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第四節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程一、定義二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法三、小結(jié)一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式是:稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程；二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根一般地，我們有線性方程解的疊加原理.有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為求二階常系數(shù)線性齊次方程的通解步驟如下：第一步：寫出微分方程的特征方程
第二步：求出特征方程的兩個(gè)特征根第三步：根據(jù)兩個(gè)根的不同情況，寫出方程的通解.（1）若是特征方程
的相異
的通解為：實(shí)根，則方程上一頁(yè)下一頁(yè)返回結(jié)束
的通解為：（2）若是特征方程
的兩個(gè)相等實(shí)根，則方程（3）若是特征方程
的兩個(gè)共軛復(fù)根，
的通解為：則方程上一頁(yè)下一頁(yè)返回結(jié)束定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1例2求方程滿足初始條件的特解。解所給方程的特征方程為其根為所求方程的通解為將條件帶入上式所求方程的特解為解特征方程為解得故所求通解為例3四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.
(見(jiàn)下表)
特征根的情況
通解的表達(dá)式實(shí)根21rr1實(shí)根21rr=復(fù)根bair±=2,1xrxreCeCy2121+=xrexCCy2)(21+=)sincos(21xCxCeyxbba+=1.求方程的通解.
的通解.2.
求方程解此方程的特征方程為
所求方程的通解為解此方程的特征方程為
上一頁(yè)下一頁(yè)返回結(jié)束練習(xí)的通解.3.
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