖可判斷出AD∥BC,D、根據(jù)圖可判斷出AD∥BC，AB故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023上·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，不能判斷四邊形BCFD

A．BD∥CF B．DF=BC C．【答案】C【分析】由平行四邊形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵BD∥∴四邊形BCFD為平行四邊形；故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵DF∥∴四邊形BCFD為平行四邊形；故此選項(xiàng)不符合題意；C、由DF∥BC，BD=D、∵DE∥∴∠B∵∠B∴∠F∴BD∥∴四邊形BCFD為平行四邊形；故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）?ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE【答案】C【分析】連接AC與BD相交于O,根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=OF即可，后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷即可得解．【詳解】如圖，連接AC與BD相交于O，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項(xiàng)不符合題意；B、AF∥CE能夠利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，從而得到OE＝OF，故本選項(xiàng)不符合題意；C、若CE＝AF，則無(wú)法判斷OE＝OE，故本選項(xiàng)符合題意；D、由∠DAF＝∠BCE，從而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，結(jié)合選項(xiàng)B可證明四邊形AECF是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型5添一個(gè)條件成為四邊形】【例5】（2023下·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上，且BE=DF，AE∥CF，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件（不要在圖中再增加其它線段和字母），能證明四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的想法.你所添加的條件：；證明：【答案】AE=CF【詳解】試題分析：要證四邊形ABCD是平行四邊形，只要得出一組對(duì)邊（AB和CD）平行且相等即可，即只要添加一個(gè)條件使得△ABE≌△CDF，由已知可得兩三角形全等的條件有∠E＝∠F，BE＝DF，故可添加AE＝CF（答案不唯一），利用SAS證明△ABE≌△CDF．試題解析：答案不唯一，例如：添加AE＝CF．證明如下：∵AE∥CF，∴∠E＝∠F，又BE＝DF，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，通過(guò)題目已有條件分析得出證明四邊形ABCD為平行四邊形只需證明△ABE≌△CDF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023下·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，如果AB=DC，當(dāng)ABDC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】∥【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵兩對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，AB=CD∴AB∥CD．故答案為∥．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，掌握兩對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023下·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形【答案】AE=CF（答案不唯一）【分析】證AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出結(jié)論．【詳解】添加條件為：AE=理由：∵AE⊥BD∴AE∵AE∴四邊形AECF為平行四邊形，故答案為：AE=【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AB=8cm，DC=10cm，E是DC上一點(diǎn)，且DE=3，P從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Q從D點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=【答案】1或3【分析】分兩種情況，①點(diǎn)Q在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，當(dāng)AP=QE時(shí)，四邊形AQEP是平行四邊形，即t=3-2t，解得t=1；②點(diǎn)Q在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，當(dāng)AP=QE時(shí)，四邊形AEQP是平行四邊形，即t=2t-3，解得t=3．【詳解】解：分兩種情況：①點(diǎn)Q在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，∵AD∥∴當(dāng)AP=QE時(shí)，四邊形AQEP是平行四邊形，即t=3-2t，解得：t=1；②點(diǎn)Q在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，∵AD∥∴當(dāng)AP=QE時(shí)，四邊形AEQP是平行四邊形，即t=2t-3，解得：t=3；綜上所述，當(dāng)t=1或3時(shí)，以A、P、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，故答案為：1或3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定以及分類討論，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【題型6數(shù)圖形中四邊形的個(gè)數(shù)】【例6】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，則圖中的平行四邊形（不包括四邊形ABCD）的個(gè)數(shù)共有（

）A．9個(gè) B．8個(gè) C．6個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，判定即可求得答案．【詳解】解：設(shè)EF與NH交于點(diǎn)O，∵在?ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，則圖中的四邊形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四邊形，共8個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定．解題時(shí)可根據(jù)平行四邊形的定義，直接從圖中數(shù)出平行四邊形的個(gè)數(shù)，但數(shù)時(shí)應(yīng)有一定的規(guī)律，以避免重復(fù)．【變式6-1】（2023下·重慶江津·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有個(gè)．

【答案】3【分析】由于D、E、F分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位線，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根據(jù)平行四邊形的定義，兩兩結(jié)合易證四邊形EDFC是平行四邊形；四邊形EBDF是平行四邊形；四邊形ADEF是平行四邊形．【詳解】∵D、E、F分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位線，∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，∴四邊形EDFC是平行四邊形，四邊形EBDF是平行四邊形，四邊形ADEF是平行四邊形．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理的內(nèi)容．【變式6-2】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,A．4 B．5 C．3 D．6【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的判定求解可得．【詳解】解：如圖，圖中的平行四邊形有：?ABED，?ABGF，?BCFE，?ACFD，?PBQF，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【變式6-3】（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在圖（1）中，A1、B1、C1分別是△ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且A1C1∥AC，A1B1∥AB，B1C1∥BC，在圖（2）中，A2、B2、C2分別是△A1B1C1的邊B1C1、C1A1、A1B1上的點(diǎn)，且A2C2∥A1C1，A2B2∥A1B1，B2C2∥B1C1，…，按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有個(gè)．【答案】3n【詳解】在圖(1)中，A1、B1、C1分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1CA1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，∴四邊形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四邊形，共有3個(gè)．在圖(2)中，A2、B2、C2分別是△A1B1C1的邊B1C1、C1A1、A1B1的中點(diǎn)，同理可證：四邊形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四邊形，共有6個(gè)．…按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有3n個(gè).故答案為3n.【題型7求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例7】（2023下·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點(diǎn)P，使PA＋PB最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，點(diǎn)C坐標(biāo)為(4，1)，點(diǎn)D由原點(diǎn)O沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，且P(0,54)；(2)D運(yùn)動(dòng)2秒后四邊形ABCD是平行四邊形；(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)或(-2,0)或(2,0)，對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0,1)或(0,-1)【分析】(1)過(guò)A點(diǎn)作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連接BM后與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，求出BM解析式，再令y=0進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)只能是AC為一條對(duì)角線，BD為另一對(duì)角線，設(shè)D(m,0)，利用BD的中點(diǎn)與AC的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)即可求解；(3)分類討論：設(shè)P(m,0)，Q(0,n)，再分成①AB為對(duì)角線；②AP為對(duì)角線；③AQ為對(duì)角線共三種情況分別求解即可．【詳解】解：(1)過(guò)A點(diǎn)作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M(-1，1)，連接BM后與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，如下圖所示：設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)，{1=-k+∴直線BM解析式為y=令x=0，解得y=54∴存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，且P(0,54)故答案為：存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得PA+PB最小，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,54)(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形，只能是AC為一條對(duì)角線，另一條對(duì)角線為BD，設(shè)D(m,0)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1+42,線段BD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(m+32又線段AC與BD中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴m+32=故四邊形ABCD是平行四邊形，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，又速度為1個(gè)單位每秒，∴經(jīng)過(guò)2秒后，四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：2秒；(3)分類討論：設(shè)P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)，情況①：AB為對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為PQ，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,32)，線段PQ又線段AB和線段PQ的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴{2=m232=n情況②：AQ為對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為BP，線段AQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(12,1+n又線段AQ和線段BP的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴{12=3+m21+情況③：AP為對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為BQ，線段AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1+m2,1+0又線段AQ和線段BP的中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)，∴{1+m2=3+02綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)或(-2,0)或(2,0)，對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0,1)或(0,-1)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定、平行四邊形的存在性問(wèn)題等，熟練掌握判定法則及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）以不共線的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．無(wú)數(shù)【答案】C【分析】分別以△ABC的三邊為對(duì)角線作出平行四邊形即可得解.【詳解】如圖，分別以AB、BC、AC為對(duì)角線作平行四邊形，共可以作出3個(gè)平行四邊形.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于以三角形的三邊作為所作平行四邊形的對(duì)角線.【變式7-2】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O0,0,A-3,0【答案】3,2或-3,2或【分析】設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，由四邊形BOAC時(shí)平行四邊形，可分以下情況進(jìn)行分類求解，即①當(dāng)BC=AO【詳解】解：設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為x,∵四邊形BOAC時(shí)平行四邊形，①當(dāng)BC=∵O∴AO=3∴BC=3∴C點(diǎn)坐標(biāo)為C3,2或C②BO=∵BO=2，∴AC∴C點(diǎn)坐標(biāo)為C-故答案為：3,2或-3,2或-【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定及平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定及平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A3，0，點(diǎn)B0，4，把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A'BO(1)如圖1，若α=90°，則點(diǎn)O'的坐標(biāo)為，點(diǎn)A'的坐標(biāo)為，AA(2)如圖2，若α=120°，求點(diǎn)O(3)在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使A、B、O'、D四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)D【答案】(1)4，4，4，(2)23(3)3+23,2或3-23【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABA'=90°，AB=A'B=5，O'B=OB（2）作O'H⊥y軸于H，如圖2，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO'=4，∠OBO'=120°（3）分三種情況：①當(dāng)AB、BO'為平行四邊形的邊時(shí)，連接BD，AO'交于點(diǎn)P，根據(jù)AP=O'P，PD=PB，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A3，0∴AO=3，OB∴AB=∵把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△∴∠ABA'∴AA∵α=90°，O'B∴O'B與∴O'∵△A'O∴A'的坐標(biāo)為4綜上，O'的坐標(biāo)為4，4，A'的坐標(biāo)為4，故答案為：4，4，4，（2）解：作O'H⊥y軸于∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△∴BO=BO∴∠HB在Rt△BHO∴BH=12∴OH=∴點(diǎn)O'的坐標(biāo)為2（3）解：分三種情況：①當(dāng)AB、BO連接BD，AO'交于點(diǎn)∵四邊形ABO∴AP=O'∵點(diǎn)A3，0，點(diǎn)O∴P3+2∵點(diǎn)B0∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為3+23②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖，同理可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為3-23③當(dāng)O'同理可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為23．綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為3+23,2或3-23【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型8證明四邊形是平行四邊形】【例8】（2023下·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+8k≠0經(jīng)過(guò)點(diǎn)C2，4，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．線段CD平行于x軸，交直線(1)求直線AB的解析式；(2)求證：四邊形OCDA是平行四邊形；(3)點(diǎn)P為直線AC上一點(diǎn)，連接OP、PD，當(dāng)S△POD=2【答案】(1)y=-2(2)證明詳見(jiàn)解析；(3)1，6或【分析】本題考查一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)求函數(shù)解析式，會(huì)求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，會(huì)求點(diǎn)所圍成的三角形面積．（1）將C2，4（2）先求出A、D的坐標(biāo)，然后證明OA=CD，（3）根據(jù)S△POD=2S△COD可得點(diǎn)P到OD的距離是點(diǎn)C到OD距離的2倍，設(shè)將直線OD向上平移bb>0個(gè)單位得到直線l1，則可求直線l1的解析式為y=23x+83，然后把直線OD【詳解】（1）解：將C2，4代入∴k=-2∴直線AB的解析式為y=-2（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，0=-2解得x=4，即點(diǎn)A∴OA=4∵CD平行于x軸，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，∴將y=4代入y=23x解得x=6∴點(diǎn)D6，4∴CD=4∴OA=CD，且∴四邊形OCDA是平行四邊形．（3）解：∵△POD與△COD的底都是∴當(dāng)S△POD=2S△COD時(shí)，則點(diǎn)P到OD的距離是點(diǎn)如圖2，設(shè)將直線OD向上平移bb>0個(gè)單位得到直線l1，使得直線l∴直線l1的解析式為y∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)C2∴4=2∴b=∵點(diǎn)P到OD的距離是點(diǎn)C到OD距離的2倍，①將直線OD向上平移2bb>0∴直線l2的解析式為y∴直線l2與直線AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P∴y=23∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，②將直線OD向下平移2bb>0∴直線l3的解析式為y∴直線l3與直線AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P∴y=23∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為5，綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)：1，6或【變式8-1】（2023下·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠A=∠D

(1)求證：△AOB(2)作△BDC關(guān)于直線BC的對(duì)稱圖形△BEC，求證：四邊形【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)AAS即可證明；（2）證明兩組對(duì)邊分別相等即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：∵∠A=∠D，AB∴△AOB（2）證明∵△AOB∴OB∴∠OCB∵∠A=∠∴△ABC∴AC∵△BDC、△BEC關(guān)于直線∴DC=CE∴AC∴四邊形ABEC是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、作圖-軸對(duì)稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式8-2】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，小谷想在平行四邊形ABCD里面再剪出一個(gè)以AE為邊的平行四邊形，小谷的思路是：在BC的左側(cè)作∠BCF

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在BC左側(cè)作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，①∴②．在△AED與△∵∠DAE∴△AED∴AE=CF，③∴180°-∠AED=180°-∠CFB∴④．∴四邊形AECF為平行四邊形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AD=BC，∠ADE=∠【分析】（1）以B點(diǎn)為圓心DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BCF（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對(duì)邊平行且相等即可證明．【詳解】（1）如圖：以B點(diǎn)為圓心DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BCF

（2）如圖：連接CE，AF

∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD∥BC∴∠在△AED與△∵∠DAE∴△∴AE=∴180°-∠即∠∴AE∴四邊形AECF為平行四邊形故答案為：AD=BC，∠ADE=∠CBF【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2023下·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)F，以AC為邊作等邊△ACD（A，C，D按順時(shí)針排列），連接AE，DF(1)如圖1所示，若點(diǎn)D，點(diǎn)A在BC兩側(cè)，當(dāng)a=150°①請(qǐng)直接寫出∠DAE②用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎觯壕€段EF與AD之間的關(guān)系；EF所在直線與AB之間的關(guān)系；(2)如圖2所示，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，請(qǐng)判斷四邊形AEFD【答案】(1)①∠DAE=30°;②AD∥EF且AD=EF,直線EF(2)四邊形AEFD是平行四邊形，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△ABE是等邊三角形，即可求出∠DAE②由旋轉(zhuǎn)可得AC=EF,再由等邊三角形可得AC=AD，即可得到AD=EF，由①得∠DAE=30°，再由①∠AEF=150°可得AD∥EF；連接AF，證明△AEF≌△BEF，可得AF=BF，再結(jié)合EA=EB，即可得到直線（2）參考（1）中的過(guò)程證明AD∥EF且AD=EF即可．【詳解】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：AB=BE,AC=EF，∠∴△ABE是等邊三角形，∴∠∵等邊△∴∠CAD=60°,AC=∴∠②由旋轉(zhuǎn)可得AC=EF,∠∴∠由①得∠∴∠∴AD∥EF∵等邊△∴AC=AD，∴AD=EF，連接AF在△AEF和△BEF中，EF∴△AEF≌△BEF（SAS）∴FA=FB∴點(diǎn)F在AB的垂直平分線上∵EA=EAB∴點(diǎn)E在AB的垂直平分線上∴直線EF垂直平分AB（2）四邊形AEFD是平行四邊形，證明如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：AB=BE,AC=EF，∠ABE=60°∴△ABE是等邊三角形，∴∠∵等邊△∴∠CAD=60°,AC=∴∠∵∠∴∠∴AD∥EF∵等邊△∴AC=AD，∴AD=EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、垂直平分線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等．【題型9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】【例9】（2023下·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的面積為5，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DFC，連接EA，DA，當(dāng)∠BAC

【答案】10【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DF于G，過(guò)點(diǎn)C作CM垂直于FD的延長(zhǎng)線于M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BEF≌△BAC≌△FDC，然后得出△【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DF于G，過(guò)點(diǎn)C作CM垂直于FD的延長(zhǎng)線于

根據(jù)題意知，△BEF≌△BAC≌∴BE=BA∵∠ABE=60°，∴△ABE，△∴AE=AB∴AE=DF∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE∴AG∴S故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABE、△ACD【變式9-1】（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谥校┤鐖D①，P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D為AC邊中點(diǎn)，操作：以PA、PB為鄰邊作?PAMB，連接PD并延長(zhǎng)到點(diǎn)

(1)探究：判斷ME與BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)應(yīng)用：如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，M，E在同一條直線上，且M為PD中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形【答案】(1)ME與BC的數(shù)量關(guān)系：ME=BC(2)2【分析】（1）連接AE和CP，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AP∥BM且再由PD=DE，D為AC邊中點(diǎn)可知四邊形AECP是平行四邊形，從而得到AP∥CE且AP=CE，繼而得到（2）連接BD，利用三角形的中線將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形求解即可．【詳解】（1）解：連接AE和CP，

∵四邊形PAMB是平行四邊形，∴AP∥BM且又∵PD=DE，D為AC邊中點(diǎn)，即∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE且∴BM∥CE且∴四邊形BMEC是平行四邊形，∴ME=BC且即ME與BC的數(shù)量關(guān)系是：ME=BC，位置關(guān)系是：（2）連接AE、BD，設(shè)PM與AB交于點(diǎn)O，

∵四邊形PAMB是平行四邊形，∴O是PM和AB的中點(diǎn)，∴S△∵M(jìn)為PD中點(diǎn)，∴S△∴S△∵D為AC邊中點(diǎn)，∴S△∴S△∵∠ABC=90°，∴BC=2∴AB=∴S△∴S?故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中線將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形等知識(shí)，正確作出有用的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期中）如圖，?ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF，連接EF交BD(1)連接BF、DE，判斷四邊形DEBF的形狀并說(shuō)明理由．(2)若AE=6，BE=2，△BOF的面積為2(3)若BD⊥AD，∠A=45°，EF⊥AB，延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線于G，當(dāng)【答案】(1)四邊形DEBF是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；(2)16；(3)4；【分析】（1）分別證明DF∥EB，（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，由△BOF的面積為2，得到S△EFB=4，再利用三角形同底等高的性質(zhì)，得到△EDB的面積，再求出S（3）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因?yàn)镋F⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG與△DFG【詳解】（1）解：四邊形DEBF是平行四邊形；證明：由題意，在?ABCD中，DF∵BE=∴四邊形DEBF是平行四邊形；（2）解：∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴OE=∴S△∴S△∵AE=6，BE∴S△∴S△∴?ABCD的面積為2（3）解：∵BD⊥∴∠ADB∵∠A∴∠DBA∵EF⊥∴∠G∴△ODG∵AB∥CD，∴DF⊥∴OF=FG，∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴OE=OF，∴GF=∵△DFG∴DF=∴GE=OE∴AE=∴AB=【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，以及同底等高類的三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠A=30°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向以每秒4個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，以BP，BQ為鄰邊作平行四邊形BPDQ，PD，QD分別交AC于點(diǎn)E(1)BQ=______(含t的代數(shù)式表示)(2)如圖2，連接AD，PF，PQ，當(dāng)AD∥PQ時(shí)，求(3)如圖3，連接PF，PQ，D點(diǎn)關(guān)于直線PF的對(duì)稱點(diǎn)為D'點(diǎn)，若D'落在△PQB的內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，則【答案】(1)4-(2)S(3)4【分析】（1）根據(jù)幾何動(dòng)點(diǎn)的速度和時(shí)間可得結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形BPDQ是平行四邊形，證明四邊形APQD是平行四邊形，可得t=1，再證明△EFD≌（3）先證明DF=FQ，再計(jì)算兩個(gè)邊界點(diǎn)時(shí)點(diǎn)t的值；①如圖3，點(diǎn)D'與Q重合，②如圖4，D'【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∴BC由題意，CQ=∴BQ故答案為：4-t（2）如圖2中，∵四邊形BPDQ是平行四邊形，∴DQ∥AB，∵AD∥∴四邊形APQD是平行四邊形，∴QD∴PB∴t∴CQ∵PE∥BC，∴AE∴PE∴DE∴DE∵∠∴△EFD∴FD∴S（3）如圖2，∵BP∴AP在Rt△APE中，∴PE∵四邊形PBQD是平行四邊形，∴PD∴DE∵∠∴△EFD∴EF如圖3，點(diǎn)D'與Q由對(duì)稱得：PD=∴PQ∵∠B∴△PBQ∴PB∴4t∴t如圖4，D'在斜邊AB上，此時(shí)∠由對(duì)稱得：∠DPF∵∠∴△PDF∴PD∴4-t∴t∴t的取值范圍為4故答案為：45【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)取邊界點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.【題型10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】【例10】（2023下·廣東湛江·八年級(jí)校考期中）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(1)求證：BE=(2)若BF恰好平分∠ABE，連接AC、DE，求證：四邊形ACED(3)若BF⊥AE，∠BEA=60°，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)4【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB=CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠AEB（2）證明△ADF≌△ECFASA，得出（3）證明△ABE是等邊三角形，得出AB=AE=4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AF=EF=12【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE∵AE平分∠BAD∴∠BAE∴∠BAE∴BE=∴BE=（2）證明：由（1）知BE=∵BF平分∠ABE∴AF=在△ADF和△∠DAE∴△ADF∴DF=又∵AF=∴四邊形ACED是平行四邊形；（3）解：由（1）知BE=又∵∠BEA∴△ABE∴AB=∵BF⊥∴AF=在Rt△ABF中，由勾股定理得，∵∠DAE=∠AEB，AF∴△ADF∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．【變式10-1】（2023上·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABE和△CDF是平行四邊形ABCD外的兩個(gè)三角形，且求證：四邊形AECF是平行四邊形．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于由平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC=∠CDA，再證明△【詳解】證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD，∵△ABE∴BE=DF，AE=∴∠EBC在△EBC和△∴BE∴△EBC∴CE=又AE=∴四邊形AECF是平行四邊形．【變式10-2】（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，如圖①，求證：EF＝CD．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)時(shí)（除B、C外），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)EF=CD成立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED∥CF，求證△ABD≌△CAF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；（2）根據(jù)ED∥FC，結(jié)合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求證△ABD≌△CAF，得出ED=CF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF=DC．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC．∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠CAD=12∠BAC=30°∵△AED是等邊三角形，∴AD=DE，∠ADE=60°．∴∠BDE=90°－∠ADE=90°－60°=30°．∵CF∥DE，∴∠BCF=∠BDE=30°．在△BCF和△CAD中，∵∠BCF=∠CAD=30°，∠B=∠ACB，BC=AC，∴△BCF≌△CAD．∴CF=AD．∵AD=DE，∴CF=DE．又∵CF∥DE，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=CD．（2）解：EF=CD成立．

理由：∵CF∥DE，∴∠BDE=∠BCF．∵∠BDE+∠ADE=∠CAD+∠ACB，由（1）知∠ADE=∠ACB=60°，∴∠BDE=∠CAD，∴∠BCF=∠CAD．在△BCF和△CAD中，∵∠BCF=∠CAD，∠B=∠ACB，BC=AC，∴△BCF≌△CAD．∴CF=AD．∵AD=DE，∴CF=DE．又∵CF∥DE，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=CD．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．【變式10-3】（2023上·北京海淀·八年級(jí)清華附中校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，BP，

(1)用等式表示AP'與BP(2)當(dāng)∠APB①直接寫出∠P'AP②若M為AB的中點(diǎn)，連接PM，依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示PM與PP'【答案】(1)AP(2)PM【分析】（1）利用SAS證明△BCP≌△ACP（2）①由三角形內(nèi)角和定理知∠PAB+∠PBA=180°-∠②延長(zhǎng)PM到N，使PM=MN，連接BN、AN，得出四邊形PBNA為平行四邊形，則NA∥BP且NA=BP，再利用SAS證明【詳解】（1）BP=證明：∵CA=∴∠BCP∵將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CP'∴∴∠∴∠∴△∴（2）①當(dāng)∠APB=135°則∠PAB∵∠PBA∴∠PAB∵△BCP∴∠PBC又∵∠CAP∴∠P故答案為45°；②PM=延長(zhǎng)PM到N，使PM=MN，連接BN、

∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴BM=∴四邊形PB