第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在初中用變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.3.正確使用函數(shù)、區(qū)間符號(hào)．活動(dòng)方案活動(dòng)一探究函數(shù)的概念問題1某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí)．這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程s(單位：km)與運(yùn)行時(shí)間t(單位：h)的關(guān)系可以表示為s＝350t.這里，t和s是兩個(gè)變量，而且對(duì)于t的每一個(gè)確定的值，s都存在唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以s是t的函數(shù)．思考1???根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系s＝350t，可知這趟高速列車加速到350km/h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km，這個(gè)說法正確嗎？【解析】

不正確．因?yàn)楦鶕?jù)問題1的條件，我們不能判斷列車以350km/h運(yùn)行半小時(shí)后的情況，所以上述說法不正確，其原因是沒有關(guān)注到t的變化范圍．對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)為s＝350t，其中t∈A1＝{t|0≤t≤0.5}，s∈B1＝{s|0≤s≤175}．問題2某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人每周的工資？一個(gè)工人的工資w(單位：元)是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？【解析】

工資w是一周工作天數(shù)d的函數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系為ω＝350d，其中d∈A2＝{1,2,3,4,5,6}，ω∈B2＝{350,700,1050，1400，1750，2100}．思考2???在問題1和問題2中的函數(shù)有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？【解析】

不是同一函數(shù)．因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶灰粯樱畣栴}3如圖是某市某日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖．如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？【解析】

從曲線圖可知，t的變化范圍是數(shù)集A3＝{t|0≤t≤24}，空氣質(zhì)量指數(shù)的值I都在數(shù)集B3＝{I|0<I<150}中，對(duì)于數(shù)集A3中的任一時(shí)刻t，按照?qǐng)D中曲線所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B3中都有唯一確定的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I與之對(duì)應(yīng)．因此，這里的I是t的函數(shù)．年份y20122013201420152016恩格爾系數(shù)r(%)32.030.130.029.729.3年份y20172018201920202021恩格爾系數(shù)r(%)28.627.727.629.228.6【解析】

由表格可知，y的取值范圍是數(shù)集A4＝{2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021}，r的取值范圍是數(shù)集B4＝{r|0<r≤1}，對(duì)于數(shù)集A4中的任意一個(gè)年份y，根據(jù)表中所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B4中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對(duì)應(yīng)，所以恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)．思考3???上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？【解析】

共同特征有：①都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A，B來表示；②都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；③盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)．思考4???如何用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)？【解析】

設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的值域．思考5???f(a)表示什么意思？f(a)與f(x)有什么區(qū)別？【解析】

一般地，f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)的函數(shù)值，是一個(gè)常量．f(x)表示自變量x的函數(shù)，一般情況下是變量．思考6???函數(shù)的值域與集合B什么關(guān)系？請(qǐng)你說出上述四個(gè)問題的值域？【解析】

函數(shù)的值域是集合B的子集．在問題1和問題2中，值域就是集合B1和B2；在問題3和問題4中，值域是B3和B4的真子集．思考7???一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域各是什么？請(qǐng)用函數(shù)定義描述這個(gè)函數(shù)．【解析】

一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的定義域是R，值域也是R.對(duì)應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個(gè)數(shù)x，對(duì)應(yīng)到R中唯一確定的數(shù)ax＋b(a≠0)．思考8???二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域各是什么？請(qǐng)用函數(shù)定義描述這個(gè)函數(shù)．例

1函數(shù)的解析式是舍棄問題的實(shí)際背景而抽象出來的，它所反映的兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫同一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律．例如，正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)可以用來刻畫勻速運(yùn)動(dòng)中的路程與時(shí)間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長(zhǎng)與半徑的關(guān)系等．試構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)＝x(10－x)來描述．注意點(diǎn)：(1)函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一種對(duì)應(yīng)；(2)符號(hào)“f：A→B”表示集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，它有三個(gè)要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，三者缺一不可；(3)集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性；(4)f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣；(5)f(x)是一個(gè)符號(hào)，絕對(duì)不能理解為f與x的乘積；(6)在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x)表示函數(shù)外，還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號(hào)來表示．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：(1)滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫作閉區(qū)間，表示為[a，b]；(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫作開區(qū)間，表示為(a，b)；(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫作半開半閉區(qū)間，表示為[a，b)或(a，b]．這里的實(shí)數(shù)a，b叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)．實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，把“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．活動(dòng)二區(qū)間的概念思考10???如何用區(qū)間分別表示滿足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的實(shí)數(shù)x的集合？

【解析】

用區(qū)間分別表示為[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．1.區(qū)間(a，b)，必須有b>a.2.區(qū)間只能表示數(shù)集．3.區(qū)間不能表示單元素集．4.區(qū)間不能表示不連續(xù)的數(shù)集．5.區(qū)間的左端點(diǎn)必須小于右端點(diǎn)．6.區(qū)間都可以用數(shù)軸表示．7.以“－∞”或“＋∞”為區(qū)間的一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào)．活動(dòng)三探究函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝2x＋3；【解析】

函數(shù)y＝2x＋3的定義域?yàn)镽.函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定．如果只給出解析式y(tǒng)＝f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)x的集合．函數(shù)的定義域可用兩種方法表示：集合和區(qū)間．活動(dòng)四同一函數(shù)的判斷【解析】

不是，

因?yàn)樗鼈兊膶?duì)應(yīng)關(guān)系不同．(4)f(x)＝x，x∈[0,1]，g(x)＝x2，x∈[0,1]．(3)y＝x0與y＝1(x≠0)；【解析】

由于y＝x0要求x≠0，且當(dāng)x≠0時(shí)，y＝x0＝1，故y＝x0與y＝1(x≠0)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們表示同一函數(shù)．(4)y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z.【解析】

y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故不表示同一函數(shù)．1.判斷兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同．2.如果要判斷的函數(shù)較為復(fù)雜，在定義域相同的條件下，可先化簡(jiǎn)再比較．檢測(cè)反饋245131.(2022·江門高一期中)在下列四個(gè)圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(

)【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義可知，一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，所以A，B，C錯(cuò)誤，D正確．【答案】D245132.(2022·北京朝陽區(qū)高一階段練習(xí))若函數(shù)f(x)和g(x)分別由下表給出：

則g(f(1))的