滬科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)利用全等三角形全等三角形的作法和原理

全等的三角形的作法和原理1、如圖，△ABC中BC=a，AC=b，AB=c，∠A=α，∠B=β，請(qǐng)作出與△ABC全等的三角形.

原理：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）作法（1）①作射線B′M，以B′為圓心，以a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線B′M于點(diǎn)C′；②分別以B′、C′為圓心，以c、b長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)A′；③連接A′B′、A′C′；△A′B′C′即為與△ABC全等的三角形.ACBbcaA′C′B′bcaM

全等的三角形的作法和原理作法（2）①先作∠B′=β，畫(huà)出角的兩邊；②以B′為圓心，以c、a長(zhǎng)為半徑分別在角的兩邊上畫(huà)弧與角的兩邊分別交于A′、C′；③連接A′C′；△A′B′C′即為與△ABC全等的三角形.原理：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）A′B′C′βac1、如圖，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠A=α，∠B=β，請(qǐng)作出與△ABC全等的三角形.ACBbca作法（3）①作線段A′B′=c；②作∠NA′B′=α；③作∠KB′A′=β；④A′N與B′K相交于點(diǎn)C′；△A′B′C′即為與△ABC全等的三角形.原理：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）A′cNB′C′βαK1、如圖，△ABC中BC=a，AC=b，AB=c，∠A=α，∠B=β，請(qǐng)作出與△ABC全等的三角形.ACBbca全等的三角形的作法和原理ACBbca注意：我們知道：兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形（SSA）不一定全等，所以我們不能用兩邊及其中一邊的對(duì)角與已知三角形對(duì)應(yīng)相等來(lái)作全等三角形.如圖：①先畫(huà)出∠B′=β，畫(huà)出角的兩邊；②以B′為圓心，以c長(zhǎng)為半徑在角的一邊上畫(huà)弧與角的這一邊交于A′；③以A′為圓心，以b長(zhǎng)為半徑在角的另一邊上畫(huà)弧與角的另一邊交于C′或D；④連接A′C′、A′D；則所作三角形有兩種情況，分別為△A′B′C′和△A′B′D.所以作出的三角形與已知三角形不一定全等.A′cDB′C′βb2、如圖，已知直角三角形中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，∠A=α，∠B=β，作一個(gè)三角形與已知三角形ABC全等.BAC除了上述的3種方法外，還有一種針對(duì)于直角三角形的特殊作法.①作B′C′=a；②作NC′⊥B′C′；③以B′為圓心，以c長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與NC′交于A′；④連接A′B′.直角△A′B′C′即為與直角△ABC全等的三角形.原理：在直角△ABC和直角△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）B′A′C′bacaNc一、全等的三角形的作法和原理例.如圖，用尺規(guī)作圖的辦法作∠A'B'C'＝∠ABC（見(jiàn)作圖痕跡），其作圖的理論依據(jù)是首先運(yùn)用了三角形判定方法中的（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL分析：根據(jù)尺規(guī)作圖作相等角的步驟結(jié)合全等三角形的判定定理解答解：∵尺規(guī)作圖作相等角的步驟為：先做射線B′C′，以B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與BA、BC交于D、E兩點(diǎn)，以B′為圓心，以BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與B′C′交于E′點(diǎn)，再以E′為圓心，以DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與另一條弧交于D′，連接B′D′，如圖，則∠A'B'C'＝∠ABC.∴△ABC和△A′B′C′中，BD＝B′D′，BE＝B′E′，DE＝D′E′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）DED′E′ABCB′C′A′例.如圖，一塊三角形模具的陰影部分已破損．回答下列問(wèn)題：（1）只要從模具片中度量出哪些邊、角，就可以到店鋪加工一塊與原來(lái)的模具△ABC的形狀和大小完全相同的△A′B′C′模具？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（2）按尺規(guī)作圖的要求，正確作出△A′B′C′圖形，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明．分析：觀察圖中的無(wú)破損部分可知∠B，∠C，BC的大小結(jié)合全等三角形的判定定理解答ACB例.如圖，一塊三角形模具的陰影部分已破損．回答下列問(wèn)題：（1）只要從模具片中度量出哪些邊、角，就可以到店鋪加工一塊與原來(lái)的模具△ABC的形狀和大小完全相同的△A′B′C′模具？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．（2）按尺規(guī)作圖的要求，正確作出△A′B′C′圖形，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明．解：（1）因?yàn)閮山羌皧A邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；所以要從模具片中度量出邊BC的長(zhǎng)度、∠B及∠C的大小，就可以到店鋪加工一塊與原來(lái)的模具△ABC的形狀和大小完全相同的△A′B′C′模具．（2）如圖△A′B′C′ACBA′B′C′DEE′D′解：例.一塊三角形玻璃被小紅碰碎成四塊，如圖，小紅只帶其中的兩塊去玻璃店，買(mǎi)了一塊和以前一樣的玻璃，你認(rèn)為她帶哪兩塊去玻璃店了（

）A．帶其中的任意兩塊 B．帶1，4或3，4就可以了 C．帶1，4或2，4就可以了 D．帶1，4或2，4或3，4均可1432由圖可知，帶上1，4相當(dāng)于已知兩角及夾邊的大小，根據(jù)全等三角形的判定定理ASA，所以可以確定買(mǎi)的玻璃和原來(lái)的玻璃一樣；同理，3，4中有兩角夾一邊，同樣也可得全等三角形；2，4中，4確定了上邊的角的大小及兩邊的方向，又由2確定了底邊的方向，進(jìn)而可得全等．故選：D．角平分線的作法和原理角平分線的作法和原理1、度量法作法：如圖所示，用量角器量出∠MON=α，在∠MON內(nèi)部畫(huà)∠NOP=，則射線OP就是∠MON的角平分線.MNOP2、尺規(guī)作圖法作法：（1）以O(shè)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；（2）分別以A、B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠MON內(nèi)交于點(diǎn)P；（3）作射線OP，則OP就是∠MON的角平分線.

PONMBA原理：連接PA、PB，則在△OPA和△OPB中，PA=PB，OA=OB，OP=OP∴△OPA≌△OPB（SSS）∴∠AOP=∠BOP，即OP是∠MON的角平分線3、利用三角板（利用三角板的直角和刻度作角平分線）作法：（1）在∠MON兩邊分別量取OA=OB；（2）把兩個(gè)完全一樣的三角板的直角頂點(diǎn)分別放在A、B兩點(diǎn)，一條直角邊與角的一邊重合，三角板的另一直角邊交于點(diǎn)P，則射線OP就是∠MON的角平分線.

原理：∵OA=OB，OP=OP∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）∴∠AOP=∠BOP，即OP是∠MON的角平分線.POMNBA例．觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．OE是∠AOB的平分線 B．OC＝OD

C．點(diǎn)C、D到OE的距離不相等 D．∠AOE＝∠BOE解：OEBADC根據(jù)尺規(guī)作圖的畫(huà)法可知：OE是∠AOB的角平分線．A、OE是∠AOB的平分線，A正確；B、OC＝OD，B正確；C、∵OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE，∴△COE≌△DOE(SSS)∴兩三角形面積相等，又∵底邊是公共邊，∴兩三角形的高也相等∴點(diǎn)C、D到OE的距離相等，C不正確；D、∠AOE＝∠BOE，D正確．故選：C．角平分線的尺規(guī)作圖全等三角形的判定和性質(zhì)定理例.數(shù)學(xué)課上，探討畫(huà)角平分線的方法．（1）李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線．作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．②分別以點(diǎn)D、E為圓心，以大于

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．畫(huà)射線OC，則OC就是∠AOB的角平分線．李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是__________；解：OCBADE根據(jù)尺規(guī)作角平分線的原理：連接CE、CD，則CE=CD，OE=OD，OC=OC∴△OEC≌△ODC（SSS）例.

數(shù)學(xué)課上，探討畫(huà)角平分線的方法．（2）小聰只帶來(lái)直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以畫(huà)出角平分線．畫(huà)法：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM＝ON．②分別過(guò)M、N作OM、ON的垂線，交于點(diǎn)P．③畫(huà)射線OP，則OP為∠AOB的角平分線．請(qǐng)你對(duì)小聰?shù)姆椒ㄟM(jìn)行證明，即證明OP就是∠AOB的角平分線．OPMNBA∵PN⊥OB，PM⊥OA∴∠PNO＝∠PMO＝90°在Rt△PNO和Rt△PMO中OM＝ON，OP＝OP∴Rt△PNO≌Rt△PMO（HL）∴∠PON＝∠POM即OP是∠AOB的角平分線．解：角平分線的定義全等三角形的判定例.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用“量角器”或“尺規(guī)作圖”的方法作一個(gè)已知角的平分線，小明與小聰同學(xué)只利用“帶刻度的直尺”也能畫(huà)出一個(gè)已知角的平分線，他們的畫(huà)法如下，請(qǐng)你說(shuō)明他們的畫(huà)法是正確的理由．（一）小明的畫(huà)法如圖：（1）利用帶刻度的直尺在∠AOB的兩邊分別量得OC＝OD；（2）連結(jié)CD，利用帶刻度的直尺畫(huà)出CD的中點(diǎn)E；（3）畫(huà)射線OE；∴射線OE就是∠AOB的角平分線．OADCBE∵OC=OD，CE=DE，OE=OE∴△OCE≌△ODE（SSS）∴∠COE＝∠DOE∴OE是∠AOB的角平分線．解：（二）小聰?shù)漠?huà)法如圖：（1）利用帶刻度的直尺在∠AOB的兩邊分別量得OC＝OD，OE＝OF：（2）連結(jié)CF、DE交于點(diǎn)G；（3）畫(huà)射線OG；∴射線OG就是∠AOB的角平分線．OCBADGFE解：∵OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE∴△CO