第第頁2023-2024學年下學期期中考試押題卷高二·數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：選擇性必修第二冊第6章、第7章。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．求的值為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【解析】.故選：B.2．在的展開式中，項的系數(shù)為（

）A．1 B．10 C．40 D．80【答案】D【解析】通項公式為，當時，，所以項的系數(shù)為80.故選：D3．已知空間向量，空間向量滿足且，則＝（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，且空間向量滿足，∴可設，又，∴，得．∴，故A正確.故選：A.4．現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢》、《水滸傳》、《三國演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（

）A．180 B．150 C．120 D．210【答案】A【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，若分為4、1、1的三組，有種分組方法，若分為3，2，1的三組，有種分組方法，若分為2，2，2的三組，有種分組方法，共有種分組方法，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，則有種分發(fā)方式．故選：A．5．在空間直角坐標系中，已知，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故選：A.6．已知，則被10除所得的余數(shù)為（

）A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是【答案】C【解析】，由，故被10除所得的余數(shù)為.故選：C.7．用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【解析】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當,顏色相同時涂色方法數(shù)是：，②當,顏色不相同時涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．8．如圖，在長方體中，，點E是棱上任意一點（端點除外），則（

）

A．不存在點E，使得B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條C．過點E與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條D．過點E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條【答案】D【解析】在長方體中，，對于A，當為的中點時，連接，則，即有，而平面，平面，則，又平面，因此平面，而平面，則，A錯誤；對于B，連接，，平面與直線交于，點在線段上，不含端點，則直線與直線相交，同理直線與直線相交,因此直線、分別與三條直線，，都相交，B錯誤；對于C，平面，而平面，則，又，于是是二面角的平面角，且，顯然的平分線與平面和平面所成角都等于，過點與此直線平行的直線符合要求，這樣的直線只有1條；半平面與半平面的反向延長面所成二面角的角平分面與平面和平面所成角都等于，在此角平分面內(nèi)過點與平面和平面所成角都等于的直線有2條，因此過點與平面和平面所成角都等于的直線有3條，C錯誤；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，直線的方向向量分別為，設過點的直線方向向量為，由直線分別與直線所成角都相等，得，于是，不妨令，有或或或，顯然使得成立的向量有8個，其余4個分別與上述4個向量共線，所以過點E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條，D正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B．C．第2020行的第1010個數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為【答案】ABD【解析】對于A：第行，第行，第行的第個數(shù)字分別為：，，，其和為；而第行第個數(shù)字就是，故A正確；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：由圖可知：第行有個數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，所以第行的第個數(shù)最大，故C錯誤；對于D：依題意：第行從左到右第個數(shù)為，第行從左到右第個數(shù)為，所以第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故D正確；故答案為：ABD.10．2023年國外某智庫發(fā)布《尖端技術(shù)研究國家競爭力排名》的報告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術(shù)、人工智能、無人機等二十多個領(lǐng)域.報告顯示，中國在其中19個領(lǐng)域處于領(lǐng)先.某學生是科技愛好者，打算從這19個領(lǐng)域中選取這5個領(lǐng)域給班級同學進行介紹，每天隨機介紹其中一個領(lǐng)域，且每個領(lǐng)域只在其中一天介紹，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．都在后3天介紹的方法種數(shù)為36B．相隔一天介紹的方法種數(shù)為36C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為72D．A在，之前介紹的方法種數(shù)為40【答案】ABD【解析】A選項，在后3天中選擇2天，有種選擇，再將和剩余的3天進行全排列，有種選擇，故有種方法數(shù)，A正確；B選項，先把進行全排列，再從選擇1個放在之間，有種方法，再將這三個領(lǐng)域捆綁，和剩余的兩個領(lǐng)域進行全排列，共有種選擇，綜上，共有種方法數(shù)，B正確；C選項，若A在最后一天進行介紹，則將剩余4個領(lǐng)域進行全排列，有種方法，若A不在最后一天進行介紹，從3天中選擇1天安排A，再從除了最后一天的剩余3天中選擇1天安排，有種選擇，最后將剩余的3個領(lǐng)域和3天進行全排列，有種選擇，則此時有種選擇，綜上，A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為，C錯誤；D選項，進行全排列，共有種方法，將進行全排列，共有種方法，其中A在，之前的有2種，故120種排列中，A在，之前的有種，故D正確.故選：ABD11．如圖，在長方體中，，，動點M在體對角線（含端點）上，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當點M為的中點時，為鈍角B．當點M為的中點時，四棱錐的外接球的表面積為C．存在點M，使得平面D．直線BM與平面所成角的最大正切值為【答案】BC【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，當點M為中點時，，，，，，，為銳角，A錯誤；設四棱錐的外接球半徑為R，則，則，四棱錐的外接球的表面積為，B正確；設，，，，則，，，，得，存在點M，使得平面，C正確；設平面的法向量為，直線BM與平面所成角的正切值最大，則直線BM與平面所成角的正弦值最大即可，，即，，故，令，，則，當時，，當時，，故最大正弦值，則最大正切值，D錯誤，故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則的值為（用數(shù)字作答）.【答案】462【解析】由可得，即，化簡得，整理得，解得或，因為，所以，所以.故答案為：462.13．在的展開式中，若的系數(shù)為，則；若展開式中有且僅有項的系數(shù)最大，則的取值范圍是．【答案】－1【解析】由題意知在的展開式中，的系數(shù)為，即，若展開式中有且僅有項的系數(shù)最大，不合題意，當時，所以項的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足，即得；當時，奇數(shù)項的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)均為負數(shù)，則此時需滿足，解得，綜合可得的取值范圍是，故答案為：-1；14．已知空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為.【答案】【解析】平面的方程為，所以平面的法向量為，平面與平面的法向量分別為，，設直線的方向向量為，則，即，取設直線與平面所成的角為，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．(1)求的長．(2)求異面直線與所成的角的余弦值．【解析】（1），所以，即的長為.（2），又由余弦定理得，所以設所求異面直線所成角為，.16．（15分）在的展開式中，(1)求二項式系數(shù)最大的項；(2)若第項是有理項，求的取值集合.(3)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項；【解析】（1），，二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第項，所以；（2），，當為整數(shù)時為有理項，即，則的取值集合為；（3）設第項的系數(shù)的絕對值最大，則，所以，解得，故系數(shù)的絕對值最大的項為第項和第項.17．（15分）如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點D到達點P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，因為，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，所以平面平面.（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設，其中，則，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，，平面的一個法向量為，，，則，令，可得，則，整理可得，因此，線段上存在點，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為，且.18．（17分）如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點，滿足.(1)若，求證：直線平面；(2)是否存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線？如果有請求出的值，否則請說明理由；(3)若，求直線與直線所成最大角的余弦值.【解析】（1）取的中點，連接，因為，所以M是線段上的中點，因此有，因為是矩形，N是線段上的中點，所以，因此有，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而平面，平面，所以直線平面；（2）假設存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線，因為四邊形是矩形，所以，即，而平面，所以平面，因為是矩形，所以，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，因此，顯然不可能，所以假設不成立，因此不存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線；（3）當時，由（2）可知：，所以是直線與直線所成角，設，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，當時，有最小值，最小值為，此時有最大值.則直線與直線所成最大角的余弦值為.19．（17分）已知集合，規(guī)定：若集合，則稱為集合的一個分拆，當且僅當：，，…，時，與為同一分拆，所有不同的分拆種數(shù)記為.例如：當，時，集合的所有分拆為：，，，即.(1)求；(2)試用、表示；(3)設，規(guī)定，證明：當時，與同為奇數(shù)或者同為偶數(shù).【解析】（1）集合，對于每一個，都有進入或不進入兩種可能，而且至少進入其中一個