莫興德廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院Email:moxingde@微積分第1頁鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無窮級數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第2頁參考書[1]趙樹嫄.微積分.中國人民出版社[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第3頁第四章

最大值、最小值問題第4頁最大值、最小值問題在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提升經(jīng)濟(jì)效益，必須要考慮在一定條件下，怎樣才能是2用料最省，費(fèi)用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題兩個方面：最值存在性；最值求法。假定f(x)在[a,b]上連續(xù)，除去有限個點(diǎn)外處處可導(dǎo)，且至多有有限個點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0。我們就在這么條件下討論f(x)在[a,b]上最值求法。第5頁一、最值求法首先由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)f(x)在[a,b]上必存在最大值和最小值其次，若最大值（或最小值）在開區(qū)間內(nèi)取得，則這個最值一定是極值，由假定，這個點(diǎn)一定是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；另外最值也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得，故求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值方法是第6頁步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:假如區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)第7頁二、應(yīng)用舉例例1解計算例2解第8頁得駐點(diǎn)這些點(diǎn)處函數(shù)值為：比較以上各點(diǎn)處函數(shù)值可知第9頁在求函數(shù)最值時，尤其值得指出是下述情況：f(x)在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且只有一個駐點(diǎn)x0，而且這個駐點(diǎn)x0同時也是f(x)極值點(diǎn)，則當(dāng)f(x0)是極大（?。┲禃r，f(x0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上最大（?。┲?。這是因為此時在x0左、右兩側(cè)符號必定相反，亦即在x0左、右兩側(cè)f(x)單調(diào)性必定相反。第10頁敵人乘汽車從河北岸A處以1千米/分鐘速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河南岸B處向正東追擊速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？例3解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)第11頁得唯一駐點(diǎn)實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;第12頁例4某房地產(chǎn)企業(yè)有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每個月180元時，公寓會全部租出去．當(dāng)租金每個月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去房子每個月需花費(fèi)20元整修維護(hù)費(fèi)．試問房租定為多少可取得最大收入？解設(shè)房租為每個月元，租出去房子有套，每個月總收入為第13頁（唯一駐點(diǎn)）故每個月每套租金為350元時收入最高。最大收入為第14頁例5解如圖,第15頁解得第16頁例6求使不等式成立最小正數(shù)A解將不等式改寫為則問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)最大值易見第17頁三、小結(jié)注意最值與極值區(qū)分.最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)