2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)2.2基本不等式考點基本不等式1.(2015陜西,理9,5分)設(shè)f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=1A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C由題意得p=lnab,q=lna+b2,r=12(lna+lnb)=lnab=p,∵0<a<b,∴a+b22.(2015福建理,5,5分)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+bA.2B.3C.4D.5答案C因為直線xa+yb=1(a>0,b>0)過點(1,1),所以1a+1b=1.所以a+b=(a+b)·1a+1b=2+ab+ba≥2+23.(2015湖南文,7,5分)若實數(shù)a,b滿足1a+2b=ab,則abA.2B.2C.22D.4答案C依題意知a>0,b>0,則1a+2b≥22ab=22ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a=2b,即b=2a時,“=”成立.因為1a+2b=ab,所以ab≥22ab,即ab≥4.(2014重慶文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,則a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案D由log4(3a+4b)=log2ab,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=4bb?3,∴a+b=b+4bb?3=b+4(b?3)+12b?3=(b-3)+12b?35.(2014福建,9,5分)要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側(cè)面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C設(shè)底面矩形的長和寬分別為am、bm,則ab=4.容器的總造價為20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40ab=160(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立).故選C.6.(多選)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC因為x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤(x+y)24,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2=14(x+y)2,故(x+y)2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立,即-2≤x+y≤2,故A錯誤,B正確.由xy≤x2+y22得1=x2+y2-xy≥x2+y2-x2+y22,即x2+y27.(多選)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,則()A.a2+b2≥12C.log2a+log2b≥-2D.a答案ABD∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.ab≤a+對于A選項,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2a?122+12≥12,當(dāng)且僅當(dāng)a=對于B選項,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴12<22a-1<2,∴2a-b>12成立,B對于C選項,∵0<ab≤14,a>0,b>0∴l(xiāng)og2a+log2b=log2(ab)≤log214=-2,C不正確對于D選項,∵(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2,∴a+8.(2019天津文,13,5分)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則(x+1)(2y答案9解析本題主要考查基本不等式的運用.考查學(xué)生對基本不等式及其簡單變形使用條件的掌握程度,以及學(xué)生的推理、運算能力.(x+1)(2y+1)xy=2∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2x·2y,解得0<xy≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即x=2且y=1時“=”成立.此時1xy≥12,∴2+5xy≥2+52=思路分析首先將分子展開,并把已知條件x+2y=4代入,則原式化簡為2+5xy,注意到x與2y的和為定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最終得到原式的最小值,在此應(yīng)特別注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”,注意等號是否成立9.(2018江蘇,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案9解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.依題意畫出圖形,如圖所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即12csin60°+12asin60°=12∴a+c=ac,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+c當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac,即a=32,c=3一題多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD為∠ABC的平分線,∴BABC=ADDC=∵DE∥CB,∴ADAC=AEAB=DEBC∴BE=aa+cBA,∴BD=aa+c∴BD2=a∴1=aa+cBA2+ca+cBC2+2·aa∴1=(ac)2(a∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,當(dāng)且僅當(dāng)ca=4a一題多解2以B為原點,BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴Ac2,3∵A,D,C三點共線,∴AD∥DC,∴1?c2?3∴ac=a+c,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,當(dāng)且僅當(dāng)ca=4a10.(2017山東,12,5分)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為答案8解析由題設(shè)可得1a+2∴2a+b=(2a+b)1a+2b=2+ba+4ab故2a+b的最小值為8.11.(2015重慶文,14,5分)設(shè)a,b>0,a+b=5,則a+1+b+3的最大值為答案32解析解法一:令t=a+1+b則t2=(a+1+b+3)2=a+1+b+3+2a+1·當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b即a=7