新泰中學(xué)2021級高三高考模擬測試(一)

數(shù)學(xué)試題

2024.04

全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知{“/是等比數(shù)列，。3a5=8%,且出，%是方程V—34%+m=°兩根，則機(jī)=()

A.8B.-8C.64D.-64

2.已知集合4=31083(2%+1)=2},集合3={2,a},其中aeR.若=則4=()

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量a=[log23,sing],Z?=(log38,m),若a_L。，則m=()

A.-2A/3B.-73C.2A/3D.3五

4.函數(shù)7(%)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如()

X-2-101235

"%)2.31.10.71.12.35.949.1

A.=W'l+b

B.f(x)=kxe'+b

C/(x)=^|x|+Z?

D./(x)=^(x-l)2+b

22

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知A為雙曲線C：二-二=1(。>0/>0)的右頂點(diǎn)，以。4為直徑的圓與

ab

C的一條漸近線交于另一點(diǎn)若|AM|=g匕，則C的離心率為()

A.72B.2C.2&D.4

6.己知集合4={-g,-若a,4ceA且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)，對數(shù)函數(shù)

y=log.x,暴函數(shù)y=x,中至少有兩個函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(a力,c)的個數(shù)是()

A.16B.24C.32D.48

7.“a=二+E(keZ)”是"百cos-a+siir&=G十]，，的()

4sin。cos。

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8已知復(fù)數(shù)Z],Z2滿足小卜岡二日4―Z21=2,則Z]+gz2=(

)

A.1B.6C.2D.273

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

2

9.已知函數(shù)1------\-a^aeR),則()

2'—1

A.〃尤)的定義域?yàn)?―8,0)U(0,y)

B.“X)的值域?yàn)镽

C.當(dāng)。=1時，/(%)為奇函數(shù)

D.當(dāng)好2時，/(-%)+/(x)=2

10.下列結(jié)論正確的是()

A.一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(4％)都在直線y=0.95*+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相

關(guān)系數(shù)為0.95

B.已知隨機(jī)變量JN(3,4),若177+1,則。(〃)=1

C.在2x2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a,伍Gd均變成原來的2倍，則％2也變成原來的2倍

n(ad-be)2

(力=其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

D.分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件A="第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，3="2枚骰子正面

向上的點(diǎn)數(shù)相同”，則A,3互為獨(dú)立事件

11.已知圓。：爐+/一IOX+13=O,拋物線卬：/二八的焦點(diǎn)為產(chǎn)，p為W上一點(diǎn)()

A.存在點(diǎn)P,使△尸PC為等邊三角形

B.若QC上一點(diǎn)，則|PQ|最小值為1

C.若|PC|=4,則直線0尸與圓C相切

D.若以。咒為直徑的圓與圓C相外切，貝”尸耳=22—126

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.隨機(jī)變量x~N(",")，若P(X之70)=P(X<90)且P(72<X<80)=0.3,則隨機(jī)變量X的第80

百分位數(shù)是.

—7——為奇數(shù)，

13.記S”為數(shù)列｛a“｝的前幾項(xiàng)和，已知a”=V小+2)則4

a,I，”為偶數(shù),

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做

球冠的高?球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做

球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1,一個球面的半徑為

R,球冠的高是/I,球冠的表面積公式是5=2成3與之對應(yīng)的球缺的體積公式是丫=:兀/22(3氏一/2).如

圖2,已知CD是以AB為直徑的圓上的兩點(diǎn)，/40。=，30。=§,5扇形。8=6兀，則扇形CO。繞

直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為,體積為.

B

Iki2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且5=3,c=l,a=6cosB.

(1)求。的值：

(2)求證：A=2B；

(3)cos2,-總的值

16.某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中有二個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎游.戲

規(guī)則如下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復(fù)

以上步驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結(jié)束規(guī)定：從平地開始，結(jié)束時學(xué)生位

于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認(rèn)定游戲失

敗.

(1)某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第X級臺階，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)①求一位同學(xué)參加游戲，他不能獲得獎品的概率；

②若甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率；

17.如圖，在直三棱柱ABC-ABC1中，A3=BC=2,A4=3,點(diǎn)。,E分別在棱上，

AD=2%"=2EC,F為Bg的中點(diǎn).

A

(1)在平面A3四4內(nèi)，過A作一條直線與平面。跖平行，并說明理由；

(2)當(dāng)三棱柱ABC-A與G的體積最大時，求平面。斯與平面ABC夾角的余弦值.

18已知函數(shù)〃％)=*(111工+。),。€口.

(1)若a=l,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程；

(2)討論了(%)的單調(diào)性；

(3)若存在%€(0,+8),且看<々，使得/(%)=/(9)，求證：~~>e：：fl+1-

19.動圓。與圓G：(x+2)2+y2=50和圓。2：(%—2)2+V=2都內(nèi)切，記動圓圓心。的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線方程為-2+23孫+。2+2。*+2￡>+歹=0,則曲線

上一點(diǎn)(如為)處的切線方程為：A^)x+B(xoy+yox)+Cyoy+D(xo+x)+E(yo+y)+F=O,試運(yùn)用

該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)P為直線x=8上一點(diǎn)(P不在x軸上)，過點(diǎn)P作E的兩條切線PAM,切點(diǎn)

分別為A3.

(i)證明：直線AB過定點(diǎn)；

(ii)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A,連接A3交x軸于點(diǎn)/，設(shè),.AG",ABGM的面積分別為H,邑，

求應(yīng)―S?|的最大值.

新泰中學(xué)2021級高三高考模擬測試（一）

數(shù)學(xué)試題

2024.04

全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知{“/是等比數(shù)列，。3a5=8%,且出，%是方程V—34%+m=°兩根，則機(jī)=（）

A.8B.-8C.64D.-64

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閧?}是等比數(shù)列，所以a3a5=若，又。3。5=8。4，所以“4=8,

又。2，4是方程x2—34x+m=0兩根，

所以zn=a2a6==64.

故選：C

2.已知集合4={同1。83（2%+1）=2},集合3={2,a},其中aeR.若=則。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出集合A,依題意可得即可求出。的值.

【詳解】由log3（2x+l）=2,則2X+1=32,解得X=4,所以A={同氏3（2x+l）=2}={4},

又3={2,a},AuB=B,即A=所以。=4.

故選：D

3.已知向量a=[log23,sing],Z?=(log38,m),若q_L。，則m=()

A.-2A/3B.-73C.2A/3D.3五

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.

4兀

【詳解】因?yàn)閍_LO，所以。.。=0，即Iog23xlog38+7〃sin與-=0,

所以log28—機(jī)=0，所以m=2j^.

故選：C.

4.函數(shù)7(%)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如()

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A.=W'l+b

B.f^x)=kxex+b

C.f(^x)=k\x\+b

D./(x)=A;(%-1)2+b

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)/(%)的數(shù)據(jù)即可得出答案.

【詳解】由函數(shù)外力的數(shù)據(jù)可知,函數(shù)/(—2)=〃2),/(—=

偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B,D；

當(dāng)尤＞0時，由函數(shù)/(%)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)/(%)增長越來越快，可排除C.

故選：A.

5.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，已知A為雙曲線C：「-馬=1（。＞03＞0）的右頂點(diǎn)，以。4為直徑的圓與

ab

C的一條漸近線交于另一點(diǎn)M,若匕，則C的離心率為（）

A.41B.2C.272D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由漸近線方程和。河，40求出|OM|=ga,由勾股定理得到/=3/,從而求出離心率.

b

【詳解】由題意得，OMLAM,雙曲線的一條漸近線方程為y=—x,

a

b\AM\b

故tan/AOM=一，即-；---r=一,

a\OM\a

又所以|O閭=ga,

由勾股定理得|。0「+|4閭2=|QA「，即;標(biāo)+；〃=/,

解得萬=3/,

6.已知集合4=卜3，-*,；,2,31,若a,〃ceA且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)，對數(shù)函數(shù)

y=log,x,暴函數(shù)y=中至少有兩個函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增的有序數(shù)對（a力,c）的個數(shù)是（）

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】若＞=優(yōu)和y=iog,x在（0,+s）上單調(diào)遞增，＞=必在（0,+8）上單調(diào)遞減，

則有A；C=4個；

若y=ax和y=X。在(0,+8)上單調(diào)遞增,y=log,x在(0,+s)上單調(diào)遞減，

則有C；CC=8個；

若y=log,x和y=在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=優(yōu)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則有C；CC=8個；

若丁=優(yōu)、y=log,x和y=x。在(0,+⑹上單調(diào)遞增，則有A>C；=4個；

綜上所述：共有4+8+8+4=24個.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩個計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用技巧

(1)在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加

法計(jì)數(shù)原理.

(2)對于復(fù)雜的兩個計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化.

7.“。=巴+也(左右2)”是“且叱￡±^_^=百+1”的()

4sinacosa

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出tana,再利用齊次式法求值及充分條件、必要條件的定義判斷得解.

71

【詳解】由。=—+E(左￡Z),得tana=l,

4

由百cos2&+sin2a=6+1，得ta^a+g=用］,解得tana=1或tana=百，

sinacosatana

所以“。'+也(左eZ)，堤"Gcos-a+sirra=6+1”的充分不必要條件，A正確.

4sinacosa

故選：A

8.已知復(fù)數(shù)z-z2滿足2㈤=卜21=〔2馬一馬|=2,則馬+；22=()

A.1B.^3C.2D.2A/3

【答案】B

【解析】

【分析】首先分析題意，設(shè)出復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)的模找變量之間的關(guān)系，整體代入求解即可.

【詳解】設(shè)4=。+歷,Z2=c+di,則2，/+/=點(diǎn)=J(2a-c)2+(2\-d)2=2

222

所以Q2+Z;=1,c+d=4,8—4(〃c+Z?d)=4,即ac+bd=1,

Ja?+/++^/2+etc+bd

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

2

9.已知函數(shù)1——+a[aGR),則()

2—1

A./(%)的定義域?yàn)?―”,O)U(O,y)

B.“X)的值域?yàn)镽

C.當(dāng)。=1時，"％)為奇函數(shù)

D.當(dāng)。=2時，/(-%)+f(x)=2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由分母不為零求出函數(shù)的定義域，即可判斷A,再分2,-1>0、-1<2*-1<0分別求出函數(shù)值的

取值范圍，即可得到函數(shù)的值域，從而判斷B,根據(jù)奇偶性判斷C,根據(jù)指數(shù)塞的運(yùn)算判斷D.

2

【詳解】對于函數(shù)/■(x)=k「+a(aeR),令2—1/0,解得"0，

所以了(%)的定義域?yàn)?―8,0)U(0,y),故A正確；

22

因?yàn)?*>0，當(dāng)2*-1>0時，所以—+a>a,

2X-12'-1

22

當(dāng)一1<2'—1<0時_~~<—2,所以~-+a<—2+61,

2X-12X-1

綜上可得/(X)的值域?yàn)?F,-2+Q)L(Q,y),故B錯誤；

當(dāng).=1時=+1=^-^,則===—〃％）,

v72X-12X-1v72~x-l2X-1v7

2

所以/（x）=5三+l為奇函數(shù)，故C正確；

、[/*.?/\22%+1??/\?/\2%+12^+1

當(dāng)〃=2時/（%）=------+2=-------+1,貝nU/+/（%）=---------1-1+--------+1=2,

v72X-12X-1v7v72X-12-x-l

故D正確.

故選：ACD

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（專弘）都在直線y=0.95x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相

關(guān)系數(shù)為0.95

B.已知隨機(jī)變量JN（3,4）,若4=2〃+1,則。⑶=1

C.在2x2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a,》,c,d均變成原來的2倍，則方?也變成原來的2倍

_n(ad-be#

2其中〃=a+〃+c+d)

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

D.分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件A="第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，3="2枚骰子正面

向上的點(diǎn)數(shù)相同”，則A,3互為獨(dú)立事件

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷A,根據(jù)正態(tài)分布的方差公式及方差的性質(zhì)判斷B,根據(jù)卡方公式判斷

C,根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷D.

【詳解】對于A：若所有樣本點(diǎn)（4M）都在直線y=0.95x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1，

故A錯誤；

對于B：如JN（3,4）,則￡＞（4=4,又J=2〃+l,即”;g

則￡）（〃）=（g）xD（^）=l,故B正確；

對于C：在2x2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)a,伍c,d均變成原來的2倍，

皿2n（2ax2d—2bx2c）2_2n（ad-bc）2

人」（2a+2Z?）（2c+2d）（2a+2c）（2b+2d）（Q+Z?）（c+d）（a+c）,+d[

即/2也變成原來的2倍，故C正確；

對于D：分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為6x6=36個，

事件A="第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，則事件A包含的基本事件數(shù)為3義6=18個，

事件3="2枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)相同”，則事件B包含的基本事件數(shù)為6x1=6個，

所以「網(wǎng)=「（8）=（=：,

JOZ30O

31

又AB包含基本事件有3x1=3個，所以P（AB）=—=—,

所以P（A5）=P（A）xP（5）,則A、B互為獨(dú)立事件，故D正確；

故選：BCD

11.已知圓。：必+/―10工+13=0,拋物線W：V=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，P為W上一點(diǎn)（）

A.存在點(diǎn)尸，使△尸尸C為等邊三角形

B.若。為。上一點(diǎn)，則歸。|最小值為1

C.若|PC|=4,則直線P尸與圓C相切

D.若以。咒為直徑的圓與圓C相外切，則歸耳=22-126

【答案】AC

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,△班C為等邊三角形需保證|尸耳=歸。|=3。|=4,設(shè)定點(diǎn)P坐標(biāo)用兩點(diǎn)間距離公式檢

驗(yàn)即可；選項(xiàng)B,設(shè)定點(diǎn)P（‘J）,將|PQ|轉(zhuǎn)化為|尸Q|=|尸C|—「表示，求最小值即可；選項(xiàng)C,由|PC|=4

2

求得點(diǎn)尸坐標(biāo)，求得直線所在的直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式檢驗(yàn)即可；選項(xiàng)D,設(shè)定點(diǎn)t

以尸產(chǎn)為直徑的圓與。相外切，需保證|CE|-r=!|Pb|,建立關(guān)于I尸刊的方程，求之即可.

2

【詳解】由已知圓C:必+/—10x+13=0的方程化為C:（x—5）2+/=12,

得其圓心C（5,0）,半徑廠=2班，

由于拋物線方程為W:9=4x,其焦點(diǎn)為b（L0）

對于選項(xiàng)A,若△尸PC為等邊三角形，當(dāng)且僅當(dāng)歸耳=|尸。|=3。|=4；

若點(diǎn)P到點(diǎn)尸（1,。）的距離為4,

由拋物線定義可知/+1=4,即%=3,

代入拋物線方程可得P（3,±2Q）,|PC\=7（3-5）2+（±2A/3-0）2=4，故A正確;

對于選項(xiàng)B,因?yàn)辄c(diǎn)尸在拋物線上，。為C上一點(diǎn)，

\P^=\PC\-r=\PC\-2y/3,

由于P為W上，設(shè)P（：J）,且C（5,0）,

則|/。|=，（”2+"。）2=必7+251H盧+16“'

當(dāng)且僅當(dāng)r=12時，原式取得最小值，|為2|的最小值4-26W1，故B不正確；

對于選項(xiàng)C,設(shè)P（：J）,且C（5,o）,

若|PC|=4,即歸—。/+25=4,得產(chǎn)―24/+144=0，

V162

解得『=12,所以此時P（3,±2』），

不妨取尸（3,2百），F(xiàn)（l,0）,

此時直線。產(chǎn)的方程為：>=轉(zhuǎn)（％_1）,即怎—y—百=0,

J|56-0-向cr-

則圓心C（5,0）到該直線的距離為d=I=2.3=廠，

J（丁產(chǎn)+（—1）2

所以此時直線尸產(chǎn)與圓C相切，同理可證明尸（3,-2百）的情形也成立，故C正確;

對于選項(xiàng)D,設(shè)P戶的中點(diǎn)為E，若以尸產(chǎn)為直徑的圓與。相外切時，

只需保證|CE|-r=&PP|,

2

產(chǎn)/2\t

設(shè)p（Lj）,且C（5,o）,尸（1,0）,得E（L+_L」），

4822

得方程：—5）2+（\-0）2-26=:（［+1）（*），

V82224

其中|尸尸=2+1,反解得：產(chǎn)=4|P/q—4代入上式,

4

化簡可得：I尸川=—^=6(2-6)=12-6月，

2+V3

顯然12-6百/22-126，故D不正確.

【點(diǎn)睛】客觀題圓錐曲線的綜合性問題，多數(shù)考查數(shù)形結(jié)合思想，要善于借助圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化條件和

問題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.隨機(jī)變量x~N3/),若「(乂270)=2(乂<90)且玖72<乂<80)=0.3,則隨機(jī)變量X的第80

百分位數(shù)是.

【答案】88

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性求出〃，再求出P(XV幻=0.8時的左即可.

【詳解】隨機(jī)變量x~N3b2),又P(XN70)=P(X<90),則A=80,

因此P(80<X<88)=P(72VX<80)=0.3,則P(X<88)=0.5+P(80<XK88)=0.8,

所以隨機(jī)變量X的第80百分位數(shù)是88.

故答案為：88

——-——，〃為奇數(shù)，

13.記S.為數(shù)列｛a“｝的前”項(xiàng)和，已知4=<"("+2)貝1JS]o=.

qt，〃為偶數(shù)，

【解析】

【分析】注意到％*=。2*-1，％€河"，進(jìn)一步由裂項(xiàng)相消法即可求解.

【詳解】由題意%*=a2j，%wN",

一「c/、J111111

所以Ho=2（4+%+%+%+%）=2|r++---+——

11x33x55x77x99x11J

411111111110

―33557799U~11'

故答案為：一.

11

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做

球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做

球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1,一個球面的半徑為

R,球冠的高是力，球冠的表面積公式是S=2成以與之對應(yīng)的球缺的體積公式是V=g7i/z2（3R—人）.如

7T

圖2,已知CD是以AB為直徑的圓上的兩點(diǎn)，/4。。=/5。。=§,5扇形8°=6兀，則扇形COD繞

直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為,體積為.

【答案】?.72兀+366兀②.14471

【解析】

【分析】首先求出NOOC,再根據(jù)扇形面積公式求出圓的半徑，過點(diǎn)。作CE1A3交A3于點(diǎn)E,過

點(diǎn)。作。尸，AB交AB于點(diǎn)口，即可求出CE、OE、AE.OF,BF、DF,將扇形C。。繞直線

AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個半徑R=6的球中上下截去兩個球缺所剩余部分再挖去兩個圓錐，再根

據(jù)所給公式分別求出表面積與體積.

TTTT'Ji

【詳解】因?yàn)镹AOC=NBOD=—,所以/。。。=兀一2乂一=—,設(shè)圓的半徑為R,

333

1JT

又S扇形co。=6兀，解得R=6（負(fù)值舍去），

過點(diǎn)C作CE1AB交AB于點(diǎn)過點(diǎn)。作AB交AB于點(diǎn)產(chǎn)，

則CE=OCsin2=33，OE=OCcos-=3,

33

所以AE=H—OE=3,同理可得Z>F=3A/^，OF=BF=3,

將扇形COD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個半徑R=6的球中上下截去兩個球缺所剩余部分再

挖去兩個圓錐，

其中球缺的高々=3,圓錐的高九=3,底面半徑廠=3百，

則其中一個球冠的表面積H=2欣/?=2兀*6義3=36兀,球的表面積=4兀TP=4TIx62=144TI,

圓錐的側(cè)面積S3=3^x6兀=18信，

所以幾何體的表面積S=S2—24+2s3=144TI-2x3671+2x18島=72兀+36島，

又其中一個球缺的體積X=17i/i2（3i?-/i）=17ix32（3x6-3）=4571,

圓錐的體積匕=§兀義（3百）義3=27兀，球的體積％兀&兀*63=288兀，

所以幾何體的體積V=匕-2匕-2V,=2887i-2x457i-2x277t=144K.

故答案為：72兀+366兀；14471

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是弄清楚經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后得到的幾何體是如何組成，對于表面積、體積要合

理轉(zhuǎn)化.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知二ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且Z?=3,c=La=6cosB.

（1）求。的值：

（2）求證：A=2B；

⑶cos25一圖的值

【答案】（1）2A/3

（2）證明見解析（3）20-G

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合余弦定理求解；

（2）由Q=6COS_B可得Q=2Z?COSJB,利用正弦定理結(jié)合0vAVTI,得證；

（3）由（1）可求得cosB,sin5,根據(jù)二倍角公式求得sin26cos26,再利用兩角差的余弦公式求得結(jié)

果；或由余弦定理求得cosA,sinA,結(jié)合A=25,利用兩角差的余弦公式運(yùn)算得解.

【小問1詳解】

^222

由。=6cos5及余弦定理，得0二6?幺二——,

lac

因?yàn)?=3,c=l,所以4=12,a=2y/3-

【小問2詳解】

由Q=6COS5及Z?=3,得a=2/?cos5,

由正弦定理得sinA=2sinBcosB=sin2B,

因?yàn)?<A<7i,所以A=26或A+25=兀.

若A+25=7i,則5=C,與題設(shè)矛盾，因此A=26.

【小問3詳解】

由（I）得cosB=q=3^=昱,因?yàn)?<8<兀，

663

所以sin3=^1-cos2B

2^21]

所以sin2B=2sinBcosB=-----，cos2B=2cos2B-l=——，

33

/71I（71i7171

所以cos2l1=cos\2B--\=cos2Bcos—+sinIBsin—

G2V212直-6

X1-----------X一=----------

I2326

1

d冷刀中不Ab?+c2—a1..r.2A12-\/2

另解：因?yàn)閏osA=----------=一一,sinA=vl-cosA=Jl——=----，

2bc3V93

(兀)(兀)兀兀

所以cos2B---=cos2B—=cosAcos—+sinAsin—

I12JI6)66

G2V212V2-V3

---1-----x—=---------

2326

16.某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中有二個“擲骰子贏獎品”的登臺階游戲最受歡迎游.戲

規(guī)則如下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復(fù)

以上步驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結(jié)束規(guī)定：從平地開始，結(jié)束時學(xué)生位

于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認(rèn)定游戲失

敗.

(1)某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第X級臺階，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)①求一位同學(xué)參加游戲，他不能獲得獎品的概率;

②若甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率；

【答案】(1)分布列見解析；期望為7

⑵①土②吧

27729

【解析】

【分析】(1)設(shè)F=X—6,根據(jù)題意分析可知y~33,；,結(jié)合二項(xiàng)分布求分布列，進(jìn)而可得期望;

(2)①結(jié)合概率乘法公式求單人不能獲獎的概率，

②利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率乘法公式求恰有一人獲得獎品概率.

【小問1詳解】

4221

由題意可知：每次擲骰子上兩級臺階的概率為一=—,上三級臺階的概率為一=一,

6363

且X的可能取值為6,7,8,9,設(shè)F=X—6,

則有：p(x=6)=p(y=o)=仔)*,p(x=7)=尸(y=i)=c；x；x||J

P(X=8)=P(y=2)=CtxQjx|^|.

1

p(x=9)=p(y=3)=

27

所以X的分布列為:

X6789

8421

P

279927

Q421

X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=6x——+7x—+8x—+9x——=7.

v7279927

【小問2詳解】

①因?yàn)槲挥诘?0級臺階則認(rèn)定游戲失敗，無法獲得獎品,

結(jié)合題意可知：若學(xué)員位于第10級臺階，則投擲3次后，學(xué)員位于第7級臺階，投擲第4次上三級臺階,

所以不能獲得獎品的概率為"4收十2

②甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，恰有一人獲得獎品的概率P=C；《x4184

27729

17.如圖，在直三棱柱ABC-A4cl中，點(diǎn)￡>,E分別在棱A4,CG上，

AD=2DACE=2EC,F為Bg的中點(diǎn).

(1)在平面內(nèi)，過A作一條直線與平面。跖平行，并說明理由；

(2)當(dāng)三棱柱ABC-A4G的體積最大時，求平面與平面ABC夾角的余弦值.

【答案】(1)作直線A片即為所求，理由見解析

⑵源

29

【解析】

【分析】（1）連接AG交DE于點(diǎn)/，連接M/、AE，AB],即可證明四邊形為平行四

邊形，從而得到AM=MG,則MFHAB,,即可證明ABJ/平面DEF；

7T

（2）由匕gc-a4G=SABC.=3S.，又因?yàn)镾ABC=2sinNABC，則當(dāng)NABCn,，即當(dāng)

A313。時直三棱柱ABC-4與C的體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【小問1詳解】

作直線A片即為所求，

連接AG交OE于點(diǎn)M,連接MF、AE>DC]、ABX,

因?yàn)锳D=2￡）A，C[E=2EC,

2

所以AD=C]E=§AA=2,又ADHC[E,所以四邊形AZ）GE為平行四邊形，

所以AAf=AfCi，又B[F=FC「所以板〃4耳，又Wu平面。跖，A&a平面。跖，

所以A3"平面DEF，

所以在平面AB4A內(nèi)，過A作一條直線與平面平行的直線為A耳.

【小問2詳解】

因?yàn)樨癇C-A4G=S鉆。,BB[=3S，

又因?yàn)镾的。=gA3,sinNABC=2sinZA3C,

JT

所以當(dāng)ZABC=5時SMe取最大值2,

即當(dāng)A318C時直三棱柱ABC-A^C,的體積最大，

又5用_L平面ABC,AB,3Cu平面ABC,所以2耳，AB,BBt1BC,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則。（2,0,2）,￡（0,2,1）,-0,1,3）,

所以?；?（一2,2,-1）,EF=（O,-l,2）,

設(shè)平面DEF的法向量為〃=（羽%2）,

n?DE=—2x+2y—z=0

則,取〃=

n-EF=—y+2z=0

又平面ABC的一個法向量為加=（0,0,1）,

L12回

設(shè)平面D跖與平面ABC夾角為e,則帆?同[312愛]229

所以平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為2叵.

29

18.己知函數(shù)/(x)=x2(lnx+a),aeR.

(1)若a=l,求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論/(%)的單調(diào)性；

(3)若存在西，馬e(°，+s)，且西<%2，使得/(%)=/(%2)，求證：

【答案】(1)3x-y-2=Q

11

(2)函數(shù)/(幻在區(qū)間(0,屋”「5)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(eY-5,+8)上單調(diào)遞增

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)分別求出/。)和/'(1)的值，求切線方程即可；

(2)求原函數(shù)Ax)導(dǎo)函數(shù)/'(X),構(gòu)造函數(shù)。?=211^+24+1,借助其導(dǎo)數(shù)9(>)的符號，研究9(x)

的單調(diào)性及符號，/(%)的單調(diào)性即可解決；

(3)從/(%1)=/(x2)出發(fā)，將不等式x^(lnx1+a)<x?(lnx2+o)同構(gòu)為

2(ln+a)

e2(m.q+a)2.(足芯+q)<e^2?(In馬+。)的形式，設(shè)定%=2(ln為+d),t2=2(lnx2+a),只需證

：+?2<-2成立，構(gòu)造函數(shù)GQ)=g?)—g(—2—f)je(—l,。)，用極值點(diǎn)偏移的方法解決問題即可.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時，/(X)=X2(1IIY+1),所以/⑴=1,

又/'(力=%(23+3),所以/'⑴=3,

曲線y=/⑴在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為：3x—y—2=0；

【小問2詳解】

因?yàn)閤>0,且/'(x)=2x(lnx+a)+x=x(21nx+2a+l),

2

令°(x)=21nx+2a+l,(p'(x)=—,因?yàn)閤>0,(p'(x)>0,

x

即函數(shù)9(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

由。(x)=21nx+2a+l=。，得一。一")，

A-C

11

所以函數(shù)9(X)在(0,e-0-2)上小于零，在(屋“-5,+8)上大于零，

因?yàn)閤>0,/'(X)的符號和函數(shù)9(x)的符號一致，

11

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,屋"5)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e^-^+oo)上單調(diào)遞增;

【小問3詳解】

因?yàn)?(e-“)=(e-“)2(lne+a)=0,

所以xe(0,e-")時，lnx+a<lne-"+a=O，且f2〉。，

則x2(liu+a)<0,即/(x)<0,

若/(%)=/(9),且%e(Q+°°)，石<々,

__i1

所以0<西<e"2，取自然對數(shù)得：ln%<—a—5<lnx2<—a，

即2(lnx1+a)<-l<2(lnx2+(2)<0,

由/(%)=/(犬2)得：+a)=￥(ln%2+。)，

lnx2a2

即e'(In玉+a)e=e*(Inx2+?)e%

2+a)

所以e2(inA1+?),2(in%1+a)=e^，.2(lnx2+a),

令4=2(ln玉+a),t2=2(lnx2+a),

設(shè)g?)=%e'1<0,所以g'⑺=Q+l)e'，

所以/e(—oo,—1)時,g'⑺<0,函數(shù)g?)單調(diào)遞減；

，e(—1,0)時，g'?)>0,函數(shù)g?)單調(diào)遞增；

下面證明：t1+t2<—2,又/2〉—1,即證:<—2—巧<—1,

即證g(G>g(-2-^2)，即證g?2)>g(-2一片2)，

令G?)=g⑺-g(-2-)小(-1,。)，

G")=g'(t)-gX-2-t)=(t+l)(eJef>0,

所以G⑺在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以G?)>G(—1)=。，從而得證；

故2(ln%+a)+2(lnx2+a)<-2,

即In%4<-2a-l,所以0cxi巧<-21,

所以「一<e2"i,得證.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移是一種最常見的考法，其解題步驟大致分為3步，第一步：代根作差找關(guān)

系，第二步：換元分析化結(jié)論，第三步：構(gòu)造函數(shù)證結(jié)論.

19.動圓。與圓G：(x+2)2+V=50和圓。2：(%-2-+產(chǎn)=2都內(nèi)切，記動圓圓心C的軌跡為艮

(1)求E的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如