平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.2

平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3

平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.借助平面直角坐標(biāo)系,掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算.3.培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、平面向量的坐標(biāo)表示【問(wèn)題思考】1.如圖,向量i,j是兩個(gè)互相垂直的單位向量,向量a與i的夾角是30°,且|a|=4,以向量i,j為基底,向量a如何表示?2.填空:3.做一做:在平面直角坐標(biāo)系中,若i,j是與x軸、y軸正方向相同的單位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,則向量a,b,c的坐標(biāo)分別是

,

,

.

答案:(2,-6)

(0,5)

(-4,0)二、平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示【問(wèn)題思考】1.設(shè)i,j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì),向量a+b,a-b如何分別用基底i,j表示?提示:a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j.2.填表:平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則3.做一做:(1)若a=(3,-2),b=(-1,4),則a+b=

,a-b=

.

答案:(1)(2,2)

(4,-6)

(2)(2,10)

(-2,-10)【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)相等的向量,其坐標(biāo)是相同的.(

√

)(2)一個(gè)向量平移后其坐標(biāo)也發(fā)生了變化.(

×

)(3)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其起點(diǎn)的坐標(biāo)減去其終點(diǎn)的坐標(biāo).(

×

)(4)若a=(1,-2),則必有a=i-2j,其中i,j是與x軸、y軸正方向相同的單位向量.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

向量的坐標(biāo)表示分析:(1)利用平行四邊形法則表示向量;(2)先求出點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的關(guān)系求出向量坐標(biāo).求平面向量坐標(biāo)的方法:(1)若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當(dāng)a=xi+yj時(shí),向量a的坐標(biāo)即為(x,y).(2)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo),只有當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo).解題時(shí),常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.探究二

向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例2】

(1)設(shè)向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,2),(3,-5),則a+b=

,b-a=

.

解析:a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);b-a=(3,-5)-(-1,2)=(3+1,-5-2)=(4,-7).答案:(2,-3)

(4,-7)向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示要注意的問(wèn)題(1)向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示主要是利用加法、減法運(yùn)算法則進(jìn)行,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),要注意三角形法則及平行四邊形法則的應(yīng)用.(2)若是給出向量的坐標(biāo),解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.答案:A探究三

向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用技巧:(1)用待定系數(shù)法,此法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一,將未知量設(shè)出來(lái),建立方程(組)求出未知數(shù)的值,是待定系數(shù)法的基本形式,也是方程思想的一種基本應(yīng)用.(2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件:相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等;對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值.易

錯(cuò)

辨

析分類討論不全面致誤【典例】

已知A(3,2),B(5,4),C(6,7),求以A,B,C為頂點(diǎn)的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).可得(5-3,4-2)=(6-x,7-y),解得x=4,y=5.故所求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,5).以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解只考慮了平行四邊形ABCD這一種情況,漏掉了其他平行四邊形的情況.平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列有三種可能,即ABCD,ABDC,ADBC.還有另外兩種情況沒(méi)有考慮.故所求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1).綜上可得,以A,B,C為頂點(diǎn)的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(4,5)或(8,9)或(2,-1).“求以A,B,C為頂點(diǎn)的平行四邊形ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)”與“求以A,B,C為頂點(diǎn)的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)”是有區(qū)別的.前者的點(diǎn)D位置確定了,四點(diǎn)A,B,C,D是按同一方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)排列,后者的點(diǎn)D位置沒(méi)有確定,應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論.【變式訓(xùn)練】

已知一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5,7),(-3,5),(3,4),則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是(

)A.(-1,8) B.(-5,2)

C.(11,6) D.(5,2)綜上所述,點(diǎn)D坐標(biāo)為(11,6)或(-5,2)或(-1,8),所以不可能是(5,2).答案:D隨

堂

練

習(xí)1.向量正交分解中,兩基底的夾角等于(

)°°

° D.不確定答案:B答案:C3.