河北省衡水中學2025屆高一下數學期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．2．函數，的值域是（）A． B． C． D．3．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，是下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則4．“是與的等差中項”是“是與的等比中項”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知不等式的解集是，則()A． B．1 C． D．36．已知，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．7．函數圖像的一個對稱中心是（）A． B． C． D．8．用數學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在驗證n=1成立時，左邊的項是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a49．函數的大致圖象是（）A． B．C． D．10．設向量,若,則實數的值為()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設的內角、、的對邊分別為、、，且滿足.則______.12．已知數列的前項和，那么數列的通項公式為__________．13．我國南宋著名數學家秦九韶發(fā)現了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜公式”為.若，，則用“三斜公式”求得的面積為______.14．已知等差數列的前三項為，則此數列的通項公式為______15．在中，，點在邊上，若，的面積為，則___________16．住在同一城市的甲、乙兩位合伙人,約定在當天下午4.00-5：00間在某個咖啡館相見商談合作事宜，他們約好當其中一人先到后最多等對方10分鐘,若等不到則可以離去,則這兩人能相見的概率為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，其中，記函數，已知的最小正周期為.(1)求；(2)當時，試求函數的值域.18．從社會效益和經濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產業(yè)，根據規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設年內(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出的表達式；(2)至少經過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？19．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知（Ⅰ）求證：成等差數列；（Ⅱ）若求.20．已知，，且(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，求的值.21．如圖，在中，，，，.（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）求AD.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：若，那么，A錯；，B錯；是單調遞減函數當時，所以，C.正確；是減函數，所以，故選C.考點：不等式2、A【解析】

由的范圍求出的范圍，結合余弦函數的性質即可求出函數的值域.【詳解】∵，∴，∴當，即時，函數取最大值1，當即時，函數取最小值，即函數的值域為，故選A.【點睛】本題主要考查三角函數在給定區(qū)間內求函數的值域問題，通過自變量的范圍求出整體的范圍是解題的關鍵，屬基礎題.3、D【解析】

根據空間中線線，線面，面面位置關系，逐項判斷即可得出結果.【詳解】A選項，若，，則可能平行、相交、或異面；故A錯；B選項，若，，，則可能平行或異面；故B錯；C選項，若，，，如果再滿足，才會有則與垂直，所以與不一定垂直；故C錯；D選項，若，，則，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正確.故選D【點睛】本題主要考查空間的線面，面面位置關系，熟記位置關系，以及判定定理即可，屬于?？碱}型.4、A【解析】

根據等差中項和等比中項的定義，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】若是與的等差中項，則，若是與的等比中項，則，則“是與的等差中項”是“是與的等比中項”的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差中項和等比中項的定義求出的值是解決本題的關鍵．5、A【解析】

的兩個解為-1和2.【詳解】【點睛】函數零點、一元二次等式的解、函數與x軸的交點之間的相互轉換。6、C【解析】試題分析：根據已知可得：，所以，所以夾角為，故選擇C考點：向量的運算7、B【解析】

由題得,解出x的值即得函數圖像的一個對稱中心.【詳解】由題得,所以，所以圖像的對稱中心是．當k=1時，函數的對稱中心為.故選B【點睛】本題主要考查三角函數圖像的對稱中心的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8、C【解析】

在驗證時，左端計算所得的項，把代入等式左邊即可得到答案.【詳解】解：用數學歸納法證明，

在驗證時，把當代入，左端.

故選：C.【點睛】此題主要考查數學歸納法證明等式的問題，屬于概念性問題.9、C【解析】

去掉絕對值將函數化為分段函數的形式后可得其圖象的大體形狀．【詳解】由題意得，所以其圖象的大體形狀如選項C所示．故選C．【點睛】解答本題的關鍵是去掉函數中的絕對值，將函數化為基本函數后再求解，屬于基礎題．10、B【解析】

首先求出的坐標，再根據平面向量共線定理解答.【詳解】解：,因為,所以,解得.故選：【點睛】本題考查平面向量共線定理的應用，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

解法1有題設及余弦定理得.故.解法2如圖4，過點作，垂足為.則，.由題設得.又，聯立解得，.故.解法3由射影定理得.又，與上式聯立解得，.故.12、【解析】

運用數列的遞推式即可得到數列通項公式．【詳解】數列的前項和，當時，得；當時，；綜上可得故答案為：【點睛】本題考查數列的通項與前項和的關系，考查分類討論思想的運用，求解時要注意把通項公式寫成分段的形式．13、【解析】

先由，根據余弦定理，求出，再由，結合余弦定理，求出，再由題意即可得出結果.【詳解】因為，所以，因此；又，由余弦定理可得，所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.14、【解析】由題意可得，解得．

∴等差數列的前三項為-1，1，1．

則1．

故答案為．15、【解析】

由，的面積為可以求解出三角形，再通過，我們可以得出(兩三角形等高)再利用正弦形式表示各自面積，即能得出的值.【詳解】，的面積為，所以為等邊三角形，又所以（等高），又所以填寫2【點睛】已知三角形面積及一邊一角，我們能把形成該角的另外一邊算出，從而把三角形所有量都能計算出來（如果需要），求兩角正弦值的比值，我們更多聯想到正弦定理的公式，或面積公式.16、【解析】

將甲、乙到達時間設為（以為0時刻，單位為分鐘）.則相見需要滿足：畫出圖像，根據幾何概型公式得到答案.【詳解】根據題意：將甲、乙到達時間設為（以為0時刻，單位為分鐘）則相見需要滿足：畫出圖像：根據幾何概型公式：【點睛】本題考查了幾何概型的應用，意在考查學生解決問題的能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1（2）【解析】

（1）先根據向量數列積得關系式，再根據二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數形式，最后根據正弦函數周期性得；（2）先根據x取值范圍得范圍，再根據正弦函數性質確定值域.【詳解】（1）（2）由（1）知，，，所以函數的值域.【點睛】本題考查二倍角公式、配角公式以及正弦函數性質，考查基本分析求解能力.18、(1)，；(2)至少經過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【解析】

(1)利用等比數列求和公式可求出n年內的旅游業(yè)總收入與n年內的總投入；（2）設至少經過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，可得－＞0，結合（1）可得，解得，進而可得結果.【詳解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內的旅游業(yè)總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)設至少經過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【點睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、等比數列的求和公式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）4.【解析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關系時，一般全部轉化為角的關系，或全部轉化為邊的關系.題中若出現邊的一次式一般采用正弦定理，出現邊的二次式一般采用余弦定理，應用正弦、余弦定理時，注意公式變形的應用，解決三角形問題時，注意角的限制范圍;(2)在三角興中，注意隱含條件（3）解決三角形問題時，根據邊角關系靈活的選用定理和公式.（4）在解決三角形的問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯系起來.試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得：即2分∴即4分∵∴即∴成等差數列.6分（Ⅱ）∵∴8分又10分由（Ⅰ）得：∴12分考點：三角函數與解三角形.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據題中條件，求出，進而可得，再由兩角差的正切公式，即可得出結果；(Ⅱ)根據題中條件，得到，求出，再由，根據兩角差的正弦公式，即可求出結果.【詳解】(Ⅰ)因為，，所以，