黑龍江齊齊哈爾八中2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．2．已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．33．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．4．在函數(shù)：①；②；③；④中，最小正周期為的所有函數(shù)為（）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③5．框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，實(shí)際生活中的一些問(wèn)題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，6．若表示不超過(guò)的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．87．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．8．已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．9．為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖（軸表示氣溫，軸表示銷售量），由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為（）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為B．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為C．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的值為D．正相關(guān)，相關(guān)負(fù)數(shù)的值為10．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．14．已知向量，且，則___________.15．已知集合，其中，.且，則集合中所有元素的和為_________.16．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則＝_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線上的任意一點(diǎn)到直線的距離比點(diǎn)到點(diǎn)的距離小1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線斜率的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.19．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng)．學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組（每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組）學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問(wèn)卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來(lái)自同一個(gè)小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知等差數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求；（2）若，求的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d，則解得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.2、D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.4、A【解析】逐一考查所給的函數(shù)：，該函數(shù)為偶函數(shù)，周期；將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象，該函數(shù)的周期為；函數(shù)的最小正周期為；函數(shù)的最小正周期為；綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)的式子，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．一般地，經(jīng)過(guò)恒等變形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．5、A【解析】

依題意問(wèn)題是，然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

求出，，，，，，判斷出是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．7、D【解析】

由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)，滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)，即，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.8、A【解析】

設(shè)直線為，用表示出，，求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出的最小值．【詳解】解：設(shè)直線為，則，，而滿足，那么設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故選：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．9、C【解析】

根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷．【詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān)．相關(guān)系數(shù)為負(fù)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系，考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別．掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ)．10、A【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】，.因?yàn)?，所以有，因此?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點(diǎn)求出，化簡(jiǎn)即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，，即，解得，因?yàn)?，所以?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)對(duì)稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)（5，f（5））與點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示，易知當(dāng)，時(shí)，的最大值為．故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于中檔題.14、【解析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15、2889【解析】

先計(jì)算集合中最小的數(shù)為，最大的數(shù)，可得，求和即得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合中最小數(shù)；當(dāng)時(shí)，得到集合中最大的數(shù)；故答案為：2889【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16、【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡方程滿足的等式，化簡(jiǎn)即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)出切線的斜率分別為，切點(diǎn)，，點(diǎn)，則可得過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立拋物線方程并化簡(jiǎn)，由相切時(shí)可得兩條切線斜率關(guān)系；由拋物線方程求得導(dǎo)函數(shù)，并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出，可求得，結(jié)合點(diǎn)滿足的方程可得的取值范圍，即可求得的范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)到直線的距離等于，∴，化簡(jiǎn)得，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由題意可知，的斜率都存在，分別設(shè)為，切點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，∴，即，∴，.由，求得導(dǎo)函數(shù)，∴，，，∴，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，由圓的性質(zhì)可得，∴，即直線斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，直線與拋物線相切的性質(zhì)及應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，點(diǎn)和圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進(jìn)而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以,解得,故.（2）因?yàn)?所以,所以，則,圖象的對(duì)稱軸是.因?yàn)?所以,則,解得,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.19、（1）（2）見解析，【解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來(lái)自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題設(shè)易得，問(wèn)卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學(xué)生來(lái)自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)小組的概率為（2）由（1）知，在參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中，來(lái)自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2,因?yàn)樗噪S機(jī)變量的分布列為：012所求的期望為【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識(shí)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出，即可證明結(jié)論；（2）對(duì)（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒(méi)有極值點(diǎn)，若不恒成立，求出的解，即可求出結(jié)論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿足，當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，只需求出在單調(diào)遞增時(shí)的取值范圍即可.【詳解】（1），，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故.（2）由題知，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值；②當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故在處取得極小值，無(wú)極大值.（3）不妨令，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞增，，在恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，，由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此時(shí)的最小值是1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏