甘肅省永昌縣第四中學2023-2024學年數(shù)學高一下期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有燈A．81盞 B．112盞 C．162盞 D．243盞2．甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面，并約定甲若早到應等乙半小時，而乙還有其他安排，若他早到則不需等待，則甲、乙兩人能見面的概率（）A． B． C． D．3．在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．在中，，，，是外接圓上一動點，若，則的最大值是（）A．1 B． C． D．25．若關于x，y的方程組無解，則（）A． B． C．2 D．6．函數(shù)圖像的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．7．已知，則()A．-3 B． C． D．38．若，，，設，，且，則的值為（）A．0 B．3 C．15 D．189．已知角、是的內角，則“”是“”的（）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知集合，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標系中，點，，若直線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．12．把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列，若，則________________．13．某學校成立了數(shù)學，英語，音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39，32，33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖.現(xiàn)隨機選取一個成員，他恰好只屬于2個小組的概率是____.14．已知圓錐的底面半徑為3，體積是，則圓錐側面積等于___________.15．方程的解集是___________16．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實數(shù)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且，，，求角A的大小．18．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).(1)若向量與向量垂直，求；(2)若與夾角為銳角，求的取值范圍.19．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和為，求.20．已知：以點為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中0為原點。（1）求證：的面積為定值；（2）設直線與圓C交于點M，N，若，求圓C的方程.21．已知數(shù)列滿足，.(Ⅰ)求，的值，并證明：0<≤1；(Ⅱ)證明：；(Ⅲ)證明：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)可構成一個公比為3的等比數(shù)列，其和為1．由等比數(shù)列的知識可得．【詳解】從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)依次記為a1,a2,a3故選D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的應用，解題關鍵是根據(jù)實際意義構造一個等比數(shù)列，把問題轉化為等比數(shù)列的問題．2、A【解析】設甲到達時刻為，乙到達時刻為，依題意列不等式組為，畫出可行域如下圖陰影部分，故概率為.3、C【解析】

由正弦定理分別檢驗問題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對不難，注意正弦定理的靈活運用.4、C【解析】

以的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為，，求出點的坐標，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可求出答案.【詳解】以的中點O為原點，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則外接圓的方程為，設M的坐標為，，過點作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當時，有最大值，最大值為，故選C．【點睛】本題考查了向量的坐標運算和向量的數(shù)乘運算和正弦函數(shù)的圖象和性質，以及直角三角形的問題，考查了學生的分析解決問題的能力，屬于難題．5、A【解析】

由題可知直線與平行,再根據(jù)平行公式求解即可.【詳解】由題,直線與平行,故.故選：A【點睛】本題主要考查了二元一次方程組與直線間的位置關系,屬于基礎題.6、B【解析】

對稱軸為【詳解】依題意有解得故選B【點睛】本題考查的對稱軸，屬于基礎題。7、C【解析】

由同角三角函數(shù)關系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的化簡求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.8、B【解析】

首先分別求出向量，然后再用兩向量平行的坐標表示，最后求值.【詳解】,,當時，，解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標表示，屬于基礎題型.9、C【解析】

結合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【詳解】在三角形中，根據(jù)大邊對大角原則，若，則，由正弦定理得，充分條件成立；若，由可得，根據(jù)大邊對大角原則，則，必要條件成立；故在三角形中，“”是“”的充要條件故選：C【點睛】本題考查充分條件與必要條件的應用，利用正弦定理確定邊角關系，三角形大邊對大角原則應謹記，屬于基礎題10、C【解析】由題意得，因為，所以，所以，故，故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

設由，求出點軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點又在直線，轉化為直線與圓有公共點，只需圓心到直線的距離小于半徑，得到關于的不等式，求解，即可得出結論.【詳解】設，，，，整理得，又點在直線，直線與圓共公共點，圓心到直線的距離，即.故答案為:.【點睛】本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題.12、【解析】

由圖乙可得：第行有個數(shù)，且第行最后的一個數(shù)為，從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，注意到，，據(jù)此確定n的值即可.【詳解】分析圖乙，可得①第行有個數(shù)，則前行共有個數(shù)，②第行最后的一個數(shù)為，③從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，又由，，則，則出現(xiàn)在第行，第行第一個數(shù)為，這行中第個數(shù)為，前行共有個數(shù)，則為第個數(shù)．故填．【點睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．13、【解析】

由題中數(shù)據(jù)，確定課外小組的總人數(shù)，以及恰好屬于2個小組的人數(shù)，人數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意可得，課外小組的總人數(shù)為，恰好屬于2個小組的人數(shù)為，所以隨機選取一個成員，他恰好只屬于2個小組的概率是.故答案為【點睛】本題主要考查古典概型，熟記列舉法求古典概型的概率即可，屬于?？碱}型.14、【解析】試題分析：求圓錐側面積必須先求圓錐母線，既然已知體積，那么可先求出圓錐的高，再利用圓錐的性質(圓錐的高，底面半徑，母線組成直角三角形)可得母線，，，，．考點：圓錐的體積與面積公式，圓錐的性質．15、或【解析】

方程的根等價于或，分別求兩個三角方程的根可得答案.【詳解】方程或，所以或，所以或.故答案為：或.【點睛】本題考查三角方程的求解，求解時可利用單位圓中的三角函數(shù)線，注意終邊相同角的表示，考查運算求解能力和數(shù)形結合思想的運用.16、1【解析】

在方向上的投影為，把向量坐標代入公式，構造出關于的方程，求得.【詳解】因為，所以，解得：，故填：.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標運算，考查基本運算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由正弦定理得，即得，再利用余弦定理求解.【詳解】因為在三角形ABC中，由正弦定理得．又因為，所以得，由余弦定理得．又三角形內角在．故角A為．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）10或2；（2）.【解析】

(1)由向量與向量垂直，求得或，進而求得的坐標，利用模的計算公式，即可求解；(2)因為與夾角為銳角，所以，且與不共線，列出不等關系式，即可求解.【詳解】(1)由題意，平面向量，，由向量與向量垂直，則，解得或，當時，，則，所；當時，，則，所，(2)因為與夾角為銳角，所以，且與不共線，即且，解得，且，即的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，以及向量的垂直條件，以及向量的數(shù)量積的應用，著重考查了推理運算能力，屬于基礎題.19、(1)；（2）．【解析】試題分析：（1）利用等差等比基本公式，計算數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消法求和.試題解析：(1)設公差為，因為，，成等數(shù)列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.20、（1）見解析（2）或【解析】

（1）先計算半徑，得到圓方程，再計算AB坐標，計算的面積得到答案.（2）根據(jù)計算得到答案.【詳解】（1），過原點取取為定值.（2）設直線與圓C交于點M，N，若設中點為，連接圓心在上圓C的方程為：或【點睛】本題考查了三角形面積，直線和圓的位置關系，意在考查學生的計算能力.21、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)見證明；(Ⅲ)見證明【解析】

（I）直接代入計算得，利用得從而可證結論；（II）證明，即可；（III）由（II）可得，即