第六章不等式

第1課時(shí)一元二次不等式及其解法

一、填空題________

1.函數(shù)f(x)=，3—2x—X?的定義域?yàn)?/p>

答案：[-3,1]

解析：由3—2x—x*20,解得一3<xWl.

y—弓

2.不等式一7^0的解集是

X—1

答案：(-8,-5]U(1,+°°)

x-H5

解析：由得(x+5)(x—1)且x—1r0,解得xW—5或x>l.

x—1

3.不等式2x2—x<4的解集為.

答案:{x|-l<x<2}

解析:由題意得x‘一x<2n—l〈x<2,解集為{x|—l<x<2}.

4.不等式x2+ax+4V0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案：(-8,—4)U(4,+8)

解析：不等式x?+ax+4<0的解集不是空集，只需A=a2—16>0,二a<-4或a>

4.

5.若不等式mx'+2mx-4〈2x'+4x對(duì)任意x都成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案：(一2,2]

解析：原不等式等價(jià)于(m—2)x2+2(m—2)x—4〈0,①當(dāng)m=2時(shí)，對(duì)任意x不等式都成

立；②當(dāng)m-2〈0時(shí)，A=4(m-2)2+16(m-2)<0,/.一2。1<2.綜合①②,得m2(-2,2].

6.己知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=/-4x,則不等式f(x)>x的解

集用區(qū)間表示為.

答案：(一5,0)U(5,+8)

解析：由已知得f(0)=0,當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=—f(―x)=—X，—4x,因此f(x)=

fx'—4x,x20,fx》。，[x<0,

\2,不等式f(x)>x等價(jià)于｛2或｛2解得x>5或一5<x<0.

Lx—4x,x<0.1x-4x>x(_x-4x>x,

7.已知函數(shù)f(x)=x'+mx—1.若對(duì)于任意xC[m,m+1]都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是________.

答案：(一半，。)

解析：二次函數(shù)f(x)對(duì)于任意xd[m,m+1],都有f(x)<0成立，則

f(m)=mJ+m2—1<0,、歷

解得一VmVO.

f(m+1)=(m+1)~2+m(m+1)—IVO,2o

7，x20,

8.已知f(x)=j2則不等式f(x)〈f(4)的解集為

、一x?+3x,x<0,

答案：{x|x<4}

4v

解析：f(4)=2=2>不等式即為f(x)<2,當(dāng)x'O時(shí)，由爐2,得0Wx<4；當(dāng)x<0時(shí)，

由一x?+3x<2,得x<l或x>2,因此x<0.綜上,￡&)紅(4)的解集為々辰<4}.

9.在R上定義運(yùn)算：x?y—x(l—y),若mxWR使得(x—a)?(x+a)>1成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

解析：3x使得(x—a)?(x+使>ln(x—a)(1—x—a)>1,即mx使得x“一x—a?+a

3i

+l<0成立，A=l-4(-a+a+l)>0=>4a-4a-3>0,解得a>,或a<一].

［x2+x(x20),

10.已知f(x)=2,,、則不等式f(x2—x+l)<12的解集是_______.

(—x+x(x<0),

答案：(x|-l<x<2}

解析：由函數(shù)圖象知f(x)為R上的增函數(shù)且f(3)=12,從而X2—X+1<3,即(一x

-2<0,，-l<x<2.

二、解答題

11.已知f(x)=-Bx'+ag—a)x+6.

(1)解關(guān)于a的不等式f(l)>0；

(2)若不等式f(x)>b的解集為｛x[-l<x<3｝,求實(shí)數(shù)a,b的值.

解:(1)由題意知f(l)=-3+a(6—a)+6=—a*+6a+3>0,即a?—6a—3<0,解得

3-2鎘—<3+24,

二不等式的解集為匕|3—2/<2<3+2斕｝.

⑵：f(x)>b的解集為｛x|-1VXV3｝,

方程一3x'+a(6—a)x+6—b=0的兩根為一1>3>

、,a(6—a)

(-1)+3=——--

oa=3±木,

解得<

6—b、b=-3,

(T)X3=—

即a的值為或3—^3,b的值為-3.

12.已知a￡R,解關(guān)于x的不等式ax?—2(a+l)x+4>0.

解：原不等式等價(jià)于(ax—2)(x—2)>0,以下分情況進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)a=0時(shí)，x<2.

29

(x—2)<0,由一<0<2知一<x<2.

aa

Hoi—&

(x-2)>0,考慮一一2=2----4l勺正負(fù):

Haa

①當(dāng)°<a<l時(shí),|>2,故x<2或x>|；

2

②當(dāng)a=l時(shí)，一=2,故xW2；

a

③當(dāng)a>l時(shí)，|<2,故或x>2.

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，該不等式的解集為{x|：VxV2］；當(dāng)a=0時(shí)，該不等式的解集為

{x|x<2}；當(dāng)時(shí),該不

等式的解集為1x|x<2或x>|［；當(dāng)a》l時(shí)，該不等式的解集為1x|xv|或x>2］.

13.已知不等式mx"—2x+m—2Vo.

(1)若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍；

(2)設(shè)不等式對(duì)于滿足|mlW2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

解：(1)對(duì)所有實(shí)數(shù)x,都有不等式mx2—2x+m—2<0恒成立，即函數(shù)f(x)=mx'一2x

+m—2的圖象全部在x軸下方，當(dāng)m=0時(shí)，-2x—2<0,顯然對(duì)任意x不能恒成立；當(dāng)m力0

m<0,l

時(shí)，由二次函數(shù)的圖象可知有,八c解得小，綜上可知m的取值范

〔△=4-4m(m-2)<0,丫

圍是(-8,1—4).

(2)設(shè)g(m)=(x2+l)m—2x—2,它是一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù)，由x2+l>0知g(m)

在［-2,2］上為增函數(shù)，則由題意只需g(2)<0即可,BP2X2+2-2X-2<0,解得0<X<1,所

以x的取值范圍是(0,1).第2課時(shí)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃

一、填空題

1.若點(diǎn)（m,1）在不等式2x+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是

答案：（1,+°°）

解析:由2m+3—5>0,得m>L

"yW—x+2,

2.不等式組,yWx—l,所表示的平面區(qū)域的面積為.

、y20

答案：;

fy——x+2,

解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BCD,由題意知XB=1,&=2.由得打

[y=x-l,

1/、11

=5，所以SABCD=7><（XC—XB）X-=-

答案：7

解析：由約束條件作出可行域，可知當(dāng)過點(diǎn)（1,2）時(shí)z=3x+2y的最大值為7.

'x+yWl,

4.已知不等式組<x-y^-1,所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線y=kx-3與平面區(qū)域D

.y》o

解析：依據(jù)線性約束條件作出可行域如圖陰影部分所示，注意到y(tǒng)=kx—3過定點(diǎn)（0,

一3),???斜率的兩個(gè)端點(diǎn)值為一3,3,兩斜率之間存在斜率不存在的情況，??.k的取值范

圍為(一8,—3]U[3,+8).

X—y^O,

5.若x,y滿足約束條件＜x+y—2W0,則z=3x—4y的最小值為.

答案：一1

31Q

解析：目標(biāo)函數(shù)即丫=/一于，其中z表示斜率為k=a的直線系與可行域有交點(diǎn)時(shí)直線

的截距值的;，截距最大的時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取得最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(I,1)

處取得最小值z=3x—4y=—1.

產(chǎn)，

6.己知實(shí)數(shù)x,y滿足*W2x-l,如果目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為一1,則實(shí)數(shù)m

[x+yWm.

答案：5

解析：畫出可行域便知，當(dāng)直線x—y—z=0通過直線y=2x—1與x+y=m的交點(diǎn)

W，2n)時(shí),函數(shù)z=x—y取得最小值，

x+y＜2,

7.若變量x,y滿足＜2x—3yW9,則x?+y2的最大值是—

、x20,

答案：10

解析：可行域如圖所示，

2v-3產(chǎn)9

AIV?IAO,

設(shè)z=x?+y2,聯(lián)立0°八得由圖可知，當(dāng)圓x?+y2=z過點(diǎn)(3,—1)

[2x—3y=9,1y=-1,

2222

時(shí)，Z取得最大值，B|j(x+y)?)i=3+(-l)=10.

|x+y2l,

8.若x,y滿足約束條件｛x-y》一1,目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小

[2x-yW2,

值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案：（一4,2）

解析：可行域?yàn)椤鰽BC,如圖，當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立.當(dāng)a>0時(shí)，直線ax+2y-z=0

的斜率k=—^>kM=-1,a<2.當(dāng)aVO時(shí)，k=一；<kAB=2,a>—4.綜合得一4VaV

2.

9.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料

及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,

則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為萬元.

甲乙原料限額

A（噸）3212

B（噸）128

答案：18

「3x+2yW12,

x+2yW8,

解析：設(shè)每天甲、乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，由已知可得《

x2O,

、yNO,

目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y,

線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示:

可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取到最大值.

x+2y=8,

由得A(2,3),

3x+2y=12,

則Zmnx=3X2+4X3=18(萬元).

x—2y+520,

10.設(shè)m為實(shí)數(shù)，若｛（x,y）|3-x^O,{(x,y)Ix"+y2W25},則ni的取值范

mx+y>0,

圍是.

4

答案：［0,

解析：由題意知，可行域應(yīng)在圓內(nèi)，如圖，如果一m>0,則可行域取到xV—5的點(diǎn)，不

在圓內(nèi)，故一m<0,即m20.當(dāng)mx+y=O繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線過B點(diǎn)時(shí)為邊界位置.此

…44,

時(shí)一m=一:.m=",:.OWmW鼻.

二、解答題

11.某客運(yùn)公司用A,B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天

往返一次.A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1

600元/輛和2400元/輛，公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多

于A型車7輛.若每天運(yùn)送人數(shù)不少于900,且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么

應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

解：設(shè)A型、B型車輛分別為x,y輛，相應(yīng)營運(yùn)成本為z元，則z=l600x+2400y.

〃x+y<21,

yWx+7,

由題意，得x,y滿足約束條件〈36x+60yN900,

x20,xdN,

、y20,yGN.

作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

由圖可知，當(dāng)直線z=l600x+2400y經(jīng)過可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z=l600x+2400y

在y軸上的截距■而最小，即z取得最小值，

故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小.

12.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)

甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時(shí)，勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5

千瓦時(shí)，勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元；但每天用

煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時(shí)，勞力只有300個(gè).問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各

多少噸，才能使利潤總額達(dá)到最大？

解：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元，

"9x+4yW300,

4x+5y^200,

則線性約束條件為〈3x+10yW300,目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y,作出可行域如圖，

x215,

作出一組平行直線7x+12y=t,當(dāng)直線經(jīng)過直線4x+5y=200和直線3x+10y=300的

交點(diǎn)A(20,24)時(shí)，利潤最大，即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時(shí)，利潤總額最

大，z?x=7X20+12X24=428(萬元).

答：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸、乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達(dá)到最大.

'x—4y+3W0,

13.變量x,y滿足<3x+5y—25W0,

.xel.

⑴設(shè)Z書求Z的最小值;

(2)設(shè)z=d+y2,求z的取值范圍；

(3)設(shè)z=x?+y2+6x—4y+13,求z的取值范圍.

解：由約束條件j3x+5y—25<0,作出(x,y)的可行域如圖陰影部分所示.

〔xNl,

x=l,

由

3x+5y—25=0,

解得A

x=l,

解得C(L1).

x—4y+3=0,

x-4y+3=0,

由《解得B(5,2).

[3x+5y—25=0,

yy—()

(1)V

xx—O'

2

???z的值是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)0連線的斜率.觀察圖形可知z=koB=-

nin5

(2)z=x?+y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可

行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，

dmin=|0C|=^/2,d,“,x=|0B|

故z的取值范圍是[2,29].

(3)z=x2+y2+6x—4y+13=(x+3)?+(y—2-的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(一3,

2)的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(一3,2)的距離中，

dmin=1—(—3)=4,

dmax=yj(—3—5)2+(2—2)2=8,

、故Z的取值范圍是[16,64].第3課時(shí)基本不等式

一、填空題

1.已知x>j,則函數(shù)y=4x+/1-的最小值為________.

44X一□

答案：7

1113

角軍析：y=4x+-----r=(4x—5)+------^+522+5=7.當(dāng)且僅當(dāng)4x—5=;;------即X=K

4x—54x—54x—52

時(shí)取等號(hào).

八r-叱"(x+5)(x+2)-0—、]

2.設(shè)X>—1,則函數(shù)y=--------------的取小值為

答案：9

(z+4)(z+1)

解析：因?yàn)閤>—1,所以x+l>0.設(shè)x+l=z>0,則x=z—1,所以y=

7--1-57-4-44/4

—=z+T522、/z?-+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)z=2,即x=l時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x=l

ZZZ

時(shí)，函數(shù)y有最小值9.

3.若實(shí)數(shù)a,b滿足1+,=，而，則ab的最小值為.

答案：272

12/篝當(dāng)且僅當(dāng)片即b=2a時(shí)等

解析:依題意知a>0,b>0,噂+/2

號(hào)成立.因?yàn)椋?；=，而，所以4而即ab224，所以ab的最小值為24.

4.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最小值為.

答案：2m—3

4—2x66l

解析：由xy+2x+y=4,解得y=,,則x+y=x—2+^rr=(x+1)+=■[■—322班

XI￡XI1.XI1

-3,當(dāng)且僅當(dāng)x+l=*p即x=4—1時(shí)等號(hào)成立.所以x+y的最小值為久河一3.

5.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足(x-l)(y+l)=16,則x+y的最小值為.

答案：8

解析：由題知x—匚若，從而x+y=含+(y+1)22標(biāo)=8,當(dāng)且僅當(dāng)y+l=*p

即y=3時(shí)取等號(hào).所以x+y的最小值為8.

6.已知正數(shù)x,y滿足x+2y=2,則的最小值為

答案：9

解析：蟲&?=4；+2(x+2y)=4(2+8+*+[?16)*(10+2#^)=Jx18=9,當(dāng)且

xyzyyxj乙yx乙乙

Y1A

僅當(dāng)-=4,x+2y=2,即y=~,x=q時(shí)等號(hào)成立.

yjj

7.若x>0,y>0,則一^廠+工的最小值為

x+2yx

答案：鏡—3

1

解析：(解法1)設(shè)t=%>0),則一^+工=7^7+1=7^+/+%921人一

xx+2yxl+2t/1\I2/2\J2

2。+習(xí)

;=巾J當(dāng)且僅當(dāng)t="F,即上嚀射等號(hào)成立.

乙乙乙X乙

YYVf1(f2)28

(解法2)設(shè)t=、t>0),令一注+』=-+：=f(t),則f，(t)=+-￡苫,易知

yx+2yxt+2tt(t+2)

當(dāng)t=2+2啦時(shí)，f(t)Min=*—

8.已知x>0,y>0,若不等式xjy32kxy(x+y)恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為.

答案：1

(x+y)(x2—xy+/)

解析：由題設(shè)知kW

(x+y)xy

...kw三上J+1_1恒成立.

xyyx

xv

V-+—122—1=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，從而kWl,即k的最大值為L

yx

9已知正數(shù)X，y滿足￡I+7i=1，則有4x+言9v的最小值為

答案:25

114x9y4(x—l)+4?9(y—l)+9

解析：由尹廣1,得x+y=xy，E13

y—1x—1y—l

卜言=13+箸等黑=9x+4y=(9x+4y)g++13+?+*13+2病=25,當(dāng)且

X2

僅當(dāng)一=不時(shí)等號(hào)成立.

y3

10.若不等式x'一2y‘Wcx(y-x)對(duì)任意滿足x>y>0的實(shí)數(shù)x,y恒成立，則實(shí)數(shù)c的

最大值為________.

答案：272-4

x"-2一直

2221_2

x-2y_x_x.yri,,?1—2t

解析：由題意可得令1=t,則0<t<l,故CW7_]-=

xy—x2xy-x"y

2——1

XX

2t2—12t2—12(1—ii)2—111

—;令U=1T，則0<u〈l，故CWB=-U—=—4+2U+1得一4+如+G

的最小值為2蛆一4,故實(shí)數(shù)c的最大值為入也一4.

二、解答題

11.設(shè)x20,y20,x'+y=l,求x.l+y,的最大值.

解：x20,y，0,x2+y=l,xy/l+y2—yjx(1+y2)2x2X--^-^2X

X?|l+y2

-----J-=貶義---1~~當(dāng)且僅當(dāng)乂2=上?-,即x=乎，y=平時(shí)，X=l+y2取得

1

乙乙i乙乙乙

目…3小

最大值甫一.

12.某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積

為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形

區(qū)域之間間隔1m,三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)

域分別與相鄰的左、右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖.設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x(m),三塊

種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(m?).

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(2)求S的最大值.

解：(D由題設(shè)，得S=(x—8)(第一2)=—2x-1詈+916,xG(8,450).

7200/7200

(2)因?yàn)?〈x<450,所以2x+—^―22'/2xX—1=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=60時(shí)等號(hào)成

立.

從而SW676.

故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676

in'.

13.某地區(qū)共有100戶農(nóng)民從事蔬菜種植，據(jù)調(diào)查，每戶年均收入為3萬元.為了調(diào)整

產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，當(dāng)?shù)卣疀Q定動(dòng)員部分種植戶從事蔬菜加工.據(jù)估計(jì)，如果能動(dòng)員x(x>0,xe

N)戶農(nóng)民從事蔬菜加工，那么剩下從事蔬菜種植的農(nóng)民每戶年均收入有望提高2x%,從事蔬

菜加工的農(nóng)民每戶年均收入為3(a—茉](a>0)萬元.

(1)在動(dòng)員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動(dòng)員

前從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，要使100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入始終不高于從

事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入，試求實(shí)數(shù)a的最大值.

解：(1)由題意得3(100-x)(l+2x%)23X100,

即x'TOxWO,解得0WXW50.

因?yàn)閤>0,所以0<x<50,x￡N.

(2)從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入為3(a—器)x萬元，從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收

入為3(100—x)(l+2x%)萬元，根據(jù)題意，得3(a—1^)x<3(100-x)(l+2x%)恒成立，即

axW100+x+崇恒成立.又x>0,所以aW出+關(guān)+1恒成立，而匹+今+1>5(當(dāng)且僅當(dāng)

XX

x=50時(shí)取等號(hào))，所以a的最大值為5.

第4課時(shí)不等式的綜合應(yīng)用

一、填空題

1.已知Iog2x+log2y=l,則x+y的最小值為.

答案：272

解析：由logzx+log2y=1得x>0,y>0,xy=2,x+y22M^=2啦.

2.若2*+2>=l,則x+y的取值范圍是.

答案：(-8,—2]

解析：???2x+2y^2V27T；.且2'+2'=1,...x+yW-2.

3.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x?+2xy—1=0,則f+y"的最小值是.

答案：與

解析：由x"+2xy-1=0,得y」音.故x"+y2=x2+-~~各+、二限之十口一拉

/X4X7T\XJZ

m一1

2?

x-2y+l20,

4.己知實(shí)數(shù)x,y滿足“x—y—1W0,則z=Vy的取值范圍是

x+y+120,

答案：一1,I

解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖所示)，Z=士的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與

XI1

點(diǎn)P(—1,0)的連線的斜率k,由圖象，得一

2

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)=］的圖象交于P,Q

兩點(diǎn)，則線段PQ長的最小值是________.

答案：4

解析：P,Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，設(shè)P(m,n)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則m>0,n>0,n=

,,所以PQ2=40p2=4(m2+n2)=4G+5)216,當(dāng)且僅當(dāng)而=*,即m=/時(shí)取等號(hào).故線

段PQ長的最小值是4.

6.若實(shí)數(shù)a,b滿足ab—4a—b+l=O(a>l),則(a+1)(b+2)的最小值為.

答案：27

4a-1

解析：?.?ab-4a-b+l=0,，b=——ab=4a+b-l.A(a+1)(b+2)=ab+2a

a—1

4a—1[4(a—1)+3]X26

+b+2=6a+2b+l=6a+——r?2+l=6a+--------------:-----------+l=6a+8+—r+l=

a—1a-1a-1

6(a-l)+~^-+15.Va>l,a-l>0.A原式=6(a-l)+-^7+1522^^^+15=

a—1a—1v

27.當(dāng)且僅當(dāng)(a—1)2=1,即a=2時(shí)等號(hào)成立.，(a+1)(b+2)的最小值為27.

4xv

7.已知x,y為正實(shí)數(shù)，則尸;一+七的最大值為

4x+yx+y

4

答案：3

elm—n4n—m4x,ym

解析：設(shè)m=4x+y>0,n=x+y>0,則x=-7-,y=~~—，A,+~7~—

8.若二次函數(shù)f(x)=ax"+bx+c(a〈b)的值域?yàn)椋?,+°°),則-皿］一的最大值是

a+b+c

答案：I

Cb2

解析：由題意可得b2—4ac=0,且b2a>0,則一=/.

a4a

bb

b-a”—1

b-aa令t=3則t2l,則y=

令Va+b+c'則'a+b+c

灣+「m+%

4(t—1)4u441

E,再令Li則尸K，當(dāng)心。時(shí)，尸不w-，當(dāng)且僅當(dāng)u

=3時(shí)等號(hào)成立，即一h—的a最大值是右1

a+b-bc3

9.已知函數(shù)f(x)=|x|+|x—2|,.則不等式f(x?+6)>f(5x)的解集是_______.

答案：(-8,—4)U(—1,2)U(3,+°°)

解析：因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)水0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減,且f(x)=f(2—x).因

此不等式f(x'+6)>f(5x)等價(jià)于2—(X2+6)<5X<X2+6,解得x>3或x<—4或一l<x<2,即所

求不等式的解集為(-8,-4)U(-l,2)U(3,+8).

2—2X+2XW2

X,、；''若mxoGR,使得f(x0)W5m一如,成立，則實(shí)

logzX,x>2,

數(shù)m的取值范圍是{.

答案：*1

2—2X+2,X<2,

X,'、'當(dāng)x<2時(shí)，f(x)=(x-l)2+l^l；當(dāng)x>2時(shí)，

logx,x>2,

{2

f(x)=log2x>l,故函數(shù)f(x)的最小值為1,所以5m—4m解得太mWl.

二、解答題

11.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c￡R)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)2x,

且當(dāng)xd(l,3)時(shí)，有f(x)Wg(x+2)z成立.

O

(1)求證:f⑵=2：(2)若f(—2)=0,求f(x)的解析式.

(1)證明：由條件知f(2)=4a+2b+c與2恒成立，又取x=2時(shí)，f(2)=4a+2b+cW：

o

X(2+2)2=2恒成立，

f(2)=2.

(4a+2b+c=2,

⑵解「2b+c=0,4a+c=2bi

/.b=g,c=l—4a.又f(x)2x恒成立，即ax?+(b—l)x+c20恒成立./.a>0,△

2

C—4a(l—4a)W0,解得a=J,b=1,c=1,f(x)=1x2+^x+1.

JoZZoZZ

12.某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費(fèi)用x(單位：

百元)滿足如下關(guān)系：w=4—且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元.此外，還需要投入其

XI1

他成本(如施肥的人工費(fèi)等)2x百元.已知這種水蜜桃的市場售價(jià)為16元/千克(即16百元/

百千克)，且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元).

(1)求利潤L(x)的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

解：⑴L(x)=16(4-Vr)—x—2x=64—壬■一3x(0WxW5).

48F481/48

(2)L(x)=64——TT-3x=67--rr+3(X+1)W67-2、/—(X+1)=43.

x+1[_X+1J\]x+1

48

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?3(x+l),即x=3時(shí)取等號(hào).故L(X)3=43.

答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4300

元.

13.如圖，某機(jī)械廠要將長6m，寬2nl的長方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪.已知點(diǎn)F為AD

的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C,D分別落

在直線BC下方點(diǎn)M,N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P),再沿直線PE裁剪.

(1)當(dāng)/EFP=?時(shí)，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；

(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說明理由.

nn

解：⑴當(dāng)NEFP=q^、j,由條件得/EFP=NEFD=NFEP=q".

所以/FPE=5.所以FNLBC,四邊形MNPE為矩形.

所以四邊形MNPE的面積S=PN?MN=2m2.

(2)(解法1)設(shè)NEFD=9(0<0〈熱，由條件，知NEFP=NEFD=NFEP=0.

2222

所以PF=.(p..…NP=NF—PF=3--ME=3-;——-

sin(n—2。)sm20sm2。tan?

3-高sin20>1,

>0,

22

由〈3一病方＞°，得《tan0>-,(*)

o

0<00<JI

l<亍l°

所以四邊形MNPE的面積S=1(NP+ME)-MN=T(3—前缶J+(3一常副X2=6一

22c22(sin20+cos26)八(,3

-7T——TT-=6-7T—-：77=6-tan°n+~7TW6

tan0sin20tan02sm0cos0\tan0)

3

當(dāng)且僅當(dāng)tan'=E即tane=2時(shí)取等號(hào).此時(shí)，(*)式成立.

O

故當(dāng)NEFD=5時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為(6—2m)《12.

(解法2)設(shè)BE=tm,3<t<6,則ME=6—t.

因?yàn)镹EFP=NEFD=NFEP,所以PE=PF,即#(3-BP)2+2't-BP.

13—t213—t2

所以BP=°,、，NP=3—PF=3—PE=3—(t-BP)^3~t+.

2(3—t)zQ(3—t)

<3<t<6,

<

13-t23<t<6,

由42(3-t)>0,得，t>V13,(*)

c,13~t2.t2-12t+31<0.

<3-t+2(3-t)>0,

111Q___十2

所以四邊形MNPE的面積S=-(NP+ME)-MN="{[3-t+.]+(6-t)}X2=

Z229t)

2

3t-30t+67r3z、，2、一r

2(3-1)=6-[公―3)+之]<6-2小.

當(dāng)且僅當(dāng),(t—3)=三，E|Jt=3+羋時(shí)取等號(hào).此時(shí)，(*)式成立.故當(dāng)點(diǎn)E距B

2t~33

點(diǎn)(3+半>時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為(6—24)01：