2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各數(shù)為無理數(shù)的是（）

A.3B.3.14C.2<2D.y

2.如圖，表示互為相反數(shù)的兩個點是（）

ACBD

-3-2-10123

A.點4與點BB.點4與點。C.點C與點BD.點c與點。

3.12位參加歌唱比賽的同學的成績各不相同，按成績取前6名進入決賽，如果小粉知道了自己的成績后,

要判斷能否進入決賽，小粉需要知道這12位同學的成績的

()

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

4.下列運算正確的是（）

A.sTa+y/~b=Va+bB.2-\fax3yTb—5Vab

C.5+73=5>A3D.^A20-75=<5

5.分式方程展=罡勺解是（）

A.x=1B.x=-1C.%=3D.x=-3

6.在口力BCD中,對角線AC、BD交于點0,若AD=5,AC=10,BD=6,△

BOC的周長為（）

A.13B.16C.18D.21

7.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,E是AC上的一點,

EDLAB,垂足為D,若4。=4,貝加￡的長為()

A.375

B.3<6

18

T

D.3

8.如圖，在平面直角坐標系中，菱形/BCD的頂點C與原點。重合，點8在y軸的正

半軸上，點A在反比例函數(shù)y=((%>())的圖象上，點。的坐標為(4,3),將菱形

A8CD向右平移m個單位，使點0剛好落在反比例函數(shù)y=如>0)的圖象上，則

m的值為()

A.5B.6

9.如圖，在塔前的平地上選擇一點4由A點看塔頂?shù)难鼋鞘?。，?點和

塔之間選擇一點8,由B點看塔頂?shù)难鼋鞘恰魅魷y量者的眼睛距離地面的高

度為1.5zn,AB=9m,a=45°,/?=50°,則塔的高度大約為m.()

(參考數(shù)據:sm50°?0.8,tan50°?1.2)

A.55.5

B.54

C.46.5

D.45

10.已知拋物線y=a/++c(a,仇。是常數(shù)，aH0,c>1),經過點(2,0),其對稱軸是直線久.則下

列結論：①abc<0；②關于％的方程a%?+人工+。=。無實數(shù)根；③當％>0時，y隨%增大而減??；

④a+b=0.其中正確的結論有個.()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.代數(shù)式萼在實數(shù)范圍內有意義時，X應滿足的條件是.

12.因式分解：4%3—x=.

13.如圖，在△ABC中，Z.C=90°,AADC=60°,Z.B=30°,若CD=3cm,貝IA

BD=cm.\

CDB

14.關于久的一元二次方程（k-1）/—2久+3=。有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是—.

15.如圖，口ABCD繞點力逆時針旋轉30。，得至gAB'C'D'（點B與點B'是對應點，點0，

C與點C'是對應點，點。與點0'是對應點），此時，點B'恰好落在BC邊上，則NC=1i-i\

口

BB'C

16.如圖，已知正方形4BCD的邊長為2,E為力B的中點,F是AD邊上的一個動D--------------------C

點，連接EF,將△4EF沿EF折疊得△若延長FH交邊BC于點M,貝！JD”卜?小

的取信范圍星\H

AEH

三、計算題：本大題共1小題，共4分,）

17.解方程：X2+6X+5=0.

四、解答題：本題共8小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.（本小題4分）

如圖，在四邊形4BCD中,8。平分乙4DC和乙4BC.求證：AD=CD,AB=CB.

[D

B

19.（本小題6分）

已知T=&一昌？

(1)化簡T;

(2)已知反比例函數(shù)y=節(jié)的圖象經過點4(a-l,a+1),求7的值.

20.(本小題6分)

“2023廣州黃埔馬拉松”比賽當天，某校玩轉數(shù)學小組針對其中一個項目“半程馬拉松”(21.0975公里)

進行調查.

(1)為估算本次參加“半程馬拉松”的人數(shù)，調查如下：

調查總人數(shù)2050100200500

參加“半程馬拉松”人數(shù)7173158150

參加“半程馬拉松”頻率0.350.340.310.290.30

已知共有20000人參與“2023廣州黃埔馬拉松”比賽，請估算本次賽事中，參加“半程馬拉松”項目的人

數(shù)約為人；

(2)本賽事某崗位還需要2名志愿者參與服務工作，共有4人參加了志愿者遴選，其中初中生2名，高中生1

名，大學生1名，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好錄取2名初中生志愿者的概率.

21.(本小題8分)

某文具店準備購進甲、乙兩種圓規(guī)，若購進甲種圓規(guī)10個，乙種圓規(guī)30個，需要340元；若購進甲種圓規(guī)

30個，乙種圓規(guī)50個，需要700元.

(1)求購進甲、乙兩種圓規(guī)的單價各是多少元；

(2)文具店購進甲、乙兩種圓規(guī)共100個，每個甲種圓規(guī)的售價為15元，每個乙種圓規(guī)的售價為12元，銷售

這兩種圓規(guī)的總利潤不低于480元，那么這個文具店至少購進甲種圓規(guī)多少個？

22.(本小題10分)

如圖，二次函數(shù)y=--萬+a)(久一3a)(a>0)的圖象與x軸交于4B兩點(點4在點B的右側)，與y軸交于

點E.

(1)尺規(guī)作圖：作拋物線的對稱軸，交x軸于點。，并標記拋物線的頂點C,連接4E,且AE與對稱軸相交于

點民(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)所作的圖形中，若2。=2。心求NC4D的大小及4尸的值.

23.(本小題10分)

如圖，△力BC內接于。。，AB=AC,C。的延長線交4B于點，

(1)求證：4。平分乙B4C；

(2)若BC=12,sm^BAC=求AC和CD的長.

24.(本小題12分)

如圖，在矩形力BCD和矩形4GFE中，AD=4,AE=2,AB=^3AD,4G=四然,矩形力GFE繞著點4旋

轉，連接BG,CF,AC,AF.

⑴求證：KABG^LACF-,

(2)當CE的長度最大時,

①求BG的長度;

②在AACF內是否存在一點P,使得CP+4P+CP尸的值最??？若存在，求CP+2P+CPF的最小值;

若不存在，請說明理由.

備用圖

25.(本小題12分)

已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c圖象與x軸交于點4和點B(—3,0),與y軸交于點C(0,3).

(1)求點a的坐標；

(2)若點D是直線BC上方的拋物線上的一點，過點。作。后〃)7軸交射線AC于點E,過點。作DF1BC于點F,

求-DE的最大值及此時點。坐標；

(3)在(2)的條件下，若點P,Q為x軸下方的拋物線上的兩個動點，并且這兩個點滿足NPBQ=90。，試求點

。到直線PQ的最大距離.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：3是整數(shù)，3.14,與是分數(shù)，它們都不是無理數(shù)；

2方是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；

故選：C.

無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據此進行判斷即可.

本題考查無理數(shù)的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：3和-3互為相反數(shù)，則點2與點。表示互為相反數(shù)的兩個點.

故選:B.

根據一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上”號，求解即可.

本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，

一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，。的相反數(shù)是0.不要把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混淆.

3.【答案】B

【解析】解：由于總共有12個人，且他們的分數(shù)互不相同，要判斷是否進入前6名，只要把自己的成績與

中位數(shù)進行大小比較.故應知道中位數(shù)的多少.

故選：B.

由題意，只需要了解自己的成績與全部成績的中位數(shù)的大小即可.

本題主要考查統(tǒng)計的有關知識，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：人血與不能合并，所以a選項不符合題意；

B.2y/~ax3y/~b=6y/~ab,所以B選項不符合題意；

C.5與，^不能合并，所以C選項不符合題意；

D.720-A<5=2<5-^=,所以。選項符合題意.

故選：D.

根據二次根式的加法運算對4選項、C選項進行判斷；根據二次根式的乘法法則對B選項進行判斷；根據二

次根式的減法運算對。選項進行判斷.

本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結

論是解題的關鍵.

將分式方程轉化為整式方程，求出x的值，檢驗即可得出答案.

【解答】

解：二=工，

方程兩邊都乘x(久一3)得：2久=久一3,

解得：%=-3,

檢驗：當久=—3時，x(x—3)0,

x=-3是原方程的解.

故選：D.

6.【答案】A

【解析】解：243。。的兩條對角線交于點0,AC=10,BD=6,AD=5,

BO=DO=3,AO=CO=5,BC=AD=5

BOC的周長為：BO+CO+BC=3+5+3=13.

故選：A.

利用平行四邊形的性質對角線互相平分，進而得出B。，C。的長，即可得出ABOC的周長.

此題主要考查了平行四邊形的性質：對邊相等、對角線互相平分，得出8。，C。的長是解題關鍵.

7.【答案】4

【解析】解：NC=90。，AB=10,AC=8,

BC=AB2-AC2=V102-82=6,

???ED148于點D,AD=4,

.-.zXDE=zC=90°,

???NA=NA,

■■■AAED^^ABC,

._AD_4_1

"AB~~AC~8~2,

11

??.AE=^AB=|x10=5,

CE=AC—AE=8—5=3,

???BE=VBC2+CE2=V62+32=3<5,

故選：力.

由NC=90。，AB=10,AC=8,求得BC=6,由/ADE=NC=90。，NA=NA,^^AAED^AABC,

貝哈=求得ZE=5,則CE=4C—4E=3,即可根據勾股定理求得BE=7BC?+CE2=3，虧,于是

ADAC

得到問題的答案.

此題重點考查勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，證明△力EQSAABC是解題的關鍵.

8.【答案】C

【解析】解：(1)作DE180,軸于點F,

丁點。的坐標為(4,3),

FO=4,DF=3,

DO=5,

AD=5,

???4點坐標為:(4,8),

xy=4X8=32,

k=32；

(2)將菱形4BCD向右平移爪個單位長度，得到點》的坐標為(4+爪,3).

代入y=%，得到3=卷，解得小=弓.

'xm+43

即菱形力BCD平移的距離為=當個單位長度.

故選：C.

將菱形4BCD向右平移a個單位長度，得到點。'的坐標為(4+租,3),由。'在反比例函數(shù)圖象上，將點。'代

入反比例函數(shù)解析式，求出m的值，問題可解.

本題考查了反比例函數(shù)圖象和菱形性質的應用，解答此題的關鍵是知道反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

9.【答案】A

【解析】解：如圖：由題意得ED=8尸=AG=1.5瓶,

va=45°,CE1EG,\\

???乙ECG=a=45°,\\

??.CE=GE,

設c￡=G￡i八/

則EF=(x-9)m,DBA

在Rt△CEF中，tanB=tan500=償=三，

廣EFx—9

即221.2,

x—9

解得％=54,

???CD=CE+ED=54+1.5=55.5(m),

答：塔的高度大約為55.5m.

故選：A.

首先證明CE=EG,再利用tan50。=煞即可求出答案.

EF

本題考查解直角三角形的應用-俯角仰角問題，解決本題的關鍵是能借助俯角、仰角構造直角三角形并結

合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

10.【答案】B

【解析】解：???拋物線的對稱軸為直線x=g,

???點(2,0)關于直線x=拋對稱點的坐標為(-1,0),

VC>1,

???拋物線開口向下，

???a<0,

??_A_1

?~2a-29

???b=-a>0,

??.abc<0,故①正確；

???拋物線開口向下，與久軸有兩個交點，

???頂點在無軸的上方，

va<0,

???拋物線與直線y=a有兩個交點，

??.關于％的方程J/+.+c=Q有兩個不等的實數(shù)根；故②錯誤;

???拋物線開口向下，對稱軸為直線汽=

1

2-y隨無增大而減??；故③錯誤;

??_1

?~2a~2"

???b=-a,

a+b=0,故④正確.

故選：B.

由題意得到拋物線的開口向下，對稱軸-*=〈，得出b=—a,判斷a,6與0的關系，得到a+b=0,

2a2

abc<0,即可判斷①④；根據題意得到拋物線開口向下，頂點在x軸上方，即可判斷②；根據二次函數(shù)

的性質即可判斷③.

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線與支軸的交點，解題關鍵是

掌握二次函數(shù)與方程的關系，掌握二次函數(shù)的性質.

11.【答案】%>-4

【解析】解：由題可知，

x+4>0,

解得K>-4.

故答案為：%>-4.

根據被開方數(shù)不小于零的條件進行解題即可.

本題考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)不小于零的條件是解題的關鍵.

12.【答案】x(2x+l)(2x-1)

【解析】【分析】

本題考查了提公因式法和公式法，掌握a?-=似+b)(a-6)是解題的關鍵.

先提取公因式X,再用平方差公式即可.

【解答】

M：4%3-x

=x(4x2-1)

=x(2x+1)(2%—1),

故答案為x(2x+l)(2x—1).

13.【答案】6

【解析】解：:乙B=30°,^ADC=60°,

???4BAD=/-ADC一乙B=30°,

AD=BD,

???ZC=90°,

??.Z.CAD=30°,

.?.BD=AC=2CD=6cm,

故答案為：6.

利用三角形的外角性質定理和給出的已知數(shù)據可求出444。=30。，所以△ZBO為等腰三角形，即

BD,再利用30。角的直角三角形可解，進而求出BO的長.

本題考查了含30。角的直角三角形的性質，三角形的外角性質定理、等腰三角形的判定和性質以及解直角

三角形的有關知識.屬于基礎題目.

14.【答案】

【解析】解：由題意知：J=h2-4ac=4-4X3(/c-1)=16-12/c>0且/c—1H0,

解得：k<:且々。1-

則k的取值范圍是k<g且k豐1.

故答案為：上工^且/￡力1.

根據方程有兩個實數(shù)根，得出420且k-1大0,求出k的取值范圍，即可得出答案.

此題考查了根的判別式，(1)一元二次方程根的情況與判別式△的關系：①/>0o方程有兩個不相等的實

數(shù)根；②4=0。方程有兩個相等的實數(shù)根；③/<0。方程沒有實數(shù)根.(2)一元二次方程的二次項系數(shù)

不為0.

15.【答案】105°

【解析】解：由旋轉可知，

AB=AB',4BAB'=30°,

1

???乙ABB'=乙AB'B=|x(180°-30°)=75°.

???四邊形ABC。是平行四邊形，

AB//CD,

???乙B+LC=180°,

ZC=180°-75°=105°.

故答案為：105。.

根據旋轉的性質，得出=再利用等邊對等角求出AB的度數(shù)，最后根據兩直線平行，同旁內角互

補可求出NC的度數(shù).

本題考查旋轉的性質及平行四邊形的性質，熟知圖形旋轉的性質及平行四邊形的性質是解題的關鍵.

16.【答案】<2

【解析】解:如圖1,點F與點D重合，此時點M在BC邊上，

?.?正方形4BCD的邊長為2,

DA=AB=2,

由折疊得。”=FH=FA=DA=29

。”的最大值為2；

如圖2,連接DE,

???E為2B的中點，

HE=AE=BE=1AB=1,

???Z-A=90°,

DE=VDA2+AE2=V22+I2=75.

.-.DH+HE>DE,

DH+1>岳,

：.￡>H>/5-1.

D”的最小值為6―1，

?！钡淖钪捣秶?，^一1<DH<2,

故答案為：<DH<2.

點F與點。重合，此時點M在BC邊上，且DH的值最大，由折疊得DH=FH=B4=D4=2,則DH的最大

值為2；連接DE,因為HE=4E=BE=“8=1,乙4=90。，所以DE=，。氏+痂=機,由+

HE>DE,得DH2門-1,則DH的最小值為4―1,所以。口的最值范圍是，—1WDHW2,于是得

到問題的答案.

此題重點考查正方形的性質、軸對稱的性質、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，正確地作出輔助線是

解題的關鍵.

17.【答案】解：x2+6%+5=0,

(%+1)(%+5)=0,

?,?%+1=0或％+5=0,

???=-1,x2=—5.

【解析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

方程利用因式分解法求出解即可.

18.【答案】證明：??.80平分NZOC和

???乙ADC=乙CDB,Z.ABD=Z.CBD,

在△48。和4C5D中，

Z.ADC=乙CDB

BD=BD，

Z.ABD=Z.CBD

：.LABD^^CBD{ASA).

AD=CD,AB=CB.

【解析】利用44s可得△48。也△CBD,即可得答案.

本題考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定和性質是關鍵.

19.【答案】解：(1)7=——擊

_aa—1

(a+l)(a—1)(a+l)(a—1)

_]

(a+l)(a—1)'

(2),?,反比例函數(shù)y=乎的圖象經過點-l,a+1),

(cz-1)(。+1)=

,T1/2

■-T=7^=--

【解析】(1)化成同分母的分式，然后根據加法法則計算即可；

(2)根據反比例函數(shù)系數(shù)k=孫得到(a-l)(a+1)=Y2,代入(1)中化簡的T的式子即可求解.

本題考查了分式的化簡求值，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握分式加法的法則以及反比例函數(shù)

系數(shù)k=xy是解題的關鍵.

20.【答案】6000

【解析】解：(1)由表格可知，隨調查總人數(shù)的增加，參加“半程馬拉松”頻率接近0.30,

...本次賽事中，參加“半程馬拉松”項目的人數(shù)約為20000x0.30=6000(人).

故答案為：6000.

(2)將2名初中生分別記為力，B,1名高中生記為C,1名大學生記為0,

畫樹狀圖如下：

開始

共有12種等可能的結果，其中恰好錄取2名初中生志愿者的結果有：AB,BA,共2種,

???恰好錄取2名初中生志愿者的概率為京=

12o

(1)由表格可知，隨調查總人數(shù)的增加，參加“半程馬拉松”頻率接近0.30,根據用樣本估計總體，用

20000乘以0.30即可得出答案.

(2)畫樹狀圖得出所有等可能的結果數(shù)以及恰好錄取2名初中生志愿者的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答

案.

本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體，熟練掌握列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體是解答本題

的關鍵.

21.【答案】解：(1)設購進甲種圓規(guī)的單價是x元，乙種圓規(guī)的單價是y元，

根據題意得:｛界:乳黑,

解得：［y：8°-

答：購進甲種圓規(guī)的單價是10元，乙種圓規(guī)的單價是8元；

(2)設這個文具店購進機個甲種圓規(guī)，則購進(100-Tn)個乙種圓規(guī)，

根據題意得：(15-10)m+(12-8)(100-m)>480,

解得：m>80,

根的最小值為80.

答：這個文具店至少購進甲種圓規(guī)80個.

【解析】(1)設購進甲種圓規(guī)的單價是萬元，乙種圓規(guī)的單價是y元，根據“購進甲種圓規(guī)10個，乙種圓規(guī)

30個，需要340元；購進甲種圓規(guī)30個，乙種圓規(guī)50個，需要700元”，可列出關于x,y的二元一次方程

組，解之即可得出結論；

(2)設這個文具店購進機個甲種圓規(guī)，則購進(100-機)個乙種圓規(guī)，利用總利潤=每個甲種圓規(guī)的銷售利

潤x購進甲種圓規(guī)的數(shù)量+每個乙種圓規(guī)的銷售利潤x購進甲種圓規(guī)的數(shù)量，結合總利潤不低于480元，可

列出關于小的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論.

本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確

列出二元一次方程組；(2)根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

22.【答案】解：(1)按要求作48的中垂線即為拋物線的對稱軸，再按要求作圖如下：

(2)對于y=+a)(x-3a),當x=0時，y=^a2=OE,

44

令y=—；(%+CL)(%—3a)=0,

解得：x=-q或3a,

則。4=3a,

???AO=2OE,即3a=2x^a2,

4

解得：a=0(舍去)或2,

則點4的坐標為：(6,0)、點E(0,3)、點C(2,4),

則CD=4=4。，

故NOW=45°,

由點力、E的坐標得，直線4E的表達式為：y=-1%+3,

當％=2時，y=2,即=2,

貝【J//7=VDF2+AD2=V4+42=

【解析】(1)按要求作ZB的中垂線即為拋物線的對稱軸，即可求解；

(2)求出點4、E的坐標，由4。=2。&即3a=2xja2,求出a的值，進而求解.

4

本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到圖象作圖、一次函數(shù)的圖象和性質等，綜合性強，難度適中.

23.【答案】解：(1)證明：延長力。交BC于H,連接80,

???4,。在線段BC的垂直平分線上，

AO1BC,

又???AB=AC,

.-?4。平分NB4C.

(2)延長CD交。。于E,連接BE,貝UCE是。。的直徑,

A

/-E=Z.BAC,sinZ-E=smZ-BAC,

：.CE=IBC=10,

CE43

___________i

??.BE=VCE2-BC2=8，0A=0E=《CE=5,

???AH1BC,

??.BE//0A,

..."=嗎即。匹，

BEDE85-0。

解得：0D=

BE//OA,即BE〃OH,OC=OE,

■.。”是△CEB的中位線，

1i

OH=加E=4,CH=^BC=3,

XW=5+4=9,

在Rt△AC“中，AC=AH2+CH2=V92+32=3710.

【解析】（1）先延長4。交8c于H,連接BO,AB=AC,OB=OC,因此4。在線段BC的垂直平分線上，

貝IMO1BC,又因為力B=4C,所以4。平分ABAC.

（2）延長CD交。。于E,連接BE,貝!JCE是。。的直徑，乙EBC=90°,BC1BE,可知NE=NB4C,

sinz￡=sinzBXC,因而叫="CE=（BC=10,利用勾股定理得：BE=<CE2-BC2=8,OA=

CE43

OE=：CE=5,可知AHIBC,因此8￡7/04黑=黑，即焉=即可得出。。，而C。=5+。。=

ZDCD匕OD—UU

由BE〃OA,即8￡7/0H,OC=0E,可知。H是△CEB的中位線，因此。H=細石=4,CH=^BC=

3,貝1|4/7=5+4=9,在Rt△力CH中，利用勾股定理得：AC=y/AH2+CH2=V92+32=3^10.

本題考查的是三角形的外接圓與外心，角平分線，垂徑定理，圓周角定理和解直角三角形，熟練掌握上述

知識點并找出題目中各角的關系是解題的關鍵.

24.【答案】（1）證明：,四邊形4BCD為矩形，CD=AB=0AD=4<3,AD=4,

.-./.ABC=乙BAD=90°,

AC=8,

?-.乙BAC=30°,絲=這=①

AC82

???AG=-/3AE=273，AE=FG=2,

AF=V22+12=4，

...竺二竺二￡,/_EAF=^FAG=30°,

AFAC2

???/,FAG=Z.FAC+Z-CAG=30°,

/.BAG=Z.BAG+Z.CAG=30°,

???Z-FAC=Z-BAG,

：.LABG^LACF}

(2)解：①如圖2,AC+AE>CE,當C,A,E三點共線時，AC+AECE,CE的長度最大,

由(1)知BC=4,AC=8,AE=2,EF=2/3,△ABG^hACF,

CF=EF2+CE2=V12+100=4"普=苧'

CF2

BG=CFx^-=2/21.

圖2

解：②如圖3,將AP繞著點力順時針旋轉30。，且使4K=C4P，連接PK，

根據AAPK邊角關系，可得PK=4P；

同理將4F繞著點4順時針旋轉30。，得到43且使4=門4/，連接LK,

根據旋轉，可得NP4F=NK23

根據兩邊對應成比例且夾角相等可得：△APFSAAKL,

KL=gPF,

■.CP+PK+KL>CL,即CP+AP+<3PF>CL,

M當C,P,K,L四點共線時,CL最小,

由題意可知NL4c=150。，AF=4,AC=8,AL=473,過點L作LQ垂直C4的延長線于點Q,可得

^.LAQ=30°,

QL=2/3,AQ=6,

在RtACLQ中，根據勾股定理得CL=J(8+6)2+(2V^)2=4/13>

CP+AP+PF的最小值為

計算出**爭㈤。。，然后求得如皿

【解析】(1)根據題意,F=NF4G=3C=G,即可證明

^ABG^/^ACF；

(2)①當C,A,E三點共線時，AC+AE=CE,CE的長度最大，由(1)知BC=4,AC=8,AE=2,EF=

2y[3,^ABG^^ACF,可得CF=7EF?+CE2=，12+100=S,犍=￥，因此BG=CFx￥=

CF22

2<21.

②如圖3,將AP繞著點4順時針旋轉30。，且使2K=CaP，連接PK,根據A2PK邊角關系，可得PK=

AP-,同理將力F繞著點力順時針旋轉30。，得到43且使4L=，^4F,連接LK,根據旋轉，可得AP4F=

AKAL,根據兩邊對應成比例且夾角相等可得：AAPFSAAKL,因此KL=J^PF,由于CP+PK+KL2

CL,即CP+AP+，1PFNCL,因此當C,P,K,L四點共線時，CL最小，由題意可知：Z.LAC=150°,

AF=4,AC=8,AL=4<3,過點L作LQ垂直C4的延長線于點Q,可得NL4Q=30。，可知QL=20，